铁木辛柯梁
基于传递函数解的铁木辛柯梁分析
一
（） ５
ｄ
ｄ
【 ・ ） ｄ ＋ Ｏ
ｄ ｒ
ｒ
ｄ ｘ
） ＋棚：０
式中 ｑ 为单位长度 内载荷在 Ｊ轴上的投影 ， 为单位长度 内载荷对横截面 中心点的力矩 。 ，
将微 分方 程 改写 成状 态空 问形 式 的方程 ：
’ ｄ （） ｄ ｏｘ ／ｘ＝Ｆ （） ｇ ｏｘ ＋ （）
截面…定垂直变形后的轴线 。铁木辛柯梁理论 的广义位移有两个 ：一是梁轴线的挠度 ｗ 和横截面 的转 （ ）
角Ｏｘ 。由于梁在变形后横截面不一定再垂直轴线 ，故转角Ｏｘ 与轴线的斜率之间并不存在如经典理论 （） （） 中的 Ｏｘ ＝ ｗｘ／ｒ （ ｄ （）ｄ 的简单关系 ） 取梁的轴线为ｘ 梁的挠 曲面为ｘ 轴， ｙ平面， 轴垂直于挠曲面。 ｚ 现研究梁 内任一点（ ， 。 Ｙｚ 它沿 Ｙ ） ， 轴的位移 ｕ ，，） ｗｘＹｚ可 由两个广义位移 ｗｘ 和 Ｏｘ 来表示 ： （ Ｙｚ （ ， ｘ ， ， ） （ ） （）
铁木辛柯梁理论
铁木辛柯梁理论
简称为“六理”的铁木辛柯梁理论是20世纪著名哲学家和历史
学家铁木辛柯、梁公开提出的一种“系统性社会理论”，旨在实施
“自由、平等、法治”的人权概念，以及在未来实现民主社会和新型
国家的建立。
铁木辛柯梁理论的一个关键思想是，一个强大的国家可以通过保
障人权来获得发展与繁荣，因此，铁木辛柯和梁提出，在未来的社会
发展中保护人权应成为国家最重要的任务。
此外，国家只有保护宪法
中规定的权利，改善人民的物质生活和持续发展，才能实现所谓的自
权安全。
此外，铁木辛柯梁理论还详细说明了每一个国家社会发展的未来
蓝图，把成长和发展过程定位到国家对民众权力的责任上。
理论的核
心就是人的自由、平等和尊严的维护，因为，只有当国民获得自由和
平等待遇时，会有社会新进展，把人类带到自由平等的社会。
另外，铁木辛柯梁理论还认为，法治的实施是社会发展不可或缺
的前提，它使国家能够有效管理国家和社会关系，并将国家的行动和
价值观以及国家标准配备于一身。
将法治作为社会进步的神经，它能
够完美融合社会所有组成部分，形成一个完整而和谐的国家机构系统。
从上述，我们可以明确看到，“铁木辛柯梁理论”作为一个“系
统性社会理论”，它提供了一种以自由、平等和法治为核心的社会理论，确保每个国家実施人权和法治的统一主体，有利于建立一个安全
而平等的社会。
铁木辛柯梁
铁木辛柯梁（Timoshenko beam）就是能考虑剪切变形的梁。
具体地说，它的位移和截面转角是独立插值的，而不是由位移的导数来求得。
就是对于梁的高度较大，铁木辛柯梁是考虑剪切的梁，欧拉梁（Euler–Bernoulli beam）是材料力学里讲的梁，忽略剪切作用。
铁木辛柯梁主要考虑剪切变形，而且位移和转角是独立的，不是通过位移导数求得。
欧拉梁基于平截面假定，弯曲是主要变形，忽略剪切变形的影响，其计算公式通过平衡微分方程得到，而非变形协调方程。
The model takes into account shear deformation and rotational inertia effects, making it suitable for describing the behavior of short beams, sandwich composite beams or beams subject to high-frequency excitation when the wavelength approaches the thickness of the beam.Example of simply support beam in Timoshenko beam theoryand the free end is at . If a point load is applied to the middle of beam in the positive direction there are some equation:Therefore, from the expressions for the bending moment and shear force, we haveIntegration of the first equation, and application of the boundarycondition at , leads toThe second equation can then be written asIntegration and application of the boundary condition at givesThe axial stress is given by。
铁木辛柯梁的边界函数
铁木辛柯梁的边界函数一直以来，铁木辛柯梁（TikhonovLyapunov）边界函数在系统动力学领域中被广泛应用，用来评估动力学系统可能的稳定性和不稳定性，以及可能的失控行为。
它是一种实用性强的可应用于确定系统性能限制的分析方法，最近也应用于控制设计、针对重要分析任务的鲁棒控制任务、航空航天系统诊断和故障排除等领域。
本文首先简要介绍了铁木辛柯梁边界函数，然后讨论了它在理论和实践方面的应用，以及应用它来评估动力学系统可能的稳定性;最后，综述了该边界函数对系统的性能约束和失控行为的影响。
简而言之，铁木辛柯梁边界函数是一种可以评估动力学系统稳定性的分析工具。
它通过计算系统内部变量来识别可能存在的振荡和不稳定性，从而为控制系统提供稳定性限制。
具体来说，铁木辛柯梁边界函数是一个系统动力学概念，可以应用于估计被称为“静止点”或“失控点”的某些类型的稳定性，也就是某种特定的状态，其输入和输出值不会改变。
实际上，该边界函数可以被认为是一种显示系统的边界，可以用来预测系统结构是否会失控。
铁木辛柯梁边界函数也可以用于确定动力学系统的性能限制，考虑到系统动力学的复杂性，许多系统需要在有限的时间内执行一个任务。
在此情况下，该边界函数可以用来确定系统在完成某个任务所需的最小延迟时间、最大延迟时间、最小输出振幅和最小反应时间等几个性能限制，从而提高系统性能。
在系统诊断和故障排除方面，铁木辛柯梁边界函数可以用来检测系统中的轻微故障，进而改善系统的容错性和可靠性。
例如，铁木辛柯梁边界函数可以在系统中发现偏移和延迟，并帮助检测器更好地识别故障，从而对系统进行有效的诊断和故障排除。
最后，铁木辛柯梁边界函数可以用于评估不同系统的运行行为，包括执行时间、稳定性、可靠性和可控性。
结合动力学系统的稳定性和不稳定性，这种边界函数可以帮助设计者识别系统中可能出现的失控行为，从而对其进行改进和改善。
总之，铁木辛柯梁边界函数是一种实用性强的分析工具，可用于评估动力学系统的可能稳定性和不稳定性，并通过系统内部参数检测稳定性限制，有助于系统故障诊断和故障排除以及系统性能评估。
铁木辛柯梁
运动平衡 平衡 本构模型
Material Laws Strains Kinematic equations Displacements Stresses Equilibrium Forces
1.2 Kinematic equations
Remember the equations for EulerBernoulli beams……
4.1 Solving problem
The process
Formulation FEM
Implementation Discretisation
Methods on implementation Methods on discretisation
4.2 High Order functions
Displacement
= 0 when parameter reaches
infinity
Locking
3.1 Locking behaviour exhibits slow converging rate
Converging behaviour of FE solution
1.2 1 Relative displacemen 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 Number of elements Euler Bernoulli (Analytical) Timoshenko (FE approximation) 20 25 30
Material Laws
M = EIκ Q = αGAγ
1.6 Boundary conditions
Displacement / Essential / Dirichlet
铁木辛柯梁四阶偏微分方程有限差分解
铁木辛柯梁四阶偏微分方程有限差分解全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：铁木辛柯梁四阶偏微分方程有限差分解铁木辛柯梁四阶偏微分方程是一种常见的工程数学问题，其求解方法之一是利用有限差分法进行数值模拟。
本文将介绍铁木辛柯梁四阶偏微分方程的定义和性质，以及如何利用有限差分法对其进行数值解析。
铁木辛柯梁四阶偏微分方程是描述弹性梁振动问题的一类方程，在工程力学和结构分析中有广泛的应用。
其一般形式可以表示为：\frac{\partial^4 u}{\partial x^4} = f(x)u是梁的位移函数，x是空间变量，f(x)是外力项。
铁木辛柯梁四阶偏微分方程的解代表了梁在给定外力作用下的变形情况。
1. 线性性质：方程是线性的，即其解满足叠加原理，可以分解为若干个简单形式的解的线性组合。
2. 边界条件：通常需要给定边界条件才能获得唯一解，例如位移和受力边界条件。
3. 初值条件：梁振动问题通常需要给定初值条件，如初始位移和速度，才能解得全体解。
4. 解的存在性和唯一性：在适当的边界条件和初始条件下，铁木辛柯梁四阶偏微分方程存在唯一解。
有限差分法是一种常用的数值计算方法，用来近似求解微分方程。
通过在区域内采用离散的网格点，将微分方程的微分算子用有限差分算子替代，从而将微分方程转化为代数方程组，再通过数值求解方法得到近似解。
对于铁木辛柯梁四阶偏微分方程，可以将其进行空间离散化，假设空间区域用n个网格点离散化为\Delta x的格点间隔，即x_i=i\Delta x，i=0,1,...,n。
然后利用中心差分法对微分算子进行离散化，即：\frac{\partial^4 u}{\partial x^4} \approx \frac{u_{i-2} - 4u_{i-1} + 6u_i - 4u_{i+1} + u_{i+2}}{\Delta x^4}将原方程代入离散化的微分算子，得到差分方程：通过整理可得：根据给定的边界条件和初始条件，可以通过迭代计算在网格点处的位移值u_i，从而得到铁木辛柯梁四阶偏微分方程的数值解。
贝努利-欧拉梁与铁木辛柯梁的对比研究
贝努利-欧拉梁与铁木辛柯梁的对比研究摘要：本文介绍了贝努里-欧拉（Bernoulli-Euler）梁和铁木辛柯（Timoshenko）梁理论，讨论了它们的基本假设，运用Mathematica软件推导了两者的运动方程，分析了贝努里-欧拉梁和铁木辛柯梁的不同之处，并通过一个简单的算例，运用ANSYS有限元分析软件计算了细长梁和短梁分别用贝努里-欧拉梁理论和铁木辛柯梁理论时的挠度，对两者的不同之处进行对比与分析。
关键词：贝努里-欧拉梁；铁木辛柯梁；Mathematica；ANSYSComparative Study on Theories of Bernoulli-Euler beamand Timoshenko beamAbstract: This article firstly introduces the theories of Bernoulli-Euler beam and Timoshenko beam, and their basic assumptions. Then motion equation of the two beams is derived by the software of Mathematica. Last analyzing the difference between Bernoulli-Euler beam and Timoshenko beam by an example which calculates the deflection of the slender beam and short beam with the theories of Bernoulli-Euler beam and the Timoshenko beam by the finite element analysis software of ANSYS, the difference between the two beams is also compared and analyzed.Key words：Bernoulli-Euler beam; Timoshenko beam; Mathematica; ANSYS1引言现今应用中的梁理论主要有：（1）精确的弹性方程；（2）Bernoulli-Euler-梁理论；（3）Timoshenko 梁理论。
铁木辛柯梁
§1.1 铁木辛柯的学术作品
• 铁木辛柯是一位力学教育家，他主讲过很多重要 的力学课程，还培养了许多研究生。 • 他把很多精力用于编写书籍，计编写了《材料力 学》、《高等材料力学》、《结构力学》、《工 程力学》、《高等动力学》、《弹性力学》、 《弹性稳定性理论》、《工程中的振动问题》、 《弹性系统的稳定性》、《高等动力学》、《板 壳理论》和《材料力学史》等二十种书。计有等 20多部。这些教材影响很大，被翻译为世界各国 的多种文字出版，其中大部分有中文译本，有些 书至今仍被教学采用。此外他还写了《俄国工程 教育》和《自我回忆》两书
§1.1 铁木辛柯的学术研究
• 铁木辛柯在应用力学方面著述甚多。1904年他发 表第一篇论文《各种强度理论》，次年发表《轴 的共振现象》，首次考虑到质量分布的影响，并 把瑞利方法应用于结构工程问题。 • 1905年，他得出开口剖面薄壁杆扭转问题中扭矩T 和转角嗞的关系。1906年,他解决了用板的挠度微 分方程去求板受压的临界值问题。以后又发表了 关于弹性体稳定性问题的论文多篇，对船舶制造 和飞机设计有指导意义。
§3.3 铁木辛柯梁和欧拉梁假设的区别
• 欧拉－伯努利梁理论有两个假设：（1）变形前垂 直梁中心线的平剖面，变形后仍然为平面（刚性 横截面假定）；（2）变形后横截面的平面仍与变 形后的轴线相垂直。 • 铁木辛克梁理论有两个假设：（1）变形前垂直梁 中心线的平剖面，变形后仍然为平面（刚性横截 面假定）；（2）由于欧拉－伯努利梁的第二个假 设忽略了梁的剪切变形，对于有效长度较短或复 合材料梁板桥时，忽略剪切变形是不妥的，铁木 辛克提出让梁的应力应变关系得到满足。 • 可以看出，主要区别在于第二个假设。
§3.2 Timoshenko梁理论
• 将横向剪切变形加入Euler-Bernoulli梁模型就得 出Timoshenko梁理论。 • 在此理论中，为了简化运动方程的导数，剪应变 在一个给定横截面上是常值。接着引入剪切校正 因子来解释这种简化，其值取决于横截面的形状。 在横向剪切的存在下，横截面的旋转就由挠曲和 横向（平面外）剪变形引起。
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铁木辛柯梁就是20世纪早期由美籍俄裔科学家与工程师斯蒂芬·铁木辛柯提出并发展得力学模型。
[1]［２]模型考虑了剪应力与转动惯性,使其适于描述短梁、层合梁以及波长接近厚度得高频激励时梁得表现。
结果方程有4阶,但不同于一般得梁理论,如欧拉-伯努利梁理论,还有一个2阶空间导数呈现。
实际上,考虑了附加得变形机理有效地降低了梁得刚度,结果在一稳态载荷下挠度更大,在一组给定得边界条件时预估固有频率更低。
后者在高频即波长更短时效果更明显,反向剪力距离缩短时也有同样效果。
铁木辛柯梁(蓝)得变形与欧拉-伯努利梁(红)得对比
如果梁材料得剪切模量接近无穷,即此时梁为剪切刚体,并且忽略转动惯性,则铁木辛柯梁理论趋同于一般梁理论、
准静态铁木辛柯梁
铁木辛柯梁得变形、不等于。
在静力学中铁木辛柯梁理论没有轴向影响,假定梁得位移服从于
式中就是梁上一点得坐标,就是位移矢量得三维坐标分量,就是对于梁得中性面得法向转角,就是中性面得在方向得位移。
控制方程就是以下常微分方程得解耦系统:
静态条件下得铁木辛柯梁理论等同于欧拉-伯努利梁理论,即当
可忽略上面控制方程得最后一项,得到有效得近似,式中就是梁得长度。
对于等截面均匀梁,合并以上两个方程,
动态铁木辛柯梁
在铁木辛柯梁理论中若不考虑轴向影响,则给出梁得位移
式中就是梁内一点得坐标,就是位移矢量得三维坐标分量,就是对于梁得中性面得法向转角,就是中性面方向得位移。
从以上假设,铁木辛柯梁,考虑到振动,要用线性耦合偏微分方程描述:[３]
其中因变量就是梁得平移位移与转角位移。
注意不同于欧拉－伯努利梁理论,转角位移就是另一个变量而非挠度斜率得近似。
此外,
•就是梁材料得密度(而非线密度);
•就是截面面积;
•就是弹性模量;
•就是剪切模量;
•就是轴惯性矩;
•,称作铁木辛柯剪切系数,由形状确定,通常矩形截面;
•就是载荷分布(单位长度上得力);
•
•
这些参数不一定就是常数。
对于各向同性得线弹性均匀等截面梁,以上两个方程可合并成[4］［5]
轴向影响
如果梁得位移由下式给出
其中就是方向得附加位移,则铁木辛柯梁得控制方程成为
其中,就是外加轴向力。
任意外部轴向力得平衡依靠应力
式中就是轴向应力,梁得厚度设为、
包含轴向力得梁方程合并为
阻尼
如果,除轴向力外,我们考虑与速度成正比得阻尼力,形如
铁木辛柯梁得耦合控制方程成为
合并方程为
切变系数
确定切变系数不就是直接得,一般它必须满足:
切变系数由泊松比确定、更严格得表达方法由多位科学家完成,包括斯蒂芬·铁木辛柯、雷蒙德·明德林(ＲayｍｏｎｄD、Mindlin)、考珀(G、Ｒ、Cowper)与约翰·哈钦森(Jｏhn W。
Hｕtchiｎsｏｎ)等。
工程实践中,斯蒂芬·铁木辛柯得表达一般状况下足够好。
[6]
对于固态矩形截面:
对于固态圆形截面:。