2013全国高中数学联赛天津预赛试题及其解答
(C). ¬p, q
(D). ¬p, ¬q
解: 注意 f (x) 的定义域是 [−1, 0) ∪ (0, 1], 所以
f (x)
=
√ 1
−
x2
·
( 2
−
x
+
4 2x −
) 1
=
√ 1
−
x2
·
(
−
x
+
2
·
2x 2x
+ −
1) ,
1
容易看出 f (x) 是奇函数, 不是偶函数. 选 (B).
2.
设
B,
C
三. 解答题 (每小题 20 分, 共 60 分. 每小题只设 0 分, 5 分, 10 分, 15 分, 20 分五档) 1. 正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, D 为 AC 的中点.
(1) 证明 AB1// 平面 BDC1.
参考答案与评分标准第 3 页
(2)
当
AA1 AB
取何值时,
AB1
与
不妨设底棱长为 1, 侧棱长为 x, 则我们有
−−→ −−→ 1 −−→ −−→ −−→ −−→ AB · BC = − 2 , AB · CC1 = BB1 · BC = 0,
现在,
−−→ AB1
=
−A−→B
+
−B−B→1,
−−→ BC1
=
−B−→C
+
−C−C→1,
所以
−−→ BB1
·
−−→ C C1
(D). (−∞, 5]
解: 当 x ≥ 1 时, 原不等式成为 x2 − x + 1 − a < 0, 其解集中不含任何 ≥ 3 的数, 故当 x ≥ 3 时总有 x2 − x + 1 − a ≥ 0 成立, 由此得到 a ≤ 7.
当 x < 1 时, 原不等式成为 x2 + x − 1 − a < 0, 其解集中不含任何 ≤ −3 的数, 故 当 x ≤ −3 时总有 x2 + x − 1 − a ≥ 0 成立, 由此得到 a ≤ 5.
5.
如果曲线
y
= 2 sin
x 2
的两条互相垂直的切线交于
P
点,
则
P
点的坐标
不可能是
(A). (π, π)
(B). (3π, −π)
(C). (5π, −π)
(D). (7π, −π)
解:
函数
y
=
2
sin
x 2
的图像在
x
=
xi
处的切线斜率为
cos
xi 2
,
因此,
若
x1
和
x2
处的切线互相垂直,
则
cos
是等腰三角形. 选 (A).
4.
等差数列 {an} 前 n 项的和为
Sn, 已知
S25 a23
= 5,
S45 a33
= 25, 则
S65 a43
的值是
(A). 125
(B). 85
(C). 45
(D). 35
解: 由于 S25 = 25 · a13, 所以由已知条件可得 a13 : a23 = 1 : 5, 从而 a23 : a33 = 5 : 9, a33 : a43 = 9 : 13. 现在, S65 = 65 · a33, 所以 S65 : a43 = 45 : 1. 选 (C).
√ (y/3)3 = y, 由此解得 y = 3 3. 从而 log4 x =
√ 33
2
.
2.
设
M
是椭圆
x2 4
+
y2 3
=
1
上的动点,
又设点
F
和点
P
的坐标分别是
(1, 0)
和
(3, 1), 则 2|M F | − |M P | 的最大值是
.
解: 注意 F 是椭圆的右焦点. 椭圆的右准线为 ℓ : x = 4, 则 2|M F | 等于 M 到 ℓ 的距离. 过 M 作 ℓ 的垂线 M A, 再过 P 作 M A 的垂线 P B, 其中 A, B 分别 为垂足. 我们有 2|M F | − |M P | = |M A| − |M P | ≤ |M A| − |M B| = |AB|, 其中 |AB| 就是 P 点到右准线的距离, 等于 1. 因此, 2|M F | − |M P | 的最大值为 1, 当 M 的纵坐标为 1 时取得. 本题答案为 1 .
即 tan α = tan β, 故 α 与 β 相差 π 的整数倍. 由此即知 O, D, E, F 四点共圆, 即 O
在 △DEF 的外接圆上.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分)
注意
F E//BC,
有
kF E
=
kBC
=
(1/b − 1/c)/(b − c)
=
−
1 bc
.
可见
kF E
=
−kOD .
同理 kF D = −kOE. 这样, 若从直线 OD 旋转到直线 OE 的角为 α, 从直线 F D 旋转 到直线 F E 的角为 β, 则有
tan α = kOE − kOD = kF E − kF D = tan β. 1 + kOE kOD 1 + kF E kF D
锥面与平面 π 的交线, 可能是三种圆锥曲线中的任何一种. 故选 (D).
3.
在
△ABC
中,
−−→ −−→ BC · BA =
−−→ CB
·
−C→A,
则
△ABC
是
(A). 等腰三角形
(B). 直角三角形
(C). 等腰直角三角形
(D). 以上均不对
解: 所给数量积等式可转化为 −B−→C · (−A−→B + −A→C) = 0. 若记 BC 的中点为 D, 则 −A−→B + −A→C = 2−A−→D, 从而 −B−→C · −A−→D = 0. 这表明 BC 与中线 AD 垂直, 因此 △ABC
C(c, 1/c),
则
BC
的中点
D
的坐标为
(
1 2
(b
+
c),
1 2
(
1 b
+
1 c
) ).
我
们有
kOD
=
1 bc
.
这里
kOD
表示直线
OD
的斜率,
以下同此.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分)
坐标与纵坐标都是 π 的奇数倍, 且两者之差是 4π 的整数倍. 四个选项中只有 (C)
不符合这一特征, 故选 (C).
6. 如果不等式 x2 < |x − 1| + a 的解集是区间 (−3, 3) 的子集, 则实数 a 的取值范围 是
(A). (−∞, 7)
(B). (−∞, 7]
(C). (−∞, 5)
故所求最大值为 1 .
参考答案与评分标准第 2 页
4.
设
xn
2∑ 013 (
=
cos
k!π
)n ,
2013
则
lim
n→∞
xn
等于
.
k=1
解: 注 意 到 2013 = 3 · 11 · 61, 所 以 当 1 ≤ k ≤ 60 时, k!/2013 不 为 整 数,
cos
k!π 2013
∈
(−1, 1),
从而
lim
( cos
k!π
)n = 0.
n→∞
2013
而当
k
≥
61
时,
k!/2013
为整数,
且总为偶数,
这时
cos
k!π 2013
=
1,
相应地
lim
( cos
k!π
)n = 1.
n→∞
2013
综上可知本题答案为 2013 − 60 = 1953 .
5. 如果 {1, 2, · · · , 9} 的某个非空子集中所有元素之和是 3 的倍数, 则称该子集为忐
sin B sin C
=
sin2 B
− sin2
A
=
1 (1 −
cos 2B) −
1 (1 − cos 2A)
2
2
=
1 (cos 2A 2
−
cos 2B)
=
sin(B
+ A) sin(B
− A),
因而 sin B = sin(B − A). 现在 B − A = 80◦, 故 B = 100◦, A = 20◦. 从而 C = 60◦ .
3. 已知 x, y ∈ R, 且 x2 + y2 ≤ 1, 则 x + y − xy 的最大值是
.
解: 由 于 x + y − xy = x(1 − y) + y, 可见固定 y 时, 必定 当 x 尽 量 大 时 此
式 才 可 取 最 大 值; 同 样, 固 定 x 时, y 也 应 尽 量 大. 因 此, 不 妨 设 x, y 均 非
综上, a ∈ (−∞, 5]. 故选 (D).
二. 填空题 (每小题 9 分, 共 54 分)
1. 若 log2 log8 x = log8 log2 x, 则 log4 x 的值是
2013年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
=
±
1 2
8.
247 256
.
ab
=
1 4
5
9
18 247
P
=
1−
29
=
. 256
9.
{an}
a1 = 2, an = 2(n + an−1), n = 2, 3, . . .
a1 = 2, a2 = 2(2 + 2) = 8 n 3
an − 2an−1 = 2n, an−1 − 2an−2 = 2(n − 1).
3 6
AB
=
√
3 6
,
P
M
=
√ MH2
+
PH2
=
√
1 12
+2
=
53 6
√ r = 2/6
r
OK
MH 1
√
=
2−r
PO
=∼ ∠KP O =
PM
=, 5
5.
[0, π)
sin 12x = x
4.
x>1
| sin 12x| 1 < x
[0, 1] 3π < 12 < 4π
sin 12x
3/2
2
4
√
6.
f (x)
盘的所有不同可能铺法的数目是 Tn ．下面的图是 n 3 时的两种不同的铺法：
a）求 T10 ；并且 b）求 T2013 的个位数．
2013
0
8
(B )
1. 3 4.
3c4 c = 3, 4 √
2. i = −1
34
c c2 > 43 − 33 > 22,
2013年普通高等学校招生全国统一考试 理数(天津卷)
4,
3
,
则|CP|
=
.
(12) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, BAD 60 , E 为 CD 的中
点. 若 AD·BE 1, 则 AB 的长为
.
(13) 如 图 , △ ABC 为 圆 的 内 接 三 角 形 , BD 为 圆 的 弦 , 且
BD//AC. 过点 A 做圆的切线与 DB 的延长线交于点 E, AD 与
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项： 1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改 动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号. 2.本卷共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
参考公式: ·如果事件 A, B 互斥, 那么
P(A B) P(A) P(B)
（I）解：设“去除的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片”为事件 A，则
P(A)=
C21C53 C22C52 C74
6 7
所以，取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率为 6 . 7
（Ⅱ）解：随机变量 X 的所有可能取值为 1, 2, 3, 4
P(X=1)=
C33 C74
1, 35
P(X=3)=
（I）解： f (x) 2sin2x cos 2 cos 2x sin +3sin 2x cos 2x
4
4
=2sin 2x 2cos 2x =2
2
sin
2x
4
所以 f (x) 的最小正周期T= 2 = 2
（Ⅱ）解：因为
f
(x)
在区间
0，38
上是增函数，在区间
3 8
， 2
·棱柱的体积公式 V=Sh， 其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表 示棱柱的高. ·如果事件 A, B 相互独立, 那么
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(天津卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第Ⅰ卷一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则A B⋂=(A) (,2]-∞(B) [1,2] (C) [2,2] (D) [－2,1]2．设变量x, y满足约束条件360,20,30,x yyx y≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 23．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 4．已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18;②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆221 2x y+=相切.其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①②(C) ②③(D) ②③5．已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px py=>的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32(C) 2 (D) 326．在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D)7． 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 48．已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D)⎛- ⎝⎭∞ 第Ⅱ卷二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.9．已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . 10．6x ⎛- ⎝的二项展开式中的常数项为 .11．已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = .12．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 . 13．如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为.14．设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b+取得最小值. 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15． (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16．(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望. 17． (本小题满分13分) 如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD =CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点. (Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.18．(本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.19．(本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.20．(本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =. (Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.4(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.参考答案一、选择题 1．D 2．A 3．B 4．C 5．C 6．C 7．B 8．A9．12i + 10．15 11． 12．12 13．8314．2- 15．16．17．18．619．20．8。
2013年全国高中数学联赛试题及其解答
2013 年全国高中数学联题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分。
1、设集合A = 2，0，1，3 ，集合B = x| − x ∈ A，2 − x ∉ A ，则集合B中所有元素 的和为 。 解答：易知集合B = −2， − 3 ，所有集合B中所有元素的和为−5。 ⃑ · OB ⃑ = −4，F是抛 2、在平面直角坐标系xOy中，点 A、B 在抛物线y = 4x上，满足OA 物线的焦点，则S△ · S△ = 。 ⃑ · OB ⃑= 解答：根据抛物线解析式知OF = 1。设点A m ，2m ，点B n ，2n ，则OA m n + 4mn = −4 ⇒ mn = −2。于是知S△ · S△ =
| |·| |
·
|
|·|
|
= |mn| = 2。
3、在△ABC 中，已知sin A = 10 sin B sin C，cos A = 10 cos B cos C，则tan A的值 为 。 解答：根据条件知：sin A − cos A = 10(sin B sin C − cos B cos C) = −10 cos(B + C) = 10 cos A ⇒ sin A = 11 cos A ⇒ tan A = 11。 4、已知正三棱锥P − ABC底面边长为1，高为√2，则其内切球半径为 。 解答：设△ABC 外心为 O，O 在 BC、CA、AB 上的垂足分别为 D、E、F，则OD = OE = OF =
10、（本题满分 20 分） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为 + = 1（a＞b＞0），A 、A 分别为椭圆 的左、右顶点，F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于A 和A 的任意一点。
交流知识
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1. 设集合{2,0,1,3}A ，集合2{|,2}B x x A x A ．则集合B 中所有元素的和为 ．答案 5−．解 易知{2,0,1,3}B ．当2,3x 时，222,7x ，有22x A ；而当0,1x 时，222,1x ，有22x A ．因此，根据B 的定义可知{2,3}B ． 所以，集合B 中所有元素的和为5−．2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线24y x 上，满足4OA OB ，F 是抛物线的焦点. 则OFA OFB S S ．答案 2．解 点F 坐标为(1,0)．设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ，故21212121214()16OA OB x x y y y y y y ，即2121(8)016y y ，故128y y ． 21212111()2224OFA OFB S S OF y OF y OF y y =（）． 3. 在ABC 中，已知sin 10sin sin ,A B C cos 10cos cos ,A B C 则tan A 的值为 ．答案 11．解 由于sin cos 10(sin sin cos cos )10cos()10cos A A B C B C B C A ，所以sin 11cos A A ，故tan 11A ．4. 已知正三棱锥P ABC 底面边长为1，高为，则其内切球半径为 ．答案解 如图，设球心O 在面ABC 与面ABP 内的射影分别为H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则P 、K 、M 共线，P 、O 、H 共线，2PHM PKO ，且,OH OK r PO PH OH r ，MH ABPM ， 于是有1sin5OK MH KPO POPM ，解得r． 5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b 满足：对任意[0,1]x ，有()1f x . 则ab 的最大值为 ．答案14． 解 易知(1)(0),(0)a f f b f ，则2221111(0)((1)(0))(0)(1)(1)(1)2444ab f f f f f f f ． 当2(0)(1)1f f ，即12a b 时，14ab ．故ab 的最大值为14． 6. 从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 ．答案 232323．解 设12345a a a a a <<<<取自1,2，…，20，若12345,,,,a a a a a 互不相邻，则123451123416a a a a a ≤<−<−<−<−≤，由此知从1,2,,20 中取5个互不相邻的数的选法与从1,2,,16 中取5个不同的数的选法相同，即516C 种．所以，从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为5552016165520202321323C C C C C −=−=． 7. 若实数,x y满足x ，则x 的取值范围是 ． 答案 {0}[4,20] ． 解,(,0)a b a b ，此时22()x y x y a b ，且条件中等式化为2242a b a b ，从而,a b 满足方程22(2)(1)5a b (,0)a b ．如图所示，在aOb 平面内，点(,)a b 的轨迹是以(1,2)为,0a b 的部分，即点O 与弧 ACB 的02, ，从而 2204,20x a b ． 8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ，且对每个{1,2,,8}i ，均有112,1,2i i a a，则这样的数列的个数为 ． 答案 491． 解 令1(18)i i ia b i a，则对每个符合条件的数列{}n a ，有 88191111i i i i ia ab a a，且12,1,(18)2i b i ． ① 反之，由符合条件①的8项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{}n a ．记符合条件①的数列{}n b 的个数为N ．显然(18)i b i 中有偶数个12，即2k 个12；继而有2k 个2，84k 个1．当给定k 时，{}n b 的取法有22882C C k kk 种，易见k 的可能值只有0,1,2，所以224486841C C C C 12815701491N ．因此，根据对应原理，符合条件的数列{}n a 的个数为491．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12,2,3,n n S S n −≥= ，这里1n n S x x =++ ．证明：存在常数0C >，使得2,1,2,n n x C n ≥⋅=． 解 当2n ≥时，12n n S S −≥等价于11n n x x x −≥++ ． ① …………………4分对常数114C x =，用数学归纳法证明： 2,1,2,n n x C n ≥⋅= ． ②……………………8分1n =时结论显然成立．又2212x x C ≥=⋅．对3n ≥，假设2,1,2,,1kk x C k n ≥⋅=− ，则由①式知()121n n x x x x −≥+++()21122n x C C −≥+⋅++⋅()223122222n n C C −=++++=⋅ ，所以，由数学归纳法知，②式成立．…………………16分10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22221(0)x y a b a b ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11QA PA ，22QA PA ，11RF PF ，22RF PF ，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明．解 令c ，则1212(,0),(,0),(,0),(,0)A a A a F c F c ．设001122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ，其中22000221,0x y y a b．由1122,QA PA QA PA 可知111010()()0A Q A P x a x a y y，① 221010()()0A Q A P x a x a y y． ②…………………5分将①、②相减，得102()0a x x ，即10x x ，将其代入①，得220100x a y y ，故22010x a y y ，于是22000,x a Q x y ． …………………10分 根据1122,RF PF RF PF ，同理可得22000,x c R x y． …………………15分 因此2222200000x a x c b QR y y y ，由于0(0,]y b ，故QR b （其中等号成立的充分必要条件是0y b ，即点(0,)P b 为 ）． …………………20分 11. （本题满分20分）求所有的正实数对(,)a b ，使得函数2()f x ax b 满足：对任意实数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ．解 已知条件可转化为：对任意实数,x y ，有22222()(())()()ax y b a x y b ax b ay b ． ①先寻找,a b 所满足的必要条件．在①式中令0y ，得22()()b ax b ax b b ，即对任意实数x ，有2(1)(2)0b ax b b ．由于0a ，故2ax 可取到任意大的正值，因此必有10b ，即01b ． …………………5分在①式中再令y x ，得422()()ax b b ax b ，即对任意实数x ，有2422()2(2)0a a x abx b b ． ②将②的左边记为()g x ．显然20a a （否则，由0a 可知1a ，此时22()2(2)g x bx b b ，其中0b ，故()g x 可取到负值，矛盾），于是 2222222()()()(2)ab ab g x a a x b b a a a a 222()(22)11b b a a x a b a a0 对一切实数x 成立，从而必有20a a ，即01a ． …………………10分进一步，考虑到此时01b a ，再根据(22)01b g a b a，可得22a b ．至此，求得,a b 满足的必要条件如下：01b ，01a ，22a b ． ③…………………15分下面证明，对满足③的任意实数对(,)a b 以及任意实数,x y ，总有①成立，即222222(,)()(1)()2(2)h x y a a x y a b x y axy b b对任意,x y 取非负值．事实上，在③成立时，有2(1)0,0a b a a ，(22)01ba b a，再结合222x y xy ，可得2222(,)()(1)(2)2(2)h x y a a x y a b xy axy b b2222()2(2)a a x y abxy b b22()(22)11b b a a xy a b a a0 ． 综上所述，所求的正实数对(,)a b 全体为{(,)|01,01,22}a b b a a b ． …………………20分。
2013年全国高中数学联赛A卷一试真题+答案 Word版可编辑
2013年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1. 设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,.则集合B 中所有元素的和为__________.2. 在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则=⋅∆∆OFB OFA S S __________.3. 在ABC ∆中，已知C B A sin sin 10sin =，C B A cos cos 10cos =，则A tan 的值为__________.4. 已知正三棱锥ABC P -底面边长为1，高为2，则其内切球半径为 .5. 设b a ,为实数，函数()b ax x f +=满足：对任意[]1,0∈x ，有()1≤x f .则ab 的最大值为________.6. 从20,,2,1 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为__________.7. 若实数y x ,满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是__________.8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1 ∈i ，均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列个数为__________.二、解答题9. 给定正整数列{}n x 满足 ,3,2,21=≥-n S S n n ，这里n n x x x S +++= 21.证明：存在常数0>C ，使得 ,2,1,2=⋅≥n C x nn .10. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为12222=+by a x ()0>>b a ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中两个点Q 、R 满足11PA QA ⊥，22PA QA ⊥，11PF RF ⊥，22PF RF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.11. 求所有的正实数对()b a ,，使得函数()b ax x f +=2满足：对任意实数y x ,，有()()()()y f x f y x f xy f ≥++.答案：1、5- 代元素检验，2-、3-满足条件，故和为5-；2、2 记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222,4y y B ，故0416212221=++y y y y ，821-=y y ，()0,1F ，24222121==⋅=⋅∆∆y y y OF y OF S S OFB OFA ；3、11 ()10sin 10cos sin sin cos cos cos cos AA CBC B C B A +-=+-=+-=，所以A A cos 11sin =， 11cos sin tan ==AAA ； 4、62 Sr V 31=，其中r 为内切球半径，S 为表面积，根据数据可算出， 12624331=⨯⨯=V ，()32363212134322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯+=S ，故62=r ； 5、41 一次函数区间端点取最值，故⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤11b a b ，由于121222≤++⇒≤+ab b a b a ，且ab b a 222≥+，故4114≤⇒≤ab ab ，取“=”时，21==b a ； 6、323232 20个数选5个共有520C 种情况，5个数全不相邻共有516C 种情况（插空法），故至少有两个 相邻的概率为3232321520516=-C C ；7、{}[]20,40 由题意0≥≥y x ，令0≥-=y x m ，0≥=y n ，故22n m x +=，等式可化为m n n m 2422=-+，即()()52122=-+-n m ，故n m ,为圆上的点，且0≥m ，0≥n ，再根据几何意义，x 为满足等式的点()n m ,到坐标原点的距离的平方，算出∈x {}[]20,40 ；8、491 由于119892312==⨯⨯⨯a a a a a a a a ，且⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+21,1,21i i a a ，故每一个比值在选取数值时，选21-的 比值个数为偶数，结合8个比值成绩为1，可知选21-的个数与选2的个数必相同，故整体分为 3类：①全选1，1种选法；②2个21-，2个2，4个1，4202628=⨯C C 种； ③4个21-，4个2，7048=C 种；综上，共有491704201=++种选法，故由491个数列；9、证明：2≥n 时，12-≥n n S S 等价于121-+++≥n n x x x x ， 下面我们对常数141x C =用数学归纳法证明n n C x 2⋅≥； 当1=n 时，24111⨯≥x x 显然成立；2=n 时，2x 211241⨯=≥x x 也成立； 当3≥=k n 时，假设kk C x 2⋅≥成立，有121-+++≥n n x x x x 可得k k x x x x +++≥+ 211()k C C C x 222321⋅++⋅+⋅+≥ ()k C 2222322++++= 12+⋅=k C 成立，故由数学归纳法可得nn C x 2⋅≥成立.10、证明：令22b a c -=，则()0,1a A -，()0,2a A ，()0,1c F -，()0,2c F .设()00,y x P ，()11,y x Q ，()22,y x R ，其中()010220220≠=+y by a x ，由11PA QA ⊥，22PA QA ⊥可知，()()0010111=+++=⋅y y a x a x P A Q A ，()()0010122=+--=⋅y y a x a x P A Q A ，两式相减可得()0201=+x x a ，即01x x -=，反代可解得02201y a x y -=，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02200,y a x x Q ； 同理可解得⎪⎪⎭⎫⎝⎛--02200,y c x x R ，故02y b QR =，由于(]b y ,00∈，所以b QR ≥. 11、解：由题意，0>a ，0>b ，()()()()b ay b ax b y x a b xy a ++≥++++2222；①取0=x ，不等式化为()()0222≥-+-b b y ab a 恒成立，故100202≤<⇒⎩⎨⎧≥-≥-b b b ab a ； ②取x y -=，不等式化为()()0222242≥-+--b b aby yaa 恒成立，故1002<<⇒>-a a a ，此时，仍需满足()0222222222≥-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛---b b a a b a a a ab y a a 恒成立，故022222≥-+--b b a a b a ， 化简得022≤-+b a ；综上，不等式成立可推出022,10,10≤-+<<≤<b a a b ；同时，由不等式可得()()()()()()()()()22222222222bb axy y xab a xy aa bay b ax b y x a b xy a -+++-+-=++-++++，其中xy y x 222≥+，在推出条件下，可得 故(){}22,10,10,≤+≤<<<b a b a b a . ()()()()()()()()()()()02211222222222222≥---+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-++-+-≥++-++++b a a b a b xy a a b b axy xy ab a xy a a bay b ax b y x a b xy a。
2013年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷(理)含解析
P ( AB ) P ( A) P ( B ) .
·球的体积公式 V
4 3 R . 3
其中 R 表示球的半径.
h 表示棱柱的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合 A x R | x | 2 ， B x R x 1 ，则 A B （ （A） , 2 （B） 1,2 （C） 2,2 （D） 2,1
取 a 1 ， f ( x) x x x ， 因为 f ( x a ) f ( x) ，所以 ( x 1) x 1 1 x x （1） x 1 时，解得 x 0 ，矛盾； （2） 1 x 0 时，解得 x 0 ，矛盾； （3） x 0 时，解得 x 1 ，矛盾。 综上 a 1 时， A ，不符合题意，排除 C。 【解析 2】显然 a 0 且 f ( x ) 是奇函数。 当 a 0 时， f ( x ) 在 R 上单调递增，所以 f ( x a ) f ( x ) 与已知矛盾。 当 a 0 时，由 f ( x a ) f ( x) 得 x x 1 x a ( x a ) 因为 , A ，所以 x 时，不等式成立，解得 2 2 2
， AB 2 ， BC 3 ，则 sin BAC （ 4
（C）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
）
（A）
10 10
（B）
10 5
3 10 10
（D）
5 5
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试题解析
天津市武清区大良中学
杨凤国
【命题立意】本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用。 【思路分析】由余弦定理求出 AC 边后利用正弦定理求 sin BAC 。 【解析 1】选 C 由余弦定理得 AC BA BC 2 BA BC cos BAC 5 ，所以 AC
2013年普通高等学校招生全国统一考试理数天津卷word版含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切.其中真命题的序号是:(A) ①②③ (B) ①②(C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =(A) 1 (B)32 (C) 2 (D) 3 (6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =(A) 1010 (B) 105 (C) 31010 (D) 55(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) 15,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 13,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭。
2013年全国高中数学联赛(天津)赛区预赛
2013年全国高中数学联赛天津赛区预赛注意事项：1. 本试卷共三大题，全卷满分150分； 2. 用圆珠笔或钢笔作答；3. 解题书写还要超出装订线；4. 不能使用计算器.1.设函数()4221x f x x ⎛⎫=-+⎪-⎝⎭.考虑命题p ：()f x 是奇函数；命题q ：()f x 是偶函数.那么，以下结论正确的是（ ）（A ）,p q （B ）,p q ⌝ （C ）,p q ⌝ （D ）,p q ⌝⌝ 2.设,B C 是定点且都不在平面π上，动点A 在平面π上且1in 2s ABC ∠=.那么，A 点的轨迹是（ ）（A ）椭圆 （B ）抛物线 （C ）双曲线 （D ）以上皆有可能 3.在ABC ∆中，BC BA CB CA ⋅=⋅，则ABC ∆是（ ）（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）以上均不对 4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知25235S a =，453325S a =，则6543Sa 的值是（ ） （A ）125 （B ）85 （C ）45 （D ）35 5.如果曲线2sin2xy =的两条互相垂直的切线交于P 点，则P 点的坐标不可能是（ ） （A ）(),ππ （B ）()3,ππ- （C ）()5,ππ- （D ）()7,ππ- 6.如果不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(),7-∞ （B ）(],7-∞ （C ）(),5-∞ （D ）(],5-∞ 二、填空题（每小题9分，共54分.请直接将答案写在横线上.）1.若2882log log log log x x =，则4log x 的值是_____________.2.设M 是椭圆22143x y +=上的动点，又设点F 和点P 的坐标分别是()1,0和()3,1，则2MF MP -的最大值是__________.3.已知,x y R ∈，且221x y +≤，则x y xy +-的最大值是____________.4.设20131!cos 2013nn k k x π=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，则lim n n x →∞等于___________. 5.如果{}1,2,,9的某个非空子集中所有元素之和是3的倍数，则称该子集为忐忑子集.那么，忐忑子集的个数是_____________.6.在ABC ∆中，22bc b a =-，且80B A -=，则内角C 等于___________（用度数作答）.分，共60分） 1.正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点.（1）证明1//AB 平面1BDC . （2）当1AA AB取何值时，1AB 与1BC 垂直？2.在平面直角坐标系中，设,,A B C 是曲线1xy =上三个不同的点，且,,D E F 分别是,,BC CA AB 的中点.求证：DEF ∆的外接圆经过原点O .3.设,αβ为实数，n 为正整数，且04πβα≤≤≤，1n >.（1）证明2tan tan 1tan αβαβα-+≤-，并判断等号成立的条件. （2）证明22114nk n k n π=<+∑.部分试题的别解：二、填空题（每小题9分，共54分.请直接将答案写在横线上.）3.已知,x y R ∈，且221x y +≤，则x y xy +-的最大值是____________.解：易得11x -≤≤，11y -≤≤，所以012x ≤-≤，012y ≤-≤因为()()111x y xy x y +-=---，所以当10x -=或10y -=时，()()111x y ---取得最大值1，所以()max 1x y xy +-=.5. 如果{}1,2,,9的某个非空子集中所有元素之和是3的倍数，则称该子集为忐忑子集.那么，忐忑子集的个数是_____________. 解：把集合{}1,2,,9中的元素按被3除的余数分类：{}1,4,7A =，{}2,5,8B =，{}3,6,9C =.（1）C 中取0个元素，①A 中取3个元素；②B 中取3个元素；③A 中取3个元素且B 中取3个元素；④A 中取1个元素且B 中取1个元素⑤A 中取2个元素且B 中取2个元素. 共1122333311121C C C C ++++=种可能；第 11 页 共 11 页 （2）C 中取1个元素，除（1）中的5种情况外，还有一种情况A 中取0个元素且B 中取0个元素，共1322C ⨯种可能；（3）C 中取2个元素，与（2）类似，共1322C ⨯种可能；（4）C 中取3个元素，与（2）类似，共3322C ⨯种可能；综上，共72211275⨯+=种可能.6.在ABC ∆中，22bc b a =-，且80B A -=，则内角C 等于___________（用度数作答）.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (理科) word解析版
a－1＝0， a＋1＝b，
a＝1， ∴
b＝2.
∴a＋bi＝1＋2i.
10.
x－
1 x
6 的二项展开式中的常数项为________．
答案 15
解析 Tr＋1＝Cr6x6－r(－x－12)r＝(－1)rCr6x6－32r(r＝0,1，…，6)，
由题意得 6－3r＝0，∴r＝4. 2
故常数项为 T4＋1＝C46(－1)4＝C26＝6×5＝15. 2×1
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f′(b)＝22－1 b2－b22，
令
f′(b)＝0
得
b＝4.当
b∈
0，4 3
∴输出 S＝73，选 B.
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4．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的1，则其体积缩小到原来的1；
1 由 y＝log0.5x，y＝ 2 x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即 f(x)在(0,1)上有一个零点． 当 x>1 时，f(x)＝－2xlog0.5x－1＝2xlog2x－1，令 f(x)＝0 得
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