平面向量数量积的坐标表示-人教版高中数学新教材必修第二册上课用PPT1

若已知向量与的a 坐标b ，则其数量积是
唯一确定的，因此，如何用坐标表示向量的数量积就成为我们需要研究的课题.
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二、新课学习平面向量数量积的坐标表示-人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件1
探究（一）：平面向量数量积的坐标表示
思考1：设 i、j 是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若非零向量 a ＝ (x1，y1),b ＝(x2，y2)，则向量 a 与 b 用i 、j
分别如何表示？
a ＝x1i ＋y1 j，b ＝x2 i ＋y2 j.
四、逆向及综合运用
例4 （1）已知 a =（4，3），向量 b 是
垂直于 a 的单位向量，求 b .
（ 2）已 a知 1,0 b(1,2)，a且 //b，a的求坐 .
（ 3）已 a知 (3,0)b , (k,5)，a且与 b的夹3角，
4
求 k的.值
答案：（1）b (3 , 4)或b ( 3 , 4).
(2) (a ＋2b )·(a －b )；
(3) |a |2－4 a b.
(1) 2；（2）17；（3）－3.
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例 2 (1已 ) 知 a(1,2 3),b(1,1),
x1 y2 x2 y1
0
4、两向量夹角公式的坐标运算 6平.面3.向5 量平数面量向积量的数坐量标积表的示坐标-人表教示版2高-山中东数省学枣新庄教市材第必八修中第学二人册教优版秀高课中件数1学新教材必修第二册课件(共25张PPT)
设a与b的夹角为（0 180），
则cos a b
ab
设a （x1, y1),b (x2, y2),且a与b夹角为， (0 180 )则cos x1x2 y1y2 .
y
A C ( 21 ,52)( 3,3)
B(2,3)
AB A C 1( 3 )130 A(1,2)
ABAC
三角Α形 Β是 C直角三. 角形 0
x
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知识小结
1、平面向量数量积的坐标表示 a b＝x1x2＋y1y2
2、向量的模和两点间的距离公式
(1)a a a 2 或 a a a；
(1)向量的模设a (x, y),则 a 2 x2 y2,或 a x2 y2；
（2）两点间的距离公式
设A（x1, y1)、B(x2, y2 ),
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练习：以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB， B=90，求点B的坐标.
答案：B的坐标为（3，7） y B
22
A
或（7， 3）
22
O
x
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知识总结
１、理解各公式的正向及逆向运用；
２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
３、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，形成转化技能。
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思考4：设a 、b 是两个非零向量，其夹角为θ，若a ＝(x1，y1), ＝b (x2，y2)，那么cosθ如何用坐标表示？
cosab x1x2y1y2
ab x12y12 x22y22
思考5：a//b怎样判定？a/b / x1y2x2y10
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练习已知b ＝(1，1)，a b ＝3，
|a －b|＝2，求|a |.
22
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则
AB （x1 x2 )2 （y1 y2 )2
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3、两向量垂直和平行的坐标表示
（1）垂直 a b a b 0
55
55
（2）（
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2，2 2）或（
2， 2 2）；（3）k 5.
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求ab， ab， a与 b的夹.角
解： a b 1 3，a b 2 4 2 3 2(1 3)，
cos a b 1 ,0 180, 60 .
ab 2
练习已知向量a ＝(λ，－2)，b ＝ (－3，5)，若向量 a 与b 的夹角为钝角，求λ的取值范围（ . -10，6）（6，）
35 5
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例3 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
C(-2,5)
证 : 明 A B (2 1 ,3 2 ) (1 ,1 )
6.3.5平面向量数量积的坐标表示
学习目标
1.掌握平面向量数量积运算规律； 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算
规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
学习重点：
平面向量数量积及运算规律. 学习难点：
平面向量数量积的应用
一、复习引入
平面向量数量积的坐标表示-人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件1
思考4：若a ＝(x1，y1),b ＝(x2，y2)，则
a b ＝x1x2＋y1y2，这就是平面向量数量
积的坐标表示.你能用文字描述这一结论
吗？
故两个向量的数量积等于 y 它即们a对b 应x1坐x2 标y1的y2.乘积的和。B(bx2,y2)j
A(x1,y1)
a
oi x
根据平面向量数量积的坐标表
示，向量的数量积的运算可转
化为向量的坐标运算。
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探究（二）：向量的模的坐标表示平面向量数量积的坐标表示-人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件1
思考1：设向量a ＝(x，y)，利用数量积
设a （x1, y1), b (x2 , y2 ), 则
a b x1x2 y1 y2 0
（2）平行
设a （x1, y1), b (x2 , y2 ),则
a//b
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思考2：对于上述向量i 、j ，则i 2，j 2，i ·j 分别等于什么？
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1、平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示-人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件1
如图，i 是x轴上的单位向量， j 是y 轴上的单位向量，
x12 y12 x22 y22
其中
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x12 y12 0，x22 y22 0.
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的坐标表示，︱a︱等于什么？
︱a ︱ x2 y2
思考2：如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1), (x2，y2)，那么向量a 的坐标如何表示？︱a︱等于什

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高一下学期数学人教A版必修第二册6.3.5平面向量数量积的坐标表示课件

|
|
cb c || b
|
，即
ca |a|
cb |b|
，
所以 5m 8 8m 20 ，解得 m 2 . 5 25
10.已知向量 a，b 满足 a b (1,m) ， b (2,3) ，若 b (a b) ，则 m ______，向量 a，b 的夹角为_____________. 答案：8； π
探索新知
若非零向量 a (x1, y1) ， b (x2 , y2 ) ，则 a b x1x2 y1 y2 ，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
若 a (x, y) ，则 | a |2 x2 y2 ，或 | a | x2 y2 . 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 (x1, y1) ， (x2 , y2 ) ，
4 解析：由题意知， a b (a b) 2b (3, m 6) .
b (a b) ，b (a b) 0 ，即 2 (3) 3 (m 6) 0 ，解得 m 8 ，所以 a (a b) b (1,5) .
设向量 a，b 的夹角为 ( [0, π]) ，则 cos a b 2 15 2 ，
是 a 与 b 的夹角，
则
cos
|
ab a || b
|
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22 .
例 2 设 a (5, 7) ， b (6, 4) ，求 a b 及 a，b 的夹角（精确到1 ）.
解： a b 5 (6) (7) (4) 30 28 2 .
因为 | a | 52 (7)2 74 ， | b | (6)2 (4)2 52 ，
所以用计算器计算可得
cos
|
ab a || b

新教材人教版高中数学必修第二册 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示教学课件

即 cos2α＝1，所以 sin2α＝4.
5
5
又因为α∈ 0，π2 ，所以 sinα＝255，cosα＝ 55.
第十二页，共十六页。
例题讲解
(3)
由(2)知
sinα＝255，cosα＝
5 5.
又由 cosβ＝ 1100，β∈0，π2，得 sinβ＝31010，
则
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝
向量数量积的坐标表示：两个向量的数量积等
于它们对应坐标的乘积的和。
第四页，共十六页。
小组合作探究活动
（1）若两个非零向量a=(x 1, y1) ， b=(x 2, y2) 则a与b的模应如何计算？
向量的模的公式：
a
x12 y12 , b
x22 y22 .
（2）若设A(x1,y1),B(x2,y2)，则如何计算向量AB
55×
1100－25
5×31010＝－
2 2.
又 α＋β∈(0，π)，所以 α＋β＝34π.
第十三页，共十六页。
变式练习已知向量 a＝ sin α＋π6 ，3 ，b＝(1,4cosα)，α∈(0，π)． (1) 若 a⊥b，求 tanα的值； (2) 若 a∥b，求α的值．
分析
(1) a b x1x2 y1y2 0 (2) a // b x1y2 x2 y1 0
所以 2α＋π6∈π6，136π，所以 2α＋π6＝π2，即 α＝π6.
第十五页，共十六页。
本节课小结
已知两个非零向量a=(x
1、 a b (x1i y1 j ) (
1, y1) x2i
，
y2 j
b=(x2
)
, y2)

新人教A版必修二 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示课件(27张)

[学习目标] 1.理解平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角(重点、难点)． 2.会用两个向量的坐标判断它们是否具有垂直关系(重点)．
[知识提炼·梳理] 1．平面向量数量积的坐标运算若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b ⇔x1x2＋y1y2＝0．
3．三个重要公式(模、夹角) (1)向量模的公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ x12＋y21． (2)两点间的距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→B| ＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2． (3)设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 夹角为 θ，则 cos θ＝|aa|··b|b|＝ x21x＋1xy2＋21·yx1y22＋2 y22. 温馨提示引入坐标后，实现了向量的数量积运算与两向量坐标运算的转化，从而将它们联系起来．
＝9|D→F|2－|B→D|2＝4.② 由①②得|D→F|2＝58，|B→D|2＝183. 所以B→E·C→E＝(B→D＋D→E)·(C→D＋D→E) ＝(B→D＋2D→F)·(－B→D＋2D→F) ＝4D→F2－B→D2 ＝4|D→F|2－|B→D|2 ＝4×58－183＝78.
答案：78
归纳升华数量积坐标运算的方法
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2 ＝0.( ) (2)若两个非零向量的夹角 θ 满足 cos θ<0，则两向量的夹角 θ 一定是钝角．( ) (3)若 A(1，0)，B(0，－1)，则|A→B|＝ 2.( ) 解析：(1)错误．当 a＝0 或 b＝0 时，x1x2＋y1y2＝0. 此时 a∥b.

新教材人教A版6.3.5平面向量数量积的坐标表示课件(46张)

| 自学导引 |
| 课堂互动 |
| 素养达成 |
| 课后提能训练 |
数学必修第二册配人版A版
第六章平面向量及其应用
题型2 向量的垂直与夹角问题 (1)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝
()
A．－8
B．－6
C．6
D．8
(2)已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，若ka－b与a＋b的夹角为120°，则k
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数学必修第二册配人版A版
第六章平面向量及其应用
(2)因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 cos θ＜0 且 cos θ≠－1，所以 a·b ＜0 且 a 与 b 不反向．由 a·b＜0 得 1＋2λ＜0，故 λ＜－12.由 a 与 b 共线得 λ＝2，故 a 与 b 不可能反向，所以 λ 的取值范围为－∞，－12.
cos
θ＝
→→ AC·BD →→
|AC||BD|
＝1260＝45，即求得矩形两对角线所夹锐角的余弦值为45.
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数学必修第二册配人版A版
第六章平面向量及其应用
利用数量积求两向量夹角的步骤
| 自学导引 |
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(2)(方法一)因为四边形 ABCD 是正方形，所以B→D＝B→A＋B→C，B→A·B→C ＝0，因为 E 为 CD 的中点，所以D→E＝－12B→A，所以A→E＝A→D＋D→E＝B→C－ 12B→A.所以A→E·B→D＝B→C－12B→A·(B→A＋B→C)＝B→C2－21B→A2＝22－12×22＝2.

第六章6.36.3.5 平面向量数量积的坐标表示PPT课件(人教版)

必修第二册·人教数学A版
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知识点二平面向量的模与夹角的坐标表示预习教材，思考问题已知两个向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． |a|，|b|分别用坐标怎样表示？a、b 的夹角能否用坐标表示？
[提示] 由于 a2＝a·a＝(x1i＋y1j)·(x1i＋y1j)＝x21＋y21，从而|a|＝ x21＋y21 同理|b|＝ x22＋y22.将两向量夹角公式 cos θ＝|aa|·|bb|中的 a·b 以及|a|，|b|用坐标表示即可．
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1．已知向量垂直求参数问题，即由相应向量的数量积为 0 建立关于参数的方程，求解即可． 2．已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
若 a∥b⇔x1y2＝x2y1，即 x1y2－x2y1＝0；若 a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即 x1x2＋y1y2＝0.
两个命题不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
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2．设平面向量 a＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b＝(－12， 23)，且 a 与 b 不共线．求证：向量 a＋b 与 a－b 垂直．
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证明：∵a＝(cos α，sin α)，b＝(－12， 23)，
[提示] a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
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(2)能否用 a、b 的坐标表示 a·b？怎样表示？ [提示] 能，a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)．＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2 ＝x1x2＋y1y2. (3)向量垂直与数量积的关系是什么？能用坐标表示向量垂直吗？

新教材高中数学第六章平面向量及其应用：平面向量数量积的坐标表示pptx课件新人教A版必修第二册

∴ ⋅ = 1 2 + 1 2
知识点2 平面向量的模与夹角的坐标表示
1.若 = , ,则
2
2 + 2
= 2 + 2 ,或 = __________.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为 1 , 1 , 2 , 2 ,那么
2 − 1 2 + 2 − 1 2
1.平面向量数量积的坐标表示
它们对
若 = 1 , 1 , = 2 , 2 ,则 ⋅ = ____________,即两个向量的数量积等于_______
1 2 + 1 2
应坐标的乘积的和
_________________.
2.两个向量垂直的坐标表示
1 2 + 1 2 = 0
（1）求 − 2 ;
解（方法一）因为 = 1,2 , = 3, −1 ,
所以 − 2 = −5,4 ,于是 − 2 =
−5
2
+ 42 = 41 .
（方法二）因为 = 1,2 , = 3, −1 ,
所以 = 5 , = 10 , ⋅ = 1
于是 − 2 =
因为 ⊥ ,所以 3 × 4 + 4 = 0 ,所以 = −3 .
故 = 9,12 , = 4, −3
（2）若 = 2 − , = + ,求向量 , 的夹角的大小.
解 = 2 − = 6,8 − 9,12 = −3, −4 ,
= + = 3,4 + 4, −3 = 7,1
（2）求 + ⋅ 2 − ;
解 ∵ + = −1,2 + 3,2 = 2,4 ,

数学人教A版必修第二册6.3.5平面向量数量积的坐标表示课件)

③ cos
a b
a b
.
向量模长的公式
向量的夹角公式
A
二、探索新知
一、平面向量数量积的坐标表示
思考1：已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),
怎样用a与b的坐标表示a·
b?
设两个非零向量 a=(x1,y1), b=(x2,y2),则
a x1 i y1 j
b x2 i y2 j ,
a·b = 5×(-6)+(-7) ×(-4)
= -30+28
= -2
a 52 7 2 74 , b 62 42 52
2
cos
0.03
74 52
用计算器可得
92

利用计算器中的“ cos 1 ”键 , 得 92
练一练
例2. 若点A(1, 2), B(2,3), C (2,5),则ABC是什么形状？证明你的猜想.
设 OA与OB的夹角为 , 则OA OB OA OB cos cos ,
所以 cos cos cos sin sin
另一方面, 由图6.3 20(1)可知, 2k ;
由图6.3 20(2)可知, 2k , 于是 2k , k Z,
因此,ABC是直角三角形.
向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一
练一练
例2. 若点A(1, 2), B(2,3), C (2,5),则ABC是什么形状？证明你的猜想.
1), AC (3，
3), BC (4，
解: 因为 AB (1，
2),
2
2

平面向量数量积的坐标表示课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册

AE 1 AB (1, 2), 2
又OA (1, 1) (O为坐标原点), 则OC OA AC (0, 3),所以点C(0, 3)
OD OA AD (3, 9), 所以点D的坐标为(3, 9)
OE OA AE (2, 1), 所以点E的坐标为(2, 1)
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(2)由(1, 3) ( x 1, y 5), 得点B的坐标为(0, 8); (3)由(2, 5) ( x 3, y 7), 得点B的坐标为(1, 2)
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(1, 2), B(3, 1), C(5, 6), 求顶点D 的坐标.
由题意知AD
BC
,
设D(
x,
(2) EF EG,
EF·EG
1 3
b
1 2
a
1 2
a
1 3
b
1 2 1 2 19 2 1 2 b a a a 0,
9 4 94 4
EF EG, 即EF EG
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(3) E、F、G三点共线. 证明：因为EF (8, 4), EG (1, 0.5), 所以EF 8EG,因为直线EF与直线EG有公共点E, 所以E、F、G三点共线.

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示课件(1)-人教A版高中数学必修第二册

人教2019A版必修第二册第六章　平面向量及其应用6.3.5 平面向量数量积的坐标表示复习引入1. 平面向量的数量积(内积)的定义：, b a ⋅记为：. )( cos | ||| 或内积的数量积与叫做数量，我们把它们的夹角为，和已知两个非零向量b a b a b a θθ.cos |||| θb a b a =⋅即2. 两个向量的数量积的性质:.cos b a b a ⋅=θ. 2a a a a a a ⋅==⋅或⇔⊥b a 0=⋅b a我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用a b a b 和的坐标表示呢？设两个非零向量 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2),则a b 1122,a x i y jb x i y j =+=+ 112222121221121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j x y i j y y jx x y y ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+=+ 探究：已知两个非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 怎样用a 与b 的坐标表示a·b ?故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

.2121y y x x b a +=⋅ 根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。

(1)向量的模设(,),a x y →=则22222,a x y a x y =+=+ 或a 表示的有向线段的起点和终点的坐标分别为， ),(),,(2211y x y x =a ),(1212y y x x --=||a 212212)()y y x x -+-（（2）设，则),(),,(2211y x b y x a ==⇔⊥b a 02121=+y y x x例1 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断∆ABC的形状，证明你的猜想.A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x 0y .ABC ∴∆是直角三角形:(21,32)(1,1)AB =--= 证明)3,3()25,12(-=---=AC 031)3(1=⨯+-⨯=⋅∴AC AB ACAB ⊥∴思考：还有其他证明方法吗？向量的数量积是否为零,是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一设是两个非零向量，其夹角为θ，若那么cosθ如何用坐标表示？,a b1122(,),(,)a x y b x y == cos a b a b θ⋅== 121222221122x x y y x y x y +++解a ·b = 5×(-6)+(-7) ×(-4) = -30+28 = -2747522=+=a ()()5246 22=-+-=b 03.052742cos -≈⨯-=θ 92≈θ用计算器可得).1(),4,6( ),75,( o 精确到间的夹角、及求设θb a b a b a ⋅--=-=例2.例3.用向量方法证明两角差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-证明：角的终边与单位圆的交点分别为A ，B 。

人教A版高中数学必修第二册6.3.5 平面向量数量积的坐标表示课件

-32+18
2
2
42 +(-3) × (-8) +(-6)
2
=
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
数量积的坐标运算
角度1 数量积的基础坐标运算
例1已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(1)求a·(a-b);
(2)求(a+b)·(2a-b);
(3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c).
A(0,0),M(1,2),N(3,1),
于是=(1,2),=(3,1),故 ·=5.
反思感悟数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性
质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行
数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再根据已知
5+5
,解得 t=-3 或 t=1,但当 t=-3
5· 52 +10+25
<0 不合题意,舍去,故 t=1.
5· 52 +10+25
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
判断图形形状时考虑不全面致误
典例已知A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判断由此四点构成的四边形
的形状.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
利用坐标运算解决模的问题
例3已知向量a=(1,2),b=(3,-1).
(1)求|a-2b|;
(2)求与a垂直的单位向量;
(3)求与b平行的单位向量.
解:(1)(方法 1)因为 a=(1,2),b=(3,-1),所以 a-2b=(-5,4),

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