勾股数的整理及应用
勾股定理专题应用
知识点1、在直角三角形中，两直角边的 等于 .若用a 、b 为表示两条直角边，c 表示斜边，则 。
（勾股定理）2、在三角形中，若 等于第三边的平方，则这个三角形为 ，这是判定一个三角形是 的方法．（勾股定理逆定理）3、能构成直角三角形边长的三个 称为勾股数。
常见的勾股数有：①3、4、5； ②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；⑤10、24、26；4、勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．二、专题讲解：专题1 已知两边，求第三边（222a b c +=）例1（1）在直角△ABC 中， ∠C=90°，a=5，b=12，则c= 。
（2）在直角△ABC 中， ∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
（3）在直角△ABC 中，a=5，b=12，则c= 。
(4) 如图2，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，且BD=6，AD=6，SΔABC =42，则AC= 。
(5) 在△ABC 中, ∠C=90°,BC=4，BC:AB=4:5，则BC 上的高 。
(6) 已知直角三角形的两边是6和10，求三角形的面积 。
（7）在Rt △ABC 中，BC=7，AB=24，若第三边为整数，则第三边AC= 。
（8）已知：如图以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为 。
（9）如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．（10）求证：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
（逆命题）变式1-1:（1）在直角三角形ABC 中，∠A=∠B=45°，AC=2，则AB= 。
（2）在直角三角形ABC 中, ∠A=∠C,AC=4，则AB= ,CB= 。
（3）在等腰直角△ABC 中，∠C=90°，则AB:AC:BC= 。
变式1-2:（1）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．DC1334BA （2）在直角△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，则AB:AC:BC= 。
勾股数顺口溜及常用的套路
勾股数顺口溜及常用的套路摘要：一、引言1.勾股数的概念2.勾股数的顺口溜二、勾股数的常见套路1.3-4-52.5-12-133.7-24-254.9-40-41三、勾股数的应用1.测量直角三角形边长2.构建直角三角形四、勾股数的扩展概念1.勾股定理2.勾股数列正文：一、引言勾股数是指可以构成直角三角形的三个正整数，其中最著名的就是3、4、5。
勾股数的顺口溜为“勾三股四弦五”，这简单的五个字却概括了勾股数的精华。
二、勾股数的常见套路1.3-4-53、4、5 是最经典的勾股数，也是最早被发现的勾股数。
它们满足勾股定理，即3^2 + 4^2 = 5^2。
2.5-12-135、12、13 是另一个常见的勾股数，它们同样满足勾股定理，即5^2 + 12^2 = 13^2。
3.7-24-257、24、25 也是勾股数，它们满足勾股定理，即7^2 + 24^2 = 25^2。
4.9-40-419、40、41 是一组勾股数，它们满足勾股定理，即9^2 + 40^2 =41^2。
三、勾股数的应用1.测量直角三角形边长在实际生活中，勾股数可以用来测量直角三角形的边长。
比如，如果我们知道直角边的长度为3 和4，那么可以通过勾股数的关系计算出斜边的长度为5。
2.构建直角三角形勾股数不仅可以用来测量直角三角形的边长，还可以用来构建直角三角形。
比如，我们可以用3、4、5 这组勾股数来构建一个直角三角形。
四、勾股数的扩展概念1.勾股定理勾股定理是勾股数的一个重要概念，它表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边。
2.勾股数列勾股数列是指一组按照一定规律排列的勾股数。
勾股数顺口溜及常用的套路
勾股数顺口溜及常用的套路勾股数，又名毕氏三元数。
勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。
接下来给大家分享勾股数顺口溜及常用的套路。
勾股数的口诀(一)奇数组口诀：平方后拆成连续两个数5^2=25,25=12+13，于是5，12，13是一组勾股数。
7^2=49,49=24+25，于是7，24，25是一组勾股数。
9^2=81,81=40+41，于是9，40，41是一组勾股数。
(二)偶数组口诀：平方的一半再拆成差2的两个数8^2=64,64/2=32,32=15+17，于是8，15，17是一组勾股数。
10^2=100,100/2=50,50=24+26，于是10，24，26是一组勾股数。
12^2=144,144/2=72,72=35+37，于是12，35，37是一组勾股数。
勾股数顺口溜3，4，5：勾三股四弦五5，12，13：5月12记一生(13)6，8，10：连续的偶数8，15，17：八月十五在一起(17)特殊勾股数：连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，10勾股数常见的套路(1)当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n²+2n,c=2n²+2n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：n=1时(a,b,c)=(3,4,5)n=2时(a,b,c)=(5,12,13)(2)当a为大于4的偶数2n时，b=n²-1,c=n²+1，也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17)。
勾股定理(讲义),勾股定理
22．在一块平地上，李大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的李大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到李大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．（ ）
A．（3，3） B.（-3，3） C.（-3，-3） D.（3 ，3 ）
19．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A． +1 B．- +1 C． -1 D．
20．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（ ）．
A．96 B．49 C．24 D．48
21.老李家有一块草坪如图所示.已知AB=3米,BC=4米,CD=12米,DA=13米,且AB⊥BC,这块草坪的面积是( )
12．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为 ，…， （n为正整数），那么第8个正方形的面积 ＝_______________
二、看准了再选
13．“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点 所表示的数是 ”，这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（ ）
Ａ．一定不会Ｂ．可能会Ｃ．一定会Ｄ．以上答案都不对
23．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA= ，AB=1，则点A1的坐标是（ ）。
A、( )B、( )C、( )D、( )
三、想好了再规范的写
24、已知：在四边形ABCD中，AB=3cm, BC=5cm，CD= ,AD=2cm,AC⊥AB
勾股定理全章知识点总结大全例题精讲中考题目修订稿
勾股定理全章知识点总结大全例题精讲中考题目集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC∆中，90∠=︒，则cCb=，a）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。
（定理中a，b，c及222+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角a b c形三边长a，b，c满足222a c b+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等cb aHG F EDCBA a bccbaED CBA bacbac cabcab③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
勾股定理与勾股数
勾股定理与勾股数勾股定理是数学中的一条基本定理，它描述了直角三角形中三边之间的关系。
勾股数则是指满足勾股定理的整数组合。
本文将介绍勾股定理的概念和用途，并探讨与之相关的勾股数。
1. 勾股定理的定义与历史勾股定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，被称为“毕达哥拉斯定理”或“勾三股四弦”。
它的数学表达形式如下：在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方之和。
数学公式为：c² = a² + b²其中，c表示斜边（也称为弦），a和b表示直角边。
这一定理在三角学中极其重要，被广泛应用于解决各种直角三角形相关的问题，如测量距离、角度计算等。
2. 勾股定理的应用勾股定理的应用非常广泛，不仅在数学领域中有着重要的地位，还在其他学科和现实生活中发挥着重要作用。
2.1 测量距离勾股定理可以用来计算物体之间的距离。
例如，当我们想要测量两个地点之间的直线距离时，可以使用勾股定理来计算。
假设两个地点的坐标分别为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，则它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)2.2 角度计算勾股定理还可以用于计算角度。
在直角三角形中，我们可以通过已知两边的长度来计算角度的大小。
例如，知道直角边a和斜边c的长度，可以使用如下公式计算角度θ的大小：θ = arccos(a / c)3. 勾股数的定义与性质勾股数指满足勾股定理的整数组合。
即使勾股定理可以应用于各种实数，但整数解具有特殊的数学性质。
3.1 勾股数的性质勾股数具有如下几个性质：- 勾股数由三个互质的整数组成，即它们没有公共因子。
- 勾股数可以通过欧几里得算法生成。
- 勾股数存在无穷多个。
3.2 勾股数的示例以下是一些常见的勾股数示例：- (3, 4, 5)是最简单的勾股数，也被称为“三四五勾股数”。
- (5, 12, 13)也是一个著名的勾股数。
勾股数规律
勾股数规律
规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，发现：
由（3，4，5）有： 32=9=4+5
由（5，12，13）有： 52=25=12+13
由（7，24，25）有： 72=49=24+25
由（9，40，41）有： 92=81=40+41.
即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。
因此，我们把它推广到一般，从而可得出以下公式：
∵（2n+1）2=4n2+4n+1=（2n2+2n）+（2n2+2n+1）
∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2（n为正整数）
勾股数公式一：（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）（n为正整数）
规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，发现：
由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10）
由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17）
由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26）
即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式：
∵（2n）2=4n2=2[（n2-1）+（n2+1）]
∴（2n）2+（n2-1）2=（n2+1）2（n≥2且n为正整数）
勾股数公式二：（2n，n2-1，n2+1）（n≥2且n为正整数）
利用以上两个公式，我们可以快速写出各组勾股数。
欢迎您的下载，
资料仅供参考！
致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等
打造全网一站式需求。
勾股定理知识点讲解
勾股定理一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 ２.勾股定理的证明常见的是拼图的方法， 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定b a cb a cc a b c a b cbaHG F EDCB Aa bcc baED CBA理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 5、利用勾股定理作长为的线段 作长为、、的线段。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
首先要熟记1~30的平方
例如：
162 个位6乘以6 所以结果个位一定是6，个位不是6肯定错。
例如：可以用完全平方公式
192=（20-1）2=400-40+1=361
222=（20+2）2=400+80+4=484
整十的数比较好算。
某些学生觉得记上表很难，其实不然，部分已经是我们非常熟悉的数，像1~16、20、25…要记的不多，再加上上述的方法，再用心一下，就很好记的！
常用勾股数与上表有联系，涉及到xx的平方
常用勾股数：
3 4 5 （9+16=25）
5 12 13 （25+144=169）
7 24 25 （49+576=625）
8 15 17 （64+225=289）
9 40 41 （81+1600=1681）
…
这些是要求学生熟悉并记住的。
例如：当你看见三个数，7/24/25时候，若你记得，马上可以做出判断。
常用勾股数的整数倍也可以构成勾股数。
6 8 10
9 12 15
12 16 20
15 20 25
10 24 26
15 36 39
…
常用勾股数的正实数倍，进而构成一组广义的勾股数
2.5 6 6.5
3.5 8.4 9.1
…
判定勾股数的方法：化整、约简、判断
例：3.5 8.4 9.1 → 35 84 91 → 5 12 13
例：
如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．
分析：很多学生会直接1602-1282=？这样算，不是不可以，而是数太大，一是易错，二是不好算。
正确方法是 先约简：
160 128 ？
同除以32 5 4 3
？
=3x32=96 A C 160m。