轴对称典型地的题目(最全)
苏科版八年级上册第二章轴对称图形 线段和最值问题(有答案)
八上第二章线段和最值问题班级姓名得分一、选择题1.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A. 6B. 8C. 10D. 122.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为A. 12B. 16C. 24D. 323.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A. 7B. 72C. 9 D. 1124.如图，∠MON=90°，OB=2，点A是直线OM上的一个动点，连结AB，作∠MAB与∠ABN的角平分线AF与BF，两角平分线所在的直线交于点F，求点A在运动过程中线段BF 的最小值为（）A. 2B. 4C. √2D. √3二、填空题5.如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是14，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为____．6.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为______．7.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为______．8.如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_________cm．9.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为______．10.如图，四边形ABCD为菱形，∠C=120°，AB=4，H为边BC上的动点，连接AH，作AH的垂直平分线GF交CD于F点，则线段GF的最小值为．11.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为______．12.如图，在锐角△ABC中，AB=4√3,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为13.如图，在锐角△ABC中，AB=3√2,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．14.15.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝√6，若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC的最小值是__________．三、解答题16.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为______．17.如图，BD是ΔABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G，连接ED,DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由;(2)若∠ABC=30∘,∠C=45∘,ED=2√10，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值.18.如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC=70°，则∠NMA的度数是______度．（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．19.如图已知EF∥GH，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D交HG于点K．AC=3，DK=2，BK=4．（1）若CD=6，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM 的长；（2）若CD=13，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求2AP+PQ+QB的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，以及考查了轴对称中最短路线问题．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM +MD 的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：如图，连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC ×AD =12×4×AD =16，解得AD =8， ∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=（CM +MD ）+CD =AD +12BC =8+12×4=8+2=10． 故选C ．2.【答案】A【解析】【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，以及考查了轴对称中最短路线问题．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD ，根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM +MD 的最小值，从而得到AD 长，由等腰三角形三线合一的性质可得AD 为BC 边上的高，最后由三角形面积公式求得答案.【解答】解：连接AD ，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，△CDM 的周长为CM +DM +CD ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∵CD =2，∴AD =6，∵AB =AC ，D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ，∴△ABC 的面积为4×6÷2=12. 故选A .3.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AB 的垂直平分线可知，点B 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为BM +MD 的最小值，由此即可得出结论.【解答】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =14，解得AD =7， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=（CM +MD ）+CD =AD +12BC =7+12×4=7+2=9. 故选C .4.【答案】C【解析】【分析】作FC ⊥OB 于C ，FD ⊥OA 于D ，FE ⊥AB 于E ，由角平分线的性质得出FD =FC ，证出点F 在∠MON 的平分线上，∠BOF =45°，在点A 在运动过程中，当OF ⊥AB 时，BF 最小，△OBF 为等腰直角三角形，即可得出BF =√22OB =√2． 【解答】解：作FC ⊥OB 于C ，FD ⊥OA 于D ，FE ⊥AB 于E ，如图所示：∵∠MAB 与∠ABN 的角平分线AF 与BF 交于点F ，∴FD =FE ，FE =FC ，∴FD =FC ，∴点F 在∠MON 的平分线上，∠BOF =45°，在点A 在运动过程中，当OF ⊥AB 时，F 为垂足，BF 最小，此时，△OBF 为等腰直角三角形，BF =√22OB =√2； 故选C ．5.【答案】9【解析】【分析】本题考查垂直平分线的性质，轴对称的性质和等腰三角形的性质，得出AD 的长为CM +MD 的最小值是解题的关键，先做C 点关于EF 的对称点A ，连接AD 交EF 于M ，此时CM +MD 的值最小，求出周长即可.【解答】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =14，解得AD =7， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=（CM +MD ）+CD =AD +12BC =7+12×4=8+2=9． 故答案为9．6.【答案】8【解析】【分析】连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ，由线段垂直平分线的性质可知AM =MB ，则BM +DM =AM +DM ，故此当A 、M 、D 在一条直线上时，MB +DM 有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD 为△ABC 底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD 的长．本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．【解答】解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S ∆ABC =12BC ·AD =12×4×AD =12，解得AD =6，∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AM =BM ．∴BM +MD =MD +AM ．∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6．∴△BDM 的周长的最小值为DB +AD =2+6=8．故答案为8.7.【答案】8【解析】【分析】连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ，由线段垂直平分线的性质可知AM =MB ，则BM +DM =AM +DM ，故此当A 、M 、D 在一条直线上时，MB +DM 有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD 为△ABC 底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD 的长．本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．【解答】解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S ∆ABC =12BC ·AD =12×4×AD =12，解得AD =6，∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AM =BM ．∴BM +MD =MD +AM ．∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6．∴△BDM 的周长的最小值为DB +AD =2+6=8．8.【答案】8【解析】【分析】本题考查的是轴对称 -最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AB 的垂直平分线可知，点B 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为BM +MD 的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：如图，连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =12，解得AD =6cm ， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为BM +MD 的最小值，∴△BDM 的周长最短=（BM +MD ）+BD =AD +12BC =6+12×4=6+2=8cm ． 故答案为8．9.【答案】8【解析】【分析】连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ，由线段垂直平分线的性质可知AM =MB ，则BM +DM =AM +DM ，故此当A 、M 、D 在一条直线上时，MB +DM 有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD 为△ABC 底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD 的长．【解答】解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM .∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC ⋅AD =12×4×AD =12，解得AD =6， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AM =BM .∴BM +MD =MD +AM .∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6.∴△BDM 的周长的最小值为DB +AD =2+6=8.故答案为8.10.【答案】3【解析】【分析】这是一道考查菱形的性质以及线段垂直平分线的性质的题目，解题关键在于知道当AH ⊥BC 时，GF 最短，即可求出答案.【解答】解：连接AF 、HF ，则当AH 最短时，GF 最小，此时AH ⊥BC ，AH ⊥AB ，∵GF 为AH 的垂直平分线，∴G 为AH 中点，F 为CD 中点，∴GF =12(AD +HC )=3.故答案为3.11.【答案】8【解析】解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =12，解得AD =6， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AM =BM ．∴BM +MD =MD +AM ．∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6．∴△BDM 的周长的最小值为DB +AD =2+6=8．连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ，由线段垂直平分线的性质可知AM =MB ，则BM +DM =AM +DM ，故此当A 、M 、D 在一条直线上时，MB +DM 有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD 为△ABC 底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD 的长．本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．12.【答案】6【解析】【分析】本题考查了轴对称的应用．易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把BM +MN 进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错误．从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．【解答】解：如图，在AC 上截取AE =AN ，连接BE ，∵∠BAC 的平分线交BC 于点D ，∴∠EAM =∠NAM ，在△AME 与△AMN 中，{AE =AN∠EAM =∠NAM AM =AM，∴△AME ≌△AMN （SAS ），∴ME =MN ．∴BM +MN =BM +ME ≥BE ．∵BM +MN 有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB=4√3，∠BAC=60°，此时，在Rt△ABE中，得出BE=6，即BE取最小值为6，∴BM+MN的最小值是6．故答案为6.13.【答案】3【解析】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE．∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME与△AMN中，{AE=AN∠EAM=∠NAM AM=AM，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN．∴BM+MN=BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB=3√2，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，∴BE=3，即BE取最小值为3，∴BM+MN的最小值是3．故答案为3．从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．本题考查了轴对称的应用．易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把BM+MN进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错误．规律与趋势：构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解是初中考查的重点也是难点．14.【答案】3√22【解析】【分析】本题考查了垂线段最短的性质，角的平分线的性质，勾股定理以及直角三角形的性质．解题关键是根据角平分线的性质和垂线段最短得出CE的长是PN+PC的最小值．作CE⊥AB 于点E，则CE的长就是PN+PC的最小值，在Rt△ACE中利用勾股定理求解即可．【解答】解：作CE⊥AB于点E，交AD于P点，∵AD是∠BAC的平分线，PN⊥AC，CE⊥AB，∴PN =PE ，∴PN ＋PC =PE +PC =CE ，∴根据“垂线段最短”可知CE 的长就是PN +PC 的最小值．在Rt △ACE 中，∠BAC ＝60°，AC ＝√6， ∴AE =12AC =√62， 由勾股定理得：CE =3√22． 故答案是3√22．15.【答案】8【解析】【分析】本题主要考查三角形周长的知识，关键是知道线段垂直平分线的性质，知道等腰三角形的性质.【解答】解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =12，解得AD =6， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AM =BM ．∴BM +MD =MD +AM ．∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6．∴△BDM的周长的最小值为DB+AD=2+6=8．故答案为8.16.【答案】解：（1）四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB=ED，GB=GD，∴∠EBD=∠EDB，∵∠EBD=∠DBC，∴∠EDF=∠GBF，在△EFD和△GFB中，{∠EDF=∠GBF ∠EFD=∠GFB DF=BF，∴△EFD≌△GFB，∴ED=BG，∴BE=ED=DG=GB，∴四边形EBGD是菱形．（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2√10，∴EM=12BE=√10，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM=DN=√10，MN=DE=2√10，在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，∴∠NDC=∠NCD=45°，∴DN=NC=√10，∴MC=3√10，在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=√10．MC=3√10，∴EC=√EM2+MC2=√(√10)2+(3√10)2=10．∵HG+HC=EH+HC=EC，∴HG+HC的最小值为10．【解析】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型.（1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可；（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解决问题.17.【答案】（1）50（2）①6②14【解析】解：（1）∵AB =AC ，∴∠C =∠ABC =70°，∴∠A =40°，∵AB 的垂直平分线交AB 于点N ，∴∠ANM =90°，∴∠NMA =50°，故答案为：50；（2）①∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AM =BM ，∴△MBC 的周长=BM +CM +BC =AM +CM +BC =AC +BC ，∵AB =8，△MBC 的周长是14，∴BC =14-8=6；②当点P 与M 重合时，△PBC 周长的值最小，理由：∵PB +PB =PA +PC ，PA +PC ≥AC ，∴P 与M 重合时，PA +PC =AC ，此时PB +PC 最小，∴△PBC 周长的最小值=AC +BC =8+6=14．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM =BM ，然后求出△MBC 的周长=AC +BC ，再代入数据进行计算即可得解，②当点P 与M 重合时，△PBC 周长的值最小，于是得到结论．本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．18.【答案】解：（1）如图1中，连接AB ，作线段AB 的中垂线MN ，交AB 于N ，交EF 于M ，连接AM ，BM ．设DM =x ．在Rt △ACM 中，AM 2=AC 2+CM 2=32+（6-x ）2，在Rt △BDM 中，BM 2=DM 2+BD 2=x 2+62，∵AM =MB ，∴32+（6-x ）2=x 2+62，解得x =34，∴CM =CD -MD =6-34=214．（2）如图2中，如图，作点A 故直线GH 的对称点A ′，点B 关于直线EF 的对称点B ′，连接A ′B ′交GH 于点P ，交EF 于点Q ，作B ′H ⊥CA 交CA 的延长线于H ．则此时AP +PQ +QB 的值最小．根据对称的性质可知：PA =PA ′，QB =QB ′，∴PA +PQ +QB =PA ′+PQ +QB ′=A ′B ′，∴PA +PQ +PB 的最小值为线段A ′B ′的长，在Rt △A ′B ′H 中，∵HB ′=CD =132，HA ′=DB ′+CA ′=7+6=13，∴A ′B ′=√HA′2+B′H 2=√132+(132)2=132√5， ∴AP +PQ +QB 的最小值为132√5．【解析】（1）如图1中，连接AB ，作线段AB 的中垂线MN ，交AB 于N ，交EF 于M ，连接AM ，BM ．设DM =x ．根据MA =MB 构建方程即可解决问题；（2）如图2中，如图，作点A 故直线GH 的对称点A ′，点B 关于直线EF 的对称点B ′，连接A ′B ′交GH 于点P ，交EF 于点Q ，作B ′H ⊥CA 交CA 的延长线于H ．则此时AP +PQ +QB 的值最小．最小值为线段A ′B ′的长；本题考查轴对称-最短问题，平行线的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决问题问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
专题05 轴对称重难点题型分类(原卷版)—八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题05轴对称重难点题型分类-高分必刷题（原卷版）专题简介：本份资料包含《轴对称》这一章除各类压轴题之外的六种主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：轴对称图形、垂直平分线的性质与判定、尺规作图、最短路径问题、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定。
适合于培训机构的老师给学生作培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一轴对称图形1．（2021·湖南）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2021·辽宁）若点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a、b的值为（）A．a=3，b=－5B．a=－3，b=5C．a=3，b=5D．a=－3，b=13.如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（）A．3：55B．8：05C．3：05D．8：554．（2022·浙江）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N 的位置上，若55∠-∠的值为（）∠=︒，则21EFGA．35︒B．40︒C．45︒D．55︒题型二垂直平分线的性质与判定1.垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．2.垂直平分线的性质垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.．3.垂直平分线的判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5．（2015·湖北）如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）A．8B．9C．10D．116.（2017·湖北）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为()A．30°B．45°C．50°D．75°7．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．60°8．（2021·宁夏）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，9．（2021·北京）如图所示，AD是ABC∠=∠．连结AF，求证：BAF ACF10．（2021·山东）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．11．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．12．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线D交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM＝CN；（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数．13．（2022·广东）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．14．（2019·广东）如图，点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：（1）∠ECD =∠EDC ；（2）OC =OD ；（3）OE 是线段CD 的垂直平分线．题型三尺规作图15．（2022·辽宁）已知在ABC 中，点D 为线段BC 边上一点，则按照顺序，线段AD 分别是ABC 的（）A ．①中线，②角平分线，③高线B ．①高线，②中线，③角平分线C ．①角平分线，②高线，③中线D ．①高线，②角平分线，③中线16．（2022·山东）如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若ABC 的周长为12，5AB ，则ADC 的周长为（）A ．10B ．9C ．8D ．717．（2022·福建）如图，已知△ABC ．(1)求作BC边上高AD，交BC于点D，∠BAC的平分线AE，交BC于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．(2)若∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数．18．按要求完成下列作图，不要求写作法，只保留作图痕迹．（1）已知：线段AB，作出线段AB的垂直平分线MN．（2）已知：∠AOB，作出∠AOB的平分线OC．19．（2020·北京）如图，已知∠BAC及两点M、N．求作：点P，使得PM＝PN，且P到∠BAC两边的距离相等．题型四最短路径问题=，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，20.（青竹湖）如图，在△ABC中，AB AC则下列线段的长度等于BP EP+最小值的是（）A.BCB.CEC.ADD.AC21．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）A．40°B．100°C．140°D．50°22．（2020·北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0，0)，A(－1，2)，B(2，1)．(1)在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；(2)在x轴上画出点P，使得PA+PB的值最小．23．（北雅）阅读下列一段文字：已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2、y2），其两点间的距离P1P2＝（1）试求A、B两点的距离；（2）在x轴上找一点P（不求坐标，画出图形即可），使PA+PB的长度最短，求出PA+PB的最短长度．（3）在x轴上有一点M，在y轴上有一点N，连接A、N、M、B得四边形ANMB，若四边形ANMB的周长最短，请找到点M、N（不求坐标，画出图形即可），求出四边形ANMB的最小周长．题型五等腰三角形的性质与判定1.定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。
(常考题)人教版初中数学八年级数学上册第三单元《轴对称》测试卷(包含答案解析)(1)
一、选择题1．若a ，b 是等腰ABC 的两边长，且满足()2370a b -+-=，此三角形的周长是（ ）A ．13B ．13或17C ．17D ．202．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD =的是（ ） A ． B ．C ．D ．3．如图，已知ABC ∆中，,AB AC =点,D E 是射线AB 上的两个动点(点D 在点E 的右侧)．且,CE DE =连结CD ，若ACE x ∠=，BCD y ∠=．则y 关于x 的函数关系式是（ ）A ．()900180y x x =-<<︒B ．()101802y x x =<<︒C ．()39001802y x x =-<<︒D ．()201803y x x =<<︒ 4．如图，在ABC ∆中，90,30C B ︒︒∠=∠= ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB AC 、于点M 和N ，再分别以M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP ，并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ︒∠=；③点D 在AB 的垂直平分线上﹔④若2AD =，则点D 到AB 的距离是1，:1:2DAC ABC S S ∆∆=A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，等边ABC 的顶点(1,1)A ，(3,1)B ，规定把等边ABC “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，ABC 顶点C 的坐标为（ ）A ．(2020,13)-+B ．(2020,13)---C ．(2019,13)-+D ．(2019,13)--- 6．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法：①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠AFG ＝∠AGF ；③∠FAG ＝2∠ACF ；④BH ＝CH ．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．①③7．如图，在△ABC 纸片中，AB=9cm ，BC=5cm ，AC=7cm ，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则△ADE 的周长为是（ ）A ．9cmB ．11cmC ．12cmD ．14cm 8．下列推理中，不能判断ABC 是等边三角形的是（ ） A ．A B C ∠=∠=∠ B ．,60AB AC B =∠=︒C ．60,60A B ∠=︒∠=︒D ．AB AC =，且B C ∠=∠ 9．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（ ）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形．A ．6B ．7C ．8D ．911．如图，AC AD =，BC BD =，则有（ ）A ．AB 与CD 互相垂直平分B ．CD 垂直平分ABC ．CD 平分ACB ∠ D ．AB 垂直平分CD12．如图，在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，AB 垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点P ，交AC 于点Q ，连接BE ，BQ ，则EBQ ∠=（ ）A ．65︒B ．60︒C ．56︒D ．50︒二、填空题13．如图，已知60AOB ︒∠=，点P 在边OA 上， 10OP =，点,M N 在边OB 上， PM PN =，若3,MN =则OM 的长是__________．14．如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点1B ，与y 轴交点于D ，且111,60OB ODB =∠=︒，以1OB 为边长作等边三角形11AOB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，交直线l 于点2B ，以12A B 为边长作等边三角形212A A B ，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为边长作等边三角形323A A B ，…，按此规律进行下去，则点6A 的横坐标是______．15．如图，ABC 中，AB BC =，点D 在线段BC 上（不与点,B C 重合）． 作法如下：①连接AD ，作AD 的垂直平分线分别交直线,AB AC 于点,P Q ，连接,DP DQ ，则APQ DPQ △≌△；②过点D 作AC 的平行线交AB 于点P ，在线段AC 上截取AQ ，使AQ DP =，连接,PQ DQ ，则APQ DQP △≌△；③过点D 作AC 的平行线交AB 于点P ，过点D 作AB 的平行线交AC 于点Q ，连接PQ ，则APQ DQP △≌△；④过点D 作AB 的平行线交AC 于点Q ，在直线AB 上取一点P ，连接DP ，使DP AQ =，连接PQ ，则APQ DPQ △≌△．以上说法一定成立的是__________．（填写正确的序号）16．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则B ∠=________°．17．如图在钝角△ABC 中，已知∠BAC=135°，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，连接AD 、AE ，则∠DAE=_____18．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝62 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是_____________．19．如图，∠AOB ＝45°，OC 平分∠AOB ，点M 为OB 上一定点，P 为OC 上的一动点，N 为OB 上一动点，当PM ＋PN 最小时，则∠PMO 的度数为___________．20．如图，在等边三角形ABC 中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ．（1）ACM ∠的大小=__________（度）；（2）AMC ∠的大小=__________（度）；（3）已知4AB =，点D 为射线CM 上一点，作∠DCE=60︒，()CE CD CD AB =≠，连接DE 交射线CB 于点F ，连接BD ，BE 当以B ，D ，M 为顶点的三角形与BEF 全等时，线段CF 的长为__________．三、解答题21．如图，,A B AE BE ∠=∠=，点D 在AC 边上，12,AE ∠=∠和BD 相交于点O ． （1）求证：AEC BED ∆≅∆（2）若70BDE ︒∠=，求1∠的度数．22．如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF ．求证：（1）Rt △ABF ≌Rt △DCE ；（2）OE ＝OF ．23．如图：已知ABC 中AB AC =：（1）尺规作图：过A 点作//AE BC （不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AE 是ABC 的一个外角角平分线．24．已知ABC 是等边三角形，点D 是AC 的中点，点P 在射线BC 上，点Q 在线段AB 上，120PDQ ∠=︒．（1）如图1，若点Q 与点B 重合，求证：DB DP =；（2）如图2，若点P 在线段BC 上，8AC =，求AQ PC +的值．25．已知：90,A D AB DC ︒∠=∠==，点,E F 在直线BC 上，位置如图所示，且BE CF =．（1）求证：AF DE =；（2）若PO 平分EPF ∠，求证：PO 垂直平分线段BC ．26．（1）如图①，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE BD CE =+．（2）如图②，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC a ∠=∠=∠=，其中a 为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图③，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为BAC ∠平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF 的形状．（不需要说明理由）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据绝对值非负性的性质以及平方的非负性可知a和b的值，然后根据等腰三角形的性质分情况计算即可；【详解】∵()2-+-=，a b370∴ a=3，b=7，若腰为3时，3+3＜7，三角形不成立；若腰为7时，则周长为7+7+3=17，故选：C．【点睛】本题考查了非负性的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键；．2．D解析：D【分析】点D到点A、点B的距离相等可知点D在线段AB的垂直平分线上，据此可得答案．【详解】解：∵点D到点A、点B的距离AD=BD，∴点D在线段AB的垂直平分线上，故选择：D．【点睛】本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图．3．B解析：B【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ACB=∠ABC=x+∠BCE和∠D=∠DCE=y+∠BCE，由三角形的外角性质得出∠ABC=∠D+∠BCD ，即x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，即x=2y ，得出y 关于x 的函数关系式．【详解】解：∵AB AC =，ACE x ∠=，∴ ∠ACB=∠ABC=x+∠BCE ，∵CE DE =，BCD y ∠=∴∠D=∠DCE=y+∠BCE ，∵ ∠ABC 是△BCD 的一个外角，∴∠ABC=∠D+∠BCD ，即 x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，即x=2y ， ∴()101802y x x =<<︒， 故选：B ．【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的外角等于它不相邻的两个内角和．熟练掌握并运用各性质是解题的关键．4．B解析：B【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD 得到DA=DB ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．【详解】解：由作法得，AD 平分∠BAC ，所以①正确；∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠BAD=∠CAD=12×60°=30°， ∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，所以②正确；∵∠B=∠BAD ，∴DA=DB ，∴点D 在AB 的垂直平分线上，所以③正确；在直角△ACD 中，∠CAD=30°，∴CD=12AD ， ∴BC=CD+BD=12AD+AD=32AD ，1124DAC S AC CD AC AD ∆=⋅=⋅．∴11332224ABC S AC BC AC AD AC AD ∆=⋅=⋅=⋅， ∴13::1:344DAC ABC S S AC AD AC AD ∆∆=⋅⋅=，故④错误． 所以，正确的结论有3个故选：B ．【点睛】 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．5．D解析：D【分析】先求出点C 坐标，第一次变换，根据轴对称判断出点C 变换后在x 轴下方然后求出点C 纵坐标，再根据平移的距离求出点C 变换后的横坐标，最后写出第一次变换后点C 坐标，同理可以求出第二次变换后点C 坐标，以此类推可求出第n 次变化后点C 坐标．【详解】∵△ABC 是等边三角形AB=3-1=2∴点C 到x 轴的距离为1+21=+2 ∴C(2，1+由题意可得:第1次变换后点C 的坐标变为(2-1，1)，即(1，1-，第2次变换后点C 的坐标变为(2-21)，即(0，1+第3次变换后点C 的坐标变为(2-3，1)，即(-1，1--第n 次变换后点C 的坐标变为(2-n ，1)(n 为奇数)或(2-n ，1+为偶数)， ∴连续经过2021次变换后，等边ABC 的顶点C 的坐标为(-2019，1-， 故选：D ．【点睛】本题考查了利用轴对称变换（即翻折）和平移的特点求解点的坐标，在求解过程中找到规律是关键． 6．B解析：B【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC ＝∠CAD ，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG ＝∠ACD ，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．【详解】∵BE 是中线，∴AE＝CE，∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC＋∠BCF，∠AGF＝∠CAD＋∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．7．B解析：B【分析】根据折叠的性质得到：DE=CD，BE=BC=5cm，求出AE=4cm，根据△ADE的周长为AD+DE+AE=AC+AE代入数值计算即可得解．【详解】由折叠得：DE=CD，BE=BC=5cm，∵AB=9cm，∴AE=AB-BE=9cm-5cm=4cm，∴△ADE的周长为AD+DE+AE=AC+AE=7cm+4cm=11cm，故选：B．【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后对应边相等，正确理解折叠的性质是解题的关键．8．D解析：D【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．【详解】A 、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；B 、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；C 、由“∠A ＝60°，∠B ＝60°”可以得到“∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；D 、由“AB ＝AC ，且∠B ＝∠C”只能判定△ABC 是等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．9．C解析：C【分析】易证△ACE ≌△DCB ，可得①正确；即可求得∠AOB ＝120°，可得③错误；再证明△ACM ≌△DCN ，可得②④正确和CM ＝CN ，即可证明⑤正确；即可解题．【详解】解：∵ACD △和BCE 都是等边三角形∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCE ＝60°，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠BDC ＝∠EAC ，DB ＝AE ，①正确；∠CBD ＝∠AEC ，∵∠AOB ＝180°−∠OAB−∠DBC ，∴∠AOB ＝180°−∠AEC−∠OAB ＝120°，③错误；在△ACM 和△DCN 中，60BDC EAC DC ACACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴AM ＝DN ，④正确；∠AMC ＝∠DNC ，②正确；CM ＝CN ，∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠MCN ＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，∴△CMN 是等边三角形，⑤正确；故有①②④⑤正确．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE ≌△DCB 和△ACM ≌△DCN 是解题的关键．10．B解析：B【分析】先确定对称轴，再找到对称点进而可以找到符合题意的对称三角形即可．【详解】解：如图，左右对称的有4个，如图，上下对称的有1个，如图，关于正方形的对角线对称的有2个，∴一共有7个与原三角形关于某直线对称的格点三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，找到正确的对称轴，画出相应的对称三角形是解决本题的关键．11．D解析：D【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答．【详解】∵AC AD =，BC BD =，∴AB 垂直平分CD ，故D 正确，A 、B 错误，OC 不平分∠ACB ，故C 错误，故选：D ．【点睛】此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．12．C解析：C【分析】根据等腰ABC ，118ABC ︒∠=，得到AB=CB ，∠A=∠C=1(180)312ABC ︒︒-∠=，由DE 垂直平分AB ，求得∠ABE=31A ∠=︒，同理：31QBC C ∠=∠=︒，根据∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC 计算得出答案．【详解】在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，∴AB=CB ，∠A=∠C=1(180)312ABC ︒︒-∠=， ∵DE 垂直平分AB ，∴AE=BE ，∴∠ABE=31A ∠=︒，同理：31QBC C ∠=∠=︒，∴∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC=56︒，故选：C．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．二、填空题13．5【分析】作PH⊥MN于H如图根据等腰三角形的性质得MH=NH=MN=15在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°则根据在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=OP=解析：5【分析】作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH=NH=12MN=1.5，在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=12OP=5，然后计算OH-MH即可．【详解】作PH⊥MN于H，如图，∵PM=PN，∴MH=NH=12MN=1.5，在Rt△POH中，∵∠POH=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=12OP=12×10=5，∴OM=OH-MH=5-1.5=3.5．故答案为：3.5．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了等腰三角形的性质．14．5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A过A2作A2B⊥A1B2于B过A3作A3C⊥A2B3于C根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质分别求得A1的横坐标为A2的横坐标为A3的横坐标为进而解析：5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为1212-，，A2的横坐标为2212-，A3的横坐标为3212-，进而得到A n的横坐标为212n-，据此可得点A6的横坐标．【详解】解：如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=12OB1=12，即A1的横坐标为12=1212-，∵160ODB∠=°，∴∠OB1D=30°，∵A1B2//x轴，∴∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，∴∠A1B1B2=90°，∴A1B2=2A1B1=2，过A2作A2B⊥A1B2于B,则A1B=12A1B2=1，即A2的横坐标为12+1=2212-，过A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得,A2B3=2A2B2=4,A2C=12A2B3=2，即A3的横坐标为12+1+2=3212-，同理可得,A4的横坐标为12+1+2+4=4212-，由此可得,A n的横坐标为212n-，∴点A6的横坐标是62163==31.522-，故答案为31.5．【点睛】本题是一道找规律问题，涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键要利用等边三角形的性质总结出关于点A的系列点的规律．15．①②③【分析】根据题意画出图形再根据垂直平分线的性质平行线的性质和三角形全等的判定可以得证【详解】解：①如图∵PQ为AD的垂直平分线∴PA=PDQA=QD∴在△APQ和△DPQ中∴△APQ≌△DPQ解析：①②③【分析】根据题意画出图形，再根据垂直平分线的性质，平行线的性质和三角形全等的判定可以得证．【详解】解：①如图，∵PQ为AD的垂直平分线，∴PA=PD，QA=QD，∴在△APQ和△DPQ中，PA PDPQ PQQA QD=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△APQ≌△DPQ（SSS），①正确；②如图，∵PD ∥AC ，∴∠DPQ=∠AQP ，∴在△APQ 和△DQP 中，AQ DP AQP DPQ QP PQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APQ ≌△DQP （SAS ），②正确 ；③如图，∵PD ∥AC ，∴∠DPQ=∠AQP ，同理∠DQP=∠APQ ，∴在△APQ 和△DQP 中，DPQ AQP PQ PQDQP APQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△APQ ≌△DQP （ASA ），③正确 ；④如图，△APQ ≌△DPQ 不成立，④错误；故答案为①②③．【点睛】本题考查三角形与平行线的综合应用，熟练掌握垂直平分线的性质，平行线的性质和三角形全等的判定是解题关键．16．25【分析】设∠ADC ＝α然后根据AC ＝AD ＝DB ∠BAC ＝105°表示出∠B 和∠BAD 的度数最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数进而求得∠B 的度数即可【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ∴∠B ＝解析：25【分析】设∠ADC ＝α，然后根据AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝105°，表示出∠B 和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数，进而求得∠B 的度数即可．【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ，∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C ，设∠ADC ＝α，∴∠B ＝∠BAD ＝2α ， ∵∠BAC ＝105°，∴∠DAC ＝105°﹣2α， 在△ADC 中， ∵∠ADC +∠C +∠DAC ＝180°，∴2α+105°﹣2α＝180°， 解得：α＝50°，∴∠B ＝∠BAD ＝2α＝25°， 故答案为：25．【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．90°【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论【详解】解：连接DAEA 如图∵∠BAC=135°∴∠B+∠C=180°-135°=45°∵DF 是AB 的垂直平分线EG 是AC 的垂直平解析：90°【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．【详解】解：连接DA、EA，如图，∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=180°-135°=45°，∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，∴DA=DB，EA=EC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°，∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°．故答案为：90°．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．18．6【分析】作BH⊥AC垂足为H交AD于M′点过M′点作M′N′⊥AB垂足为N′则BM′+M′N′为所求的最小值再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′再由锐角三角函数的定义即可得出结论【详解解析：6【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=2∠BAC=45°，∴BH=AH∴222+=AH BH AB∴BH=6．∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=6．故答案为6．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．19．45°【分析】找到点M关于OC对称点M′过点M′作M′N⊥OB于点N交OC 于点P则此时PM+PN的值最小再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案【详解】解：如图找到点M关于OC对称点M′过点M解析：45°【分析】找到点M关于OC对称点M′，过点M′作M′N⊥OB于点N，交OC于点P，则此时PM+PN 的值最小，再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案．【详解】解：如图，找到点M关于OC对称点M′，过点M′作M′N⊥OB于点N，交OC于点P，则此时PM+PN 的值最小．∵PM=PM′，∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，∵点M与点M′关于OC对称，OC平分∠AOB，∴OM=OM′，∵∠AOB=45°，∴∠PM'O=∠AOB=45°，∴∠PMO=∠PM'O=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定点P及点N的位置是关键．20．2或6或【分析】（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解；（2）根据等边三角形的三线合一的性质解答；（3）根据题意分两种情况：当点D在线段CM上时当点D在线段CM的延长线上时分别画出图形利用全解析：3090 2或6或23【分析】（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解；（2）根据等边三角形的三线合一的性质解答；（3）根据题意分两种情况：当点D在线段CM上时，当点D在线段CM的延长线上时，分别画出图形，利用全等三角形的性质解答．【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60︒，∵CM平分ACB∠，∠ACB=30，∴∠ACM=12故答案为：30；∠，（2）∵△ABC是等边三角形，CM平分ACB∴CM⊥AB，∴∠AMC=90︒，故答案为：90︒；（3）∵∠DCE=60︒，CD=CE，∴△CDE是等边三角形，∴DE=CE=CD，∵∠BCM=∠ACM=30，∴∠BCE=30，∴CF平分∠DCE，∵CD=CE，∴CB垂直平分DE，①当点D在线段CM上时，当△BDM≌△BEF时，如图1，∴BF=BM=2，∴CF=CB-BF=4-2=2；当△BDM≌△EBF时，如图1，则EF=BM=2，∴CD=DE=4，,∵AB=4，CD<CM<4,∴此种情况不成立，舍去；②当点D在线段CM的延长线上时，当△BDM≌△BEF时，如图2，∴BF=BM=2，∴CF=BC+BF=4+2=6,；当△BDM≌△EBF时，如图3，则EF=BM=2，∴CE=2EF=4，∴2223CF CE EF =-=，故答案为： 2或6或23．．【点睛】此题考查等边三角形的性质，利用三线合一的性质进行证明，全等三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）40°【分析】（1）由12∠=∠得到BED AEC ∠=∠，然后根据ASA 即可证明AEC BED ∆≅∆； （2）由（1）得DE=CE ，70C BDE ∠=∠=︒，由三角形内角和即可求出1∠的度数．【详解】解：()11=2∠∠，BED AEC ∠=∠∴又,A B AE BE ∠=∠=()AEC BED ASA ∴∆≅∆；()2AEC BED ∆≅∆70,BDE C DE CE ∴∠=∠=︒=70C EDC ︒∴∠=∠=118027040︒︒︒∴∠=-⨯=；【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质进行解题．22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由于△ABF 与△DCE 是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明； （2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB ＝∠DEC ，再根据等腰三角形的性质得出结论．【详解】证明：（1）∵BE ＝CF ，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中∵BF CE AB CD=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）；（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），∴∠AFB＝∠DEC，∴OE＝OF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，掌握HL判断两个直角三角形全等，是解题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）作∠CAE=∠C即可；（2）延长BA，根据两直线平行，同位角相等，有∠EAF=∠B，由（1）可知∠CAE=∠C，再根据AB=AC，可得∠B=∠C，等量替换之后即可得证．【详解】（1）射线AE为所求；（2）证明：如图所示，延长BA，∵//AE BC，∴∠EAF=∠B，∠CAE=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠CAE，∴AE是ABC的一个外角角平分线．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和角平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键．24．（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由等边三角形的性质证明30DBC ∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解30DPB ∠=︒，从而可得结论； （2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，先证明ADE 为等边三角形，再证明QDE PDC ≌，可得QE PC =， 从而可得答案．【详解】证明：（1）∵ABC 为等边三角形，∴,60BA BC ABC =∠=︒∵D 为AC 的中点，∴DB 平分ABC ∠，∴30DBC ∠=︒． ∵120PDB ∠=︒，∴1801203030DPB ∠=︒-︒-︒=︒，∴DBC DPB ∠=∠，∴DB DP =．（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ．∵ABC 为等边三角形，8AC =，点D 是AC 的中点，∴4,60AD CD ABC ACB A ==∠=∠=∠=︒．∵//DE BC ，∴60AED B ∠=∠=︒．60ADE C ∠=∠=︒，∴ADE 为等边三角形，120EDC ∠=︒，∴4AD ED AE ===，∴ED CD 4==．∵120QDP EDC ∠=∠=︒，,QDE EDP EDP PDC ∴∠+∠=∠+∠∴QDE PDC ∠=∠．∵,60ED CD AED C =∠=∠=︒，∴QDE PDC ≌，∴EQ PC =，∴4AQ PC AQ QE AE +=+==．【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的性质与判定，三角形的全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．25．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】(1)根据已知条件证明Rt △ABF ≌Rt △DCE(HL)即可得出结论；(2)根据Rt △ABF ≌Rt △DCE 可得出∠E=∠F ，即△PEF 为等腰三角形，又因为PO 平分∠EPF ，根据三线合一可知PO 垂直平分EF ，从而得出PO 垂直平分BC ．【详解】（1）证明:∵BE=CF ，BC=CB∴BF=CE ，在Rt △ABF 与Rt △DCE 中，BF CE AB DC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABF ≌Rt △DCE(HL)，∴AF=DE ；（2）∵Rt △ABF ≌Rt △DCE ，∴∠E=∠F∴△PEF 为等腰三角形,又∵PO 平分∠EPF∴PO ⊥BC(三线合一)，EO=FO(三线合一)又∵EB=FC∴BO=CO ，∴PO 垂直平分线段BC.【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及性质、垂直平分线的判定、等腰三角形的性质，角平分线的性质，难度不大，但综合性较强，考验了学生综合分析问题的能力. 26．（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）DEF 为等边三角形【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD ，然后根据“AAS”可判断△ADB ≌△CEA ，则AE=BD ，AD=CE ，于是DE=AE+AD=BD+CE ；（2）由∠BDA=∠AEC=∠BAC ，就可以求出∠BAD=∠ACE ，进而由AAS 就可以得出△BAD ≌△ACE ，就可以得出BD=AE ，DA=CE ，即可得出结论；（3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD ≌△ACE ，就有BD=AE ，进而得出△BDF ≌△AEF ，得出DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，而得出∠DFE=60°，即可推出△DEF 为等边三角形．【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒∵90BAD ABD ∠+∠=︒，∴CAE ABD ∠=∠．在ADB △和CEA 中：CAE ABD BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADB CEA AAS ≌（）△△． ∴AE BD =，AD CE =．∴DE AE AD BD CE =+=+．（2）成立．证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α，又∵DBA ADB BAC CAE ∠+∠=∠+∠∴∠DBA=∠CAE ，在ADB △和CEA 中：DBA CAE BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADB CEA AAS ≌△△． ∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+．（3）DEF 为等边三角形．证明：∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴AB=AF=AC ，∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF,∴由（2）可知，△ADB ≌△CEA ，∴BD=AE ，∠DBA=∠CAE ，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，∴∠DBF=∠FAE ，∵在△DBF 和△EAF 中，BD AE DBF FAE BF AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△DBF ≌△EAF （SAS ），∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF 为等边三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形与等边三角形的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质并灵活运用，属于中考常考题型．。
(完整版)利用轴对称求最短距离问题
利用轴对称求最短距离问题基本题引入:如图（1），要在公路道a上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。
加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律?·B ·A·B·Aa·B·Aa·A′图1M·A′MNa 图2图3思路分析：如图2，我们可以把公路a近似看成一条直线，问题就是要在a上找一点M，使AM与BM的和最小。
设A′是A的对称点，本问题也就是要使A′M与BM的和最小。
在连接A′B的线中，线段A′B最短。
因此，线段A′B与直线a的交点C的位置即为所求。
如图3，为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N，连接AN、BN、A′N。
因为直线a是A，A′的对称轴，点M,N在a上，所以AM= A′M,AN= A′N。
∴AM+BM= A′M+BM= A′B在△A′BN中，∵A′B＜A′N+BN∴AM+BM＜AN+BN即AM+BM最小。
点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。
思路如下：②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A，显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB.由∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC.EF∥BC，1159AB＝，EF＝.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.Rt△ADF22292525中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.∴当x＝时，△PBC的周长222得AE＝BE＝最小， y值略。
数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理组织教学内容，建立科学的训练系统。
使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。
轴对称典型地的题目(最全)
轴对称典型地的题目(最全)
以下是一些常见的轴对称题目类型：
1. 求图形的轴对称中心
给定一个图形，求出它的轴对称中心。
2. 求图形的轴对称图形
给定一个图形和一个轴对称中心，求出与该图形关于轴对称中心对称的新图形。
3. 判断图形是否轴对称
给定一个图形，判断它是否轴对称。
如果是，求出其中心和对称轴；如果不是，说明原因。
4. 求轴对称图形的性质
给定一个轴对称图形，求出它的性质，如图形的面积、周长等。
5. 利用轴对称性质证明等式
已知一个等式，可以通过利用图形的轴对称性质来证明它的正确性。
6. 利用轴对称性质求解几何问题
通过利用轴对称性质，可以解决一些几何问题，如图形的分割、面积等。
7. 求轴对称图形的对称中心和对称轴
给定一个轴对称图形，求出它的轴对称中心和对称轴。
8. 判断多个图形是否轴对称
给定多个图形，判断它们是否轴对称。
如果是，求出它们的轴对称中心和对称轴；如果不是，说明原因。
9. 判断图形在两个轴对称中心的轴对称情况
给定一个图形，在两个轴对称中心的轴对称情况下，判断它是否对称。
10. 求轴对称图形的面积和周长
给定一个轴对称图形，求出它的面积和周长。
精编北师大版七年级数学下册第五章《生活中的轴对称》单元测试卷(5套试题)含答案
第五章《生活中的轴对称》单元测试卷1一、选择题1．下列说法中，不正确的是 ( )A．等腰三角形底边上的中线就是它的顶角平分线B．等腰三角形底边上的高就是底边的垂直平分线的一部分C．一条线段可看作以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形D．两个三角形能够重合，它们一定是轴对称的2．下列推理中，错误的是 ( )A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形3．在等边三角形ABC中，CD是∠ACB的平分线，过D作DE∥BC交AC于E，若△ABC的边长为a，则△ADE的周长为 ( )4A．2a B．a3C．1．5a D．a4．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是( )A．9cm B．12cmC．9cm和12cm D．在9cm与12cm之间5．观察图7—108中的汽车商标，其中是轴对称图形的个数为 ( )A.2B.3C.4D.56．对于下列命题：(1)关于某一直线成轴对称的两个三角形全等；(2)等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；(3)一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点；(4)如果两个三角形全等，那么它们关于某直线成轴对称．其中真命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．37．△ABC 中，AB ＝AC ，点D 与顶点A 在直线BC 同侧，且BD ＝AD ．则BD 与CD 的大小关系为 ( )A ．BD ＞CDB ．BD ＝CDC ．BD ＜CDD ．BD 与CD 大小关系无法确定8．下列图形中，不是轴对称图形的是 ( ) A ．互相垂直的两条直线构成的图形 B ．一条直线和直线外一点构成的图形C ．有一个内角为30°，另一个内角为120°的三角形D ．有一个内角为60°的三角形9．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，O 为不同于A 的一点，且OB ＝OC ，则直线AO 与底边BC 的关系为 ( )A ．平行B ．垂直且平分C ．斜交D ．垂直不平分10．三角形的三个顶点的外角平分线所在的直线两两相交，所围成的三角形一定是 ( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形二、填空题1．正五角星形共有_______条对称轴． 2．黑板上写着在正对着黑板的镜子里的像是__________.3．已知等腰三角形的腰长是底边长的34，一边长为11cm ，则它的周长为________. 4．(1)等腰三角形，(2)正方形，(3)正七边形，(4)平行四边形，(5)梯形，(6)菱形中，一定是轴对称图形的是_____________.5．如果一个图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够_______，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做___________.6．如图7—109，在△ACD中，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°，则∠ADB＝________.7．已知：如图7—110，△ABC中，AB＝AC，BE∥AC，∠BDE＝100°，∠BAD＝70°，则∠E ＝_____________.8．如图7—111，在Rt△ABC中，B为直角，DE是AC的垂直平分线，E在BC上，∠BAE：∠BAC＝1：5，则∠C＝_________.9．如图7—112，∠BAC＝30°，AM是∠BAC的平分线，过M作ME∥BA交AC于E，作MD⊥BA，垂足为D，ME＝10cm，则MD＝_________.10．如图7—113，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于D，AC⊥BO于C，则关于直线OE对称的三角形有________对．三、解答题1．如图7—114，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM＋MN＋NP最短．2．如图7—115，图中的图形是轴对称图形吗?如果是轴对称图形，请作出它们的对称轴．3．已知∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，求PQ之长．4．如图7—116，在△ABC中，C为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，求AB之长．5．如图7—117，在△ABC中，C为直角，AB上的高CD及中线CE恰好把∠ACB三等分，若AB＝20，求△ABC的两锐角及AD、DE、EB各为多少?6．如图7—118，AD、BE分别是等边△ABC中BC、AC上的高．M、N分别在AD、BE的延长线上，∠CBM＝∠ACN．求证：AM＝BN．7．如图7—119，点G在CA的延长线上，AF＝AG，∠ADC＝∠GEC．求证：AD平分∠BAC．8．已知：如图7—120，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足EA＝CF．求证：DE＝DF．参考答案一、1．D 2．B 3．C 4．B 5．C 6．C 7．D 8．D 9．B 10．A 二、1．5 2．3．cm 3121或cm 41214．等腰三角形，正方形，正七边形，菱形5．互相重合，对称轴 6．80° 7．50° 8．40° 9．5cm 10．4 三、1．分别以直线Ox ，Oy 为对称轴，作P 点的对应点P '和P ''，连结P P '''交Ox 于M ，交Oy 于N 则PM ＋MN ＋NP 最短.如图所示.2．略 3．2 4．45．∠A＝60°，∠B＝30°，AD ＝5cm ，DE ＝5cm ，EB ＝10cm 6．先证△ENC≌△DMB（ASA ）， ∴ DM＝EN. 再加上AD ＝BE 即可.7．∵ AF＝AG ，∴ ∠G＝∠AFG.又∵ ∠ADC＝∠GEC，∴ AD∥GE.∴ ∠G＝∠CAD. ∴ ∠AFG＝∠BAD.∴ ∠CAD＝∠BAD. ∴ AD 平分∠BAC.8．连结AD.在△ADF 和△BDE 中，可证得： BD ＝AD ，BE ＝AF ，∠B＝∠D AF. ∴ △ADF≌△BDE.∴ DE＝DF.第五章《生活中的轴对称》单元测试卷2选择题（每题5分，共30分）1、下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．等腰三角形 B.线段 C.钝角 D.直角三角形2、下列图案中，有且只有三条对称轴的是（）3、等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A.顶角B.顶角的一半C.顶角的两倍D.底角的一半4、等腰三角形两边的长分别是2cm和5cm，则这个三角形的周长是( )A.9cmB.12cmC.9cm或12cmD.在9cm和12cm之间5、下列图案中，不能用折叠剪纸方法得到的是（）6、将写有字母F的纸条正对镜面，则镜中出现的会是（）二、填空题（每题5分，共25分）1、把一张纸对折，任意剪成一个形状，把它打开后所得到的图形关于这条折痕成______图形.2、我国传统木结构房屋，窗子常用各种图案装饰，如右图所示是一种常见的图案，这个图案有______条对称轴.3、前后两辆车，从前一辆的反光镜里看到后一辆车的车牌号是则后面这辆车的实际车牌号是___________.4、等腰三角形的三个内角与顶角相邻的一个外角之和是310°，则底角度数为________.5、如图，在△ABC 中，∠BAC=110°，PM 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，则∠PAQ=_________. 三、画图题（每题5分，共10分）把下列各图补成以直线l 为对称轴的轴对称图形. 1、 2、四、解答题（第1题5分，第2、3、4题10分，共35分） 1、如图是由一个等腰三角形（AB=AC ）和一个圆（O 为圆心）所成的轴对称图形，则AO 与BC 有怎样的位置关系？试说明理由。
北师大版数学五年级上册第二单元《轴对称和平移》综合练习题(含答案)
第二单元《轴对称和平移》知识互联知识导航知识点一：轴对称再认识1. 认识轴对称图形及其对称轴判断一个图形是不是轴对称图形,关键是看沿一条直线对折后,这条直线两边的部分是否完全重合。
2.画轴对称图形的方法(1)确定关键点；(2)找出关键点的对称点；(3)顺次连接各对称点。
知识点二：平移1.图形平移的画法：(1)找出关键点；(2)按指定方向和格数平移关键点；(3)连接各点。
2. 欣赏与设计-运用轴对称或平移设计图案利用平移、轴对称设计图案时,可以只用一种方法,也可以两种都用。
平移图形时,注意方向和距离；画轴对称图形时,先找到对称点,再连线。
夯实基础一、精挑细选（共5题；每题1分,共5·分）1．(本题1分)（2021·辽宁）下面图案能通过基本图形平移得到的是（）。
A． B． C．2．(本题1分)（2021·广东惠州市·六年级期末）总共有3条对称轴的图形是（）。
A．长方形B．平行四边形C．等边三角形D．正方形3．(本题1分)（2020·辽宁沙河口区·五年级期末）下面的图形一定是轴对称图形的是（）。
A．三角形B ．四边形C ．平行四边形D．正方形4．(本题1分)（2021·广东深圳市·六年级期末）下图是小明在镜子中看见身后墙上的钟,时间最接近8时的是（）。
A．B ．C．D．5．(本题1分)（2021·辽宁六年级课时练习）小明用如下图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上,下列给出的四个图案中,符合图示胶滚涂出的图案是（）A．B． C．D．二、仔细想,认真填（共9题；每空1分,共17分）6．(本题2分)（2020·亳州市黉学英才中学五年级期末）把一个图形对折,如果折痕两边完全重合,这样的图形是（______）图形,折痕所在的直线是这个图形的（______）。
7．(本题3分)（2021·辽宁三年级期末）（1）向（________）平移了（________）个格。
(必考题)初中数学七年级数学下册第五单元《生活中的轴对称》检测(答案解析)
一、选择题1．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图①，②中的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）A ．B ．C ．D ．2．点Р在AOB ∠的角平分线上，点Р到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）A ．5PQ >B ．5PO ≥C ． 5PQ <D ．5PO ≤ 3．以下是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．下列每个网格中均有两个图形，其中一个图形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．如图，点D 在△ABC 的边BC 上，BD CD >．将△ABD 沿AD 翻折，使B 落在点E 处．且DE 与AC 交于点F ．设△AEF 的面积为1S ，△CDF 的面积为2S ，则1S 与2S 的大小关系为（ ）A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．不确定 6．如图，矩形纸片ABCD 沿着BE 折叠，使C 、D 两点分别落在C 1、D 1处，若∠ABC 1＝45°，则∠ABE 的度数为（ ）A ．22.5°B ．21.5°C ．22°D ．21°7．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，,B D 两点落在,B D ''点处，若76AOB '∠=︒，则CGO ∠的度数是( )A ．52︒B ．50︒C ．48︒D ．45︒8．在如图所示的直角坐标系中，三颗棋子A 、O 、B 的位置如图，它们的坐标分别是(-1，1)，(0，0)和(1，0)，添加棋子C ，使A 、O 、B 、C 四颗棋子成为一个轴对称图形，则C 的坐标一定不是（ ）A ．(-1，-1)B ．(1，1)C ．(-1，2)D ．(0，-1) 9．下列说法正确的是（ ）A ．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形B ．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，则它们必是全等三角形C ．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形D ．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形10．如图，将长方形纸片进行折叠，ED ，EF 为折痕，A 与A '、B 与B '、C 与C '重合，若25AED ∠=︒，则CFE ∠的度数为（ ）A．130°B．115°C．65°D．50°11．如图，点P是直线l外一个定点，点A为直线l上一个定点，点P关于直线l的对称点记为P1，将直线l绕点A顺时针旋转30°得到直线l′，此时点P2与点P关于直线l′对称，则∠P1AP2等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°12．下列图形中是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题13．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在BC、CD边上分别找到点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN＋∠ANM的度数为______．14．如图，∠AOB＝30°，C是BO上的一点，CO＝4，点P为AO上的一动点，点D为CO 上的一动点，则PC+PD的最小值为_____，当PC+PD的值取最小值时，则△OPC的面积为_____．CD=折叠纸片，使点D落在AB边上的15．如图，在矩形纸片ABCD中，5BC=，13点H处，折痕为MN，当点H在AB边上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定点M，N分别在AD，CD边上移动，则点H在AB边上可移动的最大距离为__________．16．已知，在ABC ∆中，6AB =，CD 是边AB 上的高，将ACD ∆沿CD 折叠，点A 落在直线AB 上的点A '，2A B '=，那么BD 的长是______．17．如图，四边形ABCD 中，∠A=100°，∠C=70°，将△BMN 沿MN 翻折，得到△FMN ，若MF ∥AD ，FN ∥DC ，则∠D=________.18．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝45°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，点P 、Q 分别是BD 、AB 上的动点，则AP+PQ 的最小值为______．19．如图，三角形纸片中，AB=5cm ，AC=7cm ，BC=9cm.沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点A 落在BC 边上的点E 处，折痕为BD,则△DEC 的周长是________cm.20．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________种．三、解答题21．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（﹣4，7），（﹣1，5）．（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；（2）请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（3）直接写出点B 1的坐标．22．如图，邮递员小王的家在两条公路OM 和ON 相交成的角（MON ∠）的内部A 处，小王每天都要到开往OM 方向的车上取下快件，然后再送到开往ON 方向的车上，这样他就可以回家了，为使小王每天接送快件时的行程最短，请帮助他找出在公路OM 和ON 上的等车地点．（画草图，保留作图痕迹）23．在棋盘中建立如图①所示的平面直角坐标系，二颗棋子A 、O 、B 的位置如图，它们的坐标分别为()1,1-、()0,0、()1,0.(1)如图②，添加棋子C ，使A 、O 、B 、C 为端点的四条首尾连接的线段围成的图形成为轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；(2)在其它格点位置添加一颗棋子P ，使A 、O 、B 、P 为端点的首尾连接的四条线段构成一个轴对称图形，请直接写出点P 的坐标。
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BCAE D轴对称填空选择 一、填空题1．角是轴对称图形，其对称轴是________________________． 2．点M （－2，1）关于x 轴对称点N 的坐标是_____________．3．如图，在△ABC 中，AB =AC =14cm ，边AB 的中垂线交AC 于D ，且△BCD 的周长为24cm ，则BC =__________． 4. 下列数中，成轴对称图形的有___________个5．等腰△ABC 中，AB =AC =10，∠A =30°，则腰AB 上的高等于___________．6．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个内角分别是________________． 7．一辆汽车牌在水中的倒影为， 则该车牌照号码为 ．8．仔细观察下图的图案，并按规律在横线上画出合适的图形．9.（1）等腰三角形的一个内角等于130°，则其余两个角分别为 ；（2）等腰三角形的一个内角等于70°，则其余两个角分别为 .10.如图14－112所示，△ABC 是等边三角形，∠1=∠2=∠3，则∠BEC 的度数为C=90°，DE 垂直平分AB ，交AB 于E ，交 BC 于D ，∠1=21∠2，11．如图所示，在△ABC 中，∠则∠B=12.如图14-111所示，在△ABC 中，AB=AC ，BD 是角平分线，若∠BDC=69°，则∠A 等于 13、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，若∠B=20°，则∠DAC=14、等腰三角形的周长是25 cm,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为____ _.15．点（2，5）关于直线x =1的对称点的坐标为__________．16．已知点A （x ，－4）与点B （3，y ）关于y 轴对称，那么x ＋y 的值为_______． 17.如图14－116所示，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF=_______．18.如图14－117所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，CD=3，BD=5，则点D到AB 的距离为 . 19.如图14－118所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，BE⊥AC 于E ，延长BC 到D ，使CD=CE ，连接DE ，若△ABC 的周长是24，BE=a ，则△BDE 的周长是 .20．已知：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为 ．21．如图，Rt △ABC ，∠C ＝90°,∠B ＝30°,BC ＝8，D 为AB 中点，P 为BC 上一动点，连接AP 、DP,则AP ＋DP 的最小值是22．如图,点B 、D 、F 在AN 上,C 、E 在AM 上，且AB ＝BC ＝CD ＝ED ＝EF,∠A ＝20o,则∠FEB ＝________度． 二、选择题1.等腰三角形的一边等于5，一边等于12，则它的周长为( )A.22B.29C.22或29D.172.如图14－110所示，图中不是轴对称图形的是( )3.已知点A （－2，1）与点B 关于直线x ＝1成轴对称，则点B 的坐标为（ ）A.（4，1）B.（4，－1）C.（－4，1）D.（－4，－1）4．如图所示，将一张正方形纸片经过两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（ ）．5．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．正方形 C ．等边三角形D ．长方形P2P 1PNMOBA6．已知点P （－2，1），那么点P 关于x 轴对称的点P '的坐标是（ ） A ．（－2，1） B ．（－2，－1） C ．（－1，2） D ．（2， 1）7．桌面上有A 、B 两球，若要将B 球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A 球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有（ ）个. A ． 1 B ． 2 C ．4 D ．68、.下列几何图形中，是轴对称图形且对称轴的条数大于1的有（ ）⑴ 长方形； ⑵正方形； ⑶圆； ⑷三角形； ⑸线段； ⑹射线； ⑺直线. A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个9．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ ）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图：等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是 （ ） A ．45° B ．55° C ．60° D ．75°11. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2，则 这个梯形较小 的底角是（ ）度. A ．45° B ．30° C ．60° D ．90°12．下列图形中：①角，②正方形，③梯形，④圆，⑤菱形，⑥平行四边形，其中是轴对称图形的有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个13．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（ ）A 、21：10B 、10：21C 、10：51D 、12：0114．如图所示，共有等腰三角形（ ）A 、5个B 、4个C 、3个D 、2个15．先将正方形纸片对折,折痕为MN ,再把B 点折叠在折痕MN 上,折痕为AE B MN H AH 和DH 剪下,这样剪得的三角形中 ( )A ．AD DH AH ≠=B ．AD DH AH ==C ．DH AD AH ≠= D ．AD DH AH ≠≠ 16．平面内点A (－1，2)和点B (－1，6)的对称轴是（ ）A 、x 轴B 、y 轴C 、直线y =4D 、直线x =－117. 如图，在△ABC 中，∠ACB=100°，AC=AE ，BC=BD ，则∠DCE 的度数为（ ） A ．20° B ．25° C ．30° D ．40°ED CB A 36367272︰ACDEAPAECB DABCDMHE18. 如图，ABC △中，AB AC =，30A ∠=o ，DE 垂直平分AC ， 则BCD ∠的度数为（ ） Ａ．80oＢ．75oＣ．65oＤ．45o19、如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ， 若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( )A ．10cmB ．8cmC ．6cmD ．9cm20、已知等腰三角形的两边a ，b ，满足532+-b a +(2a +3b-13)2=0，则此等腰三角形的周长为( ) A.7或8B.6或10C.6或7D.7或1021、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是 cm ．22．在下列说法中，正确的是（ ）A 、如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形B 、如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形C 、等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形D 、一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形23．若一个图形上所有点的纵坐标不变，横坐标乘以－1，则所得图形与原图形的关系为（ ）A 、关于x 轴成轴对称图形B 、关于y 轴成轴对称图形C 、关于原点成中心对称图形D 、无法确定24如图，已知线段AB 的端点B 在直线 l 上（AB 与 l 不垂直）请在直线 l 上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形，这样的点能找( )A 2个B 3个C 4个D 5个25．如图B 、C 、D 在一直线上，ΔABC 、ΔADE 是等边三角形，若CE ＝15cm ，CDAB lBP CEDCBA＝6cm ，则AC ＝_____，∠ECD ＝_____．26．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，PD= （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 27．∠AOB 的平分线上一点P 到OA 的距离 为5，Q 是OB 上任一点，则 （ ）A ．PQ ＞5B ．PQ ≥5C ．PQ ＜5D ．PQ ≤528．等腰三角形的周长为15cm ，其中一边长为3cm ．则该等腰三角形的底长为 （ ） A ．3cm 或5cm B ．3cm 或7cm C ．3cm D ．5cm29．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝ 90°，∠BAC 的CG ⊥AB 于G ，交AD 于E. 过平分线交 BC 于D. 过C 点作点作DF ⊥AB 于F.下列结论： D①∠CED ＝∠CDE ；②AEC S ∆︰AC S AEG =∆︰AG ；③∠ADF ＝2∠ECD ；④DFB CED S S ∆∆=；⑤CE ＝DF. 其中正确结论的序号是【 】A ．①③④B ．①②⑤C ．③④⑤D ．①③⑤30．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下六个结论：①AD ＝BE;②PQ ∥AE;③AP ＝BQ;④DE ＝DP; ⑤∠AOB ＝60°;⑥CO 平分∠AOE.其中不正确的有【 】个A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题1、在网格中作出关于直线m 的相应对称图 作出△PNM 关于直线n 的对称图形2、如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： （1）画出格点△ABC （顶点均在格点上）关于直线DE 对称的△A 1B 1C 1；EDA B C画出点P ，使PC PB +1最小； (2)在DE 上画出点Q ，使QC QA +最小。
（3）在DE 上3、两两相交的三条公路经过A 、B 、C 三个村庄．（1）要建一个水电站P 到三个村庄的距离相等，请通过画图确定点P 的位置．（2）要建一个加油站Q ，使加油站Q 到三条公路的距离相等，这样的加油站Q 的位置有 _________ 处．4、利用轴对称进行路线设计作图1）.如图，现在计划从河边开挖一条水渠引水到村庄A ，请你作出一条最佳路线，理由是2.） 如图，现在计划从河边开挖两条水渠，把水送到A 、B 两地，请你设计从河道哪里开始挖，才能使得挖出两条水渠到A 、B 两地距离相同．3）.如图，要挖两条水渠把水送到A 、B 两地，请你设计挖渠最短的路线（到A 点、B 点的距离和最小），在图上画出来． 5．等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP=∠ACQ ，BP=CQ ，问 △APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．EDCABHF6、.如图，已知：ABC ∆是等边三角形，分别在AC 、BC 边上取点E 、F ，使CF AE =，BE 、AF 相交于点D .求证：︒=∠60BDF .7、如图，等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。