[数学][高中数学解题思维与思想]
高中数学恒成立问题的解题方法和思路
课程篇随着高中数学知识点的难度不断增加，很多学生在恒成立问题的解题方法上都了解得不够透彻，其中恒成立问题所涉及的数学知识范围也比较广，例如：一次函数、二次函数。
因为高中数学知识涉及的内容和范围非常大，所以在恒成立问题解决方面所涉及的思路也非常多，这让很多学生遇到恒成立问题相关题型非常难解，从而影响了数学整体成绩。
一、掌握高中数学恒成立问题的解题方法和思路的意义在数学学习中恒成立的问题主要出现在函数知识点中，即在已知的条件下，无论在题型中变量如何变化，其结果和命题都能够成立，这就是恒成立。
恒成立问题在数学学习中主要考查的就是学生抽象思维能力、对问题的推理能力以及对相应数形结合思想的应用等，所以恒成立问题能够最大限度地提高学生的综合学习能力。
学生在数学学习的过程中主要是依靠学生的逻辑思维解答相应的题目，这就是数学与高中其他科目不同的地方，所以学生若是想要提高数学的成绩，就需要寻找有效的解题方式和思路，并在解答的过程中灵活运用相应的公式，这样就能解决恒成立的相关问题。
二、高中数学恒成立问题的解题方法和思路1.一次函数的恒成立下面将利用案例来解释一次函数的恒成立问题：问题：一次函数f（x）=（n-6）x+2n-4，在函数中对任意值x∈［-1，1］，f（x）>0恒成立，就其实数n的取值范围。
解题分析：在f（x）=（n-6）x+2n-4的图象中可以得知，若对x∈［-1，1］，f（x）>0恒成立，则f（-1）>0且f（1）>0，由此可以得出n>103，由此可以解得实数n的取值范围是［103，+∞］。
本次解题的主要思想就是利用一次函数f（x）=（n-6）x+2n-4的图象，这样在不等式中，就可以直接化解为一元一次不等式组的问题，从而也为学生提供了更加便捷的思路，让整个考题更加简单，思路更加清晰。
2.二次函数的恒成立在高中数学教学过程中，二次函数的知识点是非常重要的，在数学考试中也占有非常大的比例，所以教师在进行二次函数的恒成立解析过程中，需要更加细致地进行讲解。
《高中数学解题思维与思想》
《高中数学解题思维与思想》导读数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：一、数学思维的变通性根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案二、数学思维的反思性提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。
三、数学思维的严密性考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。
四、数学思维的开拓性 对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。
什么”转变，从而培养他们的思维能力。
《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证。
一、高中数学解题思维策略第一讲 数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。
根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（1）善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。
观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。
要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
例如，求和)1(1431321211+++⋅+⋅+⋅n n .这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且111)1(1+-=+n n n n ，因此，原式等于1111113121211+-=+-++-+-n n n 问题很快就解决了。
（2）善于联想联想是问题转化的桥梁。
稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。
因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
高中数学36个解题思维模板
高中数学36个解题思维模板发布时间：2021-02-19T10:54:46.203Z 来源：《基础教育课程》2020年12月作者：孙其华[导读] 高中数学题千变万化，呈现高度灵活性。
但题型是有限的，同种题型的解题思维是相通的。
如果归纳、总结、提炼出一套解题思维模板，就可以一眼识别常规题考查点，迅速建立起解题思维模式。
以下是笔者梳理的高中数学36个解题思维模板，几乎涵盖整个高中数学模块的学习。
山东省一线教师孙其华高中数学题千变万化，呈现高度灵活性。
但题型是有限的，同种题型的解题思维是相通的。
如果归纳、总结、提炼出一套解题思维模板，就可以一眼识别常规题考查点，迅速建立起解题思维模式。
以下是笔者梳理的高中数学36个解题思维模板，几乎涵盖整个高中数学模块的学习。
1.考查函数奇偶性+单调性+对称性+周期性的三角函数图像模板（考查奇函数，可利用正弦函数图像，作为一种特殊情景；同样，偶函数可利用余弦函数图像。
）2.函数图象解题“三步走”模板（第一步奇偶性，第二步代点，第三步求导、取极限、看趋势。
）3.偶函数图像+比较大小模板（看图像开口方向，如果开口向上，横坐标绝对值大的对应的函数值大，开口向下则相反。
）4.三角函数奇偶性模板（如果y=Asin(ωx+φ)是奇函数根据奇变偶不变原则，φ=kπ；如果是偶函数，φ=1/2kπ；对于余弦函数，则相反。
）5.三角函数计算题模板（两角互补，正弦相等，余弦相反，正切相反；两角互余，正弦等于余弦，正切等于余切；降幂会升角，降角则升幂；正弦+余弦，只要角一致，指数一样，则辅助角公式如果化简后指数呈现二倍关系，则转化成一元二次函数求最值问题。
）6.三角函数图像性质整体分析模板（对于正弦型函数问题，一定不要研究正弦函数图像本身，而应该整体代换，去繁就简，转化成正弦函数图像问题。
对于余弦型函数，也是一样。
）7.线性规划问题步骤模板（首先画可行域，其次目标函数化为斜截式形式，然后去移动、定点。
高中数学八种思维方法是什么 如何做到
高中数学八种思维方法是什么如何做到高中数学的八种思维分别是：转化思维、逆向思维、规律思维、创新思维、类比思维、对应思维、形象思维、系统思维。
高中数学的八种思维方法一、解答数学题的转化思维，是指在解决问题的过程中遇到障碍时，通过转变问题的方向，从不同的角度，把问题由一种形式转换成另一种形式，寻求最佳方法，使问题变得更简洁、更清楚。
二、逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的好像已成定论的事物或观点反过来思索的一种思维方式。
敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向进展，从问题的相反面深化地进行探究，树立新思想，创立新形象。
三、规律思维，是人们在熟悉过程中借助于概念、推断、推理等思维形式对事物进行观看、比较、分析、综合、抽象、概括、推断、推理的思维过程。
规律思维，在解决规律推理问题时使用广泛。
四、创新思维是指以新奇独创的方法解决问题的思维过程，通过这种思维能突破常规思维的界限，以超常规甚至反常规的方法、视角去思索问题，提得出与众不同的解决方案。
可分为差异性、探究式、优化式及否定性四种。
五、类比思维是指依据事物之间某些相像性质，将生疏的、不熟识的问题与熟识问题或其他事物进行比较，发觉学问的共性，找到其本质，从而解决问题的思维方法。
六、对应思维是在数量关系之间(包括量差、量倍、量率)建立一种直接联系的思维方法。
比较常见的是一般对应(如两个量或多个量的和差倍之间的对应关系)和量率对应。
七、形象思维，主要是指人们在熟悉世界的过程中，对事物表象进行取舍时形成的，是指用直观形象的表象，解决问题的思维方法。
想象是形象思维的高级形式也是其一种基本方法。
八、系统思维也叫整体思维，系统思维法是指在解题时对详细题目所涉及到的学问点有一个系统的熟悉，即拿到题目先分析、推断属于什么学问点，然后回忆这类问题分为哪几种类型，以及对应的解决方法。
怎么培育数学思维方法一：要形成特定的数学思维。
数学不同于语文、英语等语言性学科，它对思维力量要求较大。
学习数学有什么好的方法及常见的数学四大思想,高中数学解题基本方法
学习高中数学有什么好的方法1掌握好公式定理（如果这步不做，想学好数学就是在做白日梦，想一想没有武器的士兵如何去打战。
）不管学数学的目的是为考试，还是兴趣，都要掌握公式定理这个必备的武器，这样才能在题目的战场上施展拳脚。
学习数学时，对于公式定理一般要经历三个过程：○1认识；○2理解；○3应用○1认识：能认出,识别公式定理○2理解：能明白公式定理的内容及其推导方法，适用范围○3应用：懂得在题目中如何应用公式定理来解题，应用什么公式定理来解题所谓掌握是指是指达到应用水平，2按时完成作业（要按时认真完成学校定的配套，这是基本功，想一想没有训练的士兵如何上得了战场）适当的训练是培养考试能力必不可少的的途径（考试能力是指思维能力，做题技巧，得分技巧，做题速度，答题规范等）但切忌不要搞题海战术，因为这只对简单的题有效，稍微改变一下条件就可能蒙了。
（题海战术是指不停的做题，做大量的题，而不进行必要的总结思考，对错题只做修改而不查找原因）而且人的生命是有限的，没有无限的时间做题，只有总结规律才是王道（规律即答题的固定步骤，解题的方法等，这可避免想题时没有方向）3养成独立思考的习惯不懂时一定要先自己思考一下，实在不行时再问同学或老师，不能一遇到不懂的就立即问同学老师，这样会使大脑得不到锻炼，对他人产生依赖，成绩就会不升反降。
（不懂也不能放弃，如果不懂就放弃的话就永远学不好数学）4要总结自己的强项和弱项，及时查漏补缺(即知道考试时什么题目自己能做得又快又准，什么题目自己做的出来但较慢，什么题目自己做不出来，并进行有针对性的练习，这样考试才不会太紧张）中学数学的基本知识分三类：①是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、数列等；②是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；③是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何，函数等根据这三类来分类自己的强弱项。
形成一套属于自己的学习流程（学习流程即知道上课前，上课时，上课后该干什么，在学校，在家里该干什么）5合理安排考试时的时间考试时合理安排好答题时间，不要因一道小题而没做大题，也不要害怕答大题，往往大题的第一问都较容易，有时根据条件推出一些简单的结论也能得分（你可能不知道这些结论有什么用）掌握几个考试时放松的技巧，防止怯场平时可自己模拟考试场景练习一下6要肯脚踏实地的去努力不要因为一些同学学数学看起来很轻松就认为他们有秘籍或他们是天才，不用努力。
高中四大数学思想方法
高中四大数学思想方法高中四大数学思想方法数学（mathematics或maths，来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。
数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。
下面是店铺整理的高中四大数学思想方法，希望对你有所帮助！一、数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。
应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。
运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线。
以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法。
以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。
二、分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决。
分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”。
应用分类讨论思想方法解决数学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学，既不重复，又不遗漏。
如何实施正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分类标准与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结。
高考数学：数学解题七大基本思想方法
高考数学：数学解题七大基本思想方法为您准备“高考数学：数学解题七大基本思想方法”，欢迎阅读参考，更多有关内容请密切关注本网站高考栏目。
高考数学：数学解题七大基本思想方法数学学科有自己独特的思维模式，所以在解决数学问题时，就要以数学的基本方法去考虑，这样才能在最有效的时间内答对题目。
第一：函数与方程思想(1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用(2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础注：高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想(1)数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面(2)在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想(1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法(2)从具体出发，选取适当的分类标准(3)划分只是手段，分类研究才是目的(4)有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性(5)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想(1)将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题(2)灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法(3)高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想(1)通过对个例认识与研究，形成对事物的认识(2)由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论(3)由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程(4)构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程(5)高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想(1)把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路(2)积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向(3)立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用(4)随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想(1)随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性(2)偶然中找必然，再用必然规律解决偶然(3)等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。
高中数学解题思想方法-有限与无限思想
从感性到理性、从具体到抽象————谈谈有限与无限思想导语：有限与无限思想揭示了变量与常量,有限与无限的对立统一的关系。
借助有限与无限思想,人们可以从有限认识无限,从不变认识变,从量变认识质变,从近似认识精确。
在初等微积分的学习中应抓住基本概念,突出内在的联系,贯穿基本思想方法。
具体说来,以数列极限为基础,突出微分、积分及其内在联系。
极限、微分、积分概念、极限方法、运动辩证思想和数学观念的培养,贯穿了微积分的全部内容。
从进入高二阶段学习的学生的认知水平上来看,已开始摆脱具体事物的形式,进入抽象、概括、分析、综合、演绎、归纳等一般化理论思维阶段,开始向更高级的思维——辩证思维形式发展。
其本质问题是对无限的认识,让学生从感性材料中去感受和体验。
提炼和概括,逐步上升到理性认识,感受抽象思维的过程和辩证思维的体现。
《新课标》倡导数学课程“强调本质,注意适度形式化”。
高中数学课程的讲授应注意数学概念、法则、结论的发展过程和本质,由于极限概念本身牵涉到“无穷大”、“任意小”、“无限逼近”等数学术语,这些词语都比较抽象。
因此在极限的概念教学过程中,我们应该注意从实际问题引入将抽象具体化从而使学生更好地理解极限。
内容：微积分的很多方法在中学数学的很多问题上能够以简驭繁,尤其在证明不等式、恒等式及恒等变形；求极值；研究函数的变化上,可以使解法简化,并能使问题的研究更为深入全面。
以下重点阐述不等式的证明中有限与无限思想：在研究变化过程变量之间相互制约关系时,更多的是对不等式的研究,从某种意义上来说,不等式的证明方法多种多样,没有较为统一的方法,初等数学中经常通过恒等变形、数学归纳法、二次型等方法解决,或运用已有的基本不等式来证明,往往需要恒等变形,而运用微积分的知识和方法,如函数单调性、极值判定法,可以简化不等式的证明过程,降低技巧性。
例题已知函数1()ln 1x f x x+=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0,1)x ∈时,3()2()3x f x x >+； （Ⅲ）设实数k 使得3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立,求k 的最大值． 分析：本题主要考查对数函数的性质和导数公式,复合函数的求导法则,考查导数的几何意义,导数的正负和函数单调性的关系。
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《高中数学解题思维与思想》导读数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：一、数学思维的变通性根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案二、数学思维的反思性提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。
三、数学思维的严密性考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。
四、数学思维的开拓性对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。
什么”转变，从而培养他们的思维能力。
《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证。
一、高中数学解题思维策略第一讲数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。
根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（1）善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。
观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。
要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
例如，求和)1(1431321211+++⋅+⋅+⋅n n . 这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且111)1(1+-=+n n n n ，因此，原式等于1111113121211+-=+-++-+-n n n 问题很快就解决了。
（2）善于联想联想是问题转化的桥梁。
稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。
因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
例如，解方程组⎩⎨⎧-==+32xy y x . 这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为3-。
由此联想到韦达定理，x 、y 是一元二次方程 0322=--t t 的两个根，所以⎩⎨⎧=-=31y x 或⎩⎨⎧-==13y x .可见，联想可使问题变得简单。
（3）善于将问题进行转化数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。
可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。
转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。
那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。
在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。
例如，已知cb ac b a ++=++1111,)0,0(≠++≠c b a abc , 求证a 、b 、c 三数中必有两个互为相反数。
恰当的转化使问题变得熟悉、简单。
要证的结论，可以转化为：0))()((=+++a c c b b a思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。
思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。
它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。
综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。
要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。
二、思维训练实例（1） 观察能力的训练虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。
所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。
例1 已知d c b a ,,,都是实数，求证.)()(222222d b c a d c b a -+-≥+++ 思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式。
根据其特点，证明 不妨设),(),,(d c B b a A 如图1－2－1所示，则.)()(22d b c a AB -+-= ,,2222d c OB b a OA +=+=在OAB ∆中，由三角形三边之间的关系知：AB OB OA ≥+ 当且仅当O 在AB 上时，等号成立。
因此，.)()(222222d b c a d c b a -+-≥+++思维障碍 很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很繁。
学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。
因此，平时应多注意数学公式、定理的运用练习。
例2 已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值。
解 由 x y x 62322=+得 .20,0323,0.3232222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y x x y又,29)3(2132322222+--=+-=+x x x x y x ∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.429)32(212=+-- 思路分析 要求22y x +的最大值，由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数,29)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值，联系到02≥y ，这一条件，既快又准地求出最大值。
上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。
思维障碍 大部分学生的作法如下：由 x y x 62322=+得 ,32322x x y +-= ,29)3(2132322222+--=+-=+∴x x x x y x ∴当3=x 时，22y x +取最大值，最大值为29 这种解法由于忽略了02≥y 这一条件，致使计算结果出现错误。
因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。
有些问题的观察要从相应的图像着手。
例3 已知二次函数),0(0)(2>=++=a c bx ax x f 满足关系)2()2(x f x f -=+，试比较)5.0(f 与)(πf 的大小。
思路分析 由已知条件)2()2(x f x f -=+可知，在与2=x 左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线2=x 对称，又由已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致图像简捷地解出此题。
解 （如图1－2－2）由)2()2(x f x f -=+，知)(x f 是以直线2=x 为对称轴，开口向上的抛物线它与2=x 距离越近的点，函数值越小。
)()5.0(25.02ππf f >∴->-思维障碍 有些同学对比较)5.0(f 与)(πf 的大小，只想到求出它们的值。
而此题函数)(x f 的表达式不确定无法代值，所以无法比较。
出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已知条件的含义，因而思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要仔细推敲，找出它的真正含义，这样才能顺利解题。
提高思维的变通性。
（2） 联想能力的训练例4 在ABC ∆中，若C ∠为钝角，则tgB tgA ⋅的值(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定思路分析 此题是在ABC ∆中确定三角函数tgB tgA ⋅的值。
因此，联想到三角函数正切的两角和公式tgBtgA tgB tgA B A tg ⋅-+=+1)(可得下面解法。
解 C ∠ 为钝角，0<∴tgC .在ABC ∆中)(B A C C B A +-=∴=++ππ且均为锐角，、B A[].1.01,0,0.01)()(<⋅>⋅-∴>><⋅-+-=+-=+-=∴tgB tgA tgB tgA tgB tgA tgB tgA tgB tgA B A tg B A tg tgC 即 π故应选择（B ）思维障碍 有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公式掌握得不牢固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。
例5 若.2,0))((4)(2z x y z y y x x z +==----证明：思路分析 此题一般是通过因式分解来证。
但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。
于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。
证明 当0≠-y x 时，等式 0))((4)(2=----z y y x x z可看作是关于t 的一元二次方程0)()()(2=-+-+-z y t x z t y x 有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有：1=--yx z y 即 z x y +=2 若0=-y x ，由已知条件易得 ,0=-x z 即z y x ==,显然也有z x y +=2.例6 已知c b a 、、均为正实数,满足关系式222c b a =+,又n 为不小于3的自然数，求证:.n n n c b a <+思路分析 由条件222c b a =+联想到勾股定理,c b a 、、可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。
证明 设c b a 、、所对的角分别为A 、B 、.C 则C 是直角，A 为锐角，于是 ,cos ,sin cb Ac a A ==且,1cos 0,1sin 0<<<<A A 当3≥n 时，有A A A A n n 22cos cos ,sin sin <<于是有1cos sin cos sin 22=+<+A A A A n n即 ,1)()(<+n n cb c a 从而就有 .n n n c b a <+思维阻碍 由于这是一个关于自然数n 的命题，一些学生都会想到用数学归纳法来证明，难以进行数与形的联想，原因是平时不注意代数与几何之间的联系，单纯学代数，学几何，因而不能将题目条件的数字或式子特征与直观图形联想起来。
（3） 问题转化的训练我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。
在解题时，不仅要先观察具体特征，联想有关知识，而且要将其转化成我们比较熟悉的，简单的问题来解。
恰当的转化，往往使问题很快得到解决，所以，进行问题转化的训练是很必要的。
○1 转化成容易解决的明显题目例11 已知,1111=++=++cb ac b a 求证a 、b 、c 中至少有一个等于1。
思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。
首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。