2019届安徽省江淮十校高三第三次联考数学(文)试题(解析版)
安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学(文)试题(解析版)
2019年安徽省“江南十校”综合素质检测数学（文科）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，（为整数集），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】确定集合包含的整数，根据交集定义得结果.【详解】集合包含的整数有本题正确选项：【点睛】本题考查集合基本运算中的交集，属于基础题.2.复数满足，则（）A. B. 3 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】将整理成的形式，求即可.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查复数的基本运算，属于基础题.3.已知命题：，，则为（）A.， B. ，C.， D. ，【答案】A【解析】【分析】含量词命题的否定，更换量词，否定结论即可.【详解】，本题正确选项：【点睛】本题考查简易逻辑中的全称量词和特称量词，属于基础题.4.双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据渐近线方程得到关系，进一步求解出离心率.【详解】双曲线渐近线斜率本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线的几何性质，属于基础题.易错点在于忽略双曲线焦点的位置，导致渐近线斜率出错.5.曲线在点处的切线的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用原函数求出切点坐标；再利用导函数求出切线斜率，可得切线方程.【详解】，又切线方程为：，即本题正确选项：【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.6.某圆锥的正视图是腰长为2的等腰三角形，且母线与底面所成的角为，则其侧面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】母线与底面所成角即为圆锥正视图中腰与底所成角，由此可得底面半径，进而求得侧面积.【详解】由题意得：母线与底面所成角即为正视图腰与底所成角圆锥的母线长，且正视图为等腰三角形底面圆半径侧面积本题正确选项：【点睛】本题考查旋转体中的圆锥侧面积问题，属于基础题.7.已知样本甲：，，，…，与样本乙：，，，…，，满足，则下列叙述中一定正确的是（）A. 样本乙的极差等于样本甲的极差B. 样本乙的众数大于样本甲的众数C. 若某个为样本甲的中位数，则是样本乙的中位数D. 若某个为样本甲的平均数，则是样本乙的平均数【答案】C【解析】【分析】根据函数关系式，确定函数单调性，进而判断得到结果.【详解】关于单调递增为中位数，则也为中位数本题正确选项：【点睛】本题考查统计中数据变化特点，关键在于明确中位数是按照大小顺序排列后得到的，因此遵循单调关系.8.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】判断出的奇偶性与单调性，然后将不等式转化为，通过单调性变成自变量的比较，从而得到关于的不等式，求得最终结果.【详解】为奇函数当时，，可知在上单调递增在上也单调递增，即为上的增函数，解得：或本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符合单调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较.9.已知函数的最小正周期为，则下列叙述中正确的是（）A. 函数的图象关于直线对称B. 函数在区间上单调递增C. 函数的图象向右平移个单位长度后关于原点对称D. 函数在区间上的最大值为【答案】C【解析】【分析】最小正周期为，可求得函数解析式；再依次将四个选项代入，与进行对比，得到正确结果.【详解】由题意知：选项：时，；不是的对称轴，则不是的对称轴.因此，错误；选项：当时，，当时，单调递减；时，单调递增.因此，错误选项：平移后得，是奇函数，关于原点对称.因此，正确选项：由可知，当时，取最大值，则.因此，错误本题正确选项：【点睛】本题考查的性质与值域，处理此类问题的关键是采用整体代入的方式，将范围代入函数，得到整体所处的范围，进而与图像相对应，确定最终结果.10.如图所示，正方体中，点，，，，分别为棱，，，，的中点.则下列叙述中正确的是（）A. 直线平面B. 直线平面C. 平面平面D. 平面平面【答案】B【解析】【分析】将平面扩展，可作出过的正方体的截面，易证得平面.【详解】过点的截面如图所示（分别为的中点），平面，平面平面本题正确选项：【点睛】本题考察了直线与平面、平面与平面的平行的判定，关键在于能够准确地找到截面，从而判断出结果.11.中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则（）A. B. C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等变换和三角形面积求解出的值；再根据的范围解出.【详解】或又本题正确选项：【点睛】本题考查三角恒等变换和解三角形的知识，易错点是求解的取值时，忽略了这一条件，造成求解错误.12.已知函数，若函数与函数的零点相同，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通过零点相同可确定，得到，进而确定和的解析式；利用零点相同将问题转化成无实根的问题，求解得到所求范围.【详解】设为的零点，即由与零点相同可知：又，则令，解得：，当时，仅有一个零点，符合题意；当时，无实根综上所述：本题正确选项：【点睛】本题考察了函数零点的问题，解题的关键是利用零点相同确定解析式，通过分析将问题转化为一元二次方程无实根的问题，利用判别式来求解.二、填空题：本大题共4小题.13.已知向量，，且，则_______．【答案】-2或3【解析】【分析】用坐标表示向量，然后根据垂直关系得到坐标运算关系，求出结果.【详解】由题意得：或本题正确结果：或【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.14.设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为______．【答案】-8【解析】【分析】通过约束条件，画出可行域，将问题转化为直线在轴截距最大的问题，通过图像解决.【详解】由题意可得可行域如下图所示：令，则即为在轴截距的最大值由图可知：当过时，在轴截距最大本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划中的型最值的求解问题，关键在于将所求最值转化为在轴截距的问题.15.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心作半经为1的圆，为椭圆上一点，为圆上一点，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义，将问题转化为求解的最值问题，通过三角形三边关系可知，可得最大值和最小值.【详解】由椭圆方程可知：由椭圆定义得：又且本题正确结果：【点睛】本题考查利用椭圆定义求解最值问题，关键在于能够通过定义将问题转化为三角形三边关系，确定当三点共线的时候取得最值.16.已知点，，在半径为2的球的球面上，且，，两两所成的角相等，则当三棱锥的体积最大时，平面截球所得的截面圆的面积为_______．【答案】【解析】【分析】易知三棱锥为正三棱锥，通过勾股定理用表示出直角三角形三边，再利用体积求出最大值时的取值，最终确定截面圆半径.【详解】由题意知：三棱锥为正三棱锥，如图所示：为中点，平面，且为的重心设，则令令，解得：且时，单调递增；时，单调递减时三棱锥体积最大，此时平面截球所得的截面圆的面积本题正确结果：【点睛】本题考查空间几何体体积的最值类问题，最值类问题解题关键在于能够建立起关于某变量的函数关系式，通过函数求最值得方式得到所求关系.三、解答题.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列中，，且，，1成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，数列的前项和为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差中项求解出公比，利用求解出首项，从而得到通项公式；（2）得到的通项公式后，利用裂项相消求解.【详解】（1），，成等差数列且数列是等比数列，且公比由得：（2）由（1）知，【点睛】本题考查等比数列求通项以及利用裂项相消法求和，解题关键在于能够通过通项公式的形式进行裂项，从而可以前后相消，得到最终关系式.18.斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，.（1）证明：平面平面；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一和勾股定理分别证明和，得到平面，进而得到面面垂直；（2）利用三棱柱体积是三棱锥体积倍的关系，求解出三棱锥的体积，得所求体积为三棱锥体积的倍.【详解】（1），，由余弦定理：即或故取中点，连接，，如图所示：是边长为的正三角形，可得：，由得到又为中点，且又，平面平面平面平面（2）由（1）【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体体积的求解，解题关键在于求解几何体体积时，要注意灵活运用体积桥或者割补的思想来解决.19.某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一．．．．，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2014-2018年的相关数据如下表所示：年生产台数（百万元）注：（1）从该公司2014-2018年的相关数据中任意选取3年的数据，求这3年中至少有2年生产部门考核优秀的概率.（2）利用上表中五年的数据求出年利润（百万元）关于年生产台数（万台）的回归直线方程是①.现该公司计划从2019年开始转型，并决定2019年只生产该产品1万台，且预计2019年可获利32（百万元）；但生产部门发现，若用预计的2019年的数据与2014-2018年中考核优秀年份．．．．．．的数据重新建立回归方程，只有当重新估算的，的值（精确到0.01），相对于①中，的值的误差的绝对值都不超过时，2019年该产品返修率才可低于千分之一.若生产部门希望2019年考核优秀，能否同意2019年只生产该产品1万台？请说明理由.（参考公式：，，，相对的误差为.）【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）利用古典概型，求解考核优秀的概率；（2）计算公式各个构成部分的数值，代入公式求解回归直线，之后按要求比较，看是否均不超过即可.【详解】（1）在近五年的相关数据中任取年的取法有种依条件知，年返修率不超过千分之一．．．．的有，，三年的数据任意选取年的数据，其中恰有年生产部门考核优秀的取法有种故至少有年生产部门考核优秀的概率（2），，，（写也可），，不符合条件故若生产部门希望年考核优秀，不能同意年只生产该产品万台【点睛】本题考查概率部分的古典概型和线性回归问题，关键在于计算概率时能够准确找出符合题意的情况数量.20.已知抛物线的准线方程为.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交抛物线于，两点，点，连接，与抛物线分别交于，两点，直线的斜率记为，问：是否存在实数，使得成立，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据标准方程与准线的关系，可直接求得；（2）假设存在，通过假设四点坐标，可以表示出和，然后利用韦达定理求解出.【详解】（1）由准线方程可知：（2）设，，，（互不相等）则，同理三点共线即同理将抛物线与直线联立得：由韦达定理：【点睛】本题考查圆锥曲线中的定值类问题，处理定值类问题的关键是构造出含变量的已知中的等量关系，通过整理、消元，得到所求解的定值.21.已知函数（为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求整数的最大值.【答案】(1)见解析；(2) 的最大值为1.【解析】【分析】（1）根据的不同范围，判断导函数的符号，从而得到的单调性；（2）方法一：构造新函数，通过讨论的范围，判断单调性，从而确定结果；方法二：利用分离变量法，把问题变为，求解函数最小值得到结果.【详解】（1）当时，在上递增；当时，令，解得：在上递减，在上递增；当时，在上递减（2）由题意得：即对于恒成立方法一、令，则当时，在上递增，且，符合题意；当时，时，单调递增则存在，使得，且在上递减，在上递增由得：又整数的最大值为另一方面，时，，，时成立方法二、原不等式等价于：恒成立令令，则在上递增，又，存在，使得且在上递减，在上递增又，又，整数的最大值为【点睛】本题主要考查导数在函数单调性中的应用，以及导数当中的恒成立问题.处理恒成立问题一方面可以构造新函数，通过研究新函数的单调性，求解出范围；另一方面也可以采用分离变量的方式，得到参数与新函数的大小关系，最终确定结果.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）点为曲线上一点，若曲线上存在两点，，使得，求的取值范围.【答案】(1) ：，：.(2)【解析】【分析】（1）根据和直接化简求得结果；（2）过作圆切线，此时两切线夹角为临界状态，需大于等于才能出现的情况，利用角的正弦的范围求出的范围.【详解】（1）由题意得：（2）由（1），过作曲线的两条切线，切点分别记为曲线上存在两点，使得即，即【点睛】本题考查极坐标与参数方程部分的知识，关键在于通过临界值将问题转移到直角三角形内的角的范围问题，构造不等式求解出最终结果.23.[选修4-5：不等式选讲]设函数.（Ⅰ）当时，求函数的定义域；（Ⅱ）若函数的定义域为，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）利用零点分段法讨论各个区间的解析式，得到取值范围；（2）利用恒成立思想，根据绝对值不等式的性质求得最值，得到的范围.【详解】（1）当时，定义域基本要求为：当时，当时，，无解当时，综上：的定义域为（2）由题意得：恒成立【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，关键在于本题定义域为等价于恒成立，利用恒成立中的分离变量法求解.。
2019届安徽省江淮十校高三下学期第三次联考文科数学试卷【含答案及解析】
2019届安徽省江淮十校高三下学期第三次联考文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、选择题1. 在复平面内，复数（为虚数单位），则为（）A. B. C. D.2. 设，是两个不同的平面，是直线且．“ ”是“ ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知等差数列中，是方程的两根，则（）A. B. C. D.4. 若向量，且与的夹角余弦值为，则等于（）A. B. C. 或________ D. 或5. 的解集为（）A. B. C. D.6. 执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（）A. B. C. D.7. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则与满足的关系是（） A. B. C. D.8. 一光源在桌面的正上方，半径为的球与桌面相切，且与球相切，小球在光源的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是，其中，则该椭圆的短轴长为（）A. B. C. D.9. 如图，半径为的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为的小圆，现将半径为的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币完全随机落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为（）A. B. C. D.10. 函数，满足，且，则与的大小关系是（）A. B. C. D. 与有关，不确定11. 设，若直线与圆相切，则得到取值范围是（）A. B.C. D.12. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13. 一支田径队员有男运动员人，女运动员人，若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽出人进行体质测试，则抽到进行体质测试的男运动员的人数为______ .14. 设有两个命题， :关于的不等式（ ,且）的解集是； :函数的定义域为 .如果为真命题，为假命题，则实数的取值范围是 ____ .15. 如果满足不等式组，那么目标函数的最小值是________ .16. 如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成 .若为线段的中点，则在翻折过程中：① 是定值；②点在某个球面上运动；③存在某个位置，使；④存在某个位置，使平面 .其中正确的命题是 _________ .三、解答题17. 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在 8.0 米 ( 精确到 0.1 米 ) 以上的为合格．数据分成 6 组画出频率分布直方图的一部分 ( 如图 ) ，已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04 ， 0.10 ，0.14 ， 0.28 ， 0.30 . 第 6 小组的频数是 7.（ I ）求这次铅球测试成绩合格的人数；（ II ）若参加测试的学生中 9 人成绩优秀，现要从成绩优秀的学生中，随机选出 2人参加“毕业运动会”，已知学生、的成绩均为优秀，求两人、至少有 1 人入选的概率 .18. 已知向量，向量，函数 .（1）求单调递减区间；（2）已知分别为内角的对边，为锐角，，且恰是在上的最大值，求和的面积 .19. 四棱锥中，面，底面是菱形，且，，过点作直线，为直线上一动点.（1）求证：；（2）当面面时，求三棱锥的体积.20. 已知函数 .（1）求的单调区间和极值；（2）若对任意恒成立，求实数的最大值.21. 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点. （1）求抛物线的方程以及的值；（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求实数的值.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合，直线的参数方程是（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于、两点，求、两点间的距离.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）解不等式；（2）若不等式有解，求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】。
2019年安徽省江淮十校高三11月联考(数学文)试卷及答案
高考数学精品复习资料2019.5安徽省江淮十校高三11月联考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分 第Ⅰ卷 选择题 （共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（ ） A.4 B.2 C.8 D.1 2．设集合}032{2<--=x x x M ，{}1)1(log 2≤-=x x N ，则N M 等于（ ）A ．{}31<<-x x B.{}31≤<x x C.{}31<<x x D. {}31≤≤x x3．命题“存在2cos sin ,000≤+∈x x R x 使”的否定是（ ） A.任意2cos sin ,000≤+∈x x R x 都有B.任意2cos sin ,>+∈x x R x 都有C.存在2cos sin ,000>+∈x x R x 使D.任意2cos sin ,≥+∈x x R x 都有4.在ABC △中，已知51cos sin =+A A ，则角A 为（ ）A.锐角B.直角C.钝角D.锐角或钝角5. 在ABC ∆中，有如下三个命题：①AB BC CA ++=0；②若D 为BC 边中点，则)(21+=；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等腰三角形．其中正确的命题序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 6.将函数x y 2sin 2=的图像（ ），可得函数)32sin(2π+=x y 的图像.A ．向左平移3π个单位B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位7. 已知),21(),1,2(λ=-=b a ，则“向量b a ,的夹角为锐角”是“1<λ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．若函数)(x f 满足：存在非零常数)2()(,x a f x f a --=使，则称)(x f 为“准奇函数”，下列函数中是“准奇函数”的是（ ）A.2)(x x f = B. 3)1()(-=x x f C. 1)(-=x ex f D. 3)(x x f =9．已知函数θsin 43)(23x x x f -=，其中x R ∈，θ为参数，且πθ≤≤0．若函数()f x 的极小值小于1281-，则参数θ的取值范围是（ ）[A. ]ππ,6( B.⎥⎦⎤2,6(ππ C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ D. )65,6(ππ10.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-3)3sin(2)3(39)3sin(2)3(333y y y x x x ，则=+y x （ ）A.0B.3C.6D.9第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 设向量b a ,,32==且b a ,的夹角是3π，则=-2_________12.[]=-+-21266)21(2log 12log __________13. 设)2,0(πα∈，若53)6sin(=-πα，则=αcos ___________14. 在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若3,32π==A a ，则此三角形周长的最大值为________15. 已知定义在R 上的函数)(x f 对任意R y x ∈,均有：)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++且)(x f 不恒为零。
安徽省江南十校2019届高三3月联考文科数学试题
2019年安徽省“江南十校”综合素质检测=，∴侧面积为2cos60112. B 【解析】：由题：(0)0f a ==，∴2()2f x x bx =−+，令()00f x x =⇒=或2b ， 若0b =，()f x 仅有一个零点0x =，符合题意；若0b ≠，∵22(())(2)(22)f f x x bx x bx b =−+−+，则2220x bx b −+=无实数根，故2(2)42002b b b ∆=−−⨯<⇒<<； 综上：[0,2)b ∈，∴(2,0]a b b −=−∈−，故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 2−或3【解析】：∵(3,1)a b m −=−−，∴()()6(1)0a a ba ab m m ⊥−⇔⋅−=−+−=， 故2m =−或3.【解析】：目标函数2z x y =−在(2,3)−处取得最小值8−.【解析】：122||||2||||6(||||)[5,7]PF PQ a PF PQ PQ PF +=−+=+−∈.【解析】：法一：111336O ABC C OAB OAB OAB V V S OC S −−∆∆==⋅≤≤当且仅当,,OA OB OC 两两垂直时，三棱锥O ABC −体积最大，此时ABC ∆为边长为，∴面积为28()33ππ⋅=.法二：易知三棱锥O ABC −为正三棱锥，如图所示：D 为BC 中点，OG ⊥平面ABC ，且G 为BC ∆的重心，设AB x =，则2233AG AD x ===，∴OG ==213O ABC V −==令2(0,12)t x =∈，2()(12)g t t t =−，()3(8)08g t t t t '=−=⇒=，且(0,8)t ∈时，()g t 单调递增，(8,12)t ∈时，()g t 单调递减，∴28x t ==时三棱锥O ABC −体积最大，此时228)3AG x ==， ∴平面ABC 截球O 所得的截面圆的面积为283AG ππ⋅=. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（12分）解析：（1）∵2log n a ，211log 2n a +，1 成等差数列， ∴21212log log 12n n a a +⨯=+，∴12n n a a +=，且0n a >， ∴数列{}n a 是等比数列，…………………………………………………………………3分 由2664a a =得，48a =，∴11a =，公比2q =，∴12n n a −=.…………………………6分（2）由（1）知，111211(21)(21)2121n n n n n n b −−−==−++++，……………………………9分 ∴011223111111()()()212121212121n T =−+−+−+++++++ 211111111()()21212121221n n n n n −−−+−+−=−+++++.…………………………………12分 G C D A O18.（12分）解析：（1）∵2AB =，1A B =，160A AB ∠=，由余弦定理：22211112cos A B AA AB AA AB A AB =+−⋅∠，即21112303AA AA AA −−=⇒=或1−，故13AA =.………2分取BC 中点O ，连接1,OA OA ，∵ABC ∆是边长为2的正三角形，∴AO BC ⊥，且AO =，1BO =，又11A AB A AC ∆≅∆，∴11A B AC ==1A O BC ⊥，且1AO ，∵22211AO A O AA +=，∴1AO A O ⊥，…………………4分又BC AO O =,故1A O ⊥平面ABC ，∵1A O ⊂平面1A BC ，∴平面1A BC ⊥平面ABC .………………………………………6分（2）由（1）12111233A ABC ABC V S AO −=⋅==……………………………9分 ∵11113ABC A B C A ABC V V −−=，∴11112A BCC B A ABC V V −−==.…………………………………12分 （其他正确解答酌情给分）19.（12分）解析：（1）在2014—2018近五年的相关数据中任取3年的取法有10n =，依条件知，年返修率不超过千分之一．．．．的有2014，2016，2018三年的数据， ………2分 ∴任意选取3年的数据，其中恰有1年生产部门考核优秀的取法有3m =，故至少有2年生产部门考核优秀的概率7110m P n =−=.…………………………5分 （2）∵41144i i x x ===∑，411484i i y y ===∑，42194i i x ==∑，41952i i i x y ==∑， ∴4124222149524448184 6.139444304ii i i i x y x y b xx ==−⋅−⨯⨯===≈−⨯−∑∑， ∴218448423.4730a =−⨯≈（写248 6.13423.48a =−⨯=也可）……………………10分 ∴211ˆ||6%10%ˆb b b −≈<，211ˆˆ||34%10%ˆa a a −≈>，不符合条件， 故若生产部门希望2019年考核优秀，不能同意2019年只生产该产品1万台. …12分20.（12分）解析：（1）由题： E ：22x y =. ………………………………………………………3分 （2）∵(0,2)Q −，设2222(,),(,),(,),(,)2222a b c d A a B b C c D d （,,,a b c d 互不相等）， 则221222a b a b k a b −+==−，同理22c d k +=； ……………………………………………5分∵,,A P C 三点共线，∴AP CP k k =， A C O A 1C 1B 1B即22112()222a c a c a c c a c ac a −−−=⇒−=−⇒=−，同理2d b =−， ……………………8分 ∴1222()02222a b a b a b ab a b k k ab λλλλ−−++++=+=−=⇒=，联立1:2AB l y k x =−与得21240x k x −+=，由韦达定理：4ab =，故22ab λ==. …………………………………………………12分（其他正确解答酌情给分）21.（12分）解析：（Ⅰ）()[(1)]x f x ax a e '=−−（0x >，a R ∈），当1a ≥时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上递增； ……………………………………3分当01a <<时，()f x 在1(0,)a a −上递减， 在1(,)a a−+∞上递增； 当0a ≤时，()0f x '≤，()f x 在(0,)+∞上递减.………………………………………6分 （2）依题意得(1)2x x e kx −>−对于0x >恒成立，方法一、令()(1)2x g x x e kx =−−+（0x ≥），则()x g x xe k '=−（0x ≥）， ………7分 当0k ≤时， ()g x 在(0,)+∞上递增，且(0)10g =>，符合题意；当0k >时，易知0x ≥时，()g x '单调递增.则存在00x >，使得000()0x g x x e k '=−=， 且()g x 在0(0,]x 上递减，在0[,)x +∞上递增， ∴0000()()(1)20x min g x g x x e kx ==−−+>，∴000120x k kx x −−+>，0021()1k x x <+−， …………………………………………10分 由0012x x +≥得，02k <<，又k Z ∈，∴ 整数k 的最大值为1. 另一方面，1k =时，1'()10,'(1)e 102g g <=−> ∴01(,1)2x ∈ ，002(1,2)()1x x ∈+−，1k ∴=时成立.………………………………12分 方法二、(1)2x x e k x −+<（0x >）恒成立，令(1)2()x x e h x x−+=（0x >）， 则22(1)2()x x x e h x x−+−'=（0x >），…………………………………………………8分 令2()(1)2x t x x x e =−+−（0x >），则()(1)0x t x x x e '=+>，∴()t x 在(0,)+∞上递增，又(1)0t >，1()202t =<， ∴存在01(,1)2x ∈，使得20000()()(1)20x h x t x x x e '==−+−=， 且()h x 在在0(0,]x 上递减，在0[,)x +∞上递增，∴min 0002()()11h x h x x x ==+−，…10分又01(,1)2x ∈，∴00131(1,)2x x +−∈， ∴04()(,2)3h x ∈，∴2k <， 又k Z ∈，∴ 整数k 的最大值为1. …………………………………………………12分 （其他正确解答酌情给分）（二）选考题：共10分。
安徽“江南十校”2019年高三3月联考(数学文)word版
安徽“江南十校”2019年高三3月联考（数学文）word版数学〔文科〕第I卷〔选择题共50分〕一.选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.(l)i为虚数单位，复数，那么复数z在复平面上的对应点位于〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2) 假设集合，那么=〔 )A. B. C. D.都是减函数，那么在上是减函数，以下说法中正确的选项是〔〕A.“p或q”是真命题B.“p或q”是假命题C.为假命题D.为假命题⑷下面框图所给的程序运行结果为s=28，那么判断框中应填入的关于k的条件是〔〕A. B. C. D.(5)在下图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为〔〕A.1B.2C.3D.4(6)据第六次全国人口普查的数据，得到我国人口的年龄频率分布直方图如下图所示：那么在一个总人口数为300万的城市中，年龄在[20，60)之间的人口数大约有〔〕A. 158万B. 166万C. 174万D. 132万(7)关于X的方程的解集为P，那么P中所有元素的和可能是〔〕A.3,6,9B.6,9,12C.9,12,15D.6,12,15(8)在中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c,，C=,那么=()A.30°B.450C.45°或1350D.60°(9)定直线l与平面a成60°角,点P是平面a内的一动点，且点p到直线l的距离为3，那么动点P的轨迹是〔〕A.圆B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分D.椭圆(10)x，y满足记目标函数z=+的最大值为7,最小值为1，那么b，c的值分别为〔)A.-1,-4B.-1,-3C.-2,-1D.-1,-2第II卷〔非选择题共100分〕二.填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.(11)假设，且，那么与的夹角是__________.(12)假设某多面体的三视图(单位：cm)如下图，其中正视图与俯视图均为等腰三角形，那么此多面体的表面积为________cm2.v(13)定义在[-2，2]上的奇函数在(0，2]上的图象如下图，那么不等式的解集为________，(14)令.如果对，满足为整数，那么称k为“好数”，那么区间[l，2018]内所有的“好数”的和M=________.(15)如图，正方体棱长为1，点，，且，有以下四个结论：①,②；③.；④MN与是异面直线、其中正确结论的序号是________(注：把你认为正确命题的序号都填上〕三.解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(16)(本小题总分值12分己知函数.(I)假设，，求的值；(I I)求函数的最大值和单调递增区间.(17)(本小题总分值12分〕2017.年广州亚运会的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种〔但无人通晓两种外语).从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为，通晓中文和日语的概率为.假设通晓中文和韩语的人数不超过3人.(I)求这组志愿者的人数；(II)现从这组志愿者中选出通晓英语的志愿者1名，通晓韩语的志愿者1名，假设甲通晓英语，乙通晓韩语，求甲和乙不全被选中的概率.(18)(本小题总分值12分〕如图1所示，在边长为12的正方形中，点B、C在线段AD上，且AB=3，BC=4,作分别交于点B，P，作分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱(I)求证：平面；〔I I)求多面体的体积.(19)(本小题总分值12分〕假设数列满足：(I)证明数列是等差数列；.(II)求使成立的最小的正整数n.(20)(本小题总分值13分〕 焦点在X 轴上的椭圆C 为.，F 1、F 2分别是椭圆C的左、右焦点，离心率e=.(I)求椭圆C 的方程；(II)设点Q 的坐标为〔1，0)，椭圆上是否存在一点P ，使得直线都与以Q 为圆心的一个圆相切，如存在，求出P 点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由. (21) (本小题总分值14分〕设M 是由满足以下条件的函数f(X)构成的集合： ①方程有实数根；②函数的导数(满足”(I)假设函数为集合M 中的任一元素，试证明万程只有一个实根；(II) 判断函^是否是集合M 中的元素，并说明理由； (III)“对于〔I I )中函数定义域内的任一区间，都存在，使得”，请利用函数的图象说明这一结论.安徽省2018年“江南十校”高三第一次联考(文科数学)答案与解析一.选择题:本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 〔1〕解析∵()()()()13113133121112i i i i i z ii i i +⋅++++-====-+--⋅+，∴选B〔2〕解析：∵{}11R C A x x =-≤≤，{}0B y y =≥，∴()R C A ∩B ={}10|≤≤x x ，应选C〔3〕解析：∵0a b →→⋅>时，a →与b→的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；又∵函数()f x 在(],0-∞及(0,)+∞上都是减函数时，可能()f x 在0处是个跳跃点，∴命题q也是假命题，∴选B〔4〕解析：起始10k=通过条件框要满足“是”，110,9S k=+=和1109,8S k=++=仍然满足“是”，1109828,7S k=+++==达到题目要求，通过条件框要满足“否”，所以选D〔5〕解析：先算出三角函数值，然后根据每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，填所以选A〔6〕解析：年龄在[)20,60之间的人所占频率为：()0.0180.011200.58+⨯=，所以年龄在[)20,60之间的人大约有0.58300174⨯=万，应选C〔7〕解析：26y x x=-的图象是把2的图象在x轴下方的部分翻到上方，上方由图可知，画任意一条横线，根总是关于3x=对称，从下往上移动可知：P中所有元素的和可能是，所以选B〔8〕解析：由tan1tanAB+=和正弦定理得：1cos,602A A=∠=，又由正弦定理得：,sinsinCC=又∵c a<，∴060C∠<，∴45C∠=，应选B〔9〕解析：到直线l的点的轨迹是以直线l为旋转轴，以3为半径的无限延伸的圆柱面，不难想象，它应该是一个椭圆，所以选D图为〔10〕解析：由图分析知：直线0x by c++=经过274x yx y+=⎧⎨+=⎩和211x yx+=⎧⎨=⎩的交点，即4 62O经过()3,1和()1,1-点，所以3010b c b c ++=⎧⎨-+=⎩，∴1b =-，2c =-，应选D二.填空题:本大题共5小题，每题5分，共25分. 〔11〕解析：∵()→→→+⊥a b a，∴2()00→→→→→→+⋅=⇒+⋅=a b a a a b 4→→⇒⋅=-a b cos 4θ→→⇒⋅=-a b1cos 2θ⇒=-∴23πθ=〔12〕解析：由三视图知：多面体为右图所示，其表面积为：2111645426(32222S cm=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=+ 〔13〕解析：画出()y f x =与y x =的图象为：解出坐标为：22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭和22,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由图知，解集为22,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭∪20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 〔14〕解析：对任意正整数k ，有231(1)(2)()log 3log 4log (2)k f f f k k +⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅=⋅⋅⋅⋅+ lg3lg 4lg(2)lg 2lg3lg(1)k k +=⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅+lg(2)lg 2k +=2log (2)k =+、假设k 为“好数”，那么2log (2)k Z +∈，从而必有22()l k l N *+=∈、令1222012l ≤-≤，解得210l ≤≤、所以[]1,2012内所有“好数”的和为()()()231222222M =-+-+⋅⋅⋅+-()2310222292026=+⋅⋅⋅+-⨯=、〔15〕解析：过N 作1NP BB ⊥于点P ，连接MP ，可证1AA ⊥面MNP ∴①对 过M 、N 分别作11MR A B ⊥、11NS B C ⊥于点R 、S ，那么当M 、N 不是1AB 、1BC 的中点时，11A C 与RS 相交；当M 、N 是1AB 、1BC 的中点时，11A C ∥RS ∴11C A 与MN 可以异面，也可以平行，故②④错由①正确知：面MNP ∥面111A B C D ，故③对应选①③三.解答题:本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〔16〕解析：〔Ⅰ〕∵()sin cos f x x x =+，∴()cos sin f x x x -=-、┄┄┄┄┄1分又∵()2()f x f x =-， ∴()sin cos 2cos sin x x x x +=-且cos 0x ≠1tan 3x ⇒=、┄┄┄┄┄┄┄┄3分∴22cos sin cos 1sin x x xx-+222cos sin cos 2sin cos x x x x x-=+21tan 2tan 1x x -=+611=；┄┄┄┄┄┄6分 〔Ⅱ〕由题知22()cos sin 12sin cos F x x x x x =-++()cos 2sin 21F x x x ⇒=++()214F x x π⎛⎫⇒=++ ⎪⎝⎭、┄┄┄┄┄┄┄10分∴当sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，max ()1F x 、┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分由222242k x k πππππ-+≤+≤+解得，单调递增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦、┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分〔17〕解析：〔Ⅰ〕设通晓中文和英语的人数为x 人，通晓中文和日语的人数为y 人，通晓中文和韩语的人数为z 人，且,,x y z N *∈，那么12310x x y z y x y z ⎧=⎪++⎨=⎪++⎩且03z <≤，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 那么依题意有：5,3,2.x y z =⎧=⎨=⎩所以这组志愿者有53210++=人；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 〔Ⅱ〕设通晓中文和英语的人为12345,,,,A A A A A ，甲为1A ，通晓中文和韩语的人为12,B B ，乙为1B ，那么从这组志愿者中选出通晓英语和韩语的志愿者各1名的所有情况为：()()()()()()()()()()11122122313241425152,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 共10个，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分同时选中甲、乙只有()11,A B 1个、┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分所以甲和乙不全被选中的概率为1911010-=、┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 〔18〕〔Ⅰ〕证明：由题知：3AB =，4BC =，5CA =，∴AB BC ⊥、┄┄┄┄┄2分又∵1AB BB ⊥，∴AB ⊥平面11BCC B ；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分〔Ⅱ〕解析：由题知：三棱柱111ABC A B C -的体积13412722=⨯⨯⨯=、┄┄┄┄┄6分 ∵ABP ∆和ACQ ∆都是等腰直角三角形，∴3AB BP ==，7AC CQ ==，┄7分 ∴13A CQPBV S -=四边形11(37)432032CQPB AB ⨯=⨯⨯+⨯⨯=、┄┄┄┄┄┄┄10分∴多面体111A B C APQ -的体积111ABC A B C V -=-A CQPB V -722052=-=、┄12分〔19〕解析：〔Ⅰ〕由()11322n n n a a a +--+=可得：11223n n n a a a +--+=，即()()1123n n n n a a a a +----=，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分所以数列{}1n n a a +-是以2143a a -=为首项，23为公差的等差数列；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 〔Ⅱ〕由〔1〕知1422(1)(1)333n n a a n n +-=+-=+，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分1C 11111于是累加求和得：121(23)(1)33n a a n n n =+++⋅⋅⋅+=+，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 所以11131n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分进而123111135312n a a a a n +++⋅⋅⋅+=->+5n ⇒>，∴最小的正整数为6n =、┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分〔20〕解析：〔Ⅰ〕由题可知：2c aa ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分∴22242b a c b =-=⇒=、┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 ∴椭圆C 的方程为22184x y +=；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 〔Ⅱ〕假设存在椭圆上的一点()00,P x y ，使得直线1PF ，2PF 与以Q 为圆心的圆相切，那么Q 到直线1PF ，2PF 的距离相等，()()122,0,2,0F F -，()1000:220PF x y y x y +--=， ()2000:220PF x y y x y --+=、12d d ===，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分化简整理得：220008403280x x y -++=、┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分∵点在椭圆上，∴220028x y +=、解得：02x =或08x =〔舍〕， 02x =时，0y =1r =、∴椭圆上存在点P ，其坐标为(或(2,，使得直线1PF ，2PF 与以Q 为圆心的圆()2211x y -+=相切、┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分〔21〕解析：〔Ⅰ〕令()()h x f x x =-，那么()()10h x f x ''=-<，即()h x 在区间(1,)+∞上单调递减所以，使()0h x =，即()0f x x -=成立的x 至多有一解，┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 又由题设①知方程()0f x x -=有实数根，所以，方程()0f x x -=只有一个实数根；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 〔Ⅱ〕由题意易知，111()(0,)(0,1)222g x x '=-∈⊂，满足条件②┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 令ln ()()3(1)22x xF x g x x x =-=--+>， 那么225()0,()20222e e F e F e =-+>=-+<，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分又()F x 在区间2[,]e e 上连续，所以()F x 在2[,]e e 上存在零点0x ，即方程()0g x x -=有实数根20[,]x e e ∈，故()g x 满足条件①，综上可知，()g x M ∈；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知：11()()()(ln ln )22g n g m n m n m -=---， 而0011()()()()22n m g x n m x '-=--，所以原式等价于ln ln 1n m n m x -=-，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分该等式说明函数ln (1)y x x =>上任意两点(,ln )A m m 和(,ln )B n n 的连线段AB 〔如下图〕，在曲线ln ()y x m x n =≤≤上都一定存在一点00(,ln )P x x ，使得该点处的切线平行于AB ，根据ln (1)y x x =>图象知该等式一定成立.┄┄┄┄┄14分。
2019届安徽省江南十校高三3月综合素质检测数学(理)试题(解析版)
2019届安徽省江南十校高三3月综合素质检测数学（理）试题一、单选题1．设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】求解出集合的范围，根据补集定义求解.【详解】或，又，则本题正确选项：【点睛】本题考查集合基本运算中的补集，属于基础题.2．复数（为虚数单位），则（）A．B．C．D．2【答案】A【解析】将整理成的形式，与模长相同，求即可.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查复数的基本运算，属于基础题.3．抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将方程化为标准形式，然后可得焦点坐标.【详解】抛物线标准方程为，焦点在轴上焦点坐标为本题正确选项：【点睛】本题考查利用抛物线方程求焦点，易错点是忽略了原方程是否为标准方程，而直接去求解.4．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理可推导出的取值，再利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理可得：即本题正确选项：【点睛】本题考查正弦定理和二倍角公式的应用，属于基础题.5．已知边长为1的菱形中，，点满足，则的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将通过线性运算进行拆解，转变成与向量和相关的数量积和模长求解即可.【详解】由题意可得大致图像如下：；又，本题正确选项：【点睛】本题考查向量的数量积的求解，处理此类问题的关键是将所求向量进行线性拆解，拆解为已知模长和夹角的两个向量的问题.6．我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线绕轴旋转一周得几何体，将放在与轴垂直的水平面上，用平行于平面，且与的顶点距离为的平面截几何体，得截面圆的面积为.由此构造右边的几何体：其中平面，，，，它与在等高处的截面面积都相等，图中为矩形，且，，则几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】通过截面面积相等可求得的长度，再利用三棱柱体积公式即可求解.【详解】由题意可知：在高为处，截面面积为，且截面面积相等本题正确选项：【点睛】本题考查空间几何体中柱体体积的求解，属于基础题.7．已知函数的最小正周期为，则下面结论正确的是（）A．函数在区间上单调递增B．函数在区间上单调递减C．函数的图象关于直线对称D．函数的图象关于点对称【答案】C【解析】最小正周期为，可求得函数解析式；再依次将四个选项代入，与进行对比，得到正确结果.【详解】由题意知：选项和选项：当时，，当时，单调递减；时，单调递增.因此，和都错误；选项：时，；是的对称轴，则是的对称轴.因此，正确；选项：由可知，是对称轴的位置，则必不是对称中心.错误.本题正确选项：【点睛】本题考查的图像与性质，处理此类问题的关键是采用整体代入的方式，将范围代入函数，得到整体所处的范围，进而与图像相对应，确定最终结果. 8．设函数，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】判断出的奇偶性与单调性，然后将不等式转化为，通过单调性变成自变量的比较，从而得到关于的不等式，求得最终结果.【详解】为上的奇函数又可知与在上都单调递增，即与在上都单调递增当时，，；假设则即：在上单调递增又为奇函数，则在上单调递增，即在上单调递增由可得：即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符合单调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较.9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点且直线与轴垂直，若的角平分线恰好过点，则的面积为（）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】根据双曲线几何性质及定义，可用表示出与，再利用角平分线定理，求得，即可用表示出所求面积.【详解】记，则，由题意可知，为双曲线通径长的一半，即由双曲线定义可知：由角平分线性质定理可得：本题正确选项：【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，关键在于能够熟练应用双曲线的定义表示长度，同时涉及角平分线问题时，角平分线定理是常用的比例关系.10．已知函数，（是自然对数的底数），若对，，使得成立，则正数的最小值为（）A．B．1 C．D．【答案】C【解析】，，使得成立，说明，分别求出与的最小值，建立不等关系求解.【详解】“，，使得成立”等价于当时，令，解得：，在上单调递减，上单调递增当时，令，解得：在上单调递减，上单调递增当时，此时在上单调递增，上单调递增减，，无最小值，不合题意综上所述：，令，解得：在上单调递减，在上单调递增本题正确选项：【点睛】本题考查导数中的恒成立和能成立的综合问题，关键在于通过成立条件，将问题转化为最值之间的比较；难点在于求解时，需要对的范围进行讨论，才能最终确定取值. 11．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线（实线、虚线）画出的是某几何体的三视图，其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一，则该几何体的表面积为（）A．20 B．C．D．【答案】B【解析】通过三视图还原几何体后，用正方体表面积减掉去除的面积，再加上因割正方体而增加的面的面积即可得到结果.【详解】由三视图可得几何体如图所示：由已知得原几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个四分之一圆柱及一个八分之一球体得到的组合体本题正确选项：【点睛】本题考查组合体的表面积问题，关键在于能够通过三视图准确还原组合体.12．计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应.现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第个0和第个0之间有个1（），即，则该数的所有数字之和为（）A．1973 B．1974 C．1975 D．1976【答案】C【解析】通过分组将问题变为等差数列求和的问题，先利用数位求解出分组的组数，再根据每组数字之和为首项为，公差为的等差数列，求解出最终结果.【详解】将数字从左只有以为分界进行分组第一组为，数字和为；第二组为，数字之和为；第三组为，数字之和为；以此类推数字共位，则，前组共有位则前位数字之和为：剩余数位为：则所有数字之和为：本题正确选项：【点睛】本题考查数列求和的问题，关键在于能够将数据进行合理分组，构建出等差数列的模型，从而解决问题.二、填空题13．设，满足约束条件，则的最小值为_______．【答案】2【解析】通过约束条件，画出可行域，将问题转化为直线在轴截距最小的问题，通过图像解决.【详解】由题意可得可行域如下图所示：令，则即为在轴截距的最小值由图可知：当过时，在轴截距最小本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划中的型最值的求解问题，关键在于将所求最值转化为在轴截距的问题.14．已知，且，则的值为______．【答案】-1【解析】通过，的齐次式，求得的值；再利用两角和差的正切公式求解.【详解】又解得：本题正确结果：【点睛】本题考查同角三角函数关系以及两角和差公式的应用，属于基础题.15．在的展开式中，所有形如的项的系数之和是_____（用数字作答）.【答案】240【解析】将变为，将所求问题转变为的所有系数之和，通过赋值法可求得结果.【详解】则展开式通项为：含的项的为：则形如项的系数之和即为展开式的系数之和令，，则：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理的相关知识，求解系数之和问题的关键方法是赋值法，通过赋值，消除变量的影响，得到系数之和.16．如图，三棱锥中，，，，点在侧面上，且到直线的距离为，则的最大值是_______．【答案】【解析】通过点到直线距离为定值，确定点在圆柱侧面上，同时确定点轨迹；根据椭圆性质可知，当落在上时，最大；根据距离可确定为中点，然后利用余弦定理解出结果.【详解】动点到直线的距离为定值动点落在以为轴、底面半径为的圆柱的侧面上可知侧面与三棱锥侧面的交线为椭圆的一部分设其与的交点为，此时最大由题意可得，点到的距离为：则到的距离为可知：为的中点又在中，由余弦定理可得本题正确结果：【点睛】本题考查立体几何中的直线与平面的位置关系，难点在于确定点在侧面上的轨迹类型，锁定最值取得的点，对学生的空间想象能力要求较高.三、解答题17．已知数列与满足：，且为正项等比数列，，.（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，为数列的前项和，证明：.【答案】（1）；（2）见证明【解析】（1）通过作差的方式得到，从而求解出公比，进而得到；可利用等比数列求和推导得到；（2）通过裂项相消的方式，得到，通过放缩得到所证结果.【详解】（1）由……①时，……②①-②可得：，，设公比为（2）证明：由已知：当时，即：【点睛】本题考查等比数列以及裂项相消法求和，解题关键在于能够通过通项公式的形式确定可以进行裂项，从而可以前后相消，得到最终关系式.18．斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）利用等腰三角形三线合一和勾股定理分别证明和，得到平面，进而得到面面垂直；（2）利用空间向量法，得到所求正弦值等于的值；也可以利用体积桥的方式，求出到平面的距离，从而求得正弦值.【详解】（1），，由余弦定理：即或故取中点，连接，，如图所示：是边长为的正三角形，可得：，由得到又为中点，且又，平面平面平面平面（2）解法一：以为原点，所在的直线为轴，取中点，以所在的直线为轴，过作，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则，,,，，设平面的一个法向量为则设所求角为，则解法二：以为原点，所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则，，，设，由可得，，设平面的一个法向量为则，取，则设所求角为，则解法三：由（1）设到平面的距离为，则由面知到平面的距离也为，则设所求角为，则【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明和直线与平面所成角问题.立体几何求解角度问题常常采用空间向量法来求解，线面角的正弦值即为直线与平面法向量所成角的余弦值；也可以求解出直线上的点到平面的距离，再利用直角三角形求解.19．某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2011-2018年的相关数据如下表所示：，，注：（Ⅰ）从该公司2011-2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润（百万元）关于年生产台数（万台）的线性回归方程（精确到0.01）.附：线性回归方程中，，.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）根据数据，确定考核优秀的年份数量，利用超几何分布来求解分布列和数学期望；（2）确定去掉年数据后，公式各个构成部分的数值，代入公式求解回归直线.【详解】（1）由数据可知，，，，，五个年份考核优秀的所有可能取值为，，，，，，故的分布列为：则数学期望（2）解法一：故去掉年的数据之后：，所以，从而回归方程为：解法二：因为，所以去掉年的数据后不影响的值所以而去掉年的数据之后，从而回归方程为：【点睛】本题考查概率统计部分的超几何分布和线性回归问题，关键在于根据题意确定好概率模型，选择合适的模型来进行计算.20．设是坐标原点，圆：，椭圆的焦点在轴上，左、右顶点分别为，，离心率为，短轴长为4.平行轴的直线与椭圆和圆在轴右侧的交点分别为，，直线与轴交于点，直线与轴交于点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当时，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的几何性质，得到关于的方程，求得结果；（2）解法一：假设方程和坐标，利用得到和的坐标，从而将转化为关于的式子，求得范围；解法二：假设方程和坐标，与椭圆方程联立解出点坐标，进一步推导出坐标，将转化为关于的式子，求得范围.【详解】（1）设椭圆的标准方程为由题意得，解得椭圆的标准方程为（2）解法一：设且，，，，设，共线，得，同理得解法二：设，，联立得：，，令得又由，令得又轴【点睛】本题考查直线与椭圆中的求解参数范围类问题，求解范围类问题的关键是能够根据已知关系，构造出关于参数的不等式；常见的已知关系有向量关系、位置关系、长度关系等.21．已知定义在区间上的函数，.（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）若曲线过点的切线有两条，求实数的取值范围.【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）利用导数求得函数单调性，可证得；（2）利用假设切点的方式写出切线方程，原问题转化为方程在上有两个解；此时可采用零点存在定理依次判断零点个数，得到范围，也可以先利用分离变量的方式，构造新的函数，然后讨论函数图像，得到范围.【详解】（1）证明：时，在上递减，在上递增（2）当时，，，明显不满足要求；当时，设切点为（显然），则有，整理得由题意，要求方程在区间上有两个不同的实数解令①当即时，在上单调递增，在上单调递减或先单调递减再递增而，，，在区间上有唯一零点，在区间上无零点，所以此时不满足题要求.②当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.，在区间上有唯一零点，所以此时不满足题要求.③当时，在上单调递减，在上单调递增，，，当即时，在区间上有唯一零点，此时不满足题要求.当即时，在区间和上各有一个零点设零点为，又这时显然在区间上单调递减，此时满足题目要求.综上所述，的取值范围是（2）解法二：设切点为由解法一的关于的方程在区间内有两解显然不是方程的解故原问题等价于在区间内有两解设，且则，且令，，则又，；，，故，；，从而，递增，，递减令，由于时，时故，；，，而时，，时，故在区间内有两解解得：【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用.难点在于将原问题转化为方程根的个数的问题，此时根无法确切的得到求解，解决此类问题的方式是灵活利用零点存在定理，在区间内逐步确定根的个数.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）点为曲线上一点，若曲线上存在两点，，使得，求的取值范围.【答案】(1) ：，：.(2)【解析】（1）根据和直接化简求得结果；（2）过作圆切线，此时两切线夹角为临界状态，需大于等于才能出现的情况，利用角的正弦的范围求出的范围.【详解】（1）由题意得：（2）由（1），过作曲线的两条切线，切点分别记为曲线上存在两点，使得即，即【点睛】本题考查极坐标与参数方程部分的知识，关键在于通过临界值将问题转移到直角三角形内的角的范围问题，构造不等式求解出最终结果.23．[选修4-5：不等式选讲]设函数.（Ⅰ）当时，求函数的定义域；（Ⅱ）若函数的定义域为，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】（1）利用零点分段法讨论各个区间的解析式，得到取值范围；（2）利用恒成立思想，根据绝对值不等式的性质求得最值，得到的范围.【详解】（1）当时，定义域基本要求为：当时，当时，，无解当时，综上：的定义域为（2）由题意得：恒成立【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，关键在于本题定义域为等价于恒成立，利用恒成立中的分离变量法求解.。
安徽省江南十校2019届高三3月份综合素质检数学(理)试题(解析版)
安徽省江南十校2019届高三3月份综合素质检测理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{x|x2＞1，x∈U}，则（）A. B. C. 0， D. 0，2.复数（i为虚数单位），则（）A. B. C. D. 23.抛物线y＝2x2的焦点坐标是（）A. B. C. D.4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，c＝3，B＝2C，则cos2C的值为（）A. B. C. D.5.已知边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E满足，则的值是（）A. B. C. D.6.我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等．利用此原理求以下几何体的体积：曲线y＝x2（0≤y≤L）绕y轴旋转一周得几何体Z，将Z放在与y轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z的顶点O距离为l的平面截几何体Z，得截面圆的面积为．由此构造右边的几何体Z1：其中AC⊥平面α，AC＝L，，AA1＝π，它与Z在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ为矩形，且PQ＝π，FP＝l，则几何体Z的体积为A. B. C. D.7.已知函数（ω＞0）的最小正周期为4π，则下面结论正确的是（）A. 函数在区间上单调递增B. 函数在区间上单调递减C. 函数的图象关于直线对称D. 函数的图象关于点对称8.设函数，则不等式f（3log2x）＋f（1－log2x）＜0的解集是A. B. C. D.9.已知双曲线（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为右支上一点且直线PF2与x轴垂直，若∠F1PF2的角平分线恰好过点（1，0），则△PF1F2的面积为A. 12B. 24C. 36D. 4810.已知函数，（e 是自然对数的底数），若对，，使得f（x1）≥g（x2）成立，则正数k的最小值为（）A. B. 1 C. D.11.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线（实线、虚线）画出的是某几何体的三视图，其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一，则该几何体的表面积为A. 20B.C.D.12.计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应．现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第k个0和第k＋1个0之间有2k＋1个1（k∈N*），即个，则该数的所有数字之和为A. 1973B. 1974C. 1975D. 1976二、填空题（本大题共1小题，共5.0分）13.（1）设x，y满足约束条件，则z＝3x＋y的最小值为________．（2）已知，且，则tanβ的值为________．（3）在（x＋y＋z）6的展开式中，所有形如x a y b z2（a，b∈N）的项的系数之和是________（用数字作答）．（4）如图，三棱锥A－BCD中，AC＝AD＝BC＝BD＝10，AB＝8，CD＝12，点P在侧面ACD上，且到直线AB的距离为，则PB的最大值是________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）14.已知数列{a n}与{b n}满足：a1＋a2＋a3＋…＋a n＝2b n（n∈N*），且{a n}为正项等比数列，a1＝2，b3＝b2＋4．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{c n}满足（n∈N*），T n为数列{c n}的前n项和，证明：T n＜1．15.斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，，∠A1AB＝∠A1AC＝60°．（Ⅰ）证明：平面A1BC⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值．16.某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2011－2018年的相关数据如下表所示：注：年返修率年返修台数年生产台数（Ⅰ）从该公司2011－2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以ξ表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y（百万元）关于年生产台数x（万台）的线性回归方程（精确到0.01）．附：线性回归方程中，，．17.设O是坐标原点，圆O：x2＋y2＝r2（r≥3），椭圆C的焦点在x轴上，左、右顶点分别为A，B，离心率为，短轴长为4．平行x轴的直线l与椭圆C和圆O在y轴右侧的交点分别为E，F，直线AE与y 轴交于点M，直线BE与y轴交于点N．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当时，求r的取值范围．18.已知定义在区间（0，2）上的函数，m∈R．（Ⅰ）证明：当m＝1时，f（x）≥1；（Ⅱ）若曲线y＝f（x）过点A（1，0）的切线有两条，求实数m的取值范围．19.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝5．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）点P（m，n）为曲线C2上一点，若曲线C1上存在两点A，B，使得∠APB＝90°，求n的取值范围．20.设函数f（x）＝lg（|2x－1|＋2|x＋1|－a）．（Ⅰ）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了集合的补集，属于基础题.【解答】解：∵集合U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{x|x2＞1，x∈U}={-2，2}，则，故选D.2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了复数的四则运算和复数的模和共轭复数，属于基础题.【解答】解：复数，则；故选A.3.【答案】C【解析】解：抛物线y=2x2的标准方程为：x2=y，故抛物线y=2x2的焦点坐标是（0，），故选：C．将抛物线化为标准方程，结合抛物线的性质，可得答案．本题考查的知识点是抛物线的性质，化为标准方程是解答圆锥曲线类问题的关键．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查正弦定理以及二倍角公式，属于基础题.由正弦定理求得cosC的值，再运用二倍角公式即可求得答案. 【解答】解：由正弦定理得,即,所以,则cosC=,所以cos2C=.故选B.5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查向量的数量积，属于一般题.【解析】解:，故故选D.6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查空间几何体的体积计算，属于一般题.【解析】解:由题可知Z与Z1的体积相等，故Z1的体积为，故Z的体积为，故选C.7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查与三角函数性质有关的命题的真假判断，涉及三角函数的周期、单调性和对称性的判断，根据相应的定义是解决本题的关键．通过函数的周期求出ω，然后利用函数的对称中心与对称轴、函数的单调性判断四个选项的正误．【解答】解：因为函数的最小正周期为4π，所以ω==，即令，即，当k=1时，是函数的对称轴，令，即，∴的对称中心为；故C正确，D不正确；∵，，；故f（x）在（0，π）不单调；故选C.8.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用函数的单调性及奇偶性比较大小解不等式，属于中档题. 先判断函数的奇偶性、单调性即可解答.【解答】解：设,则，所以，f（x）为奇函数，因为,则f（x ）在上单调递增,又f（0）=0，∴f（x）在R上单调递增，∴不等式f（3log2x）＋f（1－log2x）＜0得不等式f（3log2x）＜f（log2x-1），∴3log2x<log2x-1，∴，解得，∴原不等式的解集为，故选A.9.【答案】B【解析】【分析】此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中过焦点垂直于x轴的弦长，以及有关三角形问题；由题意准确画出图象，利用数形结合，注意到三角形的特殊性．先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的第一定义求得|PF2|，则△PF1F2的面积可得．【解答】解：在双曲线中，a=2，b2=c2-4.∵直线PF2与x轴垂直，∴设P(c,y0)，则，解得，又PA平分∠F1PF2，∴=，，，∴解得c=4，所以，故选B.10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了导数的综合应用.解题关键是由对，，使得f （x 1）≥g （x 2）成立等价于对，使得f （x 1）≥g （x 2）min =g(e)=3;等价于，恒成立；然后结合不等式求最值即可.【解答】 解：∵，∴;当x ∈[0,e],g'(x)<0,当x ∈[e,3],g'(x)>0, g （x ）min =g(e)=3; ∵对，，使得f （x 1）≥g （x 2）成立等价于对，使得f （x 1）≥3；即对，；等价于，恒成立；令；∵x ∈（0，1），∴1-x ∈（0，1） ∴，当且仅当即时等号成立；∴；k≥;故选C.11.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间几何体的三视图及几何体的体积求法，属于中档题．【解答】解：由三视图可知，该几何体可看作棱长为2的正方体切掉四分之一圆柱和八分之一的球体得到的组合体， 所以面积为，面积为，故选B.12.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的应用,属于较难题.将实际问题转化为数学模型是解决本题的关键. 【解答】解:由题意可知,在第n+1个0和第n 个0之间有2n+1个1,其中第一个0之前有1个1. 所以共有个1.所以该数的所有数字之和为1975. 故答案为C.13.【答案】(1) 2: (2)-1; (3)240: (4)【解析】（1） 【分析】本题主要考查利用线性规划求最值. 【解答】 解：不等式组的平面区域，如下图：目标函数z=3x+y，化为直线y=-3x+z，当直线y=-3x+z经过点A（0,2）时，直线在y轴上的截距最小，即z最小，所以z min=2，故答案为2.(2)【分析】本题主要考查同角三角函数的关系式，以及两角和与差的正切公式.【解答】解：因为，解得tanα=2，所以，解得tanβ=-1，故答案为-1.(3)【分析】本题主要考查二项式特定项的系数.【解答】解：因为在（x＋y＋z）6的展开式中，所有形如x a y b z2（a，b∈N）的项为，所以中有：，所以形如x a y b z2（a，b∈N）的项的系数之和是，故答案为240.(4)【分析】本题主要考查空间中的距离.【解答】解：如图，取CD中点E,BE中点O,连接BE,AE,AO,过O作CD的平行线.由题意知，AB=AE=BE=8,故,由得,又,故,又,,故,建立如图所示的空间直角坐标系，可得,故取为平面ACD的基底，由共面向量基本定理设.易知点P到直线AB的距离为,化简得：.故，又，，又,即, 由二次函数图象与性质易知当时取得.故答案为.14.【答案】解：（1）由a1＋a2＋a3＋…＋a n＝2b n①,n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋a n-1＝2b n-1②,①－②可得：a n＝2（b n－b n－1）（n≥2），∴a3＝2（b3－b2）＝8,∵a1＝2，a n＞0，设{a n}公比为q，∴a1q2＝8，∴q＝2,∴a n＝2×2n－1＝2n,∴ ，∴ ．（2）证明：由已知：．∴.【解析】本题考查了等比数列通项公式与求和公式、裂项相消法求数列前n项和,属中档题.（1）先用n-1替换n，作差可得，再根据条件得出，继而根据等比数列通项公式可求出公比及a n，最后根据等比数列前n项和公式求出b n；（2）根据通项公式可裂项，继而求和可前后相消，从而易证的.15.【答案】（1）∵AB＝2，，，由余弦定理得：，即，解得．取BC中点O，连接OA，.∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AO⊥BC，且，BO＝1，由△ △易知，故⊥，且，∵ ，∴ ⊥，又BC∩AO＝O，平面ABC，AO平面ABC，故 ⊥平面ABC，∵ 平面，∴平面 ⊥平面ABC．（2）解法一：在平面中作⊥于，取中点，连结.易知，故⊥.由⊥，⊥，,,,∴ ⊥平面，又平面，∴ ⊥.且易求得，.以O为原点，OB所在的直线为x轴，OK所在的直线为y轴，OG所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图所示：易知B（1，0，0），（1，3，0），（－1，3，0），（0，2，）.∴，，.设平面的一个法向量为，则设所求角为θ，则．解法二：易知，设C到平面的距离为h，由平面知到平面的距离也为h，由.设所求角为θ，则. 【解析】（1）先通过余弦定理计算出，再取BC中点O，由勾股定理易证，从而可证得平面，继而证得平面⊥平面ABC．（2）向量法可先建系写坐标，再求出平面的法向量，继而利用向量的数量积解出BC1与平面所成角的正弦值．直接法可先设到平面的距离为，并通过线面平行转化为到平面的距离为，再在三棱锥中通过等体积法解出，最后由线面角的定义即可得解.本题通过面面垂直的判定及线面角的求法，考查了逻辑推理能力、空间想象能力以及运算化简能力，属中档题．16.【答案】解：（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，故ξ的所有可能取值为0，1，2，3．，，，，故ξ的分布列为：所求．（2）由表易知：，故去掉2015年的数据后不影响的值，即，去掉2015年的数据之后，，,故线性回归方程为：．【解析】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望及线性回归方程，属于基础题．（1）先确定ξ的取值，解出每种情况的概率，再列出分布列，最后计算出数学期望．（2）易知去掉2015数据后不影响的值，再计算去掉2015年的数据后的，，最后代入公式计算出，即得线性回归方程．17.【答案】解：（1）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），由题意得，解得，∴椭圆C的标准方程为.（2）解：设：且t≠0，，，，.设，如图所示，由A、E、M三点共线易知k AM＝k AE，即，即，故，同理可得.；∵，∴ ，∴.【解析】本题综合考查了圆与椭圆的概念及标准方程、椭圆的几何性质、直线的斜率与方程、平面向量数量积的坐标表示，属于难题.(1)由椭圆的概念与几何性质，易求得椭圆的标准方程；(2)由题可设直线的方程及的坐标，由三点共线可得点M,N的坐标，再由平面向量数量积的坐标表示与已知条件，运算化简即可解得的取值范围.18.【答案】解:(1)证：时，，.从而易知：在（0，1]上单调递减，在[1，2）上单调递增，∴ ，∴ ．(2)解：当时，过点，显然不满足题意；当m≠0时，设切点为，由题意易知x0≠1，切线斜率，即，整理得：（*）由题意易知方程（*）在区间（0，2）上有两个不同的实数解．令，.①当即时，在上单调递增，在上单调递减或先单调递减再单调递增，由，，，，∴ 在区间上有唯一零点，在区间上无零点，不满足题意．②当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由，，∴ 在区间上有唯一零点，不满足题意．③当时，在上单调递减，在上单调递增，由，，.当即时，在区间上有唯一零点，不满足题意．当即时，在区间和上各有一个零点，不妨设为，又显然在区间上单调递减，故，满足题意．综上所述，的取值范围为．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值、最值，属于难题.(1)求导，易求得在的极小值，也是最小值，即可推出结论.(2)利用导数的几何意义及直线斜率公式，转化为函数与方程的零点分布问题，利用导数，逐级分类讨论，即可解得的取值范围.19.【答案】解：（1）消去参数可得：；由极坐标和直角坐标方程的关系可得：．（2）易知，过作曲线的两条切线，切点分别记为，由题意易知：，，即，即，即，解得．【解析】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化、直线与圆，属中档题．（1）消去参数可得方程，由极坐标和直角坐标方程的关系可得的直角坐标方程；（2）由题意可得相切时，即，进而可解得的取值范围.20.【答案】解：（Ⅰ）由题意易知：.当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得.综上所述，的定义域为．(Ⅱ) 由题意易知：对于∈恒成立，即，∵，∴．【解析】【解析】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，属中档题．（1）根据对数函数概念有|2x－1|＋2|x＋1|＞4，解绝对值不等式即可解出函数的定义域；（2）问题转化为|2x－1|＋2|x＋1|＞a对于恒成立，根据绝对值不等式的性质，即可解出a的取值范围．。
安徽省江南十校2019届高三3月份综合素质检数学(理)试题(解析版)
101110111110⋯
⏟
2019个 ，则该数的所有数字之和为
1
A. 1973
B. 1974
二、填空题（本大题共 1 小题，共 5.0 分）
C. 1975
D. 1976
2
C.
(0,1)
8
D.
(1,0)
8
4. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若������ = 2 7，c＝3，B＝2C，则 cos2C 的值为（ ）
7
5
4
7
A. 3
B. 9
C. 9
D. 4
⃗ =2⃗
⃗⋅⃗
5. 已知边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，点 E 满足������������ ������������，则������������ ������������的值是（ ）
=
18
8∑������ =
1������������
=
6
，
������
=
18
8∑������ =
1������������
=
4
，
8
∑������ =
1(������������
‒
������)2
=
72
，
8
∑������ =
1(������������
‒
������)2
=
18.045
，
8
∑������ =
年份
2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
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2019届安徽省江淮十校高三第三次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先解不等式得集合A,B，再根据交集定义得结果.【详解】，，，故选.【点睛】本题考查解指数不等式、解一元二次不等式以及交集定义，考查基本求解能力，属基础题.2．已知复数满足（其中为虚数单位），则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据复数除法法则化简即可.【详解】由知:，，故选.【点睛】本题考查复数除法法则，考查基本求解能力，属基础题.3．如图所示，程序框图的输出结果是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】读懂流程图，其功能是求四项的和，计算求值即可.【详解】计算结果是：，故选.【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.4．已知数列满足，则的最小值为（）A．B．C．8 D．9【答案】C【解析】先根据叠加法求，再利用数列单调性求最小值.【详解】由知：，，…，，相加得：，，又，所以，所以最小值为，故选. 【点睛】本题考查数列通项公式以及数列单调性，考查基本分析求解能力，属中档题.5．已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则该四棱锥的体积是（）A．4 B．C．D．【答案】A【解析】根据三视图以及斜二测画法确定四棱锥的高以及底面面积，再根据锥体体积公式求结果.【详解】由三视图可知，该四棱锥的高是3，记斜二测画法中的等腰梯形的上底为，高为，则斜二测中等腰梯形的腰为，而积，由斜二测画法的特点知直观图中底面梯形的高为，面积，，故四棱锥的体积，故选.（也可用结论直接得出：，，）【点睛】本题考查三视图、斜二测画法以及四棱锥体积，考查基本分析求解能力，属中档题. 6．对具有线性相关关系的变量，，有一组观测数据，其回归直线方程为，且，则实数的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求均值，再根据回归直线方程性质求【详解】由知：，，又回归直线一定过样本点的中心，故，.故选【点睛】本题考查回归直线方程性质，考查基本分析求解能力，属基础题.7．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵屏”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先确定总事件数，再列举“心有灵犀”的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件是种，“心有灵犀”的情况包括：，，，，，，，，，，，，共13种，故他们“心有灵犀”概率为，故选.【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.8．已知奇函数，（其中，）在有7个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先利用辅助角公式化简，再根据奇函数得，最后根据零点个数列不等式，解得结果.【详解】，且为奇函数，，，，令，得，由题意恰有7整数满足.则满足条件的整数为-3，-2，-1，0，1，2，3，故，即故选.【点睛】本题考查正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.9．已知为坐标原点，，若点的坐标满足，则的最大值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】先作可行域，再化简，结合图象确定最优解，解得结果.【详解】作出不等式组对应的可行域为如图所示的，且，，，，则对于可行域内每一点，令，先求的取值范围.当点过点时，；当过点时，，，，即，故当过点时，，故选.【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.10．当动点在正方体的棱上运动时，异面直线与所成角的取值范围（）A．B．C．D．【答案】C【解析】通过平行找线线角，再根据三角形求角.【详解】设正方体棱长为1，，则，连接，，由可知，∠即为异面直线与所成角，在中，，，故，又，，又在为单调减函数，，故选.【点睛】本题考查异面直线所成角，考查基本分析求解能力，属基础题.11．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先化简得，再根据余弦定理以及基本不等式求最小值.【详解】设中点为，则，，即，由知角为锐角，故，当且仅当，即时最小，故选.【点睛】本题考查余弦定理、基本不等式以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属中档题.12．已知函数有唯一的零点，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题，再结合图象确定满足的条件，解得结果.【详解】令即：，在同一坐标系中分别作出与的图象知，为增函数，而为减函数，要是交点的横坐标落在区间内，必须：，即：，故选【点睛】本题考查函数零点，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属中档题.二、填空题13．若命题“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是____.【答案】【解析】先转化为原命题为真，再根据函数最值求实数的取值范围.【详解】因为命题的否定是假命题，故原命题为真，即不等式对恒成立，又在为增函数，，即.即实数的取值范围是：.【点睛】本题考查命题否定的真假以及不等式恒成立问题，考查基本分析转化求解能力，属中档题.14．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，且不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】答案：【解析】先根据函数奇偶性得函数解析式以及单调性，再根据单调性化简不等式，最后将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，解得结果.【详解】由为奇函数，.设，，，即，故，从而，故不等式同解于，又为上的单调增函数，故，即对任意的恒成立，，即或.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及不等式恒成立问题，考查基本分析转化求解能力，属中档题.15．已知椭圆的离心率为，过右焦点作倾斜角60°的直线交于，两点（A在第一象限），则________.【答案】【解析】先根据直线方程与椭圆方程解得A横坐标，再根据椭圆定义化简求值.【详解】因为离心率为，所以,设直线的方程代入椭圆方程：得：，又∵点在第一象限，故，所以【点睛】本题考查直线与椭圆交点以及椭圆定义，考查基本分析转化求解能力，属中档题. 16．在中，角，，的对边分别为，，，且，若，的面积记为，则当取得最小值时，______.【答案】【解析】先根据正弦定理化边的关系，再根据余弦定理求，最后根据基本不等式求最值，进而确定S值，解得结果.【详解】由正弦定理及得：，即：，由余弦定理可知：，，又，当且仅当时，即时，取得最小值，此时，.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式求最值，考查基本分析转化求解能力，属中档题.三、解答题17．数列中，，，其中，，，令.（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）见证明，，（2）【解析】（1）先根据向量数量积得递推关系，再根据等差数列证结论，最后根据等差数列通项公式得结果，（2）利用错位相减法求和.【详解】（1），得：，即，故数列是等差数列，且，，（2），，，①，②①-②得：，.【点睛】本题考查等差数列定义、等差数列通项公式以及错位相减法求和，考查基本分析转化求解能力，属中档题.18．三棱柱中，为的中点，点在侧棱上，平面.（1）证明：是的中点；（2）设，四边形是边长为2的正方形，四边形为矩形，且，求三棱锥的体积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）取的中点，利用线面平行判定定理与性质定理、面面平行判定定理以及性质定理得，即得结果.（2）先根据线面垂直得线线垂直，再根据直角三角形得，最后根据锥体体积公式得结果.【详解】（1）证明：取的中点，连、，因为为中点，所以.平面，平面，平面.又由已知平面，且，所以平而平而.又平面，所平面.而平面，且平面平面，所以，而为的中点，所以为的中点.（2）因为为正方形，所以，又，所以，而，所以平面.连，则.设，于是，由，知，所以.即，所以【点睛】本题考查线面平行与垂直判定定理与性质定理、面面平行判定定理与性质定理以及锥体体积公式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.19．2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地一养猪场提供技术服务，收费标准是：每天公司收取养猪场技术服务费120元，当天若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过部分每头收取药费8元.（1）设医药公司日收费为（单位：元），每天需要用药的猪的数量为（单位：头），，试写出医药公司日收取的费用关于的函数关系式；（2）若该医药公司从10月1日起对该养猪场提供技术服务，10月31日该养猪场对其中一个猪舍9月份和10月份猪的发病数量进行了统计，得到如下列联表.9月份10月份合计未发病4085125发病652085合计105105210根据以上列联表，判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关？附：，其中.0.0500.0100.0013.841 6.63510.828【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）根据条件列分段函数，（2）根据公式求得，对照数据比较大小作出判断. 【详解】（1）（2）由列联表可得：，∵，所以有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.【点睛】本题考查分段函数解析式以及卡方公式，考查基本分析求解能力，属中档题.20．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，且，过，两点分别作抛物线的切线，设其交点为.（1）若直线与，轴分别交于点，，且的面积为，求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用导数求切线斜率，再根据切线方程得点，坐标，最后根据三角形面积解得切点坐标，利用抛物线定义得结果，（2）先求P 点坐标，化简，再联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理代入化简即得的值.【详解】（1）设，，抛物线方程写成，，则以点为切点的抛物线的切线的方程为：，又，即，，，，故，∴，，从而.（2）由（1）知：，即：，同理，解得因为，，三点共线，易知直线斜率不存在时不成立，所以方程可设为，联立，整理得，可得，所以，又，所以，，故，所以.【点睛】本题考查导数几何意义以及直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题. 21．已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若存在，使得对任意的，成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）先求导数，再根据导函数符号确定单调性，（2）先确定最大值，再根据一元二次不等式恒成立列式求解.【详解】(1) ，但是：，故在为增函数，在也为增函数.（2）由（1）可知，当时，为增函数根据题意可知：对任意的恒成立.令，则当时，，令，问题转化为对任意的恒成立，由抛物线的开口向上知：即，解得故实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及不等式恒成立问题，考查基本分析求解能力，属中档题.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），把曲线横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线，直线的普通方程是，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系；（1）求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）记射线与交于点，与交于点，求的值.【答案】（1）直线的极坐标方程：；曲线的普通方程为：（2）【解析】（1）利用化直线的直角方程为极坐标方程，先消参数得曲线的普通方程，再根据变换得结果，（2）将直角方程化为极坐标方程，再代入，解得，，即得结果.【详解】（1）将代人直线的方程，得：，化简得直线的极坐标方程：由曲线的参数方程消去参数得曲线的普通方程为：，经过伸缩变换得代入得：，即，故曲线的普通方程为：（2）由（1）将曲线的普通方程化为极坐标方程：，将代人得，将代入得：，故.【点睛】本题考查直角坐标方程化极坐标方程、参数方程化普通方程以及极坐标方程的应用，考查基本分析求解能力，属中档题.23．已知函数.（1）若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围；（2）设，且，时函数的最小值为3，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据绝对值定义化简不等式，解得不等式解集，再根据集合包含关系列式解得结果，（2）先根据绝对值三角不等式得，再利用基本不等式求最值. 【详解】（1）不等式同解于，即，故解集为，由题意，，.（2）故.当且仅当即取等号.故的最小值为.【点睛】本题考查解含绝对值不等式、绝对值三角不等式以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.。