小学数学典型应用题之重叠问题
第20讲 重叠问题(含解题思路和参考答案)
第20讲重叠问题（含解题思路与参考答案）一、解题方法1. 解答重叠问题，要用到数学中一个重要原理一一包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计算，应从他们的和中排除重复部分。
2. 解答重叠问题的应用题，必须从条入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次，明确要求的是哪一部分，从而找出解答方法。
3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合与集合之间的关系，这种图称为韦恩图(也叫文氏图)。
例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米，如图，这两块木板各长多少厘米？解题思路：解题过程：把等长的两块木板的一端搭起来，搭在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20厘米，所以这两块木板的总长度是160+20＝180（厘米），每块木板的长度是180÷2＝90（厘米）解：（160+20）÷2 ＝180÷2＝90（厘米）答：这两块木板各长90厘米。
巩固练习1. 把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根绳子捆在一起的重叠部分长12厘米，原来两根绳子各长多少厘米？2. 两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？3. 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接起来，其中重叠部分长6厘米，两根木棍接起来后共长多少厘米？例题2.三(2)班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，从前数是第2个，从后数是第4个。
三(2)班共有多少人？解题思路：解题过程：根据题意画右图。
由图可看出：亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，说明横有5+4－1＝8（个）人；从前数是第2个，从后数是第4个，说明竖行有2+4－1＝5（个）人。
所以二（3）班有8×5＝40（个）（说明：减“1”是因为亮亮重复数了一次）解：（5+4－1）×（2+4－1）＝8×5＝40（人）答：三（2）班共有40人。
三年级上册数学重叠问题
三年级上册数学重叠问题一、引言在小学数学学习中，三年级上册数学是一个承上启下的阶段，对于学生后续数学学习具有重要意义。
其中，重叠问题是一个相对较难但非常重要的知识点。
本文将通过具体案例，深入探讨三年级上册数学重叠问题的概念、解题方法和应用场景，帮助学生们更好地理解和掌握这一知识点。
二、重叠问题的概念重叠问题是指两个或多个集合元素同时属于两个或多个集合的情况。
在三年级上册数学中，常见的重叠问题包括容斥原理、两堆物体等问题。
这类问题需要学生们能够准确识别元素的重叠情况，并运用适当的数学原理进行求解。
三、解题方法1. 列举法：对于简单的重叠问题，可以通过列举法直接求解。
例如，有两个盒子，其中一个盒子中有3个红球和2个白球，另一个盒子中有2个红球和3个黑球。
求至少有一个红球但颜色未知的球的总数。
通过列举，我们可以得到共有5个球。
2. 容斥原理：容斥原理是一种常用的解题方法，适用于两个集合之间存在重叠的情况。
通过将重叠元素的个数加到两个集合的并集元素个数上，再减去重复计算的部分，可以求出最终结果。
例如，有5个男生和3个女生参加了数学竞赛，问至少有一个男生参加竞赛的学生人数。
根据容斥原理，至少有一个男生参加竞赛的学生人数为5+3-1=7人。
3. 画图法：对于较复杂的问题，可以通过画图来帮助理解。
通过将重叠部分用阴影标出，可以直观地看到元素的分布情况，从而快速找到答案。
四、应用场景重叠问题在日常生活和工作中也经常出现，如运动会报名、志愿者招募等。
学生们可以通过解决重叠问题培养逻辑思维和判断能力，为未来的学习和工作打下基础。
例如，在志愿者招募中，如果有两个志愿者团队同时申请了一些职位，就需要用到重叠问题的知识来计算最终的招募结果。
又如，在超市购物时，需要计算会员卡同时属于两种会员类型的人数，从而决定是否给予优惠。
五、总结三年级上册数学重叠问题是一个相对较难但非常重要的知识点，需要学生们认真理解和掌握。
通过列举法、容斥原理等解题方法，我们可以解决各种类型的重叠问题。
数学重叠问题的解题技巧
数学重叠问题的解题技巧重叠问题在数学中是一个常见的问题类型，它涉及到两个或多个集合，以及这些集合之间的交集和并集。
解决重叠问题的关键是理解集合的概念，以及如何计算交集和并集。
以下是一些解决重叠问题的技巧：1. 明确集合的定义：首先，你需要明确每个集合的定义。
这通常涉及到确定每个集合的元素。
2. 识别重叠部分：找出两个或多个集合之间的共同元素。
这些共同元素构成了重叠部分。
3. 使用集合的运算：交集：表示两个集合共有的部分。
使用符号∩表示交集。
例如，A∩B 表示集合A和集合B的交集。
并集：表示两个集合的所有元素，包括重复的元素。
使用符号∪表示并集。
例如，A∪B表示集合A和集合B的并集。
4. 避免重复计数：当计算交集时，要注意不要重复计数。
例如，如果集合A 和集合B有3个共同的元素，那么在计算A∩B时，这3个元素只应计算一次。
5. 使用图形表示：有时，使用图形（如韦恩图）来表示集合和它们的重叠部分可以帮助理解问题。
6. 应用公式：对于一些特定的问题，可能存在特定的公式或方法来快速解决。
例如，在计算组合数时，有时可以使用“插空法”或“隔板法”。
7. 逐步解决问题：将问题分解为更小的步骤，每一步只处理一个集合或一个交集/并集的计算。
这有助于避免混淆和错误。
8. 检查答案：完成计算后，检查答案是否符合预期。
这可以通过比较答案与原始问题的关系来完成。
通过遵循这些步骤和技巧，你应该能够解决大多数重叠问题。
记住，重叠问题主要考察的是对集合概念的理解和应用，因此理解这些基本概念是解决这类问题的关键。
小升初小学数学应用题提高练习《重叠问题》答案详解
《重叠问题》1．（2018•小店区）如图中长方形和圆形相交，相交部分的面积是长方形的17，是圆形的110，那么长方形的面积是圆形面积的()A．107B．710C．310【解答】解：设长方形的面积为1，则圆的面积为1110 7107÷=，1071710÷=．故选：B．2．（2015•内江模拟）如图，已知正方形和三角形有一部分重叠，三角形乙比三角形甲面积大7平方厘米，则(x=)厘米．A．7B．8C．9D．10【解答】解：三角形乙的面积比三角形甲的面积大7平方厘米，根据图形可得：三角形ABE的面积比正方形ABCD的面积大7平方厘米，所以三角形ABE的面积为：77749756⨯+=+=（平方厘米），又因为7AB=厘米，所以BE 的长度是：562716⨯÷=（厘米），所以CE 的长度为：1679-=（厘米），即9X =厘米． 答：X 的长度是9厘米． 故选：C ．3．（2013秋•黑龙江期末）如图，阴影部分面积是大长方形面积的27，是小长方形面积的49，大长方形中的空白部分与小长方形的空白部分面积的比值是( )A ．12B ．2C ．16291D ．以上都不对【解答】解：设阴影部分的面积是a ，则大长方形的面积就是2772a a ÷=，小长方形的面积就是4994a a ÷=，则空白处的面积之比是：7955():():2:12424a a a a a a --==， 比值是：212÷=． 故选：B ．4．（2012•蓬江区校级自主招生）两个长方形的纸条面积相等，重叠后图形的周长是( )A ．62B ．66C ．68【解答】解：设阴影部分的长为X ，得， 124(14)x x =⨯+，314x x =+， 214x =，7x =，所以，该图周长是：72122142⨯+⨯+⨯， 142428=++， 66=．故选：B ．5．（2012秋•北京月考）如图中阴影部分占长方形面积的16，占三角形面积的29，则( )A ．长方形面积小于三角形面积B ．长方形面积等于三角形面积C ．长方形面积大于三角形面积D ．无法确定谁的面积大【解答】解：假设阴影部的面积是“1”， 那么长方形的面积是：1166÷=，三角形的面积是：29192÷=， 962>，所以长方形面积大于三角形面积；故选：C ．6．（2018秋•江宁区期末）现有若干个圆环，它们的外直径是6厘米，环宽1厘米，将它们（如图）紧扣在一起，拉紧测量其长度，则2个圆环拉紧后的长度是 10 厘米，8个圆环拉紧后的长度是 厘米．【解答】解：122⨯=（厘米） 66210+-=（厘米） 6827⨯-⨯4814=-34=（厘米）答：2个圆环拉紧后的长度是10厘米，8个圆环拉紧后的长度是34厘米． 故答案为：10，34．7．（2018秋•通州区月考）两个平行四边形A 、B 重叠在一起，重叠部分的面积是A 的13，是B 的15．已知A 的面积比B 的面积少12平方厘米，那么A 的面积是 18 平方厘米，B 的面积是 平方厘米．【解答】解：1112(11)53÷÷-÷ 12(53)=÷-122=÷6=（平方厘米）16183÷=（平方厘米） 16305÷=（平方厘米）答：A 的面积是18平方厘米，B 的面积是30平方厘米． 故答案为：18，30．8．（2017•东台市模拟）如图，两个同样的铁环连在一起长28厘米，每个铁环长16厘米，8个这样的铁环依次连在一起长 100 厘米，n 个铁环连在一起长 厘米．【解答】解：两个铁环连在一起重叠的部分的长度是： 16228⨯- 3228=-4=（厘米），8个铁环连在一起，重叠的部分的长度是： 4(81)⨯- 47=⨯28=（厘米），8个这样的铁环依此连在一起的长度： 16828⨯- 12828=- 100=（厘米）；n 个铁环连在一起，重叠的部分的长度是：4(1)44n n ⨯-=-（厘米）， n 个铁环连在一起长：16(44)n n --1644n n =-+ 124n =+（厘米），答：8个这样的铁环依此连在一起长100厘米，n 个铁环连在一起长(124)n +厘米． 故答案为：100，(124)n +．9．（2017•丹阳市）如图所示，阴影部分的面积是甲圆面积的19，是乙圆面积的14，乙圆的面积是甲圆的49．【解答】解：设阴影部分的面积为1，甲圆面积是： 1199÷=；乙圆面积是： 1144÷=；乙圆面积是甲圆的： 4499÷=．故答案为：49．10．（2014秋•海安县期末）圆形中的阴影部分占圆面积的16，占正方形面积的15，三角形中阴影部分面积占三角形面积的19，占正方形面积的14，圆、正方形、三角形的最简整数比是 24:20:45 ．【解答】解：正方形面积是115656÷=， 三角形的面积是5114564924⨯÷=， 圆、正边形、三角形面积的最简整数比是：5451::24:20:45624=．答：圆形、正方形、三角形的面积最简单的整数比是24:20:45．11．（2014•湖南模拟）已知线段12AB cm =，直线AB 上有一点C ，且6BC cm =，M 是线段AC 的中点，则线段AM 的长为 3cm 或9cm ． 【解答】解：当C 点在线段AB 上，如图1， 12AB cm =，6BC cm =，所以6AC AB BC cm =-=， 又知M 是线段AC 的中点，可得132AM AC cm ==；当C 点在线段AB 的延长线上，如图2， 12AB cm =，6BC cm =，所以18AC AB BC cm =+=， 又因为M 是线段AC 的中点，所以192AM AC cm ==．故答案为：3cm 或9cm ．12．（2012秋•宁波校级月考）爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍．”爷爷现在 70 岁；小明现在 ． 【解答】解：设爷爷x 岁，孙子y 岁，以后若干年为a ，b ，c ⋯ 7x y =，6()x a y a +=+，5()x b y b +=+⋯得：5y a = 2y b =y c =⋯ 因为这个若干年应该是整数年，2和5的公倍数是小明的岁数：10岁.20岁.30岁⋯ 考虑实际情况，10岁比较符合题意， 然后2人的年龄应该如此增长： 爷爷 小明 倍数 70 10 7倍 72 12 6倍 75 15 5倍 80 20 4倍 90 30 3倍 120 60 2倍 故答案为：70，10．13．如图是由两个完全一样的正方形重叠而成的，重叠部分占每个正方形的14，未重叠部分占整个图形的 67．【解答】解：把一个正方形的面积看成1． 整个图形的面积17244=-=，未重叠部分面积716444=-=，未重叠部分占整个图形的676447=÷=．故答案是：6 7．14．有两根长都是100厘米的木条，钉成一根长180厘米的木条，中间钉在一起的重叠部分长是20厘米．√（判断对错）【解答】解：1002180⨯-200180=-20=（厘米）答：中间钉在一起的重叠部分是20厘米．故答案为：√．15．用10张同样长的纸条粘成一条长61厘米的纸条（每个接头处都重叠1厘米），那么每张纸条长7厘米．√（判断对错）【解答】解：(619)10+÷7010=÷7=（厘米），每张纸条长7厘米，原题说法正确．故答案为：√．16．用10张同样长的纸条接成一条长31厘米的纸带，如果每个接头都重叠1厘米，那么每张纸条长4.1厘米．⨯．（判断对错）【解答】解：[311(101)]10+⨯-÷，[319]10=+÷，4010=÷，4=（厘米）；故答案为：⨯．17．（2011秋•师宗县期末）等底等高的两个三角形一定能重合起来．⨯．（判断对错）【解答】解：等底等高的两个三角形不一定形状完全相同；三角形的面积等于底⨯高2÷，所以等底等高的两个三角形面积一定相等；所以本题说法错误；故答案为：⨯．18．（2019秋•惠来县期末）有两张完全相同的长方形纸板，纸板长12厘米，宽5厘米，小红将这两张纸板重叠放在桌子上（如图）．你能求出拼成的这个图形的周长吗？+⨯⨯-⨯【解答】解：(512)2254=-6820=（厘米）48答：这个图形的周长是48厘米．19．（2018秋•东莞市期末）有两块各长100厘米的木板，钉成一块木板，中间钉在一起的重叠部分是20厘米，钉成的木板长多少厘米？+-【解答】解：10010020=-20020=（厘米）180答：钉成的木板长180厘米．20．（2017春•潮南区期末）小红、小强、小明一起去购物一共花了35.6元，小红和小强两人共花了20.82元，小强和小明两人共花了19.78元，请问小红、小强、小明三人各花了多少钱？+-=（元)【解答】解：小强：20.8219.7835.65-=（元)小红：20.82515.82-=（元)小明：19.78514.78答：小红花了15.82元，小强花了5元，小明花了14.78元．21．把3根长16分米的绳子连接成一根长绳．（1）每两根之间接头处长2分米，结成后的长绳长多少分米？（2）结成后的长绳长42分米，每个接头处长多少分米？⨯=（分米）【解答】解：（1）16348-⨯4822=-484=（分米）44答：结成后的长绳长44分米．-÷（2）(4842)2=÷62=（分米）3答：每个接头处长3分米．22．长方形和正方形有一部分重合（如图），两个图形中阴影部分的面积相差多少平方厘米？⨯-⨯【解答】解：2322=-642=（平方厘米）答：两个图形中阴影部分的面积相差2平方厘米．23．（2014秋•涟水县期中）甲、乙、丙三数的和是10.43，甲、乙两数的和是6.18，甲、丙两数的和是6.75，求甲、乙、丙三数各是多少？【解答】解：丙数为：-=；10.43 6.18 4.25乙数为：10.43 6.75 3.68-=；甲数为：6.18 3.68 2.5-=．答：甲数是2.5，乙数是3.68，丙数是4.25．24．曲文学校举行庆六一儿童诗歌大赛，设一、二、三等奖，获一、二等奖的占获奖人数的25，获二、三等奖的占获奖人数的910，获二等奖的占获奖人数的几分之几？【解答】解：291 510+-131 10=-310=答：获二等奖的占获奖人数的3 10．25．（2017•长沙）如图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积．（单位：厘米）【解答】解：因为图1的面积+图2的面积-图2的面积+图3的面积，所以：图3的面积=图1的面积，图1是一个梯形，上底是12厘米，下底是1239-=（厘米），该梯形的高是6厘米，所以阴影面积也就是图1的面积是：(129)62+⨯÷=⨯÷2162=÷1262=（平方厘米）63答：阴影部分的面积是63平方厘米．26．（2015秋•泗阳县校级期末）两个完全一样的直角三角形，如图那样重叠在一起，求阴影部分的面积？（单位：厘米）-+⨯÷【解答】解：(12512)22=⨯÷192219=（平方厘米）答：图中阴影部分面积是19平方厘米．27．（2015•沿河县模拟）三个正方形叠放在一起，如图所示．求：1∠的度数．∠+∠=︒-︒=︒【解答】解：1290454513903060∠+∠=︒-︒=︒∠=︒+︒-︒=︒145609015∠的度数是15︒．答：128．（2014•海安县模拟）20个同样的圆环，一个接一个地扣在一起，形成一条链．如果圆环内直径为2厘米，外直径为3厘米，那么，这条链子拉直后有多长？【解答】解：根据题干分析可得：3[3(32)](201)+--⨯-3219=+⨯338=+41=（厘米）．答：这条链子拉直后的长度为41厘米．29．（2013秋•黑龙江期末）如图中阴影部分的面积是小圆面积的14，大圆面积与小圆面积的比是5:3．已知阴影部分的面积是12平方厘米，大圆面积是多少平方厘米？【解答】解：13 1245÷÷51243=⨯⨯80=（平方厘米）．答：大圆面积是80平方厘米．30．（2013•广州）如图，两张规格不同的贺卡叠放在一起，重叠部分的面积是大贺卡的35，是小贺卡的34，若两张贺卡不重叠的面积等于240平方厘米，求重叠部分的面积．【解答】解：由大贺卡面积35⨯=小贺卡面积34⨯可得： 大贺卡面积：小贺卡面积335:454==，把大贺卡面积看作5份，小贺卡面积是4份，则重叠部分的面积是3份，所以两张贺卡不重叠部分的面积是54323+-⨯=份，24033240÷⨯=（平方厘米）；答：重叠部分的面积为240平方厘米．31．（2012•宜宾县校级模拟）有一部分重叠的大、小两个圆，重叠部分占大圆面积的35，占小圆面积的710，求大、小两个圆面积的最简整数比．【解答】解：因为：大圆面积35⨯=小圆面积710⨯，所以大圆面积：小圆面积73:105=7:6=；答：大圆面积和小圆面积的最简整数比是7:6．32．（2018•西安模拟）有两个边长是2厘米的正方形，其中一个正方形的一个顶点在另一个的中心上，那么两个正方形不重叠部分的面积之和是多少平方厘米？【解答】解：过ABCD 的中心O 作OM CD ⊥于M ，作ON BC ⊥于N ，则易证OEM OFN ∆≅∆，则四边形OECF 的面积就等于正方形OMCN 的面积，正方形ABCD 的边长是2厘米，则OMCN 的面积是1平方厘米，因而图形中重合部分的面积为1平方厘米，因此，两个正方形不重叠部分的面积之和是：22212826⨯⨯-⨯=-=（平方厘米）；故答案为：6平方厘米33．（2017•长沙）如图，两张规格不同的贺卡叠放在一起，重叠部分的面积是大贺卡面积的35，是小贺卡面积的34，若两张贺卡不重叠部分的面积等于270平方厘米，求重叠部分的面积．【解答】解：由大贺卡面积35⨯=小贺卡面积34⨯可得：大贺卡面积：小贺卡面积335:454==，把大贺卡面积看作5份，小贺卡面积是4份，则重叠部分的面积是3份，所以两张贺卡不重叠部分的面积是54323+-⨯=份，27033270÷⨯=（平方厘米）；答：重叠部分的面积为270平方厘米．34．（2015春•乐平市期末）笑笑用两条长5.45米的彩带接成一条长彩带，粘帖处用了0.45米，接好的彩带长多少米？【解答】解：5.4520.45⨯-10.90.45=-10.45=（米)．答：接好的彩带长10.45米．35．（2015秋•萧山区校级期中）把4根分别长3米、4米、5米和6米的竹竿连接成一根，接头部分的长都是5分米．链接后的竹竿长是多少？=米，【解答】解：5分米0.5+++-⨯(3456)0.53=-18 1.5=（米)16.5答：链接后的竹竿长是16.5米．。
五年级奥数题及答案：重叠问题
15．如果买 3 盒水彩笔和 5 个书包，需要 259 元，如果买 2 盒水彩笔和 3 个书包，需要 161 元， 2 个书包和 2 盒水彩笔共要多少元？
16．一个两位数， 十位数字与个位数字之和是 这个两数是多少？
10，数字之差是 4，且个位数字小于十位数字，
17．一群公猴、母猴、小猴共 38 只，每天摘桃 266 个．已知 1 只公猴每天摘桃 10 个， 1 只 母猴每天摘桃 8 个， 1 只小猴每天摘桃 5 个．又知公猴比母猴少 4 只，那么这群猴子中，小 猴有多少只？
4．一个水池，单开进水管， 6 分钟可将空水池注满，单开出水管 若同时打开进、出水管，多少分钟可将水池注满？
8 分钟可将满池水放完，
5．甲、乙两人修路队共有 76 人，甲队增加本队人数的 两队共增加了 384 人，求甲、乙两队原有各有多少人？
4 倍，乙队增加本队人数的
6 倍后，
6．一个食堂买来面粉是大米的 2 倍，每天吃 30 千克大米， 40 千克面粉，几天后大米全部 吃完，面粉还剩余 160 千克，这个食堂买来大米和面粉各多少千克？
6．一个食堂买来面粉是大米的 2 倍，每天吃 30 千克大米， 40 千克面粉，几天后大米全部 吃完，面粉还剩余 160 千克，这个食堂买来大米和面粉各多少千克？
考点 ：列 方程解含有两个未知数的应用题。 分析：由 题意得出：大米吃的总天数和减去 160 千克之后的面粉吃的天数相等，即等量关系
式：（面粉的重量﹣ 160）÷40=大米的重量 ÷30，设出买来大米 x 千克，则买来面粉 2x 千克，据此列出方程并解方程即可． 解答：解 ：设买来大米 x 千克，则面粉为 2x 千克， （ 2x﹣ 160） ÷40=x ÷30，
考 差倍问题。 点： 分 从 “如果从甲筐中拿出 18 个放进乙筐，两筐的苹果就同样多 ”，可知甲筐比乙筐多 析： 18×2=36 个， 先设乙筐有 x 个，则甲筐有 x+36 个， 再根据如果从乙筐拿出 13 个放进甲
三年级数学应用题重叠
三年级数学应用题重叠在小学三年级的数学学习中，应用题是培养学生逻辑思维和解决问题能力的重要部分。
重叠问题是一种常见的数学问题类型，它涉及到两个或多个集合的交集部分。
以下是几个关于重叠问题的应用题例子，以帮助学生理解和练习解决这类问题。
# 应用题一：班级兴趣小组小明所在的班级有40名学生。
其中，有15名学生参加了数学兴趣小组，有12名学生参加了科学兴趣小组。
如果有两个学生同时参加了数学和科学兴趣小组，那么没有参加任何兴趣小组的学生有多少人？解题步骤：1. 首先确定参加数学兴趣小组和科学兴趣小组的学生总数：15 + 12= 27人。
2. 由于有2名学生同时参加了两个小组，所以这2名学生在总数中被重复计算了一次，需要减去这2人：27 - 2 = 25人。
3. 最后，用班级总人数减去参加了兴趣小组的学生人数，得到没有参加任何兴趣小组的学生人数：40 - 25 = 15人。
# 应用题二：图书馆借书图书馆有100本书。
其中，有30本是科幻小说，有20本是历史书籍。
如果有一部分书籍既是科幻小说又是历史书籍，那么这部分书籍有多少本？解题步骤：1. 首先确定科幻小说和历史书籍的总数：30 + 20 = 50本。
2. 由于图书馆总共只有100本书，如果科幻小说和历史书籍的总数超过了100本，说明有一部分书籍被重复计算了。
3. 计算重叠部分的书籍数量：50 - 100 = -50，这是不可能的，所以实际上重叠部分的书籍数量是科幻小说和历史书籍总数减去图书馆总书籍数的绝对值：|50 - 100| = 50本。
# 应用题三：学校运动会学校运动会上，有200名学生参加了比赛。
其中，有50名学生参加了跳远比赛，有60名学生参加了跑步比赛。
如果同时参加了跳远和跑步比赛的学生有10人，那么只参加一项比赛的学生有多少人？解题步骤：1. 首先确定参加跳远和跑步比赛的学生总数：50 + 60 = 110人。
2. 由于有10名学生同时参加了两项比赛，所以这10名学生在总数中被重复计算了一次，需要减去这10人：110 - 10 = 100人。
(完整版)小学奥数重叠问题1
知识要点：前面已学过排队问题，从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这一排共有几个人？这里丽丽被重复数了两次，有时我们也把这类问题叫重叠问题。
[ 例1 ] 洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？分析：由图知道，两块手帕有一边重叠，用3个夹子。
三块手帕有两边重叠，用4个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，因此8块手帕就要用9个夹子。
[ 例2 ] 把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有5张画要多少个图钉呢？分析：每排两张画要6个图钉，每排三张画要8个图钉，每排四张画要10个图钉。
可以看出，图画每增加一张，图钉就要增加2颗，那么5张画要12个图钉。
[ 例3 ] 有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块木板长25厘米，中间钉在一起的长5厘米，现在长木板有多长？分析：把两块木板钉起来，钉在一起的地方的长度就是重叠的部分。
现在的总长就是原来两个总长的和减去重叠的部分。
算式：25+25-5=45（厘米）所以现在木板长45厘米。
[ 例4 ] 张老师出了两道题，做对第一题的有13人，做对第二题的有22人，两道题都做对的有8人，这个班一共有多少人？22人8人分析：做对第一题的13个人里，有8个人也做对第二题，那么做对第二题的22个人里这8个人就又重复数了一次，因此把做对第一题的人数和做对第二题的人数和起来，再减去重复数的这8个人。
算式：13+22-8=27（人）所以这个班一共有27人。
[ 例5 ] 四根长都是8厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长绳，打结处每根绳用去1厘米，绳结长度不计，现在这根长绳长多少厘米？分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结。
一个结用去1+1=2厘米，那么三个结用去2+2+2=6厘米，绳子总长8+8+8+8=32厘米，减去打结的6厘米，32-6=26，现在这根长绳是26厘米。
小升初小学数学应用题基础练习《重叠问题》答案详解
《重叠问题》1．（2013秋•西安期中）下面图形的面积是(2)cmA．12B．11C．10【解答】解：223112⨯⨯-⨯⨯122=-10=（平方厘米）答：图形的面积是10平方厘米．故选：C．2．爸爸把两根绳子接在一起，用来捆扎报纸，第一根绳子长1.9米，第二根绳子长1.1米，接头处共用0.3米，接好后的绳子长()米．A．3B．2.7C．3.3【解答】解：1.9 1.10.3+-30.3=-2.7=（米)答：接好后的绳子长2.7米．故选：B．3．如图，A、B两圆的重叠部分占圆A的25，占圆B的14，那么圆B面积与圆A面积之比为()A．5:8B．8:5C．2:1D．4:5【解答】解：设重叠部分的面积是1，那么：A圆的面积：25 152÷=B圆的面积：1144÷=B圆的面积：A圆的面积54:8:52==答：B圆的面积与A圆的面积之比是8:5．故选：B．4．如图，两张长度相等的长方形重叠在一起，阴影部分的面积是()A．ab B．bc C．ac D．2c【解答】解：中间阴影部分平行四边形的面积是a c ac⨯=．故选：C．5．（2019春•庆云县期末）两根分别长1.4米的木条粘接成一根板条，重叠部分长0.05米．粘成的木条长 2.75米．【解答】解：1.4 1.40.05+-2.80.05=-2.75=（米)答：粘成的木条长2.75米．故答案为：2.75．6．（2014秋•新泰市期末）下图中两个圆重叠部分的面积，相当于大圆面积的19，相当于小圆面积的13，小圆和大圆的面积比是1:3．【解答】解：设重叠部分的面积是1； 大圆的面积是：1199÷=； 小圆的面积是：1133÷=；小圆面积：大圆面积3:91:3==；答：小圆和大圆面积比是1:3．故答案为：1:3．7．（2012春•吴中区校级期末）某班有48人，会打篮球的有25人，会打排球的有18人，都不会的有12人．既会打篮球又会打排球的有 7 人．【解答】解：481236-=（人)，251843+=（人)，43367-=（人)，答：既会打篮球又会打排球的有7人，故答案为：7．8．（2011•长春模拟）一根绳长比10米短，从一头量到5米处作一个记号A ，再从另一头量到5米处作一个记号B ，这是量得AB 间的距离是绳全长的19，AB 间的距离是 1 米？ 【解答】解：11(55)(1)99+÷+⨯， 1011099=÷⨯， 9110109=⨯⨯，1=（米)；答：AB 间的距离是1米．故答案为：1．9．如图，长方形ABCD ，BC CD ⊥，BC // AD ；与三角形交叉叠一起后，如果170∠=度，那么2∠=度，3∠= 度．【解答】解：因为四边形ABCD 是长方形，两组对边平行且相等的四边形是长方形，所以//BC AD ； 因为//DC FG ，所以2170∠=∠=︒；因为BC CD ⊥，所以2490∠+∠=︒，所以4902907020∠=︒-∠=︒-=；又三角形的一个外角的度数等于不相邻的两个内角度数的和，所以34B ∠=∠+∠，所以39020110∠=︒+︒=︒．故答案为：//，70，110．10．一根竹竿长10米，分别把两头垂直插人同一水池中，并依次在竹竿上水面的位置上做上记号，若这两个记号之间相距2米，则水深可能是 4米或6米 ．【解答】解：第一种情况：(102)2-÷82=÷4=（米)第二种情况：(102)2+÷122=÷6=（米)答：水深是4米或6米．故答案为：4米或6米．11．（2012•长沙）如图，有两个边长均为2厘米的正方形，其中以一个正方形的某一个顶点绕另一个正方形的中心旋转．某一时刻这两个正方形不重合部分的面积是 6平方厘米 ．【解答】解：过O 点做AB 的垂线OD ，那么1OD =厘米；2121AOB S ∆=⨯÷=（平方厘米）；AOB ∆的面积就是两个正方形重合部分四边形AEOC 的面积，所以不重合部分的面积是：22212⨯⨯-⨯82=-6=（平方厘米）答：两个正方形不重合的部分面积的和是6平方厘米．故答案为：6平方厘米．12．（2012•中山校级模拟）如图的图形是由六个相等的圆连环组成，每相邻两个圆重叠部分的面积是526平方厘米，占每个圆面积的16，这个图形的总面积是 5876平方厘米．【解答】解：5152625666÷⨯-⨯17856666=⨯⨯-851026=-5876=（平方厘米），故答案为：5876．13．（2012•广汉市校级模拟）如图中，长方形和圆有一部分重叠，重叠部分面积是长方形的17，是圆的110，那么长方形面积是圆面积的710．【解答】解：由题意可知：长方形的面积17⨯=圆的面积110⨯，则长方形的面积：圆的面积117:10710==，所以长方形面积是圆面积的7 10，故答案为：7 10．14．请你算一算4个铁环套在一起的长度是多少？【解答】解：604(42)3⨯-÷⨯60423=⨯-⨯2406=-234()mm=答：4个铁环套在一起的长度是234mm．15．甲乙两人共有30本文艺书，乙丙两人共有50本文艺书，甲、丙两人共有40本文艺书，甲乙丙三人各有文艺书多少本？【解答】解：(305040)2++÷1202=÷60=（本)丙的本数：603030-=（本)甲的本数：605010-=（本)-=（本)乙的本数：604020答：甲有文艺书10本，乙有文艺书20本，丙有文艺书30本．16．某学校四年级有甲、乙、丙3个班，甲班和乙班共有100人，乙班和丙班共有101人，甲班和丙班共有97人．甲、乙、丙3个班各有多少人？+-÷【解答】解：乙班：(10010197)2=÷1042=（人)52-=（人)甲班：1005248-=（人)丙班：974849答：甲班有48人，乙班有52人，丙班有49人．17．3个大小相同的铁环连在一起，拉紧后如图所示，铁环的总长度是多少毫米？=毫米【解答】解：2厘米20⨯-⨯20324=-608=（毫米）52答：铁环的总长底是52毫米．18．甲、乙、丙三个数，甲、乙两个数的和是10，乙、丙两个数的和是8.4，甲、丙两个数的和是7.6．求甲、乙、丙三个数各是多少？++÷【解答】解：(108.47.6)2=÷262=13-=甲数：138.4 4.6-=乙数：137.6 5.4-=丙数：13103答：甲数是4.6，乙数是5.4，丙数是3．19．如图中，长方形的长为9厘米，宽为7厘米，正方形的边长为4厘米，它们重叠部分的面积为8平方厘米．问阴影部分面积是多少？⨯+⨯-⨯【解答】解：974482=+-631616=（平方厘米）63答：阴影部分的面积是63平方厘米．20．如图，大正方形的一个顶点A落在小正方形的中心，已知大、小正方形的边长分别是19厘米和10厘米，求重叠部分的面积．【解答】答案为：25平方厘米21．两块一样长的木板重叠在一起，成了一块木板，总长200厘米，重叠部分是20厘米，原来每块木板长多少厘米？+÷【解答】解：(20020)2=÷2202110=（厘米）答：原来每块木板长110厘米．22．小明把一根竹竿插入水中，入水部分是30厘米，然后他把竹竿倒过来，再插入水中，这时没沾水的部分是40厘米这根竹竿长多少分米？【解答】解：303040++6040=+100=（厘米），100厘米10=分米，答：这根竹竿长10分米．23．图中阴影部分占大长方形的16，占小正方形的14，小正方形的面积是大长方形面积的()()．【解答】解：11(1)(1)46÷÷÷ 46=÷23=；答：小正方形的面积是大长方形面积的23．故答案为：23．24．在如图中，点C 是AB 的中点，点E 是BD 的中点，阴影部分面积占整个图形面积的几分之几？【解答】解：由题意和图可知：把整个图形平均分成7份，阴影部分占了1份，所以占17． 25．如图中阴影部分的面积是小圆面积的512，是大圆面积的115，小圆面积与大圆面积的比是多少？【解答】解：因为大圆面积115⨯=小圆面积512⨯，所以小圆面积：大圆面积15:4:251512== 答：小圆面积与大圆面积的比是4:25．26．如图，图形是由两个有部分重叠的圆组成的，重叠部分的面积是212cm ，占大圆面积的112，占小圆面积的38，这个图形的面积是多少？【解答】解：11214412÷=（平方厘米)312328÷=（平方厘米） 1443212164+-=（平方厘米）答：这个图形的面积是164平方厘米．27．把3个大小相同的铁环连在一起（如图），拉紧后的长是多少分米？【解答】解：36324⨯-⨯1088=-100=（毫米）100毫米1=分米答：拉紧后的长是1分米．28．如图，两个长为30厘米的长方形，放在桌面上，求盖住桌面的面积．【解答】解：30123081012⨯+⨯-⨯360240120=+-480=（平方厘米）；答：盖住桌面的面积是480平方厘米．29．如图是两个重叠的正方形，中间重叠部分恰好是1平方分米．这个图形的面积是多少平方分米？【解答】解：177⨯=（平方分米）答：这个图形的面积是7平方分米．30．将图A和图B重叠后得到的新图形是哪一个？【解答】解：根据题干综合分析，图A和图B重叠后的新图形是③．31．如图，涂色部分是三角形ABC面积的14，是梯形EFGD面积的15，三角形ABC的面积是梯形EFGD面积的() ()．【解答】解：设涂色部分的面积是1，三角形ABC面积是：1144÷=梯形EFGD面积是：1155÷=4455÷=答：三角形ABC的面积是梯形EFGD面积的4 5．故答案为：4 5．。
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小学数学典型应用题之重叠问题
一、含义
重叠问题是数学上非常常见的一类数学问题，它要用到数学中的一个非常重要的原理：容斥原理，即当两个(或多个)计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。
二、解题思路和方法
解决重叠问题时，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画图，借助图形进行思考，找出哪些是重叠的和重叠的次数，明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
当两个计数部分重叠时，可从它们的单项和中减去重叠的部分，得出总数。
三、例题
例题（一）：二（1）班同学人人参加课外活动，有20人参加英语班，有26人参加电脑班，每人至少参加一项。
其中4人两个班都参加。
二（1）班一共有多少人？
解析：（1）已知20人参加英语班，26人参加电脑班，一共有20+26-46（人）。
（2）这46人中，有4人两班都参加。
（3）也就是说这4人在英语班算了名额，在电脑班也算了名额，多算了一次。
（4）所以，全班的人数应是46=4=42（人）。
例题（二）：三（2）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不会的有10名。
那么只会下象棋的同学有多少名？
解析：（1）方法一：至少会下一种棋的人数是42-10=32名，而两种棋都会下的有21+17-32=6名，所以只会下象棋的同学有21-6=15（名）。
（2）方法二：至少会下一种棋的人数是42-10=32（名），用至少会下一种棋的人数减去会下围棋的人数就是只会下象棋的同学，故共有32-17=15（名）。
例题（三）：全班50 人，不会骑自行车的有23人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有4人。
两样都不会的有多少人？
解析：（1）会骑自行车的有50-23=27人，会滑旱冰的有50-35=15人。
（2）那么至少会这两样其中一样的人有：27+15-4=38人。
（3）加上两样都不会的人，就是全班人数。
（4）所以两样都不会的人数有50-38=12人。
例题（四）：芳草地小学四年级的64人都会钢琴或画画中的一种，其中有58人学钢琴，43人学画画，问只学钢琴和只学画画的分别各有多少人？
解析：（1）学了钢琴或画画的有73-9=64（人）。
（2）两样都学的有58+43-64=37（人）。
（3）所以只学钢琴的有58-37=21人；而只学画画的则有43-37=6人。
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