2020新版教材人教A版高中数学必修第一册第二章2.1.1 等式性质与不等式性质
问题2
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就可能相应减少2 000本。如何 定价才能使提价后的销售总收入不低于20万 元呢？
分析：设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为
8 x 2.5 0.2 x万元，
0.1
那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”
于是就有：
a2 b2 2ab
结论：一般地， a,b∈R，那么a2+b2≥ 2ab （当且仅当a=b时，等号成立）
你能给出证明吗？
数的角度（作差法）
证明：因为 a2+b2－2ab=(a－b)2 当 a=b时，(a－b)2 =0； 当a ≠ b时，(a－b)2 ＞ 0 所以， (a－b)2 ≥ 0 ，即a2+b2 ≥ 2ab
当且仅当a=b时，等号成立
巩固练习
1、某钢铁厂要把长度为4000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种。按照生产的要求，600 mm的 数量不能超过500 mm钢管的3倍。怎样写出满足所 有上述不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm的钢管x根，截得600
mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等
am a
证明: ∵ b m b (b m)a (a m)b
am a
(a m)a
ab ma ab bm (a m)a
m(a b) (a m)a
∵ a 、b 、m 都是正数,且 a b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
∴bm b 0∴bm b
p
≥
2.3%
(3).设点A向直线l做垂线，垂足为D，B为
直线l上的任意一点,则 _A_D__≤_A_B_.
A
———— BD
(4).今天的天气预报说：明天早晨最低温度为
7℃，明天白天的最高温度为13℃.
7℃≤t≤13℃
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表 示它们之间的不等关系。含有这些不等号 的式子叫做不等式。
关系：
500x 600y 4000 3x y x 0 y 0
2.在下列各题的横线中填入适当的不等号.
⑴ ( 3 2)2 _<____ 6 2 6; ⑵ ( 3 2)2 _<___( 6 1)2;
⑶ 1 __<____ 1 ;
52
6 5
3、当p，q都是正数且p+q=1时，试比较 代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小。 解：(px+qy)2－(px2+qy2)
关于实数a和b的大小比较，有以下基 本事实：
如果a－b是正数，则a>b；如果a>b， 则a－b为正数；
如果a－b是负数，则a<b；如果a<b， 则a－b为负数；
如果a－b等于零，则a=b；如果a=b， 则a－b等于零。
上述结论可以写成 ： a b ab 0 a b ab 0 a b ab 0
所以(x+2) (x+3) > (x+1) (x+4) ，
例2. 比较x 3 与 x2 x 1的大小.
解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1
=x2(x－1)+(x－1)
∵ x2+1>0，
=(x－1)(x2+1),
∴ 当x>1时，x3>x2－x+1； 当x=1时，x3=x2－x+1，
当x<1时，x3<x2－x+1.
am a
am a
总结
1、用不等式表示实际问题中的不等关系； 2、作差法比较法的原理 3、a2+b2 ≥ 2ab
（当且仅当a=b时，等号成立）
4.数学思想方法：数形结合
作业：P39-40练习1，2
2.1.1 等式性质与不等式性质
现实世界和日常生活中，既有相等关系， 又存在着大量的不等关系，如：
实际生活中
长短
ห้องสมุดไป่ตู้
大小
轻重 高矮
在数学上
B A
AB<AB
C
B A
AB+AC>BC AB-AC<BC
问题1：
你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
(1).右图是限速40km/h的路标，指 示司机在前方路段行驶时，应使汽
可以表示为不等式：
8 x 2.5 0.2 x 20
0.1
求出不等式的解集，就能得到杂志的
定价范围。 如何解不等式呢？
不等式的性质
在初中我们已经通过具体实例归纳出了
一些不等式的性质。那么，这些性质为什
么是正确的？还有其他不等式的性质吗？
数轴上的点与实数一一对应，我们可
以利用数轴上点的位置关系来规定实数的
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
例1．比较(x+2) (x+3) 与(x+1) (x+4)的大小。
解： (x+2) (x+3) － (x+1) (x+4) =( x2+5x+6) －( x2+5x+4) =2 )>0
探究：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会 的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。你能在这个 图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
形的角度：面积关系
将图中的“风车”抽象成如图正方形，在正方形 ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的 两条直角边长为a,b，那么正方形的边长为 a2 b2 。 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的 面积为 a2 b2。由于4个直角三角形的面积小于正方 形的面积，我们 就得到了一个不等式：a2 b2 2ab 。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方 形EFGH缩为一个点，这时有 a2 b2 2ab 。
车的速度v不超过40km/h ，写成不 等式是：_v_≤_4_0__
40
(2).某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的 含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于 2.3%，用不等式可以表示为：(C )
A. f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3% B. f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3%
C.
f ≥ 2.5%
=p(p－1)x2+q(q－1)y2+2pqxy. 因为p+q=1，所以p－1=－q，q－1=－p， 因此(px+qy)2－(px2+qy2)
=－pq(x2+y2－2xy)=－pq(x－y)2，
因为p，q为正数，因此(px+qy)2<px2+qy2. 当且仅当x=y时，不等式中等号成立。
4.已知 a 、b 、m 都是正数,且 a b ,求证: b m b
大小关系：
AO
x B
在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别 为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有 以下三种：
（1）点A和点B重合； （2）点A在点B的右侧； （3）点A在点B的左侧。 在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由 此可得到结论： 对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a<b 三种关系中有且仅有一种关系成立。
新教材人教版高中数学必修第一册 第二章 知识点总结
必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质1.比较大小的基本事实：比较两实数大小的方法——求差比较法0a b a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<。
2.恒成立的不等式：一般地，∀R b a ∈,，有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时等号成立。
说明：（1）指出定理适用范围：R b a ∈,；（2）强调取“=”的条件b a =。
3.等式的性质：性质1：若a =b ，则b =a ;性质2：若a=b,b=c,则a=c;性质3：若a=b ，则a±c=b±c;性质4：若a=b ，则ac=bc;性质5：若a=b ，c≠0，则cb c a = 4.不等式的性质：性质1：若a b >，则b a <；若b a <，则a b >．即a b >⇔b a <。
说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。
性质2：若a b >，b c >，则a c >。
不等式的传递性。
性质3：若a b >，则a c b c +>+。
性质4：如果b a >且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0<c ，那么bc ac <。
性质5：若,,a b c d a c b d >>+>+且则。
性质6：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >。
性质7：如果0>>b a ， 那么n n b a > )1(>∈n N n 且。
2.2 基本不等式1. 如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 说明：（1）这个定理适用的范围：,a b R +∈；（2）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数。
2020新版教材人教A版高中数学必修第一册第二章2.2.1基本不等式
b 2
ab
(a 0, b 0)
一、复习引入
重要不等式：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时，取“=”）
注意：1．指出定理适用范围： a,b R
2．强调取“=”的条件： a b
如果a ＞ 0，b ＞ 0，我们用 a ，b 分别 代替上式中的 a，b， 可得：
a b 2 ab
x
因此f(x)≤ 1 2 6
当且仅当 2x 3 ，即 x2 3 时，式中等
x
2
号成立。
由于x>0，所以 x
6 2
，式中等号成立，
因此 f (x)max 1 2 6
，此时 x 6 。
2
重要不等式 a2 b2 2ab
基本不等式a b 2 ab (a、b∈R+) 结（1）两个正数积为定值，和有最小值。 论（2）两个正数和为定值，积有最大值。
当且仅当x 4 ,即x 2时,等号成立. x
2.求以下问题中的最值 :
(1)若a 0,则当a (2)x, y都为正数,
且 _232_x__y时,42a, xy的9a 有最最大小值值是__11__2____;.
2
3.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说 明此时x,y的值．
AC=a，BC=b.过C点作垂直于AB的弦DE, 连
接AD,BD.你能利用这个图形，得出基本不等
式的几何解释吗？
D
A
a Cb B
E
证明：连接OD，OD a b .又 △ ACD ∽ △ DCB ，
则 CD ab
2
当a≠b时，OD>CD，即 当a=b时，OD=CD，即
人教A版高数必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件
D
GFC
A
H a
E
a2+b2
b B
等式性质与不等式性质(1)
实际 一 不
问题
等
一 不等式
不等 式性
?
关系
质
数学抽象
两个实数大小 关系的基本事 实（作差法）
高中数学
高中数学
注：a + c ＞ b ，a – c ＜ b 等其它合理情势也正确.
高中数学
问题2： 你能用不等式或不等式组表示下列问题中
的不等关系吗？
（4） 连接直线外 一 点与直线上各点的所有线段中，
垂线段最短.
解：如图， 设C是直线AB外的任意一 点，
C
CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任
意 一 点， 连接线段CE， 则CD＜CE.
等式性质与不等式性质(1)
高中数学
代数学习
等式 → 方程（组）
数式
函数
不等式
一
一 元 一 次不 等式（组）
解不等式（组） 的理论根据是什么？
方程（组） 、 不等式与函数之间有什么联系？
高中数学
问题1： 常见的不等关系有哪些？ 你能用文字语言 和符号语言表述吗？
文字语言
符号语言
大于
>
小于
<
大于或等于（ 不小于）
≥
小于或等于（ 不大于）
≤
高中数学
问题2： 你能用不等式或不等式组表示下列问题中 的不等关系吗？
（ 1） 某路段限速40 km/h； 解：设在该路段行驶的汽车的速度为 v km/h，“ 限 速40 km/h ”就是 v 的大小不能超过40， 于是0 ＜v ≤ 40.
高中数学
2019-2020学年高中数学新教材必修一第2章 2.1.1 等式的性质与方程的解集
B．3a－1＝2b－1
C．9a＝4b
D．－a2＝－b3
C [A.∵3a＝2b，∴3a＋1＝2b＋1，正确，不合题意；
B．∵3a＝2b，∴3a－1＝2b－1，正确，不合题意；
C．∵3a＝2b，∴9a＝6b，故此选项错误，符合题意；
D．∵3a＝2b，∴－a2＝－b3，正确，不合题意．故选C.]
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34
A．(x－2)2
B．(x－2)(x＋2)
C．(x＋2)2
D．(x－4)(x＋4)
B [x2－4＝(x＋2)(x－2)．故选 B.]
11
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12
合作探究 提素养
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13
等式性质的应用
【例1】 已知x＝y, 则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；
③－2x＝－2y；④
x y
＝1；⑤
x－2 3
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5
2．恒等式 (1)一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等 式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．恒等式是进行代 数变形的依据之一． (2)一个经常会用到的恒等式：对任意的 x，a，b，都有(x＋a)(x ＋b)＝x2＋_(_a_＋__b_)_x_＋_a_b_.
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1．下列运用等式性质进行的变形，正确的是( ) A．如果 a＝b，那么 a＋c＝b－c B．如果 a2＝3a，那么 a＝3 C．如果 a＝b，那么ac＝bc D．如果ac＝bc，那么 a＝b
7
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8
D [A.当 a＝b 时，a＋c＝b＋c，故 A 错误；B.当 a＝0 时，此时 a≠3，故 B 错误；C.当 c＝0 时，此时ac与bc无意义，故 C 错误；故选 D.]
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质
第二章学习单元一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质A级必备知识基础练1.(多选题)下列关于不等关系的说法正确的是( )A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌,是指示司机要安全通过隧道,应使车载货物高度h米满足关系为h≤4.5B.用不等式表示“a与b的差是非负数”为a-b>0C.不等式x≥2的含义是指x不小于2D.若a<b或a=b之中有一个正确,则a≤b正确2.已知0<=<NB.M>NC.M=ND.M与N的大小关系不确定3.设实数a=√5−√3,b=√3-1,c=√7−√5,则( )A.b>a>cB.c>b>aC.a>b>cD.c>a>b4.[吉林辽源高一月考]已知实数a,b,c满足c<b<a,ac<0,那么下列选项中正确的是( )A.ab>acB.ac>bcC.ab2>cb2D.ca2>ac25.(多选题)已知a,b,c为非零实数,且a-b≥0,则下列结论正确的有( )A.a+c≥b+cB.-a≤-bC.a2≥b2D.1a ≤1b6.(多选题)若正实数x,y满足x>y,则有下列结论,其中正确的有( )A.xy<y2B.>0)D.1x <1x-y8.若bc-ad≥0,bd>0,求证:a+bb ≤c+dd.B级关键能力提升练9.[北京顺义高一月考]已知实数a,b在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是( )A.1b >1aB.a2>b2C.b-a>0D.|b|a<|a|b10.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数,其值大于0且小于1,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机的外观,则该手机“屏占比”相比升级之前( )A.“屏占比”不变B.“屏占比”变小C.“屏占比”变大D.变化不确定11.设x,y为实数,满足1≤x≤4,0<y≤2,求x+y及xy满足的范围.12.已知0<a<b,且a+b=1,试比较: (1)a2+b2与b的大小;的大小.(2)2ab与12参考答案学习单元一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质1.ACD 因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”.不超过用“≤”表示,故说法A正确;因为“非负数”即为“不是负数”,所以a-b≥0,故说法B错误;因为不等式x≥2表示x>2或x=2,即x不小于2,故说法C正确;因为不等式a≤b表示a<b或a=b,故若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b一定正确,故说法D正确.2.B M-N=xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1).∵0<>N.故选B.3.A √5−√3=√5+√3,√3-1=√3+1√7−√5=√7+√5,∵√3+1<√3+√5<√5+√7,∴√3+1>√5+√3>√7+√5,即b>a>c.4.A 因为c<b<a,且ac<0,所以c<0,a>0,b-a<0.所以ab>ac,故A正确;因为a>b,c<0,所以ac<bc,故B错误;当b=0时,ab2=cb2,故C错误;因为a>c,ac<0,所以ca2<ac2,故D错误.故选A.5.AB 因为a-b≥0,则a≥b,根据不等式性质可知A,B正确;因为a,b符号不确定,所以C,D选项无法确定,故不正确.故选AB.6.BCD A中,由于x,y为正实数,且x>y,两边乘y得xy>y2,故A选项错误;B中,由于x,y为正实数,且x>y,所以)-(y-x)<0,则y(),所以yx <y+mx+m成立,故C选项正确;D中,由于x,y为正实数,且x>y,所以x>x-y>0,取倒数得0<1x <1x-y,故D选项正确.8.证明因为bc-ad≥0,所以ad≤bc.因为bd>0,所以ab ≤cd,所以ab+1≤cd+1,所以a+bb ≤c+dd.9.A 由实数a,b在数轴上对应的点可知b<a<0,因此1b >1a,故A正确;由b<a<0可知a2<b2,故B错误;由b<a,可得b-a<0,故C错误;由b<a<0,|b|a=|a|b,即-ba=-ab,故D错误.故选A.10.C 设升级前“屏占比”为ba ,升级后“屏占比”为b+ma+m(a>b>0,m>0),因为b+ma+m −ba=(a-b)ma(a+m)>0,所以该手机“屏占比”和升级前比变大.11.解∵1≤x≤4,0<y≤2,∴1<x+y≤6;∵1≤x≤4,0<y≤2,∴0<xy≤8.12.解(1)因为0<a<b,且a+b=1,所以0<a<12<b, 则a2+b2-b=a2+b(b-1)=a2-ab=a(a-b)<0,所以a2+b2<b.(2)因为2ab-12=2a(1-a)-12=-2a 2+2a-12=-2a 2-a+14=-2a-122<0,所以2ab<12.。
高中数学人教A版必修第一册课件2.1等式性质与不等式性质(课件共11张PPT)
性质3的推论 若a b c,则a c b. 不等式中的项移到另一边时，要改变符号.
性质4 若a b, c 0则ac bc. 若a b, c 0则ac bc.
不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变. 不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变.
探究: 当 a>b 时, 1a与1b的大小关系如何？
一个重要的常用不等式:
a>b,
ab>0
11 a<b
例1
(1)已知a b, c d , 求证：a c b d; (2)已知a b c 0, 求证： b b c .
ab ac ac
练习
(1)已知 a>b>0,c<0, 求证: ac>bc
达式中，从而用f (1)与f (2)来表示f (3)。最后运用已知条
件确定f (3)的取值范围。
解：
f
x
ax2
c
f (1) a c f (2) 4a c
即4aacc
f (1) .
f (2)
解之得ca113[[ff((22))4ff((11))]]
f
(3)
9a c
8 3
f
(2)
5 3
f
例 2 已知 f(x)=ax2－c, 且－4≤ f(1) ≤－1, －1≤f(2)≤5, 求 f(3)的取值范围.
例 2:已知函数f (x) ax2 c, 4 f (1) 1,
1 f (2) 5,求f (3)的取值范围.
分析：利用f (1)与f (2)设法表示a、c然后再代入f (3)的表
新教材高中数学第二章等式性质与不等式性质教案新人教A版必修第一册
新教材高中数学新人教B 版选择性必修第二册：第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质【素养目标】1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象)2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模)3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算)5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理)【学法解读】在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异．第1课时不等关系与比较大小必备知识·探新知基础知识知识点1 不等式与不等关系不等式的定义所含的两个要点．(1)不等符号<，>，______，______或≠.(2)所表示的关系是____________.思考1：不等式“a b ≤”的含义是什么？只有当“a b <”与“a b =”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式a b ≤应读作“a 小于或者等于b ”，其含义是指“a b <或者a b =”，等价于“a 不大于b ”，即若a b <或a b =之中有一个正确，则a b ≤正确．知识点2 比较两实数a ，b 大小的依据000a b a b a b ->⎧⎪-<⎨⎪-=⎩如果依据如果如果比较两实数a ，b 的大小⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧ 如果a －b>0，那么________如果a －b<0，那么________如果a －b ＝0，那么________结论：确定任意两个实数a ，b 的大小关系，只 需确定它们的差a －b 与0的大小关系思考2：(1)在比较两实数a ，b 大小的依据中，a ，b 两数是任意实数吗？(2)若“0b a ->”，则a ，b 的大小关系是怎样的？提示：(1)是 (2)b a >基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)不等式2x ≥的含义是指x 不小于2.( )(2)若20x ＝，则0x ≥.( )(3)若10x -≤，则1x <.( )(4)两个实数a ，b 之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种．( )[解析] (1)不等式2x ≥表示2x >或2x ＝，即x 不小于2.(2)若20x =，则0x =，所以0x ≥成立．(3)若10x -≤，则1x <或者1x =，即1x ≤.(4)任意两数之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种，没有其他大小关系．2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( )A ．40T <B ．40T >C ．40T ≤D ．40T ≥3．已知1x <，则22x +与3x 的大小关系为_____________.关键能力·攻重难题型探究题型一 用不等式(组)表示不等关系例1 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？[分析] 由“这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件”确定售价变化时相应每天的利润，由“每天的利润不低于300元”确定不等关系，即可列出不等式．[解析] 若提价后商品的售价为x 元，则销售量减少10101x -⨯件，因此，每天的利润为810010()[)]0(1x x ---元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为810010()[(10300)]x x ---≥⋅.[归纳提升] 将不等关系表示成不等式的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接．例2 某矿山车队有4辆载重为10t 的甲型卡车和7辆载重为6t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[分析] 首先用变量x ，y 分别表示甲型卡车和乙型卡车的车辆数，然后分析已知量和未知量间的不等关系：(1)卡车数量与驾驶员人数的关系；(2)车队每天运矿石的数量；(3)甲型卡车的数量；(4)乙型卡车的数量．再将不等关系用含未知数的不等式表示出来，要注意变量的取值范围．[解析] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则9106683600407,x y x y x y x y N +≤⎧⎪⨯+⨯≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩即954300407,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩ [归纳提升] 用不等式组表示不等关系的方法首先要先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数还是一组变量之间的不等关系；然后类比等式的建立过程找到不等词，选准不等号，将量与量之间用不等号连接；最后注意不等式与不等关系的对应，不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围．【对点练习】❶用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，要求菜园的面积不小于2110m ，靠墙的一边长为xm ，试用不等式表示其中的不等关系．[解析] 由于矩形菜园靠墙的一边长为xm ，而墙长为18m ，所以018x <≤， 这时菜园的另一条边长为30(15)()22x x m -=-．因此菜园面积(15)2x S x =⋅-，依题意有110S ≥， 即(15)1102xx -≥， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为018(15)1102x x x <≤⎧≥⎪⎨-⎪⎩ 题型二 比较实数的大小例3 已知a ，b[解析] 方法一(作差法)：-=+===. ∵a ，b0>，20≥，∴0≥≥方法二(作商法)===11==+≥.∵0>0>+≥方法三(平方后作差)：∵222a b b a =+，2a b =++∴222()()a b a bab +--=. ∵0a >，0b >，∴2()()0a b a b ab+-≥.又0+>0>+≥[归纳提升] 比较大小的方法1．作差法的依据：0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<. 步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式．2．作商法的依据：()0b ><时，1()a a b b >⇔><；1a a b b =⇔=；1()a a b b<⇔<>. 步骤：作商——变形——判断商与1的大小——得出结论．注意：作商法的适用范围较小，且限制条件较多，用的较少．3．介值比较法：(1)介值比较法的理论根据：若a b >，b c >，则a c >，其中b 是a 与c 的中介值．(2)介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值．【对点练习】❷当1x ≤时，比较33x 与231x x -+的大小．[解析] 3232()()()331331x x x x x x --+--=+ 231()()1x x x +=--231()()1x x =+-．因为1x ≤，所以10x ≤－， 而2310x +>.所以2()(10)31x x +-≤，所以32331x x x ≤-+.第2课时 不等式性质必备知识·探新知基础知识知识点1不等式的性质性质1 a b >⇔ ________；(对称性)性质2 a b >，b c >⇒ ________；(传递性)性质3 a b >⇒ ______________；(同加保序性)推论：a b c >⇒＋___________；(移项法则)性质4 a b >，0c >⇒ __________，(乘正保序性)a b >，0c ac bc <⇒<；(乘负反序性)性质5 a b >，c d >⇒ ______________；(同向相加保序性)性质6 0a b >>，0c d >>⇒ __________；(正数同向相乘保序性)性质7 0a b >>⇒ __________()2n N n ∈≥，．(非负乘方保序性)思考：(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则？(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？(3)使用性质6,7时，要注意什么条件？提示：(1)移项法则．(2)不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向．(3)各个数均为正数．基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)若a b >，则22ac bc >.( )(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( )(3)设a ，b R ∈，且a b >，则33a b >.( )(4)若a c b d >＋＋，则a b >，c d >.( )[解析] (1)由不等式的性质，22ac bc a b >⇒>；反之，0c =时，a b >22ac bc >.(2)相乘需要看是否00a b c d >>⎧⎨>>⎩，而相加与正、负和零均无关系．(3)符合不等式的可乘方性．(4)取4a =，5c =，6b =，2d =，满足a c b d >＋＋，但不满足a b >，故此说法错误．2．设b a <，d c <，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a c b d ->-B ．ac bd >C ．a c b d >＋＋D ．a d b c >＋＋3．已知0a <，10b -<<，那么下列不等式成立的是( )A ．2a ab ab >>B ．2ab ab a >>C ．2ab a ab >>D ．2ab ab a >>[解析] 由10b -<<，可得21b b <<，又0a <，∴2ab ab a >>，故选D ．4．用不等号“>”或“<”填空：(1)如果a b >，c d <，那么a c -______b d -；(2)如果0a b >>，0c d <<，那么ac ______bd ；(3)如果0a b >>，那么21a ______21b ； (4)如果0a b c >>>，那么c a ______c b . [解析] (1)∵cd ->-，∴c d ->-，∵a b >，∴a c b d ->-.(2)∵0c d <<，∴0c d ->->.∵0a b >>，∴ac bd ->-，∴ac bd <.(3)∵0a b >>，∴0ab >，10ab >，∴110a b ab ab>>， ∴110b a >>，∴2211()()b a >，即2211a b<. (4)∵0a b >>，所以10ab >，10ab >.于是11a b ab ab ⋅>⋅，即11b a >，即11a b <.∵0c >，∴c c a b<. 关键能力·攻重难题型探究例1 若0a b <<，则下列结论正确的是( )A ．22a b <B ．2ab b <C ．11a b> D ．22ac bc > [分析] 通过赋值可以排除A ，D ，根据不等式的性质可判断B ，C 正误．[解析] 若0a b <<，对于A 选项，当2a =-，1b =-时，不成立；对于B 选项，等价于a b >，故不成立；对于C 选项，110b a<<，故选项正确；对于D 选项，当0c =时，不正确． [归纳提升] 判断关于不等式的命题真假的两种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．【对点练习】❶设a ，b 是非零实数，若a b <，则下列不等式成立的是( )A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b a a b< [解析] 当0a <，0b >时，22a b <不一定成立，故A 错．因为22()ab a b ab b a =--，0b a ->，ab 符号不确定，故B 错.2222110a b ab a b a b --=<，所以2211ab a b <，故C 正确．D 中b a 与a b的大小不能确定． 题型二 利用不等式的性质证明不等式例2设a b c >>，求证：111>0a b b c c a++---. [分析] 不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立．[证明] 因为a b c >>，所以c b ->-.所以0a c a b ->->，所以11>>0a b a c--. 所以110a b c a+>--.又0b c ->， 所以10b c >-.所以1110a b b c c a ++>---. [归纳提升] 利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【对点练习】❷若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：22>()()e e a c b d --. [证明] 因为0c d <<，所以0c d ->->.又因为0a b >>，所以0a c b d ->->.所以22()()0a c b d ->->.所以22110()()a c b d <>--. 又因为0e <，所以22>()()e e a c b d --. 题型三 利用不等式的性质求范围例3 已知14x -<<,23y <<.(1)求x y -的取值范围．(2)求32x y ＋的取值范围．[解析] (1)因为14x -<<,23y <<，所以32y -<-<-，所以42x y -<-<.(2)由14x -<<,23y <<，得3312x -<<,426y <<，所以13218x y <<＋.[归纳提升] 利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【对点练习】❸已知1025m <<，3015n -<<-，求m n -与m n的取值范围． [解析] 因为3015n -<<-，所以1530n <-<，所以 10152530m n <-<＋＋，即2555m n <-<.因为3015n -<<-，所以1111530n -<-<，所以1113015n <-<，又111<<3015n ， 所以10253015m n <-<，即1533m n <-<. 所以5133m n -<<-. 误区警示错用同向不等式性质例4 已知1260a <<,1536b <<，a b的取值范围是_____________. [错解] ∵1260a <<,1536b <<，∴1260<<1536a b ， ∴45<<53a b .故填45<<53a b . [错因分析] 把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而导致错误．[正解] ∵1536b <<，∴1113615b <<，又1260a <<，∴12603615a b <<，∴ 143a b <<，故填143a b<<. [方法点拨] 若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．学科素养不等关系的实际应用不等关系是数学中最基本的部分关系之一，在实际问题中有广泛应用，也是高考考查的重点内容．例5 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：2m )分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/2m )分别为a ，b ，c ，且a b c <<.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++[分析] 本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较大小．[解析] 方法一：因为x y z <<，a b c <<，所以0()()()()()ax by cz az by cx a x z c z x x z a c ++-++--=--=>＋，故ax by cz az by cx ++>++；同理，0()()()()()ay bz cx ay bx cz b z x c x z x z c b ++-++--=--=<＋，故ay bz cx ay bx cz ++<++.又0()()()()()az by cx ay bz cx a z y b y z a b z y ++-++--=--+<=，故az by cx ay bz cx ++<++.综上可得，最低的总费用为az by cx ++.方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若1x =，2y =，3z =，1a =，2b =，3c =，则14ax by cz ++＝，10az by cx ++＝，11ay bz cx ++＝，13ay bx cz ++＝.由此可知最低的总费用是az by cx ++.[归纳提升] 对于不等关系判断问题的求解，一般需要通过作差进行推理论证，对运算能力要求较高，但对于具有明确不等关系的式子进行判断时，特殊值法是一种非常值得推广的简便方法．。
人教A版必修第一册高中数学2.1等式性质与不等式性质【教学课件】
提价后的销售总收入不低于20万元?
学习新知
如何解上述不等式呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式
的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质．
在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质
为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？
[练习2]比较大小 : x2 2 y 2 ____
> 2xy 2 y 2.
①画图
②配方
析 : x2 2 y 2 (2 xy 2 y 2) ( x y)2 ( y 1)2 1
2
2
2.重要不等式：a, b R, a b 2ab(当且仅当a b时等号成立).
这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．
这是解决不等式问题的常用方法．
应用新知
这种比较大小的方法通常称为作差比较法．
其思维过程：作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论，
其中变形是判断符号的前提．
作差法比较大小的基本步骤：
（1）作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
（2）变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；
④限制宽度3m, 0 < ≤ 3.
④通行时间7: 30 − 10: 00,7.5 ≤ ≤ 10.
引入新知
在数学中，我们用不等式来表示不等关系.
文字语言
数学符号
文字语言
大于
＞
大于，高于，超过
小于
＜
小于，低于，少于
大于或等于
≥
至少，不少于，不低于
小于或等于
≤
至多,不多于,不超过
新教材人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 精品教学课件(136页)
[答案] C
利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数 的性质(单调性)． (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足 a＞0，b＞0.
设 M＝a＋a－1 2(2＜a＜3)，N＝x(4 3－3x)0＜x＜433，则 M，N 的大小关系为(
术平均数，___a_b____ 叫做正数 a，b 的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的___算__术__平__均__数__不__小__于__它__们__的__几__何__平__均__数_____．
[自主检测]
1．a，b∈R，则 a2＋b2 与 2|ab|的大小关系是( )
A．a2＋b2≥2|ab|
答案：D
2．已知 a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列判断中正确的是( )
A．a－c＜b－d
B．ac＞bd
C.ad＜bc
D．ad＞bc
答案：B
3．设 a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是( )
A．a－c＞b－d
B．ac＞bd
C.ac＞db
D．b＋d＜a＋c
答案：D
4．若 f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则 f(x)与 g(x)的大小关系是________． 答案：f(x)＞g(x)
(2)已知 b 克糖水中含有 a 克糖(b＞a＞0)，再添加 m 克糖(m＞0)(假设全部溶解)，糖 水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．
[证明] ab－ab＋ ＋mm＝ab＋bmb－＋bma ＋m＝mbba＋－mb， ∵b＞a＞0，m＞0，∴a－b＜0， mbba＋－mb＜0， ∴ab＜ab＋ ＋mm.
纠错心得 (1)使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或 弱化它们成立的条件，盲目套用． (2)注意同一个问题中应用同向不等式相加性质时不能多次使用(因多次使用时取等号 的条件会发生改变)，否则不等式范围将会扩大．
人教版高中数学必修第一册第二章2.1.1等式性质与不等式性质(1)【课件】
、不等式的证明、最值和范围的求解，考查学生对数形结合、分
类讨论、等价转，考查运算求解、推理论证和数学建模等数学素养．
3. 在呈现方式上,有单独以不等式相关知识为背景的试题,这类试
题通常以选择题或填空题的形式呈现;也有将不等式作为工具的
会用不等式(组)表示实际问题中
的不等关系
在实际问题中发现不等关系，并
表示出不等关系，发展数学抽象
及数学建模素养
会用比较法比较两数(式)的大小
借助比较两数(式)的大小，培养
逻辑推理及数学运算素养
情境导学
某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往．甲车
队说：“若领队买全票一张，则其余人可享受七五折优
惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的八折优惠。”
态氮含量为z g，非糖固形物含量为w g．则本题中的不等关系
0 x 15.0,
可用不等式组表示为
y 14.5%,
z 0.2,
w 5.0
.
【解】
设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根，
课时1
等式性质与不等式性质(1)
教学目标
1. 通过实际问题情境,了解不等关系与不等式(组)的实际背
景,感受现实世界和日常生活中存在着不等关系,会用不等式
表示现实生活中的不等关系,培养数学抽象素养.
2. 正确理解不等式的意义,灵活运用作差法比较两数(式)的
大小,培养数学运算素养.
学习目标
课程目标
学科核心素养
用等于一体，体现数学知识之间的有机联系和不等式的广泛应用
性，充分地发挥出不等式的工具作用．运用导数研究函数的性质