人教B版高中数学高一必修5练习1.1.1正弦定理(一)
§1.1.1-1 正弦定理(一)
a sin C 20sin 76 c 30(cm). sin A sin 40
(2) 当B≈116°时，
C 180 ( A B) 180 (40 116 ) 24 ,
§1.1.1-1 正弦定理(一)
ห้องสมุดไป่ตู้
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§1.1.1-1 正弦定理(一)
解直角三角形需要用到的知识
①三角形内角和定理： A B C 180 ② 锐角三角函数：
a b a sin A ,cos A ,tan A ; c c b a b b sin B ,cos B ,tan B . c c a
2013-1-16 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 5
§1.1.1-1 正弦定理(一)
证法三:
(向量知识来证明)
过A作单位向量 j 垂直于AC AC CB AB，两边同乘以向量 j , B a j ( AC CB ) j AB c j 则：j AC j CB j AB A b j AC cos 90 j CB cos(90 C ) j AB cos(90 A)
2013-1-16
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
12
§1.1.1-1 正弦定理(一)
如何应用正弦定理？ （一）已知两边一对角，可求其 它边和角！(SSA) （二）已知两角一对边，可求 B 其它边和角！(AAS) C a c b A
D
问题：已知任意两角和一边，能否求其 它边和角?
2013-1-16 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 9
【数学】1.1.1《正弦定理》课件(新人教B版必修5)
对任意三角形,这个等式都会成立吗 对任意三角形 这个等式都会成立吗? 这个等式都会成立吗 怎么证明这个结论？ 怎么证明这个结论？
（一）正弦定理的证明 方法一(向量法) 方法一(向量法)
已知: ABC中，CB=a,AC=b,AB=c. 求证: 求证
a b c = = s in A s in B s in C
\ a = s in A b = s in B c s in C
90
0
即等式对任意三角 形都成立
B a c A b C
证法二：(等积法) 证法二： 等积法) 在任意斜 ABC当中 作AD⊥BC于D
c h a
A
b
∴ S ∆ABC = 1 a h 2 B ∵ h = b sin C ∴ S ∆ABC = 1 a b sin C 2
已知在Δ a,b和 例1.已知在ΔABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B 已知在 中
解：∵c=10 A=450,C=300
a c 10sin 450 a sin A = =10 由 sin A = 得 a= 0 sin C sin 30 sin C b c 由 = sin B sin C
A+ B C sin = cos 2 2
cos( A + B ) = − cos C
3、边角关系： 、边角关系： 1）大边对大角，大角对大边，等边对等角 ）大边对大角，大角对大边， 0,则 sin A = a , cos A = b 2）在直角三角形 ）在直角三角形ABC中,C=90 则 中
c c
二、展示目标
请同学们思考两个问题： 请同学们思考两个问题： 1.为什么会出现两个解？ 为什么会出现两个解？ 为什么会出现两个解 2.当a=1时C有几个解；当a= 有几个解； 当 时 有几个解 几个解； 几个解；当a=3时C有几个解 时 有几个解
精品教育2018高中数学(人教B版)必修五学案：第一章 1.1.1 正弦定理(一) Word版含答案
1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理(一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．[知识链接]下列说法中，正确的有________．(1)在直角三角形中，若C 为直角，则sin A ＝a c .(2)在△ABC 中，若a ＞b ，则A ＞B .(3)在△ABC 中，C ＝π－A －B .(4)利用AAS 、SSA 都可以证明三角形全等．(5)在△ABC 中，若sin B ＝22，则B ＝π4. 答案 (1)(2)(3)解析 根据三角函数的定义，(1)正确；在三角形中，大边对大角，大角对大边，(2)正确；三角形的内角和为π，(3)正确；AAS 可以证明三角形全等，SSA 不能证明，(4)不正确；若sin B ＝22，则B ＝π4或3π4，(5)不正确，故(1)(2)(3)正确． [预习导引]1．在Rt △ABC 中的有关定理在Rt △ABC 中，C ＝90°，则有：(1)A ＋B ＝90°，0°<A <90°，0°<B <90°；(2)a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)；(3)a sin A ＝c ；b sin B ＝c ；c sin C＝c . 2．正弦定理在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C，这个比值是其外接圆的直径2R .3．解三角形 一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．要点一 正弦定理的推导与证明例1 在锐角△ABC 中，证明：a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 证明 如图，在锐角△ABC 中，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，有CD b ＝sin A ，CD a＝sin B .∴CD ＝b sin A ＝a sin B ．∴a sin A ＝b sin B. 同理，b sin B ＝c sin C .∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C成立． 规律方法 从正弦定理可以推出它的常用变形有：(1)a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝c sin C. (2)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C. (3)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B .(4)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .跟踪演练1 在钝角△ABC 中，如何证明a sin A ＝b sin B ＝c sin C仍然成立？证明 如图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，则CD b ＝sin A ，即CD ＝b sin A ；CD a ＝sin(180°－B )＝sin B ， 即CD ＝a sin B .因此b sin A ＝a sin B ，即a sin A ＝b sin B. 同理可证，b sin B ＝c sin C .因此a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 要点二 已知两角及一边解三角形例2 已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：(1)a ＝20，A ＝30°，C ＝45°；(2)a ＝8，B ＝60°，C ＝75°.解 (1)∵A ＝30°，C ＝45°；∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝20sin 105°sin 30°＝40sin(45°＋60°) ＝10(6＋2)；c ＝a sin C sin A ＝20sin 45°sin 30°＝202， ∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2.(2)A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理b sin B ＝a sin A， 得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46， 由正弦定理a sin A ＝c sin C， 得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)． ∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)．规律方法 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．跟踪演练2 在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，求边c .解 由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝c sin C， 得c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)． 要点三 已知两边及一边的对角解三角形例3 在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形：(1)a ＝1，b ＝3，A ＝30°；(2)a ＝3，b ＝1，B ＝120°.解 (1)根据正弦定理，sin B ＝b sin A a ＝3sin 30°1＝32. ∵b >a ，∴B >A ＝30°，∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c ＝b sin C sin B ＝3sin 60°＝2； 当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A ，∴c ＝a ＝1.(2)根据正弦定理，sin A ＝a sin B b ＝3sin 120°1＝32>1. 因为sin A ≤1.所以A 不存在，即无解．规律方法 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．跟踪演练3 已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：(1)a ＝2，c ＝6，C ＝π3；(2)a ＝2，c ＝6，A ＝π4. 解 (1)∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22. ∵c >a ，∴C >A .∴A ＝π4. ∴B ＝5π12，b ＝c sin B sin C ＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1. (2)∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝32. 又∵a <c ，∴C ＝π3或2π3. 当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin B sin A＝3＋1. 当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A＝3－1.1．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔a >b ⇔A >B .2．在△ABC 中，一定成立的等式是( )A ．a sin A ＝b sin BB ．a cos A ＝b cos BC ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b sin A 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B，得a sin B ＝b sin A ，故选C. 3．在△ABC 中，已知A ＝150°，a ＝3，则其外接圆的半径R 的值为( )A ．3B. 3 C ．2D ．不确定 答案 A解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝3sin 150°＝6＝2R ，∴R ＝3.4．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形答案 B解析 由sin A ＝sin C 知a ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形．5．在△ABC 中，已知a ＝5，sin C ＝2sin A ，则c ＝________.答案 2 5解析 由正弦定理，得c ＝a sin C sin A＝2a ＝2 5.1．正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)． 2．正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．。
2018版高中数学人教B版必修五学案：第一单元 1.1-1 正弦定理一 含答案 精品
1．1.1正弦定理(一)学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一正弦定理的推导思考1如图，在Rt△ABC中，asin A、bsin B、csin C各自等于什么？思考2在一般的△ABC中，asin A＝bsin B＝csin C还成立吗？课本是如何说明的？梳理在任意△ABC中，都有asin A＝bsin B＝csin C，证明方法除课本提供的方法外，还可借助三角形面积公式，外接圆或向量来证明．知识点二正弦定理的呈现形式1.asin A＝____________＝__________＝2R (其中R 是____________)； 2．a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C＝2R sin A ；3．sin A ＝a2R ，sin B ＝________，sin C ＝________.知识点三 解三角形一般地，把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的______．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．类型一 定理证明例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．反思与感悟 (1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝bsin B ，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力． 跟踪训练1如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c .求证：asin A ＝2R .类型二 用正弦定理解三角形例2 已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：a ＝20，A ＝30°，C ＝45°.反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝c sin C，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． (2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理： ①已知三角形的任意两角与一边；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值．类型三 边角互化命题角度1 化简证明问题例3 在任意△ABC 中，求证：a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )＝0.命题角度2 运算求解问题例4 在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，求△ABC 的周长的最大值．反思与感悟 利用a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 或正弦定理的变形公式a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)能够使三角形边与角的关系相互转化．跟踪训练3 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，求a ∶b ∶c 的值．1. 在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________. 4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________.1. 定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)．2. 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．答案精析问题导学 知识点一 思考1a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立，课本采用边AB 上的高CD ＝b sin A＝a sin B 来证明． 知识点二 1.b sin B c sin C △ABC 外接圆的半径 3.b 2Rc 2R知识点三 元素 解三角形 题型探究 类型一例1 证明 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点， 根据正弦函数的定义知：CDb ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ， CDa＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴a sin A ＝b sin B. 同理，b sin B ＝csin C .故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 跟踪训练1 证明 连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ，则圆周角∠A ′＝∠A .∵A ′B 为直径，长度为2R ，∴∠A ′CB ＝90°，∴sin A ′＝BC A ′B ＝a2R ，∴sin A ＝a 2R ，即asin A ＝2R .类型二例2 解 ∵A ＝30°，C ＝45°， ∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°， 由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝20sin 105°sin 30°＝40sin(45°＋60°) ＝10(6＋2)，c ＝a sin C sin A ＝20sin 45°sin 30°＝202，∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2. 跟踪训练2 解 根据三角形内角和定理， A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°sin 45°＝9 6.类型三 命题角度1例3 证明 由正弦定理，令a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，k >0.代入得 左边＝k (sin A sin B －sin A sin C ＋sin B sin C －sin B sin A ＋sin C sin A －sin C sin B ) ＝0＝右边， 所以等式成立． 命题角度2例4 解 设AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b . 由正弦定理， 得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2 3. ∴b ＝23sin B ，c ＝23sin C ， a ＋b ＋c ＝3＋23sin B ＋23sin C ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3＋23sin B ＋23⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B＝3＋33sin B ＋3cos B ＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6， ∴当B ＝π3时，△ABC 的周长有最大值9.跟踪训练3 解 ∵A ＋B ＋C ＝π， A ∶B ∶C ＝1∶2∶3， ∴A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴sin A ＝12，sin B ＝32，sin C ＝1.设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)， 则a ＝k sin A ＝k 2，b ＝k sin B ＝32k ，c ＝k sin C ＝k ，∴a ∶b ∶c ＝12∶32∶1＝1∶3∶2.当堂训练1．C 2.B 3.25 4.π3或2π3。
(新课标)高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课时作业新人教B版必修5
2017春高中数学 第1章 解三角形 1。
1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理 课时作业 新人教B 版必修5基 础 巩 固一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°,∠C ＝75°,则BC 等于错误!（ A )A ．3－ 3B ． 2C ．2D ．3＋错误!［解析］ 由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴BC ＝错误!＝错误!＝3－错误!.2．已知△ABC 的三个内角之比为A ︰B ︰C ＝3︰2︰1,那么对应的三边之比a ︰b ︰c 等于错误!（ D )A ．3︰2︰1B ．错误!︰2︰1C ．错误!︰错误!︰1D ．2︰错误!︰1 ［解析］ ∵⎩⎨⎧ A ︰B ︰C ＝3︰2︰1A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ＝1︰错误!︰错误!＝2︰错误!︰1。
3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝错误!，则sin B ＝错误!( B ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．1 ［解析］ 由正弦定理，得a sin A ＝错误!，∴错误!＝错误!，即sin B ＝错误!，选B ．4．在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若错误!＝错误!，则角B 的大小为错误!( B )A ．错误!B ．错误!C．错误!D．错误!［解析]由错误!＝错误!及错误!＝错误!，可得sin B＝cos B，又0<B<π,∴B＝错误!。
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m＝(3，－1）,n＝(cos A,sin A），若m⊥n,且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角A、B的大小分别为错误!（ C ）A．错误!，错误!B．错误!，错误!C．π3，错误!D．错误!，错误![解析]∵m⊥n,∴错误!cos A－sin A＝0,∴tan A＝错误!,则A＝错误!。
【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.1第一课时正弦定理课件 新人教B版必修5
(2)根据三角形内角和定理， 根据三角形内角和定理， 根据三角形内角和定理 C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°， ＝ － ＋ ＝ － ＋ ＝ ， 根据正弦定理， 根据正弦定理， 1 2× × 2 asinB 2sin30° b＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 2， ， sinA sin45° 2 2 6＋ 2 ＋ 2× × 4 asinC 2sin105° 2sin75° c＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ sinA sin45° sin45° 2 2 3＋1. ＋
分析】 【分析】 我们可先确定满足条件的三角形的 个数，然后再求解． 个数，然后再求解．
是钝角， 【解】 (1)∵A＝107°是钝角，且 a＞b， ∵ ＝ 是钝角 ＞ ， 这样的三角形有且只有一个． ∴这样的三角形有且只有一个． 26sin107° ∵sinB＝ ＝ ≈0.507， ， 49 ∴B≈30°，∴C≈43°. ≈ ， ≈ a c 49 c 又∵ ＝ ，∴ ＝ ， sinA sinC sin107° sin43° 49sin43° ∴c＝ ＝ ≈35(cm)． ． sin107° 故 B≈30°，C≈43°，c≈35 cm. ≈ ， ≈ ， ≈
π ∴sinB＋sinC＝sinB＋sin( －B) ＋ ＝ ＋ 3 3 π 1 ＝ sinB＋ cosB＝sin(B＋ )． ＋ ＝ ＋ ． 2 3 2 π π π 2π 又 0＜B＜ ，∴ ＜B＋ ＜ . ＜ ＜ ＋ 3 3 3 3 π 3 ∴ ＜sin(B＋ )≤1. ＋ ≤ 3 2 3 的取值范围是( 故 sinB＋sinC 的取值范围是 ，1]． ＋ ． 2
正弦定理的简单应用
例3
如图， 平分∠ 如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠
DAB. BC sinD 求证： . 求证：CD＝ sinB
高三数学必修5课件：正弦定理(1)(2)
思考：对于一般三角形，上述结论是否成立 思考：对于一般三角形，
在锐角三角形中， 在锐角三角形中，
作CD ⊥ AB于点D
CD = sin A,即CD = b sin A b CD = sin B,即CD = a sin B a
∴ b sin A = a sin B a b a c 即 = 同理： = sin A sin B sin A sin C a b c ∴ = = sin A sin B sin C
Da 同理 ∴
S∆ABC = absin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2 abc a b c ∴ = = = 2S∆ABC sin A sin B sin C
1 1 S∆ABC = acsin B = absinC 2 2 1 S∆ABC = bcsin A 2 1 1 1
a b c ∴ = = sin A sin B sin C
由以上三种情况的讨论可得： 由以上三种情况的讨论可得： 正弦定理： 在一个三角形中，各边的长和 正弦定理： 在一个三角形中， 它所对角的正弦的比相等， 它所对角的正弦的比相等，即
a b c = = sin A sin B sin C
思考： 思考：用“向量”的方法如何证明“正弦定理 向量”的方法如何证明“
∆ABC中，b = 3 , B = 60 0 , c = 1, 求a和A, C
C = 30 , A = 90 , a = 2
1.1.1 正弦定理
第二节
思考： 思考：正弦定理可以解哪些类问题 已知两角和任一边， ①已知两角和任一边， 求其他两边及一角。 有唯一解） 求其他两边及一角。 （有唯一解） 已知两边和其中一边对角， ②已知两边和其中一边对角， 求另一边的对角。 求另一边的对角。 何时有一解，二解，无解) （何时有一解，二解，无解
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】1.1.1(一)
1.1.1（一）
b＋c＝4k 则c＋a＝5k a＋b＝6k
本 课 时 栏 目 开 关
.
∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.
答案 B
研一研·问题探究、课堂更高效
a－ccos B sin B 例2 在△ABC中，求证： ＝ . sin A b－ccos A a b c 证明 因为 ＝ ＝ ＝2R， sin A sin B sin C 所以 2Rsin A－2Rsin Ccos B sinB＋C－sin Ccos B 左边＝ ＝ 2Rsin B－2Rsin Ccos A sinA＋C－sin Ccos A sin Bcos C sin B ＝ ＝ ＝右边． sin Acos C sin A
小结
a b c 综上所述，对于任意△ABC， ＝ ＝ ＝2R sin A sin B sin C
恒成立．
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典型例题
1.1.1（一）
例1 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若 A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于 A．1∶2∶3
本 课 时 栏 目 开 关
(
)
B．2∶3∶4 D．1∶ 3∶2
C．3∶4∶5
解析 ∵A＋B＋C＝π，A∶B∶C＝1∶2∶3，
π π π ∴A＝ ，B＝ ，C＝ ， 6 3 2 1 3 ∴sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝1. 2 2
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a b c 设 ＝ ＝ ＝k(k＞0)，则 sin A sin B sin C k 3 a＝ksinA＝ ；b＝ksinB＝ k；c＝ksinC＝k； 2 2 1 3 ∴a∶b∶c＝ ∶ ∶1＝1∶ 3∶2，故选D. 2 2 答案 D
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第一章 解三角形
§1.1 正弦定理和余弦定理
1．1.1 正弦定理(一)
一、基础过关
1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是
( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin A
C ．ab sin C ＝bc sin B
D ．a sin C ＝c sin A
2．在△ABC 中，若A ＝30°，B ＝60°，b ＝3，则a 等于
( ) A ．3 B ．1 C ．2 D.12
3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为
( ) A ．直角三角形
B ．等腰直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰三角形
4．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为
( ) A.π3
B.π6
C.π3或23
π D.π6或56π 5．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，则2sin A －sin B sin C
＝________. 6．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13
，则a ＝________. 7．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B .
8．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .
二、能力提升
9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，
则角A 的大小为
( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6
10．在△ABC 中，sin A ＝34
，a ＝10，则边长c 的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭
⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D.⎝
⎛⎦⎤0，403
11．在△ABC中，若tan A＝1
3，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.
12．在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，求A 的值．
三、探究与拓展
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝3a，B＝30°，求角C的大小．
答案
1．D 2.B 3.A 4.C 5.25 6.523
7．解 ∵a sin A ＝c sin C
， ∴a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°
＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)
＝105°.
又∵b sin B ＝c sin C
， ∴b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°
＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 8．证明 因为左边＝4R 2sin 2A ·sin 2B ＋4R 2sin 2B ·sin 2A
＝8R 2sin 2A sin B cos B ＋8R 2sin 2B sin A cos A
＝8R 2sin A sin B (sin A cos B ＋cos A sin B )
＝8R 2sin A sin B sin(A ＋B )
＝8R 2sin A sin B sin C
＝2·(2R sin A )·(2R sin B )·sin C
＝2ab sin C ＝右边，
∴等式成立．
9．D 10.D 11.102
12．解 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，
又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，
即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，
化简得：sin A ＝
33cos A ， ∴tan A ＝33
，∴A ＝30°.
13．解 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C ) ＝3sin(30°＋C ) ＝3⎝⎛⎭
⎫32sin C ＋12cos C ， 即sin C ＝－3cos C ．∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.。