高三数学大一轮复习 6.3等比数列及其前n项和
数学一轮复习第6章数列第3讲等比数列及其前n项和试题2理
第六章 数 列第三讲 等比数列及其前n 项和1。
［2021陕西百校联考］已知等比数列｛a n ｝的公比为q ,前4项的和为a 1+14，且a 2,a 3+1,a 4成等差数列,则q 的值为（ ）A.12或2 B 。
1或12C.2D.32。
[2021安徽省四校联考]已知正项等比数列{a n ｝的前n 项和为S n ,若a 4=18，S 3-a 1=34,则S 4=（ )A.116B.18C 。
3116D.1583.[2020合肥三检］[数学文化题］公元前1650年左右的埃及《莱因德纸草书》上载有如下问题：“十人分十斗玉米,从第二人开始,各人所得依次比前人少八分之一,问每人各得玉米多少斗?”在上述问题中，第一人分得玉米( ） A .70×89810-1斗 B .10×810810-710斗 C 。
10×89810-710斗 D 。
10×88810-710斗4.［2020南昌市测试］公比不为1的等比数列｛a n ｝中,若a 1a 5=a m a n ，则mn 不可能为（ ) A 。
5 B .6 C 。
8 D .95。
[2020成都市高三摸底测试]已知等比数列{a n }的各项均为正数,若log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 12=12，则a 6a 7=( ） A.1 B 。
3 C 。
6 D .96.［2021四省八校联考］已知等比数列{a n ｝的公比为q ，前n 项和为S n =m —q n ,若a 5=—8a 2,则S 5= .7。
［2020大同市高三调研]已知各项均为正数的等比数列｛a n }中,a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6= .8。
[2020全国卷Ⅲ，17,12分]设等比数列｛a n }满足a 1+a 2=4,a 3—a 1=8。
(1)求{a n ｝的通项公式；（2)记S n 为数列｛log 3a n ｝的前n 项和.若S m +S m +1=S m +3，求m.9。
届数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项和学案理含解析
第三节等比数列及其前n项和［最新考纲］［考情分析］［核心素养]1.理解等比数列的概念。
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系。
等比数列的基本运算,等比数列的判断与证明,等比数列的性质与应用仍是2021年高考考查的热点，三种题型都有可能出现，分值为5~12分.1.数学运算2.逻辑推理‖知识梳理‖1．等比数列的有关概念(1)定义①文字语言：从错误!第2项起，每一项与它的前一项的错误!比都等于错误!同一个常数．②符号语言：错误!错误!＝q（n∈N*，q为非零常数)．（2）等比中项：如果a，G,b成等比数列，那么错误!G叫做a 与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G26ab．2．等比数列的有关公式(1）通项公式：a n＝错误!a1q n－1．（2)前n项和公式3．等比数列的性质（1）通项公式的推广:a n＝a m·q n－m（m，n∈N＊）．（2）对任意的正整数m,n，p，q，若m＋n＝p＋q，则错误!a m·a n ＝错误a p·a q．特别地，若m＋n＝2p,则a m·a n＝a2p.(3）若等比数列前n项和为S n，则S m，S2m－S m,S3m－S2m仍成等比数列，即（S2m－S m)213S m（S3m－S2m）（m∈N＊，公比q≠1）．(4）数列｛a n｝是等比数列，则数列｛pa n}(p≠0，p是常数)也是错误!等比数列．(5)在等比数列{a n｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n，a n＋k,a n＋2k，a n＋3k，…为等比数列,公比为错误!q k．►常用结论1．若｛a n｝，｛b n}（项数相同)是等比数列，则{λa n｝（λ≠0),错误!，{a2，n}，{a n·b n｝,错误!仍是等比数列．2．一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．3．｛a n｝为等比数列，若a1·a2·…·a n＝T n，则T n，错误!，错误!，…成等比数列．4．当q≠0且q≠1时，S n＝k－k·q n（k≠0）是｛a n}成等比数列的充要条件，这时k＝错误!.5．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等，特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）．（1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．（)（2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac。
高考数学一轮复习 专题6.3 等比数列及其前n项和(讲)
第03节 等比数列及其前n 项和【考纲解读】【知识清单】一．等比数列的有关概念 1. 等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：)0(1≠=+q q a a nn ,（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零） 2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n .说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=. 3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 4．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）.说明：（1）（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1-n q不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况.5. 等差数列与等比数列的区分与联系 (1)如果数列{}n a 成等差数列，那么数列{}na A(na A总有意义)必成等比数列．(2)如果数列{}n a 成等比数列，且0n a >，那么数列{log }a n a (0a >，且1a ≠)必成等差数列．(3)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列．数列{}n a 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列． 对点练习：【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ， 13n n a S +=，则下列关于{}n a 的论断中正确的是（ ） A. 一定是等差数列 B. 一定是等比数列C. 可能是等差数列，但不会是等比数列D. 可能是等比数列，但不会是等差数列 【答案】C【解析】∵a n+1=3S n ， ∴S n+1−S n =3S n ， ∴S n+1=4S n ，若S 1=0，则数列{a n }为等差数列；若S 1≠0，则数列{S n }为首项为S 1，公比为4的等比数列，∴S n =S 1⋅4n −1， 此时a n =S n −S n −1=3S 1⋅4n −2(n ⩾2)，即数列从第二项起，后面的项组成等比数列。
新高考2023版高考数学一轮总复习练案36第六章第三讲等比数列及其前n项和
第三讲 等比数列及其前n 项和A 组基础巩固一、单选题1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( C )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] a n ＝132＝a 1q n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴n ＝5，故选C.2．(2021·陕西西安中学六模)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2a 6＝4，且a 4＋2a 7＝52，则S 5＝( C )A ．29B ．30C ．31D ．32[解析] 本题考查等比数列性质及基本量的运算．∵a 2a 6＝a 24＝4，且a n >0，∴a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14.设{a n }的公比为q ，则a 7a 4＝q 3＝18，q ＝12，∴a n ＝a 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4＝25－n ，∴S 5＝16＋8＋4＋2＋1＝31.3．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( B ) A ．152B ．314C ．334D ．172[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则显然q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 11－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 11－q 51－q＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.4．(2021·全国甲理)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则( B )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件[解析] 当q ＝1，a 1<0时，等比数列{a n }的前n 项和S n ＝na 1<0，可知{S n }是单调递减数列，因此甲不是乙的充分条件；若{S n }是递增数列，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1>0，即a 1qn －1>0恒成立，而只有当a 1>0，q >0时，a 1q n －1>0恒成立，所以可得q >0，因此甲是乙的必要条件．综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件．故选B.5．(2021·深圳一模)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，则a b＝( A )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析] 解法一：a 1＝a ＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a ·3n －2，又∵{a n }是等比数列，∴a ＋b ＝2a ·31－2，∴a b＝－3.故选A.解法二：a 1＝a ＋b ，a 2＝2a ，a 3＝6a . 又∵{a n }是等比数列， ∴a 2a 1＝a 3a 2，∴2a a ＋b ＝6a 2a， ∴a ＝－3b ，∴a b＝－3，故选A.6．(2022·广东惠州一中月考)已知数列{a n }是等比数列，且a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( C )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C ．323(1－4－n)D ．323(1－2－n )[解析] 因为等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝14，所以a 5a 2＝q 3＝18，所以q ＝12.由等比数列的性质，易知数列{a n a n ＋1}为等比数列，其首项为a 1a 2＝8，公比为q 2＝14，所以要求的a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{a n a n ＋1}的前n 项和．由等比数列的前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n)．故选C.二、多选题7．(2021·辽宁大连八中模拟改编)记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝6，则S 4＝( AC )A ．－10B ．－8C ．8D ．10[解析] 设等比数列的公比为q ，因为a 1＝2，S 3＝6，所以S 3＝2＋2q ＋2q 2＝6，则q 2＋q －2＝0，所以q ＝1或q ＝－2.当q ＝1时，S 4＝S 3＋2＝8；当q ＝－2时，S 4＝S 3＋a 1q 3＝6＋2×(－2)3＝－10，故选A 、C.8．(2021·山西大同期中改编)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( BD )A ．a ＝507B ．c ＝507C ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列D ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列[解析] 由题意得a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＋2c ＋4c ＝50，即c ＝507，故选B 、D.三、填空题9．(2021·四川南充一诊)数列{a n }满足：log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，若a 3＝10，则a 8＝ 320 . [解析] 由题意知log 2a n ＋1＝log 2(2a n )，∴a n ＋1＝2a n ，∴{a n }是公比为2的等比数列，又a 3＝10，∴a 8＝a 3·25＝320.10．(2021·北京东城区期末)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 2＋2a 3＝6，则公比q ＝ 12 ，S 4＝454. [解析] 本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式．由题意，数列{a n }是各项均为正数的等比数列，由a 1＝6，a 2＋2a 3＝6，可得a 1q ＋2a 1q 2＝6q ＋12q 2＝6，即2q 2＋q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－1(舍去)．由等比数列的前n 项和公式，可得S 4＝6×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1241－12＝454.11．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝ 32 .[解析] 由题意知S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝74，a 4＋a 5＋a 6＝S 6－S 3＝634－74＝14＝74·q 3，∴q ＝2.又a 1＋2a 1＋4a 1＝74，∴a 1＝14，∴a 8＝14×27＝32.12．(2021·长春市高三一检)等比数列{a n }的首项为a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝ －12.[解析] 由S 10S 5＝3132，a 1＝－1，知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，所以q ＝－12.四、解答题13．(2021·陕西榆林一模)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． [解析] (1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n ， 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下： 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.14．(2021·安徽联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .[解析] (1)证明：由题意知S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 即S n ＝2S n －1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]， 又易知a 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝41－2n1－2＋n n ＋12－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.B 组能力提升1．(2021·安徽六安一中调研)已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值是( C ) A ．52或－52 B ．－52C ．52D ．12[解析] 由题意得a 1＋a 2＝5，b 22＝4，又b 2与第一项的符号相同，所以b 2＝2.所以a 1＋a 2b 2＝52.故选C. 2．(多选题)(2021·海南海口模拟)已知正项等比数列{a n }满足a 1＝2，a 4＝2a 2＋a 3.若设其公比为q ，前n 项和为S n ，则下面结论不正确的是( C 、D )A ．q ＝2B ．a n ＝2nC ．S 10＝2 047D ．a n ＋a n ＋1>a n ＋2[解析] 本题考查等比数列基本量的计算．因为a 1＝2，a 4＝2a 2＋a 3，公比为q ，所以2q 3＝4q ＋2q 2，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2(负值舍去)，故A 正确；a n ＝2×2n －1＝2n，故B 正确；S n ＝2×2n －12－1＝2n ＋1－2，所以S 10＝2 046，故C 错误；a n ＋a n ＋1＝2n ＋2×2n＝3a n ，而a n ＋2＝4a n >3a n ，故D 错误．故选C 、D.3．《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里路，问每天走的里数为多少？”则该匹马第一天走的里数为( B )A ．128127B ．44 800127C ．700127D ．17532[解析] 由题意知每日所走的路程成等比数列{a n }，且公比q ＝12，S 7＝700，由等比数列的求和公式得a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1271－12＝700，解得a 1＝44 800127.故选B. 4．(2022·南昌模拟)在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＋a 3a n －2＝256，且前n 项和S n ＝126，则n ＝( C )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a n －1＝a 3a n －2＝a 1a n ，又因为a 2a n －1＋a 3a n －2＝256，所以a 1a n ＝128，又因为a 1＋a n ＝66.所以a 1＝2，a n ＝64或a 1＝64，a n ＝2.因为S n ＝a 1－a n q1－q，且S n ＝126，所以若a 1＝2，a n ＝64，则2－64q 1－q ＝126，得q ＝2.此时a n ＝2×2n －1＝2n＝64，n＝6；若a 1＝64，a n ＝2，则64－2q 1－q ＝126，得q ＝12，此时a n ＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2，得n ＝6.综上知，n ＝6.5．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝4，a 3－a 1＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{log 3a n }的前n 项和．若S m ＋S m ＋1＝S m ＋3，求m . [解析] (1)设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1qn －1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝4，a 1q 2－a 1＝8，解得a 1＝1，q ＝3.所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)知log 3a n ＝n －1. 故S n ＝n n －12.由S m ＋S m ＋1＝S m ＋3得m (m －1)＋(m ＋1)m ＝(m ＋3)(m ＋2)，即m 2－5m －6＝0.解得m ＝－1(舍去)或m ＝6.。
高考数学一轮第六章数列第三节等比数列及其前n项和人教A版
∴Sann＝41－4 21n＝2n－1. 2n
[名师微点]
等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问 题，等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三 求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解． (2)等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论， 当 q＝1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝na1；当 q≠1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq.
解析：设等比数列{an}的公比为 q，
∵aa12＋＋aa34＝＝5254，，
∴aa11＋q＋a1aq12q＝3＝52，54，
②
①
由①除以②可得1q＋＋qq23＝2，解得 q＝12，代入①得 a1＝2，
∴an＝2×21n－1＝24n，Sn＝2×11－－1212n＝41－21n，
等比数列的判定方法
[解题技法]
定义法 若aan＋n 1＝q(q 为非零常数，n∈N*)或aan－n1＝q(q 为 非零常数且 n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法 若数列{an}中，an≠0 且 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)， 则{an}是等比数列
通项公式法 若数列{an}的通项公式可写成 an＝c·qn－1(c，q 均 为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
一轮复习等比数列及其前n项和
3．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则 a7＋ a8＝__2_4_0____. 解析 ∵a1＋a2＝a1(1＋q)＝30，a1q2(1＋q)＝60， ∴q2＝2，
∴a7＋a8＝a1q6(1＋q)＝[a1(1＋q)]·(q2)3＝30×8＝240.
4．(2010·辽宁)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，已知 3S3
隐含条件，利用性质，特别是性质“若 m＋n＝p＋q，则
am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
变式训练 3 (1)已知等比数列{an}中，有 a3a11＝4a7，数列 {bn}是等差数列，且 b7＝a7，求 b5＋b9 的值； (2)在等比数列{an}中，若 a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8， 求 a41a42a43a44. 解 (1)∵a3a11＝a27＝4a7， ∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4， ∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8. (2)方法一 a1a2a3a4＝a1a1qa1q2a1q3＝a41q6＝1.① a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a41·q54＝8.② ②÷①：aa4141··qq564＝q48＝8⇒q16＝2， 又 a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43 ＝a41·q166＝a14·q6·q160＝(a41·q6)·(q16)10＝1·210＝1 024.
[1 分]
[5 分] [6 分]
(2)解 由(1)知 bn＝an＋1－an＝－12n－1，
[7 分]
当 n≥2 时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)[8 分]
＝
1＋
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第6章 §6.3 等比数列
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第六章 数 列§6.3 等比数列考试要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.等比数列有关的概念(1)定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q (q ≠0)表示.(2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ .2同一个公比a ，G ，b ab2.等比数列的通项公式及前n项和公式a1q n－1(1)若等比数列{a n}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为a n＝.(2)等比数列通项公式的推广：a n＝a m q n－m.(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝________＝ .3.等比数列性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2w ＝m ＋n ，则 ，其中m ，n ，w ∈N *.(2)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为 (k ，m ∈N *).a m a n ＝a p a q q mS2n－S n S3n－S2n(4)等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，，仍成等比数列，其公比为q n.(n为偶数且q＝－1除外)增减常用结论1.等比数列{a n}的通项公式可以写成a n＝cq n，这里c≠0，q≠0.2.等比数列{a n}的前n项和S n可以写成S n＝Aq n－A(A≠0，q≠1,0).3.数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(2)当公比q >1时，等比数列{a n }为递增数列.( )(3)等比数列中所有偶数项的符号相同.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( )√×××1.设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的A.充分不必要条件√B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，数列－1，－1,1,1.满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件.2.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝3，S4＝15，则S6等于√A.31B.32C.63D.64根据题意知，等比数列{a n}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.3.已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数1,3,9或9,3,1为____________.∴这三个数为1,3,9或9,3,1.第二部分例1 (1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{a n}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于√A.14B.12C.6D.3方法一 设等比数列{a n}的公比为q，易知q≠1.所以a6＝a1q5＝3，故选D.方法二 设等比数列{a n}的公比为q，所以a6＝a1q5＝3，故选D.(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一√设第一个音的频率为a ，相邻两个音之间的频率之比为q ，那么a n ＝aq n －1，根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得a 13＝2a ＝aq 12，即q ＝ ，1122思维升华等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.(2)解方程组时常常利用“作商”消元法.(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解.跟踪训练1 (1)设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于√A.2B.3C.4D.5∵S2＝3，S4＝15，∴q≠1，(2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是A.插入的第8个数为B.插入的第5个数是插入的第1个数的倍C.M>3√D.N<7设该等比数列为{a n}，公比为q，则a1＝1，a13＝2，插入的第5个数为a6＝a1q5，插入的第1个数为a2＝a1q，112112-要证M >3，即证－1－ >3，112112-112121-即证 >4，1122N ＝M ＋3.1122112121 所以 >5，所以－1－ >4，即M >4，112112 所以N ＝M ＋3>7，故D 错误.例2 已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n}是等比数列；②数列{S n＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.选①②作为条件证明③：设S n＋a1＝Aq n－1(A≠0)，则S n＝Aq n－1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝Aq n－2(q－1)，解得q＝2，所以a2＝2a1.选①③作为条件证明②：因为a2＝2a1，{a n}是等比数列，所以公比q＝2，选②③作为条件证明①：设S n＋a1＝Aq n－1(A≠0)，则S n＝Aq n－1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝Aq n－2(q－1)，因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，所以当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝Aq n－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1，所以{a n}为等比数列.思维升华(3)前n项和公式法：若数列{a n}的前n项和S n＝k·q n－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{a n}是等比数列.跟踪训练2 在数列{a n}中，＋2a n＋1＝a n a n＋2＋a n＋a n＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)证明：数列{a n＋1}是等比数列；所以(a n＋1＋1)2＝(a n＋1)(a n＋2＋1)，因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，所以数列{a n＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列.(2)求数列{a n}的前n项和S n.由(1)知，a n＋1＝3·2n－1，所以a n＝3·2n－1－1，√∵a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，∴a1＋a13＝13，a1·a13＝9，又数列{a n}为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得a7＝3，(2)已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n且S8－2S4＝6，则a9＋a10＋a1124＋a12的最小值为______.由题意可得S8－2S4＝6，可得S8－S4＝S4＋6，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，当且仅当S4＝6时等号成立.综上可得，a9＋a10＋a11＋a12的最小值为24.思维升华(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要.跟踪训练3 (1)(2023·六安模拟)在等比数列{a n}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于√A.40B.36C.54D.81在等比数列{a n}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，(2)等比数列{a n}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于√A.1B.2C.3D.4∵a n＝192，√∵a1a2…a8＝16，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，第三部分1.(2023·岳阳模拟)已知等比数列{a n}满足a5－a3＝8，a6－a4＝24，则a3等于√A.1B.－1C.3D.－3设a n＝a1q n－1，∵a5－a3＝8，a6－a4＝24，2.数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m a n，若a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝215－25，则k等于√A.2B.3C.4D.5令m＝1，则由a m＋n＝a m a n，得a n＋1＝a1a n，所以a n＝2n，所以a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝2k (a1＋a2＋…＋a10)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4.3.若等比数列{a n}中的a5，a2 019是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 023等于√。
2020届高三理数一轮讲义：6.3-等比数列及其前n项和(含答案)
[微点提醒] 1
1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}， an 也是等比数列. 2.由 an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证 a1≠0.
3.在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q＝1 与 q≠1 分类讨论，防止
② 得 1－q＝3，即 q＝－2，代入①式可得 a1＝1，
①
所以 a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.
(2)设数列{an}首项为 a1，公比为 q(q≠1)，
则
S3＝a1（11－－qq3）＝74， S6＝a1（11－－qq6）＝643，解得
a1＝14， q＝2，
所以 a8＝a1q7＝14×27＝32.
由 Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1， 得 an＋1＝λan＋1－λan， 即 an＋1(λ－1)＝λan， 由 a1≠0，λ≠0 得 an≠0，所以aan＋n1＝λ－λ 1.
因此{an}是首项为1－1 λ，公比为λ－λ 1的等比数列，
λ n－1 于是 an＝ 1 λ－1 .
1－λ
λn (2)解 由(1)得 Sn＝1－ λ－1 .
1－a (4)数列{an}为等比数列，则 S4，S8－S4，S12－S8 成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q≠0. (2)若 a＝0，b＝0，c＝0 满足 b2＝ac，但 a，b，c 不成等比数列. (3)当 a＝1 时，Sn＝na. (4)若 a1＝1，q＝－1，则 S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
率为( )
3
A. 2f
3
B. 22f
12
C. 25f
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2．若互不相等的实数 a、b、c 成等差数列，c、a、b 成等 比数列，且 a＋3b＋c＝10，则 a＝__－__4____. 解析 由题意有 a＋c＝2b， 由 a＋3b＋c＝10，知 b＝2， ∴ab＋ c＝c＝ a2＝4，2c， 解得 a＝－4 或 a＝2， 由 a、b、c 互不相等知 a＝－4.
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[难点正本 疑点清源] 1．等比数列的特征
从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的， 公比 q 也是非零常数． 2．等比数列中的函数观点 利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及 基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要 特别注意首项和公比的大小．
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3．等比数列的前 n 项和 Sn (1)等比数列的前 n 项和 Sn 是用错位相减法求得的，注意 这种思想方法在数列求和中的运用． (2)等比数列的通项公式 an＝a1qn－1 及前 n 项和公式 Sn＝ a1(11－－qqn)＝a11－－aqnq (q≠1)共涉及五个量 a1，an，q，n， Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用． (3)在使用等比数列的前 n 项和公式时，如果不确定 q 与 1 的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比 q＝1 和 q≠1 两种情况．
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5．等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn， 当 q＝1 时，Sn＝na1； 当 q≠1 时，Sn＝a1(11－－qqn)＝a11－－aqnq.
6．等比数列前 n 项和的性质 公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn， S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等比数列，其公比为_q_n__.
综上所述，an＝2×33－n 或 an＝精2品×课件3n－3.
方法二 由 a3＝2，得 a2a4＝4， 又 a2＋a4＝230， 则 a2，a4 为方程 x2－230x＋4＝0 的两根，
解得a2＝23， a4＝6
a2＝6， 或a4＝23.
①当 a2＝23时，q＝3，an＝a3·qn－3＝2×3n－3. ②当 a2＝6 时，q＝13，an＝2×33－n，
＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比 q 等于 ( B )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析 由已知得 3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，两式作差得
3(S3－S2)＝a4－a3，化简整理得 a4＝4a3，故公比 q＝4.
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5．在等比数列{an}中，前 n 项和为 Sn，若 S3＝7，S6＝63，
§6.3 等比数列及其前 n 项和
基础知识 自主学习
要点梳理 1．等比数列的定义
如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比等 于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这 个常数叫做等比数列的 公比 ，通常用字母__q__表示． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an ＝ a1·qn－1 .
∴an＝2×3n－3 或 an＝2×33－n.
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题型二 等比数列的判定与证明 例 2 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{bn}中，b1＝a1，
bn＝an－an－1 (n≥2)，且 an＋Sn＝n. (1)设 cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式． 思维启迪：(1)由 an＋Sn＝n 及 an＋1＋Sn＋1＝n＋1 转化成 an 与 an＋1 的递推关系，再构造{an－1}． (2)由 cn 求 an 再求 bn.
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3．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则 a7＋ a8＝__2_4_0____. 解析 ∵a1＋a2＝a1(1＋q)＝30，a1q2(1＋q)＝60， ∴q2＝2，
∴a7＋a8＝a1q6(1＋q)＝[a1(1＋q)]·(q2)3＝30×8＝240.
4．(2010·辽宁)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，已知 3S3
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3．等比中项 若 G2＝a•b (ab≠0) ，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．
4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m ，(n，m∈N*)． (2)若{an}为等比数列，且 k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)， 则 ak·al＝am·an . (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)， a1n，{a2n}，{an·bn}，abnn仍是等比数列．
解得qa＝1＝21，，
a1＝4， 或q＝12.
∴an＝2n－1 或 an＝23－n.
探究提高 转化成基本量的方程，进而解方程是解决数
列问题的基本方法．
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变式训练 1 已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝230，求
{an}的通项公式．
解 方法一 设等比数列{an}的公比为 q，则 q≠0， a2＝aq3＝2q，a4＝a3q＝2q， ∴2q＋2q＝230，解得 q1＝13，q2＝3. ①当 q＝13时，a1＝18， ∴an＝18×13n－1＝31n8－1＝2×33－n. ②当 q＝3 时，a1＝29， ∴an＝29×3n－1＝2×3n－3.
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基础自测 1．在数列{an}中，an＋1＝can (c 为非零常数)，且前 n 项和
6－3c Sn＝3n＋k，则实数 k＝___c_____. 解析 由 Sn＝3n＋k 知 a1＝S1＝3＋k， S2＝a1＋a2＝9＋k，∴a2＝S2－S1＝6. 又aa21＝c，即3＋6 k＝c，∴k＝6－c3c.
则公比 q 的值是( A )
A．2
B．－2
C．3
D．－3
解析 方法一 依题意，q≠1， ∵a1(11－－qq3)＝7，① a1(11－－qq6)＝63.②
②÷①得 1＋q3＝9，∴q3＝8，∴q＝2.
方法二 ∵(a1＋a2＋a3)·q3＝a4＋a5＋a6，
而 a4＋a5＋a6＝S6－S3＝56， ∴7·q3＝56，q3＝8，q＝2.
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题型分类 深度剖析
题型一 等比数列的基本量的运算
例 1 已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8， 求 an. 思维启迪：利用等比数列的基本量的关系式，根据条
件列方程，进而求出 a1 和 q.
解 设{an}的公比为 q，由题意知
a1＋a1q＋a1q2＝7， a1·a1q·a1q2＝8，