2021高中数学第六章平面向量及其线性运算6.1.4数乘向量ppt课件新人教B版必修第二册
必备知识·自主学习
导 思
1.数乘向量是如何定义的?有怎样的 运算律? 2.向量共线的条件是什么?
1.向量的数乘运算
定义 记法
模
方向
实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量
λa
λ>0 λ<0
|λa|= _|_λ__|_|_a_|_ λa方向与a的方向_相__同__ λa方向与a的方向_相__反__
【解题策略】 数乘向量的应用 (1)如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a. (2)如果存在实数λ,使得 AB AC ,则 AB AC,且AB与AC有公共点A,所以A,B,C 三点共线.
【题组训练】 1.已知线段上A,B,C三点满足 BC 2AB ,则这三点在线段上的位置关系是
()
【解析】选A.根据题意得到 BC和AB 是共线同向的,且BC=2AB.
3
3
3
答案:2∶3
4.点C在线段AB上,且 AC＝3，则AC＝____________AB，BC ___________ AB.
CB 2
【解析】因为C在线段AB上,且 AC＝3 ,
CB 2
所以
AC与AB 方向相同, BC与AB方向相反,且
AC＝3，BC＝2,所以 AC＝3 AB，BC＝ 2 AB.
成立的条件是
(
)
A.a=-b
B.a∥b
C.a=2b
D.a∥b且|a|=|b|
课堂检测·素养达标
1.下列各式中不表示向量的是 ( )
A.0·a
B.a+3b
C.|3a|
D.
1 x－y
e(x,y∈R,且x≠y)
【解析】选C.向量的数乘运算结果仍为向量,显然只有|3a|不是向量.
2.6× (－1 a) ( )
【思考】这里的条件“λ,μ为实数”能省略吗?为什么? 提示:不能,数乘向量中的λ,μ都是实数,只有λ,μ都是实数时,运算律才成立.
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)3a的方向与a的方向相同,且-2a的方向与a的方向相反. (2)4a与-4a的模相等. ( ) (3)a与-λa的方向相反.( ) (4)若a,b共线,则存在唯一的实数λ,使a=λb. ( )
AB 5 AB 5
5
5
答案: 3
2
5
5
5.在△OAB中,4OP 3OA OB，且BA PA ,则λ=________. 【解析】因为 4OP 3OA OB ,所以 3OP－3OA OB－OP，所以3AP PB. 又 BP BA－PA，所以BA 4PA ,所以λ=4. 答案:4
3
A.化简结果为2a
B.与向量a同向
C.与向量a反向
D.其长度为2
【解析】选C.
6×
(－1 a) =-2a,与向量a反向,其长度为2
3
|a|.
3.(教材二次开发:练习改编)向量- 2 AB与BA 的长度之比为________.
3
【解析】因为－2 AB 2 BA ,所以 |－2 AB ∶| | BA | =2∶3.
D.若平行四边形ABCD的对角线的交点为O,则 AO 1 (AB－AD)
2
【解析】选C.当λ<0且a≠0时,λa 与a的方向相反,故A,B不正确;若平行四边形 ABCD的对角线的交点为O,则 AO 1 (AB+AD) ,D不正确;C正确.
2
【补偿训练】
设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使
a＝b ab
【思考】数乘向量的定义中应该注意什么问题? 提示:(1)数乘向量的结果仍是一个向量.λa中的实数λ叫作向量a的系数; (2)不要忽略特殊情况:当λ=0时,λa=0.当λ≠0时,若a=0,也有λa=0; (3)实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算.
2.数乘向量的运算律 设λ,μ为实数,则λ(μa)= _(_λ__μ__)_a_; 特别地,我们有(-λ)a=-(λa)= _λ__(_-_a_)_.
关键能力·合作学习
类型一 数乘向量的定义(数学抽象)
【题组训练】
1.已知向量a与b反向,且|a|=r,|b|=R,b=λa,则λ的值等于
()
A. r
B.－ r
C. R
D.－R
R
R
r
r
2.设a是非零向量,λ是非零实数,则以下结论正确的有________.
①|-λa|≥|a|;
②a与λ2a方向相同;③|-2λa|=2|λ|·|a|.
8
2
(2)-2×
1 2
× (－3a) =3a.
【拓展延伸】 数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.当λ>0 时,沿着a的方向扩大(λ>1)或缩小 (0 1)λ倍;当λ<0时,沿着a的反方向扩大 (|λ|>1)或缩小 (| |1) |λ|倍.
【拓展训练】
③(-4+1)(a+2a)=-9a.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.因为(-5)·3a=-15a,故①正确;3(a+b)=3a+3b,故②错误;(-4+1)
(a+2a)= -3×3a=-9a,故③正确.
2.化简下列各式.
(1)4×(－1) a.
8
(2)-2× 1
2
× (－3a).
【解析】(1)4× (－1)a=- 1 a.
(2020·乌鲁木齐高一检测)点C在线段AB上,且 | AC | 2 | CB |
3
,若AB BC来自,则λ= ( )
A. 2
B.－2
C. 5
D.－5
3
3
3
3
【解题指南】根据点C在线段AB上,且 | AC | 2 | CB | ,可得C与AB的位置关系,进而
3
根据 AB BC 即可得λ的值.
【点评】本题考查了数乘向量的运算及线段关系的判断,根据题意画出各个点 的位置是关键,属于基础题.
2
③-2×AB 2BA； ④0×b=0. 【思路导引】根据数乘向量的运算律解决.
【解题策略】 λa中的实数λ叫作向量a的系数,数乘向量运算就是把数与 向量的系数相乘,作为新向量的系数. 数乘向量的运算可以与以前我们学习过的数乘单项式运算相类比.
【跟踪训练】
1.下列计算正确的个数是
()
①(-5)·3a=-15a;②3(a+b)=3a+b;
类型三 数乘向量的应用(数学运算、数学抽象) 角度1 判断向量共线
【典例】已知a=2e, b=-4e, 判断a,b 是否平行,求 | a ∶| | b | 的值;若a∥b,说出它 们是同向还是反向. 【思路导引】利用数乘向量的定义解决. 【解析】因为b=-4e=-2 (2e)=-2a , 所以a∥b,且2 | a || b | ,即 | a ∶| | b |=1∶2.向量a,b反向.
3.若两个非零向量a与(2x-1)a方向相同,则x的取值范围为________.
【解题策略】 数乘向量与原来向量是共线的,其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向
或者反方向放大或缩小. 解决数乘向量问题的关键应注意两点:方向是相同还是相反,模长放大还是缩 小.
【补偿训练】
存在两个非零向量a,b,满足b=-3a,则有 ( )
【变式探究】 本题若把条件改为“a=2e,b=3e,”其他不变,试求解.
【解析】因为b=3e=32 (2e)
3a 2
,所以a∥b,且
3 | a || b | 2
,即
| a ∶| | b |
=2∶3.向量a,b同向.
角度2 判断三点共线 【典例】已知 AB =e, BC =-3e,判断A,B,C三点是否共线,如果共线,说出点A是线 段BC的几等分点. 【思路引导】利用数乘向量的定义解决.
A.a与b方向相同
B.a与b方向相反
C.|a|=|3b|
D.|a|=|b|
【解析】选B.因为-3<0,所以a与-3a方向相反.且|-3a|=3|a|,即|b|=3|a|,故
选B.
类型二 数乘向量的运算(数学运算) 【典例】下列各式化简正确的是________. ①-3×2a=-5a; ② 1 a×3×(-2)=-3a;
()
2.点C在直线AB上,且 AC＝3AB ,则 BC 等于
()
A.－2AB
B.1 AB 3
C. 1 AB 3
D.2AB
【解析】选D.如图, AC＝3AB ,所以 BC＝2AB .
3.(教材二次开发:例题改编)已知|a|=1,|b|=3,若两向量方向相反,则向量a与 向量b的关系为b=________a. 【解析】由于|a|=1,|b|=3,则|b|=3|a|,又两向量反向,故b=-3a. 答案:-3
2.若
,则下列各式中不正确的是 ( )
P1P 4P2P
A.P1P2 3PP2
B.P1P2 3P2P
C.P2P
1 3
P1P2
3 D.P1P2 4 P1P
3.下列结论成立的是 ( )
A.λa 与a的方向相同
B.λa 与a的方向相反的充要条件是λ<0 C.与a方向相同的单位向量可表示为 a
|a|
导 思
1.数乘向量是如何定义的?有怎样的 运算律? 2.向量共线的条件是什么?
1.向量的数乘运算
定义 记法
模
方向
实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量
λa
λ>0 λ<0
|λa|= _|_λ__|_|_a_|_ λa方向与a的方向_相__同__ λa方向与a的方向_相__反__
【解题策略】 数乘向量的应用 (1)如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a. (2)如果存在实数λ,使得 AB AC ,则 AB AC,且AB与AC有公共点A,所以A,B,C 三点共线.
【题组训练】 1.已知线段上A,B,C三点满足 BC 2AB ,则这三点在线段上的位置关系是
()
【解析】选A.根据题意得到 BC和AB 是共线同向的,且BC=2AB.
3
3
3
答案:2∶3
4.点C在线段AB上,且 AC＝3，则AC＝____________AB，BC ___________ AB.
CB 2
【解析】因为C在线段AB上,且 AC＝3 ,
CB 2
所以
AC与AB 方向相同, BC与AB方向相反,且
AC＝3，BC＝2,所以 AC＝3 AB，BC＝ 2 AB.
成立的条件是
(
)
A.a=-b
B.a∥b
C.a=2b
D.a∥b且|a|=|b|
课堂检测·素养达标
1.下列各式中不表示向量的是 ( )
A.0·a
B.a+3b
C.|3a|
D.
1 x－y
e(x,y∈R,且x≠y)
【解析】选C.向量的数乘运算结果仍为向量,显然只有|3a|不是向量.
2.6× (－1 a) ( )
【思考】这里的条件“λ,μ为实数”能省略吗?为什么? 提示:不能,数乘向量中的λ,μ都是实数,只有λ,μ都是实数时,运算律才成立.
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)3a的方向与a的方向相同,且-2a的方向与a的方向相反. (2)4a与-4a的模相等. ( ) (3)a与-λa的方向相反.( ) (4)若a,b共线,则存在唯一的实数λ,使a=λb. ( )
AB 5 AB 5
5
5
答案: 3
2
5
5
5.在△OAB中,4OP 3OA OB，且BA PA ,则λ=________. 【解析】因为 4OP 3OA OB ,所以 3OP－3OA OB－OP，所以3AP PB. 又 BP BA－PA，所以BA 4PA ,所以λ=4. 答案:4
3
A.化简结果为2a
B.与向量a同向
C.与向量a反向
D.其长度为2
【解析】选C.
6×
(－1 a) =-2a,与向量a反向,其长度为2
3
|a|.
3.(教材二次开发:练习改编)向量- 2 AB与BA 的长度之比为________.
3
【解析】因为－2 AB 2 BA ,所以 |－2 AB ∶| | BA | =2∶3.
D.若平行四边形ABCD的对角线的交点为O,则 AO 1 (AB－AD)
2
【解析】选C.当λ<0且a≠0时,λa 与a的方向相反,故A,B不正确;若平行四边形 ABCD的对角线的交点为O,则 AO 1 (AB+AD) ,D不正确;C正确.
2
【补偿训练】
设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使
a＝b ab
【思考】数乘向量的定义中应该注意什么问题? 提示:(1)数乘向量的结果仍是一个向量.λa中的实数λ叫作向量a的系数; (2)不要忽略特殊情况:当λ=0时,λa=0.当λ≠0时,若a=0,也有λa=0; (3)实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算.
2.数乘向量的运算律 设λ,μ为实数,则λ(μa)= _(_λ__μ__)_a_; 特别地,我们有(-λ)a=-(λa)= _λ__(_-_a_)_.
关键能力·合作学习
类型一 数乘向量的定义(数学抽象)
【题组训练】
1.已知向量a与b反向,且|a|=r,|b|=R,b=λa,则λ的值等于
()
A. r
B.－ r
C. R
D.－R
R
R
r
r
2.设a是非零向量,λ是非零实数,则以下结论正确的有________.
①|-λa|≥|a|;
②a与λ2a方向相同;③|-2λa|=2|λ|·|a|.
8
2
(2)-2×
1 2
× (－3a) =3a.
【拓展延伸】 数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.当λ>0 时,沿着a的方向扩大(λ>1)或缩小 (0 1)λ倍;当λ<0时,沿着a的反方向扩大 (|λ|>1)或缩小 (| |1) |λ|倍.
【拓展训练】
③(-4+1)(a+2a)=-9a.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.因为(-5)·3a=-15a,故①正确;3(a+b)=3a+3b,故②错误;(-4+1)
(a+2a)= -3×3a=-9a,故③正确.
2.化简下列各式.
(1)4×(－1) a.
8
(2)-2× 1
2
× (－3a).
【解析】(1)4× (－1)a=- 1 a.
(2020·乌鲁木齐高一检测)点C在线段AB上,且 | AC | 2 | CB |
3
,若AB BC来自,则λ= ( )
A. 2
B.－2
C. 5
D.－5
3
3
3
3
【解题指南】根据点C在线段AB上,且 | AC | 2 | CB | ,可得C与AB的位置关系,进而
3
根据 AB BC 即可得λ的值.
【点评】本题考查了数乘向量的运算及线段关系的判断,根据题意画出各个点 的位置是关键,属于基础题.
2
③-2×AB 2BA； ④0×b=0. 【思路导引】根据数乘向量的运算律解决.
【解题策略】 λa中的实数λ叫作向量a的系数,数乘向量运算就是把数与 向量的系数相乘,作为新向量的系数. 数乘向量的运算可以与以前我们学习过的数乘单项式运算相类比.
【跟踪训练】
1.下列计算正确的个数是
()
①(-5)·3a=-15a;②3(a+b)=3a+b;
类型三 数乘向量的应用(数学运算、数学抽象) 角度1 判断向量共线
【典例】已知a=2e, b=-4e, 判断a,b 是否平行,求 | a ∶| | b | 的值;若a∥b,说出它 们是同向还是反向. 【思路导引】利用数乘向量的定义解决. 【解析】因为b=-4e=-2 (2e)=-2a , 所以a∥b,且2 | a || b | ,即 | a ∶| | b |=1∶2.向量a,b反向.
3.若两个非零向量a与(2x-1)a方向相同,则x的取值范围为________.
【解题策略】 数乘向量与原来向量是共线的,其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向
或者反方向放大或缩小. 解决数乘向量问题的关键应注意两点:方向是相同还是相反,模长放大还是缩 小.
【补偿训练】
存在两个非零向量a,b,满足b=-3a,则有 ( )
【变式探究】 本题若把条件改为“a=2e,b=3e,”其他不变,试求解.
【解析】因为b=3e=32 (2e)
3a 2
,所以a∥b,且
3 | a || b | 2
,即
| a ∶| | b |
=2∶3.向量a,b同向.
角度2 判断三点共线 【典例】已知 AB =e, BC =-3e,判断A,B,C三点是否共线,如果共线,说出点A是线 段BC的几等分点. 【思路引导】利用数乘向量的定义解决.
A.a与b方向相同
B.a与b方向相反
C.|a|=|3b|
D.|a|=|b|
【解析】选B.因为-3<0,所以a与-3a方向相反.且|-3a|=3|a|,即|b|=3|a|,故
选B.
类型二 数乘向量的运算(数学运算) 【典例】下列各式化简正确的是________. ①-3×2a=-5a; ② 1 a×3×(-2)=-3a;
()
2.点C在直线AB上,且 AC＝3AB ,则 BC 等于
()
A.－2AB
B.1 AB 3
C. 1 AB 3
D.2AB
【解析】选D.如图, AC＝3AB ,所以 BC＝2AB .
3.(教材二次开发:例题改编)已知|a|=1,|b|=3,若两向量方向相反,则向量a与 向量b的关系为b=________a. 【解析】由于|a|=1,|b|=3,则|b|=3|a|,又两向量反向,故b=-3a. 答案:-3
2.若
,则下列各式中不正确的是 ( )
P1P 4P2P
A.P1P2 3PP2
B.P1P2 3P2P
C.P2P
1 3
P1P2
3 D.P1P2 4 P1P
3.下列结论成立的是 ( )
A.λa 与a的方向相同
B.λa 与a的方向相反的充要条件是λ<0 C.与a方向相同的单位向量可表示为 a
|a|
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高中数学新课标人教A版必修4：平面向量的概念及线性运算 课件
.
解析：(1)原式＝―A→B ＋―B→O ＋―OM→＋―M→B ＝―A→B .
(2)原式＝―N→P ＋―PN→＝0.
答案：(1)―A→B (2)0
重点三 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，
使得 b＝λa . [提醒] 只有 a≠0 才保证实数 λ 的存在性和唯一性．
[逐点清]
5．(必修 4 第 77 页习题 A 组 3 题改编)如图，D，E，F 分别是△
ABC 各边的中点，则下列结论错误的是
()
A． ―E→F ＝―C→D
B．―A→B 与―D→E 共线
C．―B→D 与―C→D 是相反向量
D．―A→E ＝12|―A→C |
解析：选项 D 中，―A→E ＝12―A→C ，所以 D 错误．
答案：A
()
2．已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l
重点二 向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量 和的运算
交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a ＋b )＋c＝ a ＋(b ＋c)
求 a 与 b 的相 减法 反向量－b
的和的运算
a －b ＝a ＋(－b )
向量运算 定义
法则(或几何意义)
运算律
数乘
|λa|＝|λ||a|，当 λ>0 时，λa
D．平行向量一定是共线向量 解析：对于 A，根据零向量的性质，可知 A 是正确的；
对于 B，由零向量的模是 0，单位向量的模是 1，所以 B 是正确的；
对于 C，平行向量的方向相同或相反，所以 C 是不正确的；
对于 D，由平行向量的性质可知，平行向量就是共线向量，所以 D
新教材人教版高中数学B版必修第二册 6.1.4 数乘向量 6.1.5 向量的线性运算 课件(39张)
＝a－23c＋c－4b＋a＋6b＝2a＋2b＋13c＝0，
所以13c＝－2a－2b，c＝－6a－6b.]
栏目导航
向量的线性运算在平面几何中的应用
[探究问题] 1．怎样理解λa的几何意义？ [提示] λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大 或缩小为原来的|λ|倍．
栏目导航
3．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b
B．a
C．a－6b
D．a－8b
D [4(a－b)－3(a＋b)－b ＝4a－4b－3a－3b－b ＝a－8b.]
栏目导航
4．已知向量a＝2e，b＝－e，则a＝________b. －2 [a＝2e＝－2(－e)＝－2b.]
栏目导航
合作探究 提素养
栏目导航
(1)－a＋5b－2c (2)0 [(1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝2a－3a ＋3b＋2b－c－c＝－a＋5b－2c.
(2)因为(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，所以 2x－a－b＝x－a－b， 即 )向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去 括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘 积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数 看作是向量的系数．
栏目导航
数乘向量的概念
【例1】 (1)若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值
范围为________．
(2)若平面内不共线的四点O，A，B，C满足
O→B
＝ 13
O→A
＋
2 3
O→C
，
则||BA→ →CB||＝________.
栏目导航
(3)已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧)，且AB∶AC＝ 2∶3.
新人教版高中数学《平面向量的概念及线性运算》公开课PPT课件
思维升华
向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度. (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等. (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度. (5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线.
(共线向量)
0与任一向量 平行 或共线
两向量只有相等或不等，不能 相等向量 长度相等且方向相同的向量
比较大小
相反向量 长度 相等 且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算 向量运算 定义
法则(或几何意义)
运算律
求两个向量 加法
和的运算
三角形 平行四边形
(3)交换律： a＋b＝ b＋a ；
解析 ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同； ②正确.∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，
又A，B，C，D是不共线的四点， ∴四边形ABCD为平行四边形， 反之，若四边形ABCD为平行四边形， 则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，∴A→B＝D→C；
③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同， ∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c； ④不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝ |b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.( × ) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.( √ ) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( × ) (4)若向量A→B与向量C→D是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.
高中数学第六章平面向量及其应用-向量的数乘运算课件及答案
【对点练清】 1．若典例 3 中条件“―A→B ＝2e1－8e2”改为“―A→B ＝2e1＋ke2”且 A，B，D
三点共线，如何求 k 的值？
解：因为 A，B，D 三点共线，所以―A→B 与―B→D 共线．设―A→B ＝λ―B→D (λ∈R)， ∵―B→D ＝―C→D －―C→B ＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
2e2＝3e1＋6e2， ―B→D ＝―B→C ＋―C→D ＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2e1＋4e2， ―A→C ＝―A→B ＋―B→C ＝e1＋2e2－5e1＋6e2＝－4e1＋8e2. (1)―A→D ＝3(e1＋2e2)＝3―A→B ，∴―A→B 与―A→D 共线． (2)―B→C 与―B→D 不共线．(3)―C→D 与―A→C 不共线．
【对点练清】
1．设向量
a
＝3i＋2j，b
＝2i－j，求13a
－b
－a
－23b
＋(2b
－a
)．
解：原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a
＝13－1－1a ＋－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b
＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)＝－53i－5j.
2．已知 a 与 b ，且 5x＋2y ＝a ,3x－y ＝b ，求 x，y .
知识点一 向量的数乘运算 (一)教材梳理填空 1．向量的数乘运算：
定义
一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个_向__量___，这种运算叫做 向量的数乘，记作 λa
长度
|λa |＝|λ||a |
λ＝0
方 向
λ＞0
λ＝0
λa 的方向与 a 的方向_相__同___ λa ＝_0__
λa 的方向与 a 的方向_相__反___
第一节平面向量的概念及线性运算课件共105张PPT
又知B→O＝λA→B＋μA→C，
∴λ＝－23，μ＝13，∴λ－2μ＝－23－2×13＝－43，故选D.
4．[多选]如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一 点P，若A→P＝λA→B，O→C＝μO→A＋3μO→B，则( AC )
知识点二 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向 量和的运
算
交换律：a＋b＝_b_＋__a_；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋ (__b_＋__c___)
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
减法
求a与b的相反 向量－b的和的 运算
a－b＝a＋(_－__b__)
数乘
求实数λ与向量a 的积的运算
②错误：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量，即单位向量的模都为1，但 是方向不确定，所以单位向量不一定都相等．
③错误：向量本身不能比较大小，向量的模可以比较大小．正确说法：若|a|＝ 2，|b|＝1，则|a|>|b|.
④正确：因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同．又b＝c，所以b，c的长 度相等且方向相同．所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
⑤错误：若向量A→B＝C→D，则|A→B|＝|C→D|且A→B∥C→D，所以直线AB与CD平行或重 合，故A，B，C，D四点不一定能构成平行四边形．正确说法：已知A，B，C，D是 不共线的四点，若向量A→B＝C→D，则A，B，C，D四点能构成平行四边形．
⑥错误：零向量与任一向量平行，故当a∥b，b∥c时，若 b＝0，则a，c不一定
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行 四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算课件新人教B版必修第二册
6.1.4~6.1.5 数乘向量 向量的线性运算
-1-
课标阐释
思维脉络
1.了解数乘向量的概 念并理解数乘运算的
几何意义. 2.理解并掌握数乘向 量的运算律,会进行向 量的数乘运算. 3.理解并掌握两向量 共线的性质及判定方
法,并能熟练地运用这 些知识处理有关向量
共线问题. 4.会利用向量的加法、 减法与数乘进行线性
a+
-3+13
+
Байду номын сангаас7 4
b
=2
3
52a-1112b =53a-1118b.
3������-2������ = ������,① (2)
由①×3+②×2 得,x=3a+2b,
-4������ + 3������ = ������,②
代入①得 3×(3a+2b)-2y=a,
所以 x=3a+2b,y=4a+3b.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
变式训练(1)化简:23 4a-3b+13b-14(6a-7b) . (2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式3x2y=a,-4x+3y=b,求向量x,y.
解:(1)原式=23 4a-3b+13b-32a+74b
=23
4-32
一
二
三
课前篇自主预习
3.做一做:思考辨析 (1)对于任意的向量a,总有0·a=0.( ) (2)当λ>0时,|λa|=λa.( ) (3)若a≠0,λ≠0,则a与-λa的方向相反.( )
答案:(1)× (2)× (3)×
-1-
课标阐释
思维脉络
1.了解数乘向量的概 念并理解数乘运算的
几何意义. 2.理解并掌握数乘向 量的运算律,会进行向 量的数乘运算. 3.理解并掌握两向量 共线的性质及判定方
法,并能熟练地运用这 些知识处理有关向量
共线问题. 4.会利用向量的加法、 减法与数乘进行线性
a+
-3+13
+
Байду номын сангаас7 4
b
=2
3
52a-1112b =53a-1118b.
3������-2������ = ������,① (2)
由①×3+②×2 得,x=3a+2b,
-4������ + 3������ = ������,②
代入①得 3×(3a+2b)-2y=a,
所以 x=3a+2b,y=4a+3b.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
变式训练(1)化简:23 4a-3b+13b-14(6a-7b) . (2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式3x2y=a,-4x+3y=b,求向量x,y.
解:(1)原式=23 4a-3b+13b-32a+74b
=23
4-32
一
二
三
课前篇自主预习
3.做一做:思考辨析 (1)对于任意的向量a,总有0·a=0.( ) (2)当λ>0时,|λa|=λa.( ) (3)若a≠0,λ≠0,则a与-λa的方向相反.( )
答案:(1)× (2)× (3)×
高考讲平面向量及其线性运算课件理ppt
数量积的性质
数量积满足交换律和结合律，即a·b=b·a，(a·b)·c=a·(b·c)。同时任何非零向量的 长度叫做该向量的模，记作|a|。
03
平面向量的数量积
平面向量数量积的定义
定义
平面向量的数量积是两个向量对应分量乘积的和，记作a·b，其中a和b是平面向量。
物理意义
平面向量的数量积表示向量a和向量b的夹角θ的大小以及a和b的模长。
和代数意义。 • 平面向量的坐标表示：通过建立坐标系，用坐标表示向量，掌握向量坐标的运算规则和变换关系。 • 平面向量的应用：了解平面向量在物理、工程、计算机科学等领域的应用，如力的合成与分解、速度和加
速度等物理量的表示方法。 • 解题技巧：通过例题解析，掌握平面向量及其线性运算的解题技巧，包括如何利用坐标进行计算、如何解
点为终点，连接而成的向量就是这两个向量的和。
02
向量的减法
将两个向量首尾相连，以第一个向量的
03
向量的数乘
对于向量a和实数λ，λa就是将向量a的每一个分量都乘以λ，得到的结
果向量。
讲解平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理
任何平面的两个不共线的非零向量可以作 为该平面的基底，由此可以用这两个向量 线性表示该平面内的任意向量。
平面向量数量积的运算性质
结合律：(a·b)·c=a·(b·c)；
零向量性质：a·0=0；
交换律：a·b=b·a；
分配律：a·(b+c)=a·b+a·c；
向量单位性质：a·e=|a|e，其中e 为单位向量。
平面向量数量积的运算律
加法运算律
向量的加法满足平行四边形法则，即以a和 b为邻边的平行四边形的对角线向量等于 a+b。
数量积满足交换律和结合律，即a·b=b·a，(a·b)·c=a·(b·c)。同时任何非零向量的 长度叫做该向量的模，记作|a|。
03
平面向量的数量积
平面向量数量积的定义
定义
平面向量的数量积是两个向量对应分量乘积的和，记作a·b，其中a和b是平面向量。
物理意义
平面向量的数量积表示向量a和向量b的夹角θ的大小以及a和b的模长。
和代数意义。 • 平面向量的坐标表示：通过建立坐标系，用坐标表示向量，掌握向量坐标的运算规则和变换关系。 • 平面向量的应用：了解平面向量在物理、工程、计算机科学等领域的应用，如力的合成与分解、速度和加
速度等物理量的表示方法。 • 解题技巧：通过例题解析，掌握平面向量及其线性运算的解题技巧，包括如何利用坐标进行计算、如何解
点为终点，连接而成的向量就是这两个向量的和。
02
向量的减法
将两个向量首尾相连，以第一个向量的
03
向量的数乘
对于向量a和实数λ，λa就是将向量a的每一个分量都乘以λ，得到的结
果向量。
讲解平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理
任何平面的两个不共线的非零向量可以作 为该平面的基底，由此可以用这两个向量 线性表示该平面内的任意向量。
平面向量数量积的运算性质
结合律：(a·b)·c=a·(b·c)；
零向量性质：a·0=0；
交换律：a·b=b·a；
分配律：a·(b+c)=a·b+a·c；
向量单位性质：a·e=|a|e，其中e 为单位向量。
平面向量数量积的运算律
加法运算律
向量的加法满足平行四边形法则，即以a和 b为邻边的平行四边形的对角线向量等于 a+b。
高中必修高一数学PPT课件平面向量的概念及线性运算38页文档
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢
高中必修高一数学PPT课件平 面向量的概念及线性运算
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢
高中必修高一数学PPT课件平 面向量的概念及线性运算
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
高中数学第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.4数乘向量教学b高一必修第二册数学
方向相同或方向相反或其中一者为零向量．
相同或相反．
12/13/2021
共线
向量共线定理
12/13/2021
• 典型例题
12/13/2021
• 变式训练：
12/13/2021
典型例题
解 ( 1 ) 原 2 3 ： 4 a 3 式 b 1 3 b 2 3 a 7 4 b 2 3 ( 4 2 3 ) a ( 3 1 3 7 4 ) b 2 3 ( 2 5 a 1 1 b ) 5 3 2 1 a 1 1 b 8 1
12/13/2021
• 问题探究一：
可以
12/13/2021
12/13/2021
• 合作探究二（小组讨论）
12/13/2021
结合律，分配律.
12/13/2021
(1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
4. 向量共线定理
思考 如果两个向量共线，则这两个向量具有哪几种情况？
12/13/2021
6.1.4 数乘向量
12/13/2021
12/13/2021
• 【导入新课】 •
12/13/2021
向量
数量
• 【学习目标】 • 1.通过实例，了解向量数乘的概念，并理解这种 运算的几何意义. • 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数 乘运算律进行向量运算.
• 【教学重难点】 • 向量数乘的概念，向量数乘的几何意义
12/13/2021
• 变式训练：
12/13/2021
• 【评价反馈】 D
ACD
12/13/2021
• 课堂小结：
12/13/2021
• 作业：
相同或相反．
12/13/2021
共线
向量共线定理
12/13/2021
• 典型例题
12/13/2021
• 变式训练：
12/13/2021
典型例题
解 ( 1 ) 原 2 3 ： 4 a 3 式 b 1 3 b 2 3 a 7 4 b 2 3 ( 4 2 3 ) a ( 3 1 3 7 4 ) b 2 3 ( 2 5 a 1 1 b ) 5 3 2 1 a 1 1 b 8 1
12/13/2021
• 问题探究一：
可以
12/13/2021
12/13/2021
• 合作探究二（小组讨论）
12/13/2021
结合律，分配律.
12/13/2021
(1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
4. 向量共线定理
思考 如果两个向量共线，则这两个向量具有哪几种情况？
12/13/2021
6.1.4 数乘向量
12/13/2021
12/13/2021
• 【导入新课】 •
12/13/2021
向量
数量
• 【学习目标】 • 1.通过实例，了解向量数乘的概念，并理解这种 运算的几何意义. • 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数 乘运算律进行向量运算.
• 【教学重难点】 • 向量数乘的概念，向量数乘的几何意义
12/13/2021
• 变式训练：
12/13/2021
• 【评价反馈】 D
ACD
12/13/2021
• 课堂小结：
12/13/2021
• 作业：