一、求数列通项公式的三种常用方法
数列求通项的十种方法
数列求通项的十种方法
数列是数学中的一个重要概念，对于求数列通项的问题，有许多不
同的解法。
下面将介绍十种求解数列通项的方法。
1. 暴力求解法：将数列中的前几项写出来，然后根据已知项之间的规
律来推出通项公式。
2. 公式推导法：利用一些已知的数列通项公式，结合这个数列的特点，在此基础上推导出此数列的通项公式。
3. 通项公式分解法：将数列的通项公式分解为元素之和的形式，从而
得到每一项的通项公式。
4. 递推公式求解法：根据数列中一些指定的通项公式，推导出递推公式，并使用递推公式依次求出数列中每一项的通项公式。
5. 差分法：通过对数列求差（即相邻项之差），得到一个新数列，然
后对新数列再次求差，直到差分后的数列为常数列，最后通过累加得
到原数列的通项公式。
6. 微积分法：对数列进行微积分操作，得到导数，然后再对导数积分，通过积分得到原数列的通项公式。
7. 特征方程法：将递推公式转化为特征方程，并求解特征根，然后根
据特征根求得通项公式。
8. 奇怪公式法：有些数列的通项公式看起来十分奇怪，但通过反复验证，发现确实有效。
9. 递归法：通过一个递归的函数，根据某一项的值递归计算其他项的值，最终得到整个数列的通项公式。
10. 牛顿插值法：利用牛顿插值法，通过已知的数列中一部分数值，反
推出整个数列的通项公式。
以上是十种求解数列通项的方法，每种方法都有其适用范围和局限性。
对于不同的数列，选择不同的方法求解，可以得到更加准确和简便的
结果。
求数列通项公式的十种常用方法
求数列通项公式的十种常用方法一、构造法构造法是最常见的求解数列通项公式的方法，是根据已知的数列的前几项逐步构造出数列的通项公式的过程，主要包括归纳法、设数据项法、递推法等。
1.归纳法归纳法是根据已知数列中前几项，把同一个数列中的每一项视为全体项的一部分，由以已知项为特例，讨论出全体项的总体规律。
2.设数据项法设数据项法是根据数列的某项与它的前面几项的关系来建立通项公式的方法。
设数据项始终指代着形式未知却已给出它跟前几项关系的某一项，而根据设数据项得出的数列形式叫做设数据项形式，其通项公式就是设数据项形式的通项公式。
3.递推法递推法是根据数列中任一项与它的后面几项的关系，从已知项不断向前推出未知项，从而推出数列的通项公式的方法。
二、方程法方程法是利用数列的某一项与此数列的其它项的关系式组成的线性方程组或者非线性方程组，求解通项公式的概念，虽然它给出的通项公式也不易求解，但是它与构造法相比，可能会在某些情况下得到更简洁的通项公式，所以它也成为了求解数列通项公式常用的方法之一。
三、数学归纳法数学归纳法是一种利用一般性原理来更加正规地寻求数列通项公式的方法，它具有比构造法更多的优点，比如说，它可以处理更加复杂的情形（例如次通项不是已知项的一个常数倍）。
四、分析法分析法是指用分析几何和代数几何方法，通过考察数列中某几个项的构成方式，来推导出整个数列的通项公式的抽象方法。
五、导数比导数比是指根据数列的前几项来推算下一项的一种技巧，以项数为横坐标，相邻两项的比值为纵坐标构成一幅函数图象，然后根据曲线图象分析可以推出数列的某种规律，从而推出数列的通项公式。
六、逆序法逆序法是反其道而行之，以数列的最后一项为起点，根据已知的数列的前几项和最后一项的运算关系，得出最后一项的前一项，以此类推，一直到起始项，从而得出数列的通项公式的一种方法。
七、特殊函数解特殊函数解法是指利用特殊函数及其组合函数构成的数列通项公式的解法，在实际问题中，特殊函数有对数函数、指数函数、三角函数等，使用这些函数可以构成一种数列，从而求出数列的通项公式。
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十种方法求解数列的通项公式是高中数学中的一个重要问题，通常需要运用数学分析方法、递推关系、差分方法等多种技巧。
下面将列举十种常见的方法来求解数列的通项公式。
方法一：等差数列的通项公式对于等差数列 an = a1 + (n - 1) * d，其中 a1 为首项，n 为项数，d 为公差。
通项公式可以直接通过公式计算得出。
方法二：等差数列的求和公式对于等差数列 S = (n / 2) * (a1 + an)，其中 S 为前 n 项和，a1 为首项，an 为末项，n 为项数。
可以通过求和公式推导出等差数列的通项公式。
方法三：等比数列的通项公式对于等比数列 an = a1 * r^(n - 1)，其中 a1 为首项，r 为公比，n 为项数。
通项公式可以直接通过公式计算得出。
方法四：等比数列的求和公式对于等比数列S=(a1*(r^n-1))/(r-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
可以通过求和公式推导出等比数列的通项公式。
方法五：递推关系法对于一些递推关系的数列，可以通过寻找规律，构建递推关系来求解数列的通项公式。
例如斐波那契数列就可以通过递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=1，来求解通项公式。
方法六：二项式展开法对于一些满足二项式展开的数列，可以通过展开得到二项式系数，然后通过系数的通项公式来求解数列的通项公式。
例如二项式数列(x+1)^n的展开系数就是通过n阶二项展开推导出来的。
方法七：差分法通过对数列进行差分操作，找到规律来求解数列的通项公式。
例如，如果差分的结果是一个等差数列，那么原数列就是一个二次或高次多项式。
方法八：线性递推法对于一些线性递推关系的数列，可以通过构建矩阵形式或特征方程的方法来求解数列的通项公式。
例如，对于一阶线性递推数列a(n)=p*a(n-1)+q，可以通过特征方程x-p*x-q=0来求解通项公式。
方法九：插值法通过给定数列中的若干项，利用 Lagrange 插值公式来推导数列的通项公式。
求数列通项公式常用的八种方法
求数列通项公式常用八种方法一、 公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+= 或11-=n n q a a 进行求解.二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .（分3步）三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .（分3步）四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.六、构造法：㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:------＋常数P㈡、取倒数法：这种方法适用于11c --=+n n n Aa a Ba ()2,n n N *≥∈（,,k m p 均为常数 0m ≠），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 1n n a ka b -=+的式子.㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数）例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a分析：由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a >∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得211lg lg 2lg n n n a a a --== 即1lg 2lg n n a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列故112lg 2lg3lg3n n n a --==∴123n n a -=七、“1p ()n n a a f n +=+（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a . 可以先在等式两边 同除以f(n)后再用累加法。
求数列通项公式的几种基本方法
求数列通项公式的几种基本方法一、递推法递推法是一种常用的求解数列通项公式的方法。
它是基于数列中的前一项或前几项与后一项或后几项之间的关系来推导数列的通项公式。
通过观察数列中的规律，我们可以写出数列中相邻两项之间的递推关系式，并利用该关系式递推得到数列的通项公式。
举例说明，假设要求解数列的通项公式：1,3,5,7,9,...通过观察数列可以发现，每一项都比前一项大2，可以推测数列的递推关系式为an = an-1 + 2、其中an表示数列中的第n项。
进一步，假设第一项为a1，则有a2 = a1 + 2，a3 = a2 + 2，依此类推。
通过这种方式，可以逐步得到数列中的每一项。
在本例中，由于数列的首项为1，所以数列的通项公式为an = 2n-1二、代数法代数法是另一种常用的求解数列通项公式的方法。
它通过假设数列的通项公式为一些未知数表达式，然后通过已知条件求解未知数的值，从而得到数列的通项公式。
举例说明，假设要求解数列的通项公式：1,4,9,16,25,...通过观察数列可以发现，每一项都是一些整数的平方。
假设数列的通项公式为an = n^2，其中n表示数列中的第n项。
我们可以通过验证前几项来确定这个假设是否成立。
在本例中，当n=1时，a1 = 1^2 = 1，当n=2时，a2 = 2^2 = 4，通过验证可知假设成立，因此数列的通项公式为an = n^2三、解方程法解方程法也是一种常用的求解数列通项公式的方法。
它通过设立数列中的一些项之间的方程，然后求解这个方程，从而得到数列的通项公式。
举例说明，假设要求解数列的通项公式：2,5,10,17,26,...通过观察数列可以发现，每一项都比前一项大3、5、7、9，可以推测数列的递推关系式为an = an-1 + 1 + (2n-1)。
其中an表示数列中的第n项。
进一步，假设第一项为a1，则有a2 = a1 + 1 + 1，a3 = a2 +1 + 3，依此类推。
求数列通项公式的三种方法
一般地，数列的通项公式可用数列的第n 项表示出来，因此求数列的通项公式，关键是根据数列各项之间的规律，求得数列第n 项的表达式.求数列的通项公式问题可采用公式法、逐差相加法、逐商相减法来求解.一、公式法对于求数列的通项公式来说，公式法是最简单，也最直接的方法，但该方法只适用于求解等差、等比数列的通项公式问题.在解题时，需首先根据等差、等比数列的定义判定数列的类型，然后求出数列的首项、公差、公比，再根据等差数列的通项公式：a n =a 1+(n -1)d ；等比数列的通项公式：a n =a 1q n -1来求解.例1.已知数列{a n }满足a 1=0，且11-a n +1-11-a n =1，求数列{a n }的通项公式.解:∵11-a n +1-11-a n =1,a 1=0，∴11-a 1=1，∴数列{}11-a n是以1为首项，1为公差的等差数列，∴11-a n =11-a 1+(n -1)×1=n ,∴数列{a n }的通项公式为a n =n -1n .由等差数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，可知数列{}11-a n是等差数列，求得数列的首项、公差，便可利用等差数列的通项公式求出数列{}11-a n 的通项公式，通过运算，即可得到a n 的表达式.二、逐差相加法逐差相加法也叫做累加法，是求数列通项公式的常用方法之一.当遇到形如a n +1-a n =f (n )的递推式时，可采用逐差相加法求数列的通项公式.首先令n =1,2,3,…,n ，得到a n +1-a n =f (n ),a n -1-a n -2=f (n -1),…,a 2-a 1=f (1)，再将各项相加可得a n -a 1=(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)=f (n )+f (n -1)+…+f (1).通过正负相消，即可求得a n 的表达式.例2.若数列{a n }满足a n +1=a n +2n +1,a 1=1,求数列{a n }的通项公式.解:∵a n +1=a n +2n +1，∴a n +1-a n =2n +1，a n -a n -1=2n -1，...a 3-a 2=3=3，a 2-a 1=1.将上述式子累加可得(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)=[2(n -1)+1]+[2(n -2)+1]+…+(2×2+1)+(2×1+1)=2[(n -1)+(n -2)+…+2+1]+(n -1)=2×(n -1)n 2+(n -1)=n 2-1,∴a n =n 2，即数列{a n }的通项公式为a n =n 2.有些数列的递推式并不满足n =1的情况，因此运用逐差相加法求数列的通项公式，要注意考虑n =1的情况是否满足所求得的数列通项公式.三、逐商相乘法逐商相乘法也叫做累乘法，主要适用于求解由形如a n +1a n=f (n )的递推式求数列的通项公式问题.在解题时，需先分别令n =1,2,3，…，n ，得到=f (n )，a n -1a n -2=f (n -1),…，a 2a 1=f (1)，再将各项相乘可得a n a 1=a n +1a n ·a n -1a n -2·…·a 2a 1=f (n )·f (n -1)·…·f (1).通过约分，即可求得a n 的表达式.例3.已知数列{a n }是首项为1的正项数列，(n +1)a 2n +1-na 2n +a n +1a n =0，求数列{a n }的通项公式.解：(n +1)a 2n +1-na 2n +a n +1a n =(a n +1+a n )[(n +1)a n +1-na n ]=0,∵a n +1+a n >0，∴(n +1)a n +1=na n ，∴a n +1a n =n n +1，∴a 2a 1=12，a 3a 2=23，a 4a 3=34，…，a n a n -1=n -1n ，将上述n -1个式子相乘可得a n a 1=1n ，∴数列{a n }的通项公式为a n =1n.将数列的递推公式变形后，便可得到形如a n +1a n=f (n )的式子，于是采用逐商相乘法来求解，就能得到数列{a n }的通项公式.总之，无论运用哪种方法求解，都需仔细研究数列的各项或递推式，将其进行适当的变形，使其转化为a n +1-a n =d 、a n +1-a n =f (n )、a n +1a n =d 、a n +1a n =f (n )的形式，然后采用定义法、逐差相加法、逐商相乘法来求出数列的通项公式.（作者单位：甘肃省庆阳市环县第五中学）杜海坤探索探索与与研研究究50。
求数列通项公式的十种办法
求数列通项公式的十种办法求数列的通项公式是数学中的一项重要工作。
下面列举了十种常用的求解数列通项公式的方法：1.递推法：这是最常见的一种方法。
通过观察数列中的规律，找出前一项与后一项之间的关系，并将其表达成递推公式，从而求得数列的通项。
例如斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n项，F(n-1)表示第n-1项，F(n-2)表示第n-2项。
2.数列差法：如果数列的前后两项之间的差值有规律可循，可以通过观察差的变化规律来得到通项公式。
例如等差数列：a(n)=a(1)+(n-1)d，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，d表示公差。
3.数列比法：如果数列的前后两项之间的比值有规律可循，可以通过观察比的变化规律来得到通项公式。
例如等比数列：a(n)=a(1)*r^(n-1)，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，r表示公比。
4.代数方程法：数列中的数可以看作方程中的未知数，通过列方程组求解，得到方程的解即为数列的通项公式。
例如斐波那契数列可以通过矩阵的特征值和特征向量求得。
5.数列求和法：如果数列是由一个个项的和组成的，可以通过数列的求和公式求得通项公式。
例如等差数列的前n项和：S(n)=[n/2]*[2a(1)+(n-1)d]，其中[n/2]表示n除以2的整数部分，a(1)表示首项，d表示公差。
6.数列积法：如果数列可以表达为一系列项的连乘积的形式，可以通过求取连乘积的对数，再利用对数运算得到通项公式。
例如等比数列的前n项积：P(n)=a(1)^n*(r^n-1)/(r-1)，其中a(1)表示首项，r表示公比。
7.查表法：如果数列的部分项已知，可以通过列出表格的方式观察规律，推测出通项公式。
例如自然数列：1,2,3,...，通过观察可得到通项公式：a(n)=n。
8.数学归纳法：数学归纳法是一种证明方法，但也可以用来求数列的通项公式。
首先证明数列的通项公式对n=1成立，然后假设对n=k也成立，通过数学归纳法证明对n=k+1也成立，从而得到通项公式。
求数列通项公式的三种常用方法
在数列问题中，求数列的通项公式问题比较常见，但有些求数列的通项公式的问题较为复杂，利用等差、等比数列公式很难直接求得结果，需要采用一些方法，如累加法、累乘法和构造法，才能使问题得解.下面我们来探讨一下累加法、累乘法和构造法在解题中的应用.一、累加法有些数列的递推式可以转化为a n +1=a n +f (n )或a n +1-a n =f ()n 的形式，我们就可以采用累加法来求解，将n =1，2，3，…，n 时f (n )的式子表示出来，然后将左边与左边的式子相加，右边与右边的式子相加，通过正负抵消求出a n ，便可得到数列的通项公式.累加法也称为逐差相加法，这种方法是比较简单、比较基础的，操作起来也比较容易.例1.设数列{}a n 满足a 1=1，且a n +1=a n +n +1(n ∈N *)，则数列{}a n 的通项公式为_____.分析：题目中给出的递推式形如a n +1=a n +f (n )，可运用累加法来求解，逐一列出各项，并将其累加，便可求出数列的通项公式.解：由题意知a 2=a 1+2，a 3=a 2+3，a 4=a 3+4，…，a n =a n -1+n (n ≥2)，将以上各式进行相加可得a n =a 1+2+3+…+n ，又a 1=1，所以a n =1+2+3+…+n =n 2+n 2(n ≥2)，当n =1时也满足上式，所以数列{}a n 的通项公式为a n =n 2+n 2(n ∈N *).在运用累加法求和时，很多同学们经常忽略了n =1的情况，因此在求出了a n 之后，必须要检验a 1是否满足所求的通项公式.二、累乘法当遇到形如a n +1a n=f ()n 或a n +1=f ()n a n 的递推式，我们可以采用累乘法来求解.首先列出n =1，2，3，…，n 时f (n )的表达式，然后将每项的左边与左边，右边与右边相乘，通过约分就可以求出a n .需要注意的是，在使用这种方法求数列的通项公式时，不要把a n 与f ()n 、f ()n -1、f ()n +1的对应项弄混.例2.设数列{}a n 满足a 1=1，且a n =n -1n a n -1(n ≥2)，则数列{}a n 的通项公式为_____.分析：题目中给出的递推公式为a n =n -1n an -1，即a n a n -1=n -1，形如a n +1a n =f ()n ，运用累乘法求解比较简便.解：∵a n =n -1n a n -1(n ≥2)，∴a n -1=n -2n -1a n -2，a n -2=n -3n -2a n -3，…，a 2=2a 1.将上述n -1个式子相乘后可得a n =a 1⋅12⋅23⋅34⋅…⋅n -1n =a1n =1n，当n =1时，a 1=1，满足上式，∴a n =1n(n ∈N *).三、构造法对于一些形如a n +1=pa n +q (p ≠0、1,q ≠0)的递推式，我们一般采用构造法来求数列的通项公式.可首先设a n +c =k (a n -1+c )，然后利用待定系数法求出相关k ,c 的值，这样便构造出等比数列{}a n +c ，运用等比数列的通项公式求得{}a n +c 的通项公式，进而得到{}a n 的通项公式.例3.已知数列{}a n 满足a 1=1，且a n +1=3a n +2，则数列{}a n 的通项公式为_____.分析：题目中给出的递推式形如a n +1=pa n +q ，结合已知条件可构造出新的等比数列，然后利用等比数列的通项公式来求解.解：∵a n +1=3a n +2，∴a n +1+1=3a n +2+1，即a n +1+1=3a n +3=3(a n +1)，∴a n +1+1a n +1=3，∴数列{}a n +1为q =3的等比数列，又a 1+1=2，∴a n +1+1=2∙3n -1，∴a n =2∙3n -1-1(n ∈N *).以上三种方法都是求数列通项公式的常用方法，同学们要扎实掌握.求数列的通项公式问题并没有同学们想象中的那么难，只要同学们能够熟练掌握常用的解题方法和技巧，学会举一反三，就能在掌握精髓的基础之上破解此类问题.（作者单位：安徽省宣城中学）方法集锦47Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
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一、求数列通项公式的三种常用方法2;3.n n S a ⎧⎪⎨⎪⎩1、利用与的关系；、累加（乘）法、构造法（或配凑法、待定系数法）1、利用n n S a 与的关系求通项公式：1-11-1=1;=-.-n n n n n S a S S S S S ⎧⎨≥⎩ ， 当n 时利用 ，当n 2时注意：当也适合时，则无需分段(合二为一)。
例1、设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，11a b =且2211().b a a b -= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；解：（1）,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当当;2,111===S a n 时也满足上式。
故{a n }的通项公式为42,n a n =-设{b n }的公比为q ， 111, 4, .4b qd b d q ==∴=则 故1111122,44n n n n b b q---==⨯= 12{}.4n n n b b -=即的通项公式为例2、数列}{n a 的前n 项和为S n ，且111,3, 1,2,3,n n a S a n +===，求：（1）2a 的值。
（2）数列}{n a 的通项公式； 解：（1）由得,,3,2,1,31,111 ===+n S a a n n .313131112===a S a111234222211()(2),3344,(2),...33114,()(2).3331,1,,{}14(), 2.33n n n n n n n n n n n n a a S S a n a a n a a a a q a a n n a a n +-+---=-=≥=≥===≥=⎧⎪=⎨≥⎪⎩(2)由得即，，，是以为首项，为公比的等比数列又所以所以数列的通项公式为例3 已知函数 f (x ) = a x 2 + bx －23 的图象关于直线x =－32对称, 且过定点(1,0)；对于正数列{a n },若其前n 项和S n 满足S n = f (a n ) （n ∈ N *） （Ⅰ）求a , b 的值；（Ⅱ）求数列{a n } 的通项公式；(Ⅰ)∵函数 f (x ) 的图象关于关于直线x =－32对称,∴a ≠0,－b 2a =－32 , ∴ b =3a ①∵其图象过点(1,0)，则a +b －23 =0 ②由①②得a = 16 , b = 12 . 4分(Ⅱ)由(Ⅰ)得2112()623f x x x =+- ，∴()n n S f a ==2112623n n a a +-当n ≥2时，1n S -=211112623n n a a --+- .两式相减得 2211111()622n n n n n a a a a a --=-+-∴221111()()062n n n n a a a a ----+= ，∴11()(3)0n n n n a a a a --+--= 0,n a >∴13n n a a --=，∴{}n a 是公差为3的等差数列，且22111111112340623a s a a a a ==+-∴--=∴a 1 = 4 (a 1 =－1舍去）∴a n =3n+1 9分2、累加（乘）法：11-11112-1. 2 3+2. 3 2-1.14 .(n+1)n n n n n n n n n a a n a a n a a a a n ++++=+=+=+=+例如：、 、、、n 11 12. 2 .+1n n n n a a na a n ++==例如：、 、 3、配凑法或待定系数法或构造法：111 12 1. 2 2 1. 3 3 2.n n n n n n a a a a a a +++=+=+=+例如：、 、、 11+111111+12+1 1.+1 =2--------2.221,=2{}=1=21=.2n n n n n n n nn n n n n n a a a a a a a b b a b b b a a q b ++++=+=+∴=+++==+解：方法一配凑法（或拆配法）即 令则有， 故是以为首项，以为公比的。
比数列因此（）等-11=22=2. 1=2.=2-1.n n n n n n n b q a a ⋅⋅+从而即11111+1--------.2 +122+12 1.+1=2.121+A . -==1,n n n n n n n n n n n n n a a a a a a b b a a a a A b a +++++=+=+=+=++=+解：方法二故可化为（）即令设可化为（）则 2A A 1 则有 即 A 待定系1数法11-11=2{}=1=2=2=22=2. 1=2.=2-1.nn n n n n n n n n b b a q b b q a a +=⋅⋅+，故是以为首项，以为公比的等比数列。
因此从而即2+12+12+12+1 13-2. 2 34-. 32+3. 4 37-2.n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++====例如：、 、、 、 2112112+2111121113-3-3--.-12-----=---34-. 1-,=3{ } -3=.=-n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b b a a b b a a a a a a a a a a a a b q a a a a a ++++++++++++==∴==令则有，即（、解：方法一配凑法故是以为 首项，以） 11=-=113.n n n n n n b b q a a b a +=⋅。
因此从而（转化成为类型，用累加法可求出等列为公比的比数）211121212113-,=3-=C(3-3---------34-.3-=C2.)} {3-2n n n n n n n n n n n n n n b a a b a a b a a a a a a a a a a a a +++++++=∴==令则常解：方法二配凑法 数 故每一项均等。
因此 转化成为类型，再用类型的方法数列的常可求出于.n2121111234---.1=1=1=3114==+ --------.1 --3 =333=11= 3n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a αβααβαββαβααβ++++++++==⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩=解：方法三取得 （）设 可化为（）则即法 系数 待定或+1121112211112111-11=.3-3=. -=...-34--- ,=31{}=-=3n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b a a a a b b q a a a a a a a a b a a b b b a a q a ++++++++++====⋅令则有，故是以为即 。
因此从而 将化为（）等比数列首项，以为公比的 1.n a 即已转化为类型，用累加法可以求出2121111234---.1=1=1=3114==+ --------.3-3- =3331=3=1n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a αβααβαββαβααβ++++++++==⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎩⎧⎪=⎨⎪⎩设 可化为（）则即待定系数解：方法四取得 或法 212111213-,{}3- 3.4-3-322-.n n n n n n n n n n n n b a a a a a a a a a b a a a ++++++===令则是每项为 的 。
即已经转化为类型，再用类型的方法可以 将化为 常求出数列注意：1、有时可能将两种或者多种方法综合使用：例 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，28a =，()11452n n n S S S n +-+=≥，n T 是数列{}2n a log 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n T ； （3）求满足2311110101112013n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大正整数n 的值.（1） 解：∵当2n ≥时，1145n n n S S S +-+=，∴()114n n n n S S S S +--=-. （配凑法或待定系数学法） ………1分 ∴14n n a a +=. ……………2分 ∵12a =，28a =，∴214a a =. ……………3分∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列.∴121242n n n a --=⋅=. ……………4分（2） 解：由（1）得：2122221n n a n log log -==-， ……………5分 ∴21222n n T a a a log log log =+++()1321n =+++- ……………6分()1212n n +-=……………7分2n = . ……………8分 （3）解： 23111111n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………9分222222222131411234n n ----=⋅⋅⋅⋅()()2222132********n n n⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅ ……………10分12n n+=. ……………11分 令12n n +10102013>，解得：42877n <. ……………13分 故满足条件的最大正整数n 的值为287. ……………14分例如：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足2*2n n T S n n N =-∈，．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式。
【解析】（1）在2*2n n T S n n N =-∈，中，令1111211n a a a =⇒=-⇔=（2）221122(1)n n n n T S n T S n ++=-=-+，，相减得：12(21)n n S S n +=++从而 212(23)n n S S n ++=++，相减得：2122n n a a ++=+ 12121234a S S a =⇒=+⇔=，得122n n a a +=+ 112222(2)n n n n a a a a ++=+⇔+=+得：数列{2}n a +是以123a +=为首项，公比为2的等比数列11232322n n n n a a --+=⨯⇔=⨯-【评注】本题主要考查数列的有关知识，涉及了“数列前n 项和”概念的正确理解，重点考查了数列{}n a 的前n 项和为n S 与通项n a 的关系，以及由一阶常系数线性递归关系求通项公式的常用方法——配凑法或待定系数法、累加法等，还考查了等比数列的有关知识。