高中数学知识点精讲精析 排序不等式

2 排序不等式

先来看一个问题：

设有10个人各拿一只水桶去接水，若水龙头注满第i 个人的水桶需要i a 分钟，且这些i a 各不相同。那么，只有一个水龙头时，应如何安排10个人接水的顺序，才能使它们等待的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？

解决这一问题，就需要用到排序不等式的有关内容。在没有找到合理的解决办法之前，同学们可以猜测一下，怎样安排才是最优的接水顺序？

为了解决这一问题，先来了解排序不等式。

一般地，设有两组正数n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 ，且n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21. 若将两组中的数一对一相乘后再相加，

则其和同序时最大，倒序时最小.即 （倒序）（乱序）（同序）1

12121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n i n i i n

n n

+++≥+++≥+++- 其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的任一个排列，等号当且仅当n a a a === 21或

n b b b === 21时成立。

下面采用逐步调整法证明排序不等式。 证明：考察任意和式n i n i i b a b a b a s +++= 2121。 若1i b 是1b ，则转而考察2i b ；

若1i b 不是1b ，而某一k i b 是1b 。将1i b 与k i b 调整位置，得 n k i n i k i i b a b a b a b a s +++++=' 1221 则

0))(()()(111111≥--=-+-=-'i k i i k i i b b a a b b a b b a s s k k

这就是说，当把第一项调整为11b a 后，和不会减少。同样，可将第二项调整为22b a ，…，

以此类推，即得证第一个不等式。同理可证第二个不等式成立。

请思考：怎样用排序不等式解决上述最优接水问题？

设1021,,,i i i 是不同于10,,2,1 的一个排列。若第一个接水的人拿的是需要1i a 分钟才能注满的水桶，则接这桶水10人共需等待101i a 分钟；第二个接水的人拿的是需要2i a 分钟才能注满的水桶，则接这桶水9人共需等待92i a 分钟；…如此继续下去，到第10人接水时，只有它一人在等，需要10i a 分钟。按这样的顺序，10人都接满水所需总时间为

101i a +92i a +…+29i a +10i a

不访设 1021a a a <<< ，而1021<<< ，由排序不等式得

1092110212910291010210921a a a a a a a a a a a i i i i ++++>++++>+++

这就是说，按水桶的大小由小到大依次接水，10人等待的总时间最少，这个最少的时间就是109212910a a a a ++++ .

例1．设变数x ，y ，z 满足条件

623222=++z y x （1）

求函数z y x S 652++=的最大值。并求出S 取最大值时，x 、y 、z 的值。 【解析】 由柯西不等式，

22)622

533

2(

)652(z y x z y x ?+?+

?=++

]23][6)2

5()3

2[(

222222z y x ++++≤

.299)362

2534(6=++=

所以函数S 的最大值是299。并且在

62

52323z y x ==

即

6

5223z y x == （2） 时，S 取最大值。为了求出同时满足（1），（2）的x ，y ，z ，可令（2）中分式的值为k ，则

.6,2

5,32k z k

y k x ===

代入（1）得

.6)6()2

5(2)32(

3222=++k k

k （3） 解（3）得.2996±

=k 所以，在 299

36,299

15,299

4=

=

=

z y x

时，函数S 取得最大值.299 注 在299

36,299

15,299

4-

=-

=-

=z y x 时，函数S 取得最小值.299-

求函数的极值还可以利用二次方程的判别式。

例2．把一条长是m 的绳子截成三段，各围成一个正方形。怎样截法使得这三个正方形的面积的和最小？

【解析】

设三段的长度为.,,z y x 那么，m z y x =++是一个定值。三个正方形的面积的和为

)(1614442222

22z y x z y x S ++=??

?

??+??? ??+??? ??=

而S 和2

2

2

16z y x S ++=同时有最小值。由柯西不等式

))(()(2222222c b a z y x zc yb xa ++++≤++

使1===c b a ，可得，)(3)(2

222z y x z y x ++≤++

因为左边22)(m z y x =++，是一个定值，所以，在z y x ==时，)(32

22z y x ++有

最小值。

这就是说，把绳子三等分后，这三段所围成的三个正方形的面积的和最小。

例3 设12,,,n a a a 是n 个互不相等的自然数，证明：

32122

2

111

123

23n

a a a a n n +

+++

≤++++ 【解析】

证法一 （用排序不等式） 设12,,,n b b b 是12,,

,n a a a 的一个排序，且12n b b b <<<

又

2211

12

n

<<< 由逆序和<乱序和得，

2

2

112

22

2122n n

b a b a b a n n

?+

++

<+++

又因为 121,2,,n b b b n ≥≥≥

所以 212

2

111

123

2n

b b b n n +

+++

≤+++ 当k k a b k ==，()1,2,k n =时，等号成立.

即 111

123

n

+

+++

≤2122

2n

a a a n +++ 证法二 （用柯西不等式） 依题设12,,

,n a a a 是n 个互不相等的自然数，不妨设1212,,n a a a n ≥

≥≥，，则

1111

n

n k k k

k a ==≥∑∑ 由柯西不等式有,

2

2

111n

n k k k ==????= ? ???∑

2111

n n k k k k a k a ==????≤ ? ?????

∑∑ ∴2

211111

n

n n k k k k k

a k a k ===????≥ ? ???

??

∑∑∑ 11

11

11n

n

k n

k k k

k

k a ====

?∑∑∑

∴2111n

n

k k k a k k

==≥∑∑ 即 32122

2

111

12323n

a a a a n n ++++≤+++

+

例4、 假设12,,,n b b b 是正数12, ,,n a a a 的某个排列，证明：

12

12

n

n

a a a n

b b b +++

≥ 证明 1 不妨设12n b b b ≤≤≤，则

12

111n

b b b ≥≥≥

由排序不等式(乱序≥逆序)得，

12121212

11

1

11

1

n n n n

a a a

b b b b b b b b b n

?+?++

?≥

?+?++?= 例5 设 12,,

,n a a a 为正整数，

求证：222

12

1223

1

n

n a a a a a a a a a ++

+≥+++

【解析】

证明 由柯西不等式得，

()222

12

23123

1

n

a a a a

a a a a a

??++++++ ??

?

()

2

2

12n

n a a a a ?≥+?=++

+

故222

121223

1

n

n a a a a a a a a a +++≥+++

例6：设12,,,n a a a ???是n 个互不相同的正整数，求证：

321222

111

12323n a a a a n n

+++???+≤+++???+. 分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？ 【解析】 证明过程：

设12,,,n b b b ???是12,,,n a a a ???的一个排列，且12n b b b <

又222

111

123n

>>>???>，由排序不等式，得 3322112222222323n n a a b b a b a b n n

+++???+≥+++???+≥…