浙江省温州十校联合体2020~2021学年第一学期高二期末联考数学试卷及答案解析
浙江省温州市十校联合体2020-2021学年高二上学期期末联考数学试题答案
2020学年第一学期温州十校联合体期末联考高二年级数学评分标准与参考答案一、选择题(4×10=40分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADBBCCCDAB8. D 【解析】曲线表示单位圆在x 轴上方的部分（包括与x 轴的两个交点），借助圆的几何性质可求得距离最值（如右图）。
9.A 【解析】【解析】取线段DD 1的三等分点E （靠近D 1点），连接HE ,PE ，易得HE ⊥平面DCC 1D 1，2222PE HP HE =−= ，所以点P 在以E 为圆心22为半径的圆弧上（在侧面11DCC D 内），所以点P 到平面ADD 1A 1距离的最大值即为22. 111111132326V=HA A D h h ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≤。
选A 。
10. B 【解析】||||8||92||||1,1||||1||1||17PF PF PT PQ PT|+|QT|=PT|PQ PT PT PT −≤+≥==−≥+++ . 二、填空题.（本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11.(1,2), (,5)−−∞； 12．2，8 ; 13. 520 22，； 14．33y =， ；15．433； 16．1[1,]e e+ ；17．20+813316. 【解析1】11x xe x e +≥−恒成立， 原不等式看成关于a 的一元二次不等式，可得 当[1,2]x ∈时，11xx x a e e −≤≤+恒成立，解得11a e e ≤≤+..【解析2】令1(),g()1xx f x e x x e=+=−，则原不等式即为[(x)a][g()a]0f x −⋅−≤.原不等式恒成立等价于把函数(),()y f x y g x ==的图像同时向上或者向下平移|a |个单位后，一个位于x 轴上方，一个位于x 轴下方，结合函数图像可得a 的取值范围.17.【解析】将四面体ABCD 放在长方体中（补成一个长方体，使得四面体的6条棱是长方体6个面的对角线）. 设长方体的长宽高分别为a,b,c 。
2021-2022学年浙江省温州市高二上学期期末考试教学质量统一检测数学试卷(B卷)含详解
C.如果 ，则 ， ， 成等差数列
D.如果 ，则 ， ， 成等差数列
8.如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路 或 运送到形状为四边形区域 的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路 运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路 运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（）
故选：D.
6.已知四面体 ，所有棱长均为源自，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则 （）
A.1B.2C.-1D.-2
D
【分析】在四面体 中，取定一组基底向量，表示出 ， ，再借助空间向量数量积计算作答.
【详解】四面体 的所有棱长均为2，则向量 不共面，两两夹角都为 ，
则 ，因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则 ， ，
对于B，若 ，则 ，即 ， ， 成等比数列，B正确；
对于C，若 ，取 ，而 ， ， ， 不成等差数列，C不正确；
对于D，a，b，c是实数，若 ，显然 都可以为负数或者0，此时a，b，c无对数，D不正确.
故选：B
8.如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路 或 运送到形状为四边形区域 的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路 运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路 运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（）
故选：D5.圆 与 的公共弦长为（）
A. B. C. D.
D
【分析】已知两圆方程，可先让两圆方程作差，得到其公共弦的方程，然后再计算圆心到直线的距离，再结合勾股定理即可完成弦长的求解.
详解】已知圆 ，圆 ，
两圆方程作差，得到其公共弦的方程为： ： ，
而圆心 到直线 的距离为 ，
圆 的半径为 ，所以 ，所以 .
浙江省“温州十校联合体”高二上学期期末考试数学试题(解析版)
浙江省“温州十校联合体”高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线的斜率为直线的倾斜角为：，可得：故选2．抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：根据抛物线的焦点坐标是，所以此题的答案应是，故选A.【考点】抛物线的焦点坐标和标准方程.3．设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】试题分析：对于A,若，与可能平行，故A错；对于B, 若，与可以相交、异面直线、平行，故B错；对于C, 若，，l与可以相交、异面直线、平行，故C错；对于D,根据线面垂直的性质定理可得若，则，故D正确.【考点】空间直线与平面的位置关系.【方法点晴】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 4．“直线y ＝x+b 与圆x2+y2＝1相交”是“0＜b ＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意，直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝1相交，可得（0，b ）在圆内，b 2＜1，求出﹣1＜b ＜1，即可得出结论． 【详解】由题意，直线y ＝x+b 恒过（0，b ），∵直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝1相交，∴（0，b ）在圆内，∴b 2＜1，∴﹣1＜b ＜1； 又由0＜b ＜1时，（0，b ）在圆内，∴直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝1相交． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充要条件的判断问题，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的求解方法，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5．圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线条数为（ ）A.1 B .2 C.3 D.4 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，圆1C 的圆心1(1,4)C --，半径为5R =；圆2C 的圆心2(2,2)C ，半径为3r =，则12C C =，且2,8R r R r -=+=，即12R r C C R r -<<+，所以两圆相交，所以共有2条公切线，故选B ．【考点】圆与圆的位置关系．6．双曲线的左、右焦点分别为，，在左支上过点的弦AB 的长为5，那么的周长是A．12 B．16 C．21 D．26【答案】D【解析】依题意，利用双曲线的定义可求得，，从而可求得的周长．【详解】解：依题意，，，，又，．．即的周长是26．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线定义的灵活应用，属于中档题．7．已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于,故选C. 8．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线【答案】D【解析】由题意知，直线C1D1⊥平面BB1C1C，则C1D1⊥PC1，即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，那么点P到直线BC的距离等于它到点C的距离，所以点P的轨迹是抛物线．故选D．9．已知点为抛物线上的两点，为坐标原点，且，则的面积的最小值为（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】A【解析】方法一：第一步，把A，B点设出来；第二步，根据向量垂直的等式关系推导出参数间的关系；第三步，根据题意列出面积方程；第四步，利用均值不等式进行求最小值.方法二：由对称性，当的面积取得最小值时，两点关于轴对称，根据对称关系，直线的倾斜角为，直线的方程为，将其代入抛物线方程，【详解】解析：设，则，,则解得，根据三角形的面积公式，，当且仅当时，取最小值.则的面积的最小值为16.解法2：由对称性，当的面积取得最小值时，两点关于轴对称，又因为，所以直线的倾斜角为，直线的方程为，将其代入抛物线方程，解得，所以，此时．答案选A 【点睛】本题考查直线与抛物线形成的三角形面积，对动点采用设而不求的方法，难点在于根据已有向量关系形成等量代换，进而均值不等式求解面积最小值，难度较大。
浙江省温州市十校联合体2020至2021高二下学期期末联考数学理试卷
浙江省温州市十校联合体2020-2021学年高二下学期期末联考数学（理）试题【试卷综评】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。
突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
注重双基和数学思想数学方法的复习，注重运算能力思维能力的培养。
较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，能考查学生的能力。
一、选择题（每小题4分，共40分）1．若集合{}R x x x M ∈≤=,42，{|13,}N x x x R =<≤∈，则=⋂N M （ ▲ ） A ．{|21}x x -≤< B ．{|12}x x <≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|2}x x <【知识点】集合的概念；一元二次不等式的解法；交集的定义. 【答案解析】B 解析 ：解：24,22,22;x x M x x=⋂N M {|12}x x <≤,故选B.【思路点拨】由已知条件解出集合M 再求交集即可. 2．下列函数中,在区间()0,+∞上为增函数的是（ ▲ ）A ．x y 1=B ．y =C ．()ln 2y x =+D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【知识点】函数单调性的判断与证明． 【答案解析】C 解析 ：解：A 中，xy 1=,在区间()0,+∞上为减函数；B 中，y =()0,+∞上为减函数；C 中，()ln 2y x =+在（-2，+∞）上递增，故在（0，+∞）上也递增；D 中，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,+∞上为减函数.故选C.【思路点拨】利用基本初等函数的单调性逐项判断即可． 3. 已知ABC ∆中，“1sin 2A >”是“6A π>”的（ ▲ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【答案解析】A 解析 ，则566＜＜．满足A >7A86＞，但sin 6A π>”的充分不必故选：A【思路点拨】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．4．已知圆的方程为22680x y x y ++-=，设该圆中过点(3,5)M -的最长弦、最短弦分别为,AC BD ，则BD AC +的值为（ ▲ ） A. 2610+B. 26210+C. 6210+D. 6410+【知识点】直线与圆的关系；圆的一般方程的应用.【答案解析】D 解析 ：解：该圆中过点M （-3，5）的最长弦AC ，就是圆的直径；最短弦分别为BD ，就是过该点与圆的直径垂直的弦长．圆的方程为22680x y x y ++-=，圆心（-3，4），半径为：5，∴|AC|=10，2222BD 2533542244 6.AC BD 10+故选：D ．【思路点拨】利用圆心到直线的距离与半径半弦长的关系，求出弦长，求出直径，ACBD 的值5．已知βα,是两个不同的平面，n m ,是两条不同的直线，则下列命题不．正确．．的是( ▲ ) A ．若α⊥m n m ,//，则α⊥n B ．若n m =⋂βαα,//，则n m // C ．若αβ⊥⊥m m ,，则βα// D ．若βα⊂⊥m m ,，则βα⊥ 【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系.【答案解析】B 解析 ：解：A 选项正确，因为两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条必垂直于这个平面；B 选项不正确，因为由线面平行的性质定理知，线平行于面，过线的面与已知面相交，则交线与已知线平行，由于m 与β的位置关系不确定，故不能得出线线平行；C 选项正确，两个平面垂直于同一条直线，则此两平面必平行；D 选项正确，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 综上，B 选项不正确 故选B.【思路点拨】A 选项由线面垂直的条件判断；B 选项由线线平行的条件判断；C 选项由面面平行的条件判断；D 选项由面面垂直的条件判断． 6．将函数)62sin(π-=x y 图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是(▲ )A ．12x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．12x π=-【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换. 646]=sin （2x+3）．2x+3=k π+2，k ∈z ，x212，的一条对称轴的方故选：A ．【思路点拨】根据本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律可得所得2x+3），再根函数图象的一条对称轴的方程．7．设等比数列{n a }的前n 项和为n S 。
浙江省十校联合体2020学年高二数学上学期期末联考试题理新人教A版
2020学年第一学期温州市十校联合体期末考试高二数学试卷(理科) 说明：本试卷满分120分，考试时间100分钟。
学生答题时不可使用计算器。
一项是符合题目要求的)2 小“ x 3xA.充分不必要条件•必要不充分条件•既不充分也不必要条件A .若a b, a ,则b〃B.若a b, a ,b ,则的取值范围是2. 已知点A(1, 1)及圆4x 4y在4 0，则过点的且在圆上截得的弦为A. X 1 0B. X 0C.D. X21与ax by 0 ( a >b> 0)的曲线大致是在同一坐标系中，方程3.(b是两条不同的直线，2 2 , 2 2 a xby是两个不同的平面，则下列命题正确的是设a、C •若a,则a// D.若a// , ,则a占八、、A B、C -1 疋共面的是uuu uuu uuu uuir(▲) A OM OA OB OC uuuu uuu uuu uuuB. OM 2OA OB OCuuuu uuu 1 uuu— OB1 uilT -OCLULU 1uu 1 -OA丄uu1OB -uurC. OM OA D • OM OC5 •已知A B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与2 3 2 3 62 26•过点C(4,0)的直线与双曲线—'4 12、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只有C•充要条件1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率1A.卜c 1 B.}C品 C. 1 < J3 D.|k 7 .设），则直线XCOS ysi n 1 0的倾斜角为A.2 B. C.2D.8 .已知S, A, B,C是球0表面上的点,SA 平面ABC ,AB 1, BC 2，则球O的表面积等于AB BC, SA(▲)A.2B.3C.4D.9 .如图，已知三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长都相等，且CG 底面ABC ,M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是（▲A. — B610 .点P在椭圆2y1上运动,3Q R分别在两圆（X1)2 1 和(X 1)y上运动，则|PQ PR的取值范围为（▲）A . [3 , 5]B [2 ,5]C [3 , 6]D [2 ,6]二、填空题（本大题共7小题, 每小题4分，共28分）11 •命题“ x R, x 3 0'的否定是—▲12•已知直线l1 :（k3)x (4 k)y 1 0与l2 :2(k 3)x 2y 3 0平行, 值为▲ •13 .抛物线y4x 的一条弦被点A（4,2）平分，那么这条弦所在的直线方程是为14.已知三棱锥O-ABC中, OA a,OB b,OC C，点M在0A上，且OM=2M，N 为MN = ▲.( 结果用a,b, c表示)BC中点，贝U15•若某多面体的三视图如图所示，则正视图2侧视图此多面体的体积是▲俯视图2 2X y16. 过双曲线—牙1(a>0, b> 0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于abM N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于▲.17. 已知AC, B D为圆O: x2+y2=4的两条互相垂直的弦，垂足为M( 1, )，贝U四边形ABCD的面积最大值为▲.三、解答题(本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) .18.(本小题8分)1已知命题p : “函数f(x) (a -)x是R上的增函数”，命题q :"方程x2 ax 1 0有两个不相等的负实数根” •若命题“ p或q”是假命题，求实数a的取值范围.19.(本小题8分)已知抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，且抛物线1上一点M到其焦点的最小距离为 -，抛物线E与直线I : y k(x 1)(k R)相交于4A、B两点。
2019-2020年浙江省温州市十校联合体高二上册期末数学试卷(有答案)-名校密卷
浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（）A．2=8y B．2=﹣8y C．y2=﹣8 D．y2=82．（4分）已知直线l1：﹣y+1=0和l2：﹣y+3=0，则l1与l2之间距离是（）A．B． C．D．23．（4分）设三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，则三棱锥E﹣AFG体积是（）A． B．C．D．4．（4分）若直线+y+m=0与圆2+y2=m相切，则m的值是（）A．0或2 B．2 C．D．或25．（4分）在四面体ABCD中（）命题①：AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD命题②：AC=AD且BC=BD则AB⊥CD．A．命题①②都正确B．命题①②都不正确C．命题①正确，命题②不正确 D．命题①不正确，命题②正确6．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β7．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（）A． B．C．D．8．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2=16于A（1，y1），B（2，y2）两点，且y12﹣y22=1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（）A．B．C．D．9．（4分）已知在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，现将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P﹣BC﹣A大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0＜θ＜π，则（）A．且B．且C．且D．且10．（4分）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点．设C1，C2的离心率分别是e1，e2，∠F1AF2=2θ，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）双曲线C：2﹣4y2=1的渐近线方程是，双曲线C的离心率是．12．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V= cm3，表面积S= cm2．13．（4分）已知抛物线y2=4的焦点为F，准线与轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足= ．14．（6分）已知直线l1：y=m+1和l2：=﹣my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示），的最大值是．15．（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是．16．（4分）过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为．17．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知抛物线C：y2=4，直线l：y=﹣+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若|AB|=8，求b的值；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与轴相切，求该圆的方程．19．（15分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．20．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．21．（15分）已知点C（0，y）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．22．（15分）已知椭圆C的方程是，直线l：y=+m与椭圆C有且仅有一个公共点，若F1M⊥l，F2N⊥l，M，N分别为垂足．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形F1MNF2面积S的最大值．浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（ ） A ．2=8y B ．2=﹣8y C ．y 2=﹣8 D ．y 2=8【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y 轴的正半轴， 设抛物线标准方程为：2=2py （p ＞0）， ∵抛物线的准线方程为y=﹣2， ∴=2， ∴p=4，∴抛物线的标准方程为：2=8y ． 故选A ．2．（4分）已知直线l 1：﹣y+1=0和l 2：﹣y+3=0，则l 1与l 2之间距离是（ ） A ．B ．C ．D ．2【解答】解：∵已知平行直线l 1：﹣y+1=0与l 2：﹣y+3=0， ∴l 1与l 2间的距离 d==，故选C ．3．（4分）设三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积为V ，E ，F ，G 分别是AA 1，AB ，AC 的中点，则三棱锥E ﹣AFG 体积是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积为V ， ∴V=S △ABC •AA 1，∵E ，F ，G 分别是AA 1，AB ，AC 的中点，∴S△AFG=，，∴三棱锥E﹣AFG体积：VE﹣AFG ===S△ABC•AA1=．故选：D．4．（4分）若直线+y+m=0与圆2+y2=m相切，则m的值是（）A．0或2 B．2 C．D．或2【解答】解：∵圆2+y2=m的圆心为原点，半径r=∴若直线+y+m=0与圆2+y2=m相切，得圆心到直线的距离d==，解之得m=2（舍去0）故选B．5．（4分）在四面体ABCD中（）命题①：AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD命题②：AC=AD且BC=BD则AB⊥CD．A．命题①②都正确B．命题①②都不正确C．命题①正确，命题②不正确 D．命题①不正确，命题②正确【解答】解：对于①作AE⊥面BCD于E，连接DE，可得AE⊥BC，同理可得AE⊥BD，证得E是垂心，则可得出AE⊥CD，进而可证得CD⊥面AEB，即可证出AB⊥CD，故①正确；对于②，取CD的中点O，连接AO，BO，则CD⊥AO，CD⊥BO，∵AO∩BO=O，∴CD⊥面ABO，∵AB⊂面ABO，∴CD⊥AB，故②正确．故选A．6．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β【解答】解：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故B正确α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故D也不一定成立，故选B．7．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（）A． B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为轴，DC为y轴，DD1为轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，1），=（0，0，1），设平面ABD1的法向量=（，y，），则，取y=1，得，设平面BB1D1的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，﹣1，0），设二面角A﹣BD1﹣B1的大小为θ，则cosθ===﹣，∴θ=．∴二面角A﹣BD1﹣B1的大小为．故选：C．8．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2=16于A（1，y1），B（2，y2）两点，且y12﹣y22=1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线方程为=my+2m，代入y2=16可得y2﹣16my﹣32m=0，∴y1+y2=16m，y1y2=﹣32m，∴（y1﹣y2）2=256m2+128m，∵y12﹣y22=1，∴256m2（256m2+128m）=1，∴△OAB（O为坐标原点）的面积为|y1﹣y2|=．故选：D．9．（4分）已知在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ，现将△ABC 绕BC 所在直线旋转到△PBC ，设二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，PB 与平面ABC 所成角为α，PC 与平面PAB 所成角为β，若0＜θ＜π，则（ ） A ．且 B ．且C ．且D ．且【解答】解：在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ， 可设BC=a ，可得AB=PB=2a ，AC=CP=a ，过C 作CH ⊥平面PAB ，连接HB ，则PC 与平面PAB 所成角为β=∠CPH ， 且CH ＜CB=a ， sinβ=＜=；由BC ⊥AC ，BC ⊥CP ，可得二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，即为∠ACP ， 设P 到平面ABC 的距离为d ， 由BC ⊥平面PAC ， 且V B ﹣ACP =V P ﹣ABC ，即有BC•S △ACP =d•S △ABC ， 即a••a•a•sinθ=d••a•a解得d=sinθ， 则sinα==≤，即有α≤．另解：由BC ⊥AC ，BC ⊥CP ，可得二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，即为∠ACP以C 为坐标原点，CA 为轴，CB 为轴，建立直角坐标系O ﹣y ， 可设BC=1，则AC=PC=，PB=AB=2，可得P（cosθ，sinθ，0），过P作PM⊥AC，可得PM⊥平面ABC，∠PBM=α，sinα==≤，可得α≤；过C作CN垂直于平面PAB，垂足为N，则∠CPN=β，sinβ==＜=．故选：B．10．（4分）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点．设C1，C2的离心率分别是e1，e2，∠F1AF2=2θ，则（）A．B．C．D．【解答】解：根据椭圆的几何性质可得，=b12tanθ，∵e1=，∴a1=，∴b12=a12﹣c2=﹣c2，∴=c2（）tanθ根据双曲线的几何性质可得，=，∵a2=，∴b22=c2﹣a22=c2﹣=c2（）∴=c2（）•，∴c2（）tanθ=c2（）•，∴（）sin2θ=（）•cos2θ，∴，故选：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）双曲线C：2﹣4y2=1的渐近线方程是y=±，双曲线C的离心率是．【解答】解：双曲线C：2﹣4y2=1，即为﹣=1，可得a=1，b=，c==，可得渐近线方程为y=±；离心率e==．故答案为：y=±；．12．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V= cm3，表面积S= cm2．【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以V==cm3，S=+++=．故答案为：；．13．（4分）已知抛物线y2=4的焦点为F，准线与轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足= ．【解答】解：设N到准线的距离等于d，由抛物线的定义可得d=|NF|，由题意得 cos∠NMF===∴∠NMF=．故答案为：．14．（6分）已知直线l1：y=m+1和l2：=﹣my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示），的最大值是．【解答】解：直线l1：y=m+1和l2：=﹣my+1相交于点P，∴，∴=﹣m（m+1）+1，解得=，y=m×+1=，∴P点横坐标是；∴=（﹣，﹣），∴=+=≤2，且m=0时“=”成立；∴的最大值是．故答案为：，．15．（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是+1 ．【解答】解：∵四面体ABCD中，AB=AC=BC=BD=CD=1，∴当平面ABC⊥平面BDC时，该四体体积最大，此时，过D作DE⊥平面ABC，交BC于E，连结AE，则AE=DE==，∴该四面体体积的最大值：Sma==．∵△ABC，△BCD都是边长为1的等边三角形，面积都是S==，∴要使表面积最大需△ABD，△ACD面积最大，∴当AC⊥CD，AB⊥BD时，表面积取最大值，此时=，四面体表面积最大值Sma==1+．故答案为：，．16．（4分）过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为或．【解答】解：由题得，双曲线的右顶点A（a，0）所以所作斜率为1的直线l：y=﹣a，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（1，y1），C（2，y2）．联立其中一条渐近线y=﹣，则，解得2=①；同理联立，解得1=②；又因为|AB|=2|AC|，（i）当C是AB的中点时，则2=⇒22=1+a，把①②代入整理得：b=3a，∴e===；（ii）当A为BC的中点时，则根据三角形相似可以得到，∴1+22=3a，把①②代入整理得：a=3b，∴e===．综上所述，双曲线G的离心率为或．故答案为：或．17．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是12 ．【解答】解：∵正方体的棱长为1，∴BD1=，∵点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD1|=m，∴点P是以2c=为焦距，以2a=m为长半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点 满足条件．∴满足|PB|+|PD 1|=m 的点P 的个数n 的最大值是12， 故答案为12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（14分）已知抛物线C ：y 2=4，直线l ：y=﹣+b 与抛物线交于A ，B 两点． （Ⅰ）若|AB|=8，求b 的值；（Ⅱ）若以AB 为直径的圆与轴相切，求该圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A （1，y 1），B （2，y 2），由抛物线C ：y 2=4，直线l ：y=﹣+b 得y 2+4y ﹣4b=0﹣﹣﹣﹣﹣（2分） ∴|AB|=|y 1﹣y 2|===8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解得b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）以AB 为直径的圆与轴相切，设AB 中点为M |AB|=|y 1+y 2|又y 1+y 2=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分） ∴4=解得b=﹣，则M （，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴圆方程为（﹣）2+（y+2）2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（15分）在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）连接OF．由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．又F为BE的中点，所以OF∥DE．又OF⊂面ACF，DE⊄面ACF，所以DE∥平面ACF…．（4分）（II）证明：由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴EC⊥BD，由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，AC、E⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE，又AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE…（9分）（III）：在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．理由如下：取EO中点G，连接CG，在四棱锥E﹣ABCD中，AB=CE，CO=AB=CE，∴CG⊥EO．由（Ⅱ）可知，BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，∵CG⊥EO，CG⊂平面ACE，∴CG⊥平面BDE故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．由G为EO中点，得．…（14分）20．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为E，F分别是PC，PD的中点，所以EF∥CD，又因为CD∥AB，所以EF∥AB，又因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB．（Ⅱ）解：取线段PA中点M，连结EM，则EM∥AC，故AC与面ABEF所成角的大小等于ME与面ABEF所成角的大小．作MH⊥AF，垂足为H，连结EH．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，又因为EF∥AB，所以EF⊥平面PAD．因为MH⊂平面PAD，所以EF⊥MH，所以MH⊥平面ABEF，所以∠MEH是ME与面ABEF所成的角．在直角△EHM中，EM=AC=，MH=，得sin∠MEH=．所以AC与平面ABEF所成的角的正弦值是．21．（15分）已知点C（0，y）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当圆C与y轴相切时，||=，（2分）又因为点C在椭圆上，所以，（3分）解得，（5分）因为﹣，所以．（6分）（Ⅱ）圆C的方程是（﹣0）2+（y﹣y）2=（﹣1）2+，令=0，得y2﹣2y0y+2﹣1=0，设A（0，y1），B（0，y2），则y1+y2=2y，y1y2=2﹣1，（8分）由，及得﹣2﹣2＜＜﹣2+2，又由P点在椭圆上，﹣≤≤，所以﹣≤，（10分）|FA|•|FB|=•=（12分）===，（14分）所以|FA|•|FB|的取值范围是（4，2+2]．（15分）22．（15分）已知椭圆C的方程是，直线l：y=+m与椭圆C有且仅有一个公共点，若F1M⊥l，F2N⊥l，M，N分别为垂足．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形F1MNF2面积S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）证明：将直线的方程y=+m代入椭圆C的方程32+4y2=12中，得（42+3）2+8m+4m2﹣12=0．由直线与椭圆C仅有一个公共点知，△=642m2﹣4（42+3）（4m2﹣12）=0，化简得：m2=42+3．设d 1=|F 1M=，d 2=|F 2M|=， d 1d 2=•===3， |F 1M|+|F 2M|=d 1+d 2≥=2． （Ⅱ）当≠0时，设直线的倾斜角为θ， 则|d 1﹣d 2|=|MN||tanθ|，∴|MN|=， S=|MN|•（d 1+d 2）====， ∵m 2=42+3，∴当≠0时，|m|， ∴＞+=， ∴S ． 当=0时，四边形F 1MNF 2是矩形，． 所以四边形F 1MNF 2面积S 的最大值为2．。
2020-2021学年温州市高二上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年温州市高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.命题“若a >b ，则2a >2b ”的逆否命题是( )A. 若a ≤b ，则2a ≤2bB. 若a >b ，则2a ≤2bC. 若2a ≤2b ，则 a ≤bD. 若2a ≤2b ，则 a >b2.球面上有三个点A 、B 、C. A 和B ，A 和C 间的球面距离等于大圆周长的. B 和C 间的球面距离等于大圆周长的.如果球的半径是R ，那么球心到截面ABC 的距离等于( )A.B.C.D.3.已知a ，b ∈R +，且直线ax +by −6=0与直线2x +(b −3)y +5=0互相平行，则2a +3b 的最小值为( )A. 12B. 25C. 13+2√6D. 12+4√34.下列命题中正确命题的个数是( )①和同一平面垂直的两个平面平行； ②和同一平面垂直的两条直线平行；③两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√3，过左焦点F 1(−c,0)作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长F 1E 交抛物线y 2=4cx 于P ，Q 两点，则|PE|+|QE|的值为( )A. 10√2aB. 10aC. (5+√5)aD. 12√2a6.已知函数f(x)=e x x−t(lnx +x +2x )仅有一个极值点为x =1，则实数t 的取值范围是( )A. (−∞,13]∪{e3}B. (−∞,13]C. (−∞,12]D. (−∞,12]∪{e3}7.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两焦点为F 1(−c,0)、F 2(c,0)，P 为直线x =a 2c上一点，F 1P 的垂直平分线恰过F 2点，则e 的取值范围为( )A. (0,√33)B. (0,√33]C. (√33,1)D. [√33,1)8.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，AC=BC=4，PA=4√2，则二面角A−PB−C的大小的正弦值为()A. √22B. √23C. √63D. √339.已知函数y=x3−x2−ax+b在(0,1)处的切线方程为y=2x+1，则a+b=()A. −1B. 0C. 1D. 210.若动点P(x1,y1)在曲线y=2x2+1上移动，则点P与点(0,−l)连线中点的轨迹方程为()A. y=2x2B. y=4x2C. y=6x2D. y=8x2二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11.抛物线C1：x²=2py(p>0)与双曲线C2：x²−3y²=λ有一个公共焦点F，过C2上一点P(3√5,4)向C1作两条切线，切点分别为A、B，则|AF|⋅|BF|=______．12.已知正三棱柱(底面是正三角形，侧棱垂直于底面)ABC−A1B1C1的底面边长为2，侧棱AA1=2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______．13.如图：抛物线y2=4x的焦点为F，原点为O，直线AB经过点F，抛物线的准线与x轴交于点C，若∠OFA=135°，则tan∠ACB=______ ．三、多空题（本大题共4小题，共16.0分）14.已知圆锥的母线与底面所成的角等于60°，该圆锥内接于球O，过此圆锥顶点的截面三角形的最大顶角等于(1)；球O与圆锥的表面积之比为(2)．15.已知函数f(x)=xe x，则f′(x)=(1);函数f(x)图象在点(0,f(0))处的切线方程为(2)16.一个三棱锥的三视图如图所示，则其体积是(1)；此三棱锥的最长棱的长度为(2)．17.已知直线l:y=kx+2经过点A(m,5)，B(5,7)，则m=(1)，直线l1:x−ay+6=0与直线l垂直的充要条件是a=(2)．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.求过点A(0,1)且被圆C：(x−4)2+y2=25所截的弦长为6的直线方程．19.已知函数f(x)=(2x+1)e x+ax，g(x)=|f(x)|．(Ⅰ)当a=0时，求g(x)的单调区间；(Ⅱ)若g(x)的值域为[0,+∞)，求实数a的取值范围．20.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，．(1)求证：面；(2)设为等边三角形，求直线与平面所成角的大小．21. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO (Ⅰ)求证直线A、B恒过定点(0,1)(Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．22. 已知函数f(x)=x−alnx+a3−1(a>0)．(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；,+∞)上的单调性；(2)讨论函数f(x)在(1a(3)若函数g(x)=2x3−x2lnx−16x+20，求证：g(x)>0．参考答案及解析1.答案：C解析：解：命题“若a>b，则2a>2b”的逆否命题是“若2a≤2b，则a≤b”，故选：C．根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出即可．本题考查了命题与它的逆否命题的应用问题，是基础题．2.答案：B解析：试题分析：如图所示，圆O是球的大圆，且大圆所在平面与面ABC垂直，其中弦EF是过A、B、C的小圆的直径，弦心距OD就是球心O到截面ABC的距离，OE是球的半径，因此，欲求OD，需先求出截面圆ABC的半径．下一个图是过A、B、C的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在△AOB、△AOC、△COB中求得(O是球心).由于A、B间球面距离是大圆周长的，所以∠AOB=×2π=，同理∠AOC=，∠BOC=．∴|AB|=R，|AC|=R，|BC|=.在△ABC中，由于AB2+AC2=BC2.∴∠BAC=90°，BC是小圆ABC的直径.∴|ED|=，从而|OD|=.故应选B．考点：点到平面的距离；球的有关性质。
浙江省温州市2020学年十校联合体高二上期末数学试卷((有答案))
2019-2020学年浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. （4分）准线方程是y=- 2的抛物线标准方程是（A. x 2=8yB. x 2=- 8y C, y 2= - 8x D, y 2=8x（4分）已知直线1I : x-y+1=0和l2： x-y+3=0,则1I 与l 2之间距离是（2V2B .乎 C. 6 D. 2（4分）正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1中，二面角 A-BD 1-B I 的大小是（y 22=1,则AOAB （O 为坐标原点）的面积为（A. JT9. （4分）已知在△ ABC 中，/ACB F ，AB=2BC 现将△ ABC 绕BC 所在直线旋转到△ PBC, 设二面角P- BC- A 大小为9, PB 与平面ABC 所成角为a, PC 与平面PAB 所成角为就若0V 9＜九，则（ ）2. A.3. （4分）设三棱柱ABC- A 1B 1C 1体积为V, E, F, G 分别是AA, AB, AC 的中点，则三棱锥E 一AFG 体积是（A. — 口B. —yC. — vD.12 16 4. （4分）若直线x+y+m=0与圆x 2+y 2=m 相切，则 A. 0 或 2 B. 2 C.匹 D. &或 2m 的值是（5. （4分）在四面体 ABCD 中（ ）命题①：AD± BC 且 AC ，BDWJAB ，CD命题②：AC=AD 且 BC=BDIU AB± CD.A.命题①②都正确B.命题①②都不正确C.命题①正确，命题②不正确D.命题①不正确, 命题②正确 6. （4分）设m 、n 是两条不同的直线,命题是（ ）a 、 B 是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的 A. m± a,n? B, m± n? a± p B. // & m± a, n// ? m±n C. a± p, m± a, n // ? m ± n D. a± p, A B=m n±m? n，B7. A. JU y B. 7T 工C. D. 8. （4分）过点（0, -2）的直线交抛物线y 2=16x 于A （x 1, y 1），B （x 2, y 2）两点，且y 12- C.A.立且看in0 B・立《一■且win F〈“零~J J 心3C s《m且B " D.且& 36 310.（4分）如图，Fi, F2是椭圆Ci与双曲线C2的公共焦点，点A是Ci, C2的公共点.设Ci, Q的离心率分别是ei, e2, Z FiAF2=2 9,则（）12.（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积V=cm3,俯视图13.（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M, N为抛物线上的一点，则满足|即|二号慌川，则/町F=.14.（6分）已知直线li： y=mx+1和l2： x=-my+1相交于点P, O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示）,I而I的最大值是.15.（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1则该四面体体积的最大值是表面积的最大值是.2216.(4分)过双曲线G:弓三二1 (a>0, b>0)的右顶点A作斜率为1的直线m,分别与两渐近线交于B, C两点，若|AB|二2|AC,则双曲线G的离心率为.17.(4分)在棱长为1的正方体ABCA A i B i C i D i中，点P是正方体棱上的一点(不包括棱的端点)，对确定的常数m,若满足|PB|十| PD尸m的点P的个数为n,则n的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(14分)已知抛物线C: y2=4x,直线l: y=-x+b与抛物线交于A, B两点.(I )若| AB| =8,求b的值；(H)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程.19.(15分)在四棱锥E— ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O, EC1底面ABCD F为BE的中点.(I )求证：DE//平面ACF(II )求证：BD，AE;(田)若AB=岳CE在线段EO上是否存在点G,使CG，平面BDR若存在，求出毁的值，若不存在，请说明理由.20.(15 分)如图，四棱锥P- ABCD PA1底面ABCD AB//CD, AB± AD, AB=AD=PA=2 CD=4E, F分别是PC PD的中点.(I ) 证明：EF//平面PAB(II )求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值.21.(15分)已知点C (XO, y0)是椭圆装―+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F (1, 0).(I )若圆C与y轴相切，求实数X0的值；(H)若圆C与y轴交于A, B两点，求|FA?| FB的取值范围.2 222.(15分)已知椭圆C的方程是［一*9二］,直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点, 4 3若F i M^l, F2N，l, M, N分别为不足.(I )证明：丽1n| + |F 刈>2小(II )求四边形F1MNF2面积S的最大值.2019-2020学年浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷AFG =^ S AABC , AE^AAp 参考答案与试题解析、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. （4分）准线方程是y=- 2的抛物线标准方程是（A. x 2=8yB. x 2=- 8y C, y 2= - 8x D. y 2=8x【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在 y 轴的正半轴, 设抛物线标准方程为：x 2=2py （p>0）, ••・抛物线的准线方程为y=- 2, ・..L=2,2 ，故选C.3. （4分）设三棱柱ABC- A 1B 1C 1体积为V, E, F, G 分别是AA i, AB, AC 的中点，则三棱锥E 一AFG 体积是（【解答】解：.「三棱柱ABC- A 1B 1C 1体积为V, ・..V=Sx AB C ?AA 1 ,. E, F, G 分别是AA 1, AB, AC 的中点,•.p=4,••.抛物线的标准方x 2=8y.故选A.2. （4分）已知直线11： x - y+1=0和12： x- y+3=0,贝^ 11与12之间距离是（A. D. 2【解答】解：:已知平行直线1I ： x-y+1=0与l2： x- y+3=0,；1I 与l2间的距离d 1^U72 W2,A T yB 五怆正皿 12「•三棱锥E— AFG体积:V EAFG=y X s6. X * S^BC)X*N)=^S ABCPAA》］故选：D.a G4.（4分）若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m的值是（）A. 0 或2B. 2C. &D. &或2【解答】解：二,圆x2+y2=m的圆心为原点，半径「二6若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，得圆心到直线的距离d=-^-=/r ,解之得m=2 （舍去0）故选B.5.（4分）在四面体ABCD中（）命题①：AD± BC且AC, BDWJABL CD命题②：AC=AD且BC=BD0fj AB± CD.A.命题①②都正确B.命题①②都不正确C.命题①正确，命题②不正确D.命题①不正确，命题②正确【解答】解：对于①作AEL面BCD于E,连接DE,可得A已BC,同理可得AEE± BD,证得E 是垂心，则可得出AE± CD,进而可证得CDX面AEB,即可证出AB± CD,故①正确；对于②，取CD的中点O,连接AO, BO,则CD±AO, CD± BO,. AOnBO=Q.-.CD±面ABO,,. AB?面ABO,.-.CD± AB,故②正确.故选A.6. （4分）设m 、n 是两条不同的直线，a 、B 是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的 命题是（ ）A. m± a, n? B, m±n? a± 0B. all & m± a, n// ? m±nC. a± p, m± a, n // ? m± nD. a± p, aA p =m n±m? n± p【解答】解：设m 、n 是两条不同的直线，a 、B 是两个不同的平面，则：m ± a, n? B, m ，n 时，a 、B 可能平行，也可能相交，不一定垂直，故 A 不正确all 3 m ± a, n // B 时，m 与n 一定垂直，故B 正确a± p, m± a, n// B 时，m 与n 可能平行、相交或异面，不一定垂直，故 C 错误a± 3 aA B =m 寸，若n ，m, n? a,则n,机但题目中无条件n? a,故D 也不一定成立, 故选B.7. （4分）正方体 ABCD- AiBiCiDi 中，二面角A-BDi-Bi 的大小是（【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 为z 轴，建立空间直角坐标系, 设正方体ABCD- AiBiCiDi 中棱长为i,则 A (i, 0, 0), B (i, i, 0), Bi (i, i, i), Di (0,0, i), 尾(0, - i, 0),西=(-i, — i, i),西二(0, 0, i),设平面ABDi 的法向量n= (x, y, z),n-BA=-y=O 一 ，一则卜-- ，取y ，行n=S, 1， n ・ BDi = -K-y4-7=0L 从 设平面BBiDi 的法向量ir = (a, b, c),nrBB ［二 c 二。
2020-2021学年浙江省浙南名校联盟高二上学期期末联考数学试题(解析版)
2020-2021学年浙江省浙南名校联盟高二上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合{}13P x x =<<，{}24Q x x =<<，则P Q ⋃=（ ） A ．{}12x x <≤ B ．{}23x x << C ．{}34x x ≤< D ．{}14x x <<【答案】D【分析】直接运用集合并集的定义进行求解即可.【详解】因为集合{}13P x x =<<，{}24Q x x =<<， 所以P Q ⋃={}14x x <<， 故选：D2．已知a R ∈，若有a i -=i 为虚数单位），则a =（ ） A ．1 B ．2-C ．2±D ．±1【答案】C【分析】根据复数模的定义直接计算即可. 【详解】因为a R ∈所以a i -==即215a +=， 解得2a =±， 故选：C3．若实数x ，y满足约束条件222000x y x y x ⎧+-≤⎪⎪-≥⎨⎪<⎪⎩，则z x y =+的取值范围是（ ） A．⎡-⎣B．⎡-⎣C．(2⎤⎦D．()2【答案】B【分析】作出可行域，根据线性规划求解即可. 【详解】作出可行域，如图，由z x y =+可得y x z =-+，由图形可知，当平移y x z =-+过点A 时2z =，（但A 点取不到） 当平移y x z =-+与圆相切时，z 有最小值2-， 所以z x y =+的取值范围是)2,2⎡-⎣， 故选：B4．函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分析函数()f x 、()f x '的奇偶性，以及2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭、()f π'的符号，利用排除法可得出合适的选项.【详解】函数()cos f x x x =的定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()cos f x x x =为奇函数，()cos sin f x x x x '=-，函数()f x '的定义域为R ，()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=，函数()f x '为偶函数，排除B 、C 选项；22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1f π'=-，则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''.对于D 选项，图中的偶函数为()f x '，由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()0f π'<与题图不符，D 选项错误， 故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象. 5．在△ABC 中“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】试题解析：必要性在△ABC 中，“cosA ＞cosB”，由余弦函数在（0，π）是减函数，故有A ＜B ，若B 不是钝角，显然有“sinA ＜sinB”成立， 若B 是钝角，因为A+B ＜π，故有A ＜π-B ＜2π，故有sinA ＜sin （π-B ）=sinB 综上，“cosA ＞cosB”可以推出“sinA ＜sinB”： 充分性：由“sinA ＜sinB”若B 是钝角，在△ABC 中，显然有0＜A ＜B ＜π，可得，“cosA ＞cosB” 若B 不是钝角，显然有0＜A ＜B ＜2π，此时也有cosA ＞cosB 综上，“sinA ＜sinB”推出“cosA ＞cosB”成立 故，“cosA ＞cosB”是“sinA ＜sinB”的充要条件点评：解决本题的关键是掌握充要条件的判断方法，利用原命题真假证充分性，逆命题的真假证明必要性，6．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n b 是正项等比数列，若11a b =，77a b =，则（ ） A ．44a b = B ．55a b <C ．88a b >D ．99a b <【答案】D【分析】由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项.【详解】等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，*n N ∈，图象中的孤立的点在一条直线上，而等比数列{}n b 的通项公式是关于n 的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，如图所示当0d >时，如下图所示，当公差0d <时，如下图所示，如图可知当1177,==a b a b 时，44a b >，55a b >，88a b <，99a b <. 故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项. 7．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ）A．13B3C．23D23【答案】B【分析】由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的22与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，根据体积公式直接求棱锥体积．【详解】由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的直角三角形，2，斜边是2，∴底面的面积是1221 2=，与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，∴3∴三棱锥的体积是131333⨯=故选：B8．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y 轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是24x y =，圆的半径为r ，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O ，则圆的半径r 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞【答案】A【分析】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，求出2PQ ，当2PQ 的最小值在原点处取得时，圆P 过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点．【详解】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，22222()4()(2)44PQ x y a y y a y a a =+-=+-=-++-，若2PQ 的最小值不在(0,0)O 处取得，则圆P 不过原点， 所以20a ->，即2a >，此时圆半径为44212r a a =-=->．因此当2r >时，圆无法触及抛物线的顶点O ．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为(0,)P a ，抛物线上点的坐标为(,)Q x y ，求出PQ ，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论．9．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．1DC PC ⊥B ．异面直线AD 与PC 不可能垂直 C ．1D PC ∠不可能是直角或者钝角 D ．1APD ∠的取值范围是,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】D【分析】在正方体中根据线面垂直可判断A ，根据异面直线所成角可判断B ，由余弦定理可判断CD. 【详解】如图，设正方体棱长为2，在正方体中易知1DC ⊥平面11A BCD ，P 为线段1A B 上的动点，则PC ⊂平面11A BCD ,所以 1DC PC ⊥，故A 正确；因为异面直线AD 与PC 所成的角即为BC 与PC 所成的角，在Rt PBC 中不可能BC与PC 垂直，所以异面直线AD 与PC 不可能垂直，故B 正确； 由正方体棱长为2，则222222*********D P PC D C A P BP A P BP +-=+++-=+>，所以由余弦定理知1cos 0D PC ∠>，即1D PC ∠不可能是直角或者钝角，故C 正确；设1(0A P x x =≤≤，则2214D P x =+，222422cos44AP x x x π=+-⨯=+-，由余弦定理，22211111cos 2AP D P AD AP D P D AP ∠=+-⋅，当x <1cos 0APD ∠<，所以1APD ∠为钝角，故D 错误.故选：D【点睛】关键点点睛：判断正方体中的角的范围时，可选择合适三角形，利用正方体中数量关系，位置关系，使用余弦定理，即可判断三角形形状或角的范围，属于中档题. 10．设函数()()()3213853f x x x a x a R =-+--∈，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,156⎛⎤⎥⎝⎦B ．11,154⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,123⎛⎤⎥⎝⎦D ．11,125⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【分析】当0x >时，由()0f x <，可得出3213853ax x x x >-+-，设()3213853g x x x x =-+-，()h x ax =，作出函数()g x 和()h x 的图象，由题意可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】当0x >时，由()()32138503f x x x a x =-+--<，3213853ax x x x >-+-，令()3213853g x x x x =-+-，()()()26824g x x x x x '=-+=--. 当2x <或4x >时，()0g x '>；当24x <<时，()0g x '<.所以，函数()g x 在区间(),2-∞上单调递增，在区间()2,4上单调递减，在区间()4,+∞上单调递增.函数()g x 的极大值为()523g =，极小值为()143g =，且()113g =，()31g =，()553g =，如下图所示：设()h x ax =，若存在唯一的正整数0x 使得()00f x <，即()()00g x h x <，可得()()()()()()()()()()1122334455g h g h g h g h g h ⎧≥⎪≥⎪⎪≥⎨⎪<⎪≥⎪⎩，即1352331143553a a a a a ⎧≤⎪⎪⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪>⎪⎪≤⎪⎩，解得11123a <≤. 因此，实数a 的取值范围是11,123⎛⎤⎥⎝⎦. 故选：C.【点睛】关键点点睛：该题考查的是利用不等式的正整数解的个数求解参数的取值范围，解题的关键在于分离出两个函数，利用图象得出关于参数的不等式组，进而求解.二、填空题11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若满足4A π=，b ＝3的△ABC有且仅有一个，则边a 的取值范围是______. 【答案】[)323,2⎧⎪⋃+∞⎨⎪⎪⎩⎭【分析】利用正弦定理可得sin sin b AB a=，满足则sin 1B =或sin sin B A ≤即可.【详解】由正弦定理sin sin a bA B=，则sin sin b A B a =，若满足4A π=，b ＝3的△ABC 有且仅有一个，则sin 1B =或sin sin B A ≤， 即sin 1b A a =或sin sin b AA a≤， 解得32a =或3a ≥， 即实数a 的取值范围是[)323,2⎧⎫⎪⎪⋃+∞⎨⎬⎪⎪⎩⎭.故答案为：[)323,2⎧⎫⎪⎪⋃+∞⎨⎬⎪⎪⎩⎭.12．如图，四边形ABCD 是矩形，且有2AB BC =，沿AC 将ADC 翻折成AD C '，当二面角D AC B '--的大小为3π时，则异面直线D C '与AB 所成角余弦值是______.【答案】12． 【分析】作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，可得,MD NB '<>等于二面角D AC B '--的平面角，从而可得DMD '∠，然后求得DD '，而//AB CD ，因此可得D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．这样在DCD '求解可得． 【详解】如图，作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，则//DM BN ，连接,D M DD ''， 根据二面角平面角的定义知MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角， 所以,3MD NB π'<>=，因为//DM BN ，所以23DMD π'∠=， 设1BC =，则22AB BC ==在矩形ABCD 中，3AC =263DM ==， 6D M DM '==， 则222222666612cos 22333332DD DM D M DM D M π⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2DD '=，因为//AB CD ，所以D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．DCD '是正三角形，3D CD π'∠=，1cos 2D CD '∠=． 所以异面直线D C '与AB 所成角余弦值是12． 故答案为：12．【点睛】关键点点睛：本题考查求异面直线所成的角，解题方法根据异面直线所成角定义作出它们所成的角，然后解三角形可得，解题关键是利用图中MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角，从而求得DMD '∠，只要设1BC =，可求得DD '，从而求得结论．13．设OAB 中，OA a =，OB b =且满足a b a -=，2a b +=，当OAB 面积最大时，则a b +与b 夹角余弦的大小是______. 【答案】22【分析】由题意建立三角形三边长之间的关系，由此建立面积的函数关系，再求面积的最值.进一步可求解.【详解】在OAB 中，OA a =，OB b =，OC a b =+，满足a b a -=，2a b +=，如图，设=a b a AB x -==，b t =在平行四边形OACB 中，222222AB OC OA OB +=+， 即222422x x t +=+，2224x t +=，在OAC 中，224cos 22x t tOAC xt x+-∠==-， 所以sin sin AOB OAC ∠=∠=11||||sin sin 22OAB S OB OA BAO tx AOB ∴=⋅∠=∠△12=== 当29,83t t ==时，OAB 面积最大，此时x =，22282042cos 223t x BOC t+-+-∠===⨯. 故答案为:2【点睛】关键点睛：利用已知建立面积的函数关系，通过函数求最值，属于较难题目.三、双空题14．直线:10l x ++=的倾斜角为______，过()2,0点且与直线l平行的直线方程是______. 【答案】56π20x +-= 【分析】由直线方程求出斜率，根据直线倾斜角与斜率关系求出倾斜角，由直线平行求出待求直线斜率，点斜式即可求出. 【详解】由:10lx ++=可得y x =-所以tan k α== 由0απ≤<知56πα=.过()2,0点且与直线l平行的直线斜率为所以2)y x =-，即20x +-=. 故答案为：56π；20x +-= 15．双曲线22:21C x y -=的焦点坐标是______；渐近线方程是______.【答案】(2±y = 【分析】把双曲线方程化为标准方程，得,a b ，从而可得c ，由此可得焦点坐标和渐近线方程．【详解】双曲线标准方程是22112x y -=，则1a b ==，所以2c ==，所以焦点坐标为(，渐近线方程为y =．故答案为：(2±；y =． 16．已知直线:l y kx =+()22:14C x y -+=，若直线l 是圆C 的一条对称轴，则实数k =______；若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且ABC数k =______.【答案】-或或 【分析】根据直线为圆的对称轴则直线过圆心求解，求出圆心到直线距离，再利用圆心距表示出弦长，根据面积求出弦心距，即可求解. 【详解】若直线l 是圆C 的一条对称轴， 则直线经过圆心(1,0)，即0k +=，解得k =-，设圆心到直线的距离为d，则d =，则弦长为，所以三角形面积为12S d =⨯=解得1d =或d =当1d =1=，解得k =，当d ==k =k =故答案为：-9-或或【点睛】关键点点睛：先求出圆心到直线的距离，利用圆的平面几何性质求出弦长利用三角形面积求出d 是解题的关键，属于中档题.17．已知1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 3πα⎛⎫-=⎪⎝⎭______；2cos 23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭______. 【答案】1379-【分析】（1）利用诱导公式()cos cos ββ=-，cos sin 2πββ⎛⎫+=-⎪⎝⎭转化求解 （2）利用()cos cos ββπ=--，()2cos 212sin ββ=-转化求解.注意整体代换思想的运用. 【详解】（1）22cos cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 266πππαα⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 63πα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（2）2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2cos 2cos 233ππαπα⎛⎫⎛⎫-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin 16πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭27199=-=- 故答案为：（1）13；（2）79-【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可． （2）也可根据给定角与要求的角之间的关系，利用诱导公式转化求三角函数值.四、解答题18．在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()cos 1cos c B b C ⋅=⋅-.（Ⅰ）求证a b =；（Ⅱ）求cos sin C A -的取值范围. 【答案】（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ）(2-. 【分析】（Ⅰ）运用正弦定理，结合两角和的正弦公式进行证明即可； （Ⅱ）根据两角差的余弦公式，结合二倍角的余弦公式、配方法进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）由正弦定理可知：sin sin b cB C=， ()cos 1cos sin cos sin (1cos )sin cos sin cos sin ,c B b C C B B C C B B C B ⋅=⋅-⇒⋅=-⇒⋅+=即sin()sin sin()sin sin sin B C B A B A B π+=⇒-=⇒=， 由正弦定理可知：sin sin a bA B=，所以a b =； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a b =，所以有A B =，根据三角形内角和定理可知：2C A B A ππ=--=-，因为ABC 是锐角三角形，所以有：0242022A A A πππππ⎧<<⎪⎪⇒<<⎨⎪<-<⎪⎩， 2219cos sin cos(2)sin cos 2sin 2sin sin 12(sin ),48C A A A A A A A A π-=--=--=--=--设219()2(sin ),48f A A =--因为42A ππ<<，sin 1A <<，因此()(1)()0f f A f f A <<⇒<<， 所以cos sin C A -的取值范围为(2-. 19．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=︒，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：1//C M 平面11A ADD ；（Ⅱ）若1CD ⊥平面ABCD 且13CD =，求直线11D B 与平面11C D M 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）5【分析】（1）连接1AD ，如图所示，易证11AMC D 为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得1//C M 平面11A ADD ；（2）分别连接AC ，MC ，根据已知条件进行推理不难得出CA CB ⊥，考虑建立空间直角坐标系，运用法向量进行求解. 【详解】（1）连接1AD ，如图所示，∵1111ABCD A B C D -为四棱柱， ∴11//CD C D ，11CD C D =， ∵M 为AB 的中点，2AB =， ∴112AM AB ==， ∵底面ABCD 是等腰梯形，2AB CD =， ∴//CD AM ，CD AM =， ∴11//AM C D ，11AM C D =，∴11AMC D 为平行四边形， ∴11//AD MC ，∵1C M ⊄平面11A ADD ，1AD ⊂平面11A ADD ， ∴1//C M 平面11A ADD ； （2）连接AC ，MC ，由（1）可知，//CD AM 且CD AM =， ∴四边形AMCD 为平行四边形， ∴BC AD MC ==，由题意60ABC DAB ︒∠=∠=，则MBC △为正三角形， 因此，22AB BC ==，3CA =，因此，CA CB ⊥，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示，则：)30A，，，()010B ，，，(1003D ，，31(,0)2D - 由M 是AB 的中点可知3102M ⎫⎪⎪⎝⎭，，，所以13132MD ⎛=- ⎝，，1131022D C MB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，，，1133(,0)2D B DB →→== 设平面11C D M 的一个法向量(),,n x y z =，由11100n D C n MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得30330x y x y z -=+-=，可得平面11C D M 的一个法向量()1,3,1n =， 设直线11D B 与平面11C D M 所成角为θ， ∴1111115sin 5D B n cos D B n D B nθ⋅===⋅，， ∴直线11D B 与平面11C D M 所成角的正弦值为. 【点睛】关键点点睛：求直线与平面所成角的正弦值，一般考虑向量法，本题首先需要证明CA CB ⊥，这是建立空间直角坐标系的关键，其次要写出点的坐标很重要，如果点的坐标比较难写，可考虑分离出底面来写，最后注意运用向量夹角公式，属于中档题. 20．已知数列{}n a 的各项均为正数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且232n n n T S S =+，*n N ∈.（1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）若有111n n b a +=-，求证：231321n b b b +++<【答案】（1）11a =，12n na ；（2）证明见解析．【分析】（1）已知等式中令1n =，可求得1a ，在232n n n T S S =+中用1n +代n ，然后两式相减，得出n a 的递推关系，从而可得其通项公式； （2）4n ≥时，由111212(2)2n n n ---=-11528n -≥⋅，用放缩法求出23n b b b +++后可证得不等式成立．【详解】（1）在232n n n T S S =+中令1n =得2211132a a a =+，因为10a >，所以11a =， 又由232n n n T S S =+①得211132n n n T S S +++=+②②－①得211113()()2n n n n n n a S S S S a ++++=-++，即211113()2n n n n n a a S S a ++++=++，因为10n a +>，所以1132n n n a S S ++=++③，于是有132(2)n n n a S S n -=++≥④， ③－④得1133n n n n a a a a ++-=+，所以2n ≥时，12n na a +=， 又由222232T S S =+，即222223(1)(1)2(1)a a a +=+++，整理得22220a a -=，又20a >，所以22a =，所以212a a =．所以12n na a +=，*n N ∈． 所以{}n a 通项公式为12n na ；（2）由（1）111121n n n b a +==--， 4n ≥时，111112121222(2)22n nn n n n ------=⋅-=-11528n -≥⋅， 所以118121152n n -≤⋅-， 所以23341118111()3715222n n b b b -+++<+++++ 11081110210313()2115422115212121n -=+-<+<+=． 【点睛】关键点点睛：本题考查由n S 的关系式求通项公式，考查数列不等式的证明．已知n S 的关系一般可用1(2)n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推式，然后求解．与数列和有关的不等式的证明，在和不能直接求出时，可利用放缩法适当放缩后使得和能求出，从而证明不等式成立．21．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为3，A 是椭圆上位于第三象限内的一点，点P 满足5OP AO =.过点P 作一条斜率为k 的直线l 交椭圆于B ，C 两点.（Ⅰ）若点P 的坐标为()4,1 （i ）求椭圆的方程；（ii ）求OBC 面积；（用含k 的代数式表示）（Ⅱ）若满足3BP BC =，求直线OA ，OB 的斜率之积.【答案】（Ⅰ）（i ）2214x y +=,（ii ）2414322)3OBCk k kSk -⋅-+=<<,（Ⅱ）14- 【分析】（Ⅰ）（i ）2214b a =①，当点P 的坐标为()4,1结合题意有,55A ⎛-- ⎝⎭代入椭圆方程22161155a b +=②，联立①②求解即可； （ii ）直线:1(4)l y k x -=-，设1122(,),(,)B x y C x y ，联立直线与椭圆方程得到222(41)8(41)64320k x k k x k k +--+-=，由韦达定理得到12,x x 的表达式，代入弦长公式，由点到直线的距离公式求出原点到直线:1(4)l y k x -=-的距离，代入三角形面积公式化简即可；（Ⅱ）设00(,)A x y ，1122(,),(,)B x y C x y根据条件得2012011(2)31(2)3x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入椭圆方程，结合椭圆方程化简即可得出答案.【详解】解：（Ⅰ）（i）由e =2214b a =①因为点()4,1P ，5OP AO =，所以55A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程得22161155a b +=② 由①②解得224,1a b ==，故椭圆方程为2214x y +=（ii ）直线:1(4)l y k x -=-，设1122(,),(,)B x y C x y联立方程221(4)14y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8(41)64320k x k k x k k +--+-= 由0∆>得203k <<所以由韦达定理得21212228(41)6432,4141k k k kx x x x k k --+==++所以122||41BC x x k =-==+原点到直线:1(4)l y k x -=-的距离d =所以211||2241OBC S d BC k =⋅=+2)3k =<< （Ⅱ）设00(,)A x y ,5OP AO =，椭圆方程为：()22204x y k k +=>，所以()00,P ， 因为3BP BC =，所以()()01012121,3,x y x x y y --=--，即201012101212011(2)3()313()(2)3x x x x x y y y y y ⎧=+⎧⎪-=-⎪⎪⇒⎨⎨-=-⎪⎪⎩=+⎪⎩，代入椭圆中()()2220101112424099x y k ++⨯+-=，整理得22222110010104(4)5(4)4)36x y x y x x y y k +++-+=，因为00(,)A x y ，11(,)B x y 在椭圆上，所以222222110044,44x y k x y k +=+=，代入化简得101040x x y y +=，所以101014y y x x =-，即14OA OB k k ⋅=-， 所以直线OA ，OB 的斜率之积为14-. 【点睛】直线与椭圆相交问题求解策略：（1）解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y (或x )得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解；（2）涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.22．已知函数()()21ln 11ax f x x x -=-+- （1）若1a =，试求()f x 在()2,3点处的切线方程；（2）当0a >时，试求函数()f x 的单调增区间；（3）若在定义域上恒有()23f x x ≥+成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）210x y --=（2）答案见解析（3）2a ≥【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可由点斜式求解；（2）求出导数，对a 分类讨论，分析导数的正负即可求解；（3）先探求不等式成立的必要条件2a ≥，再证明充分性即可，证明时构造函数利用导数求函数的最小值即可证明.【详解】（1）当1a =时，()()21ln 1ln(1)11x f x x x x x -=-+=-++-， ()111f x x -'=+， ()22k f ='=，由切线过点()2,3，所以切线方程为()322y x -=-，即切线方程为210x y --=.(2) ()()21ln 11ax f x x x -=-+-的定义域为()1,+∞， ()()()2222121111(1)(1)a ax x ax x ax a f x x x x -⎛⎫- ⎪---⎝⎭=+'=---， 令()0f x '=，解得21a x a -=， 当211a a -=即1a =时，()01x f x x '=>-恒成立，则函数()f x 的单调增区间为()1,+∞， 当211a a ->即1a >时，21a x a->时，()0f x '>，函数()f x 的单调增区间为21,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 当211a a-<即01a <<时，1x >时，()0f x '>，则函数()f x 的单调增区间为()1,+∞. 综上所述，当01a <≤时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；当1a >时，函数()f x 的单调增区间为21,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(3)函数定义域为()1,+∞，()23f x x ≥+恒成立即21ln(1)231ax x x x --+≥+-恒成立， 当2x =时，()24143f a =-≥+必成立，2a ∴≥，令()()21ln 1231ax h x x x x -=-+---， 则()()22211212(1)(1)h x x ax ax x x ⎡⎤=⋅-+-+--'⎣⎦- ()(2212)522](1)a x a x x ⎡=⋅-+--⎣- ()()21212(1)a x x x ⎡⎤=⋅-+⋅-⎣⎦-， 2a ≥∴在(1,2)上()0h x '<，在(2,)+∞上()0h x '>，∴()h x 在(1,2)单调递减，(2,)+∞上单调递增，()(2)417480h x h a a ∴≥=--=-≥，故2a ≥.【点睛】关键点点睛：在定义域上恒有()23f x x ≥+成立求a 的范围，首先根据恒成立探求其成立的必要条件，由(2)2237f ≥⨯+=可知必有2a ≥，证明充分性时，令()()21ln 1231ax h x x x x -=-+---，利用导数求出()(2)h x h ≥恒成立，即可求解，属于难题.。
浙江省温州市十校联合体2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题含答案
2020学年第二学期温州十校联合体期末联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸；5.参考公式：棱锥的体积公式13V Sh =，S 为棱锥的底面积，h 为棱锥的高.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}21,B y y x x R ==+∈，则AB =（ ）A. ∅B. {}1,2C. {}1,2,3D. {}1,2,5,102.双曲线2220214y x -=的渐近线方程为（ ）A. y =B. 2y x =±C. 12y x =±D. 14y x =±3.下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（ ）A. )lny x =B. tan y x =C. 33x x y -=-D. 31y x =+4.已知等比数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且1q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数1()2x f x x=-的图象大致是（ ） A. B. C. D.6. 已知ABC △的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足下列条件的ABC △有两解的是（ ）A. 2a =，3b =，60C =︒B. 2a =，b =30A =︒C. 1a =，2b =，45A =︒D. 2a =，3b =，c Z ∈7. 设0a >，0b >，且21a b +=，则2aa b+（ ）A.有最小值为6B.有最小值为6C.有最小值为143D.有最小值为78.已知三次函数32()23(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，且(2020)2020f =，(2021)2021f =，(2022)2022f =，则(2023)f =（ ）A. 2023B. 2027C. 2031D. 20359. 如图，已知椭圆C ：2244x y +=4，过椭圆C 上第一象限的点M 作椭圆的切线与y 轴相交于P 点，O 是坐标原点，作PN OM ⊥于N .则OM ON ⋅（ ）A.恒为定值B.有最小值没最大值C.有最大值没最小值D.既没最大值也没最小值10.如图，在等腰直角三角形ABC 中，2BC =，90C ∠=︒，D ，E 分别是线段AB ，AC 上异于端点的动点，且//DE BC ，现将ADE △沿直线DE 折起至'A DE △，使平面'A DE ⊥平面BCED ，当D 从B 滑动到A 的过程中，下列选项中错误的是（ ）A. 'A DB ∠的大小不会发生变化B.二面角'A BD C --的平面角的大小不会发生变化C. 三棱锥'A EBC -的体积先变大再变小D. 'A B 与DE 所成的角先变大后变小非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.椭圆22143x y +=的左焦点F 坐标为__________，以F 为焦点、坐标原点为顶点的抛物线方程为__________. 12.已知点(),P x y 在不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域M 内运动，则区域M 的面积为__________，4z x y =-的最大值为___________.13.某四棱锥三视图如图所示，则该几何体的体积是__________，其内切球半径为___________.14.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S，若1a ，220210a a +=，则2022S =____________；当n S 取得最大值时，n =__________.15.已知函数1()4sin cos 2f x x x =⋅-，若()()0f x f x a ++=恒成立，则正数a 的最小值是__________. 16.设a R ∈，函数22,0(),0x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，若函数[]()y f f x =恰有4个零点，则实数a 的值为__________.17.已知a ，b 是平面上的单位向量，则2a b a b -++的最大值是__________. 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知函数()2sin cos f x x x x =⋅. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC △中，设角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f A =且3a =，求bc +的取值范围.19. 如图，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为平行四边形，2BC =，4BE =，2AB =，M 是线段AC 的中点，点A 在平面BCDE 上的射影为线段BD 的中点.（Ⅰ）证明：//AE 平面BMD ； （Ⅱ）若直线AB 与平面BCDE 所成角为6π，求二面角A BD M --的平面角的余弦值. 20. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2*2n n n S a a n N =+∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1211(1)n n n n n a b a a +++=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并证明2332n T ≤≤.21. 如图，已知点()2,2P 是抛物线C ：22y x =上一点，过点P 作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于A 、B 两点，直线PA 的斜率为()0k k >.（Ⅰ）若直线PA 、PB 恰好为圆()2221x y -+=的切线，求直线PA 的斜率；（Ⅱ）求证：直线AB 的斜率为定值.并求出当PAB △为直角三角形时，PAB △的面积. 22. 已知函数()2()f x x ax b a R =++∈.（Ⅰ）若2a =，当0x >时，若不等式()()20f x x ⋅-≥恒成立，求实数b 的值； （Ⅱ）若0b =，且函数()y f x =在[]0,1上单调递增，求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()y f x =的图像在[]0,2上与x 轴有两个不同的交点，求224b ab b ++的取值范围.2020学年第二学期温州十校联合体期末联考高二数学卷评分标准与参考答案一、选择题（4×10＝40分） 1-5：CBCAD6-10：BBDAD9. A 【解析】不妨设切线PM 方程为y kx m =+，联立切线方程和椭圆方程，由0∆=，可求得1M m ⎫⎪⎪⎝⎭， 1OP OM ON OM ⋅=⋅=为定值.10. D 【解析】由三余弦定理可知选项A 正确；由三垂线法作出二面角'A BD C --的平面角，可知其大小为定值，选项B 正确.()''21111'(2)2(02)3233A BCEB A CE BC CE A E x x x x x V V --=⋅⋅⋅=-=-<=<三棱锥三棱锥，由二次函数单调性可知V 先变大再变小，选项C 正确.'A B 与DE 所成的角先变小后变大，选项D 错误.二、填空题.（本大题有7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分） 11. ()1,0-，24y x =-； 12.12，4； 13.83，2 14. 0，1011； 15.2π；16. -；17. 15.【解析】根据()f x 图像可知，最小正周期为π. 16.【解析】数形结合.三、解答题：本大题共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.解：（Ⅰ）()2sin cos 22sin 23f x x x x x π⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭， ∴函数的最小正周期为π. 由222232kx x k ππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈. ∴函数的单调递增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （Ⅱ）由()2sin 203f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭及0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3A π=，由正弦定理可知sin sin sina b cA B C====b B=，c C=，由3Aπ=及ABC△为锐角三角形可得62Bππ<<.∴]sin)sin sin()b c B C B A B+=+=++1sin sin6sin2266B B B B Bππ⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭.∵62Bππ<<，∴2363Bπππ<+<，∴sin126Bπ⎛⎫<+≤⎪⎝⎭，∴(6sin6b c Bπ⎛⎫⎤+=+∈⎪⎦⎝⎭.19.（Ⅰ）证明：设BD与CE相交于O点，由题意知AO⊥平面BCDE.连接MO，点M、O分别是AC、EC的中点，∴//MO AE.∵AE⊄平面MDB，MO⊂平面MDB.∴//AE平面BMD.（Ⅱ）∵AO⊥平面BCDE，直线AB与平面BCDE所成角为6ABOπ∠=.∴sin16AO ABπ=⋅=，cos6OB ABπ=⋅=.∵AO⊥平面BCDE，∴平面ABD⊥平面CBD.∴二面角A BD M--的平面角θ与二面角M BD C--的平面角ϕ互余.取线段OC中点F，连接MF，则MF⊥平面BCDE.取OB中点G，连接FG、MG.1122MF AO==，2DB OB==2BC=，4CD BE==，∴222CD BC BD=+.∴2CBDπ∠=，即BC BD⊥，∵//FG BC，∴FG BD⊥.又MF⊥平面BCDE，∴MGF∠就是二面角M BD C--的平面角.在Rt MFG△中，12MF=，112FG BC==，∴1tan2MFFGϕ==，sinϕ=.∴cos sinθϕ==.∴二面角A BD M--20.解：（Ⅰ）当1n =时，2111122a S a a ==+，解得11a =； 当2n ≥时，()22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+.∴()()()()()222211111110n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --------+=--+=+--=，∵{}n a 是正项数列，∴10n n a a -+>，∴11n n a a --=. ∴数列{}n a 是以1为首项1为公差的等差数列. ∴n a n =.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1121121(1)(1)(1)n n n n n n a n b a a n n +++++=-=-⋅+11(1)11(1)(1)(1)1n n n n n n n n ++++⎛⎫=-=-+ ⎪++⎝⎭，因此，1111111(1)1(1)122311n n n T n n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+=+⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当n 为奇数时，1(1)11111n n T n n +-=+=+++单调递减，此时1311,12n T n ⎛⎤=+∈ ⎥+⎝⎦； 当n 为偶数时，1(1)11111n n T n n +-=+=-++单调递增，此时121,113n T n ⎡⎫=-∈⎪⎢+⎣⎭. ∴2332n T ≤≤. 21.解：（Ⅰ）依题意，PA ：2(2)(0)y k x k -=->，由直线PA 与圆()2221x y -+=1=，解k =（Ⅱ）设(),A A A x y ，(),B B B x y .联立直线PA 与抛物线方程22(2)2y k x y x -=-⎧⎨=⎩，消去x 可得：22440ky y k -+-=，∴44A P k y y k -=，22A ky k-=， ∴222(1)22,k k A k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 用k -代替k 可得：22B ky k +=-，∴222(1)22,k k B kk ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭. 因此，221222A B A B AB A B A B A B y y y y k y y x x y y --====--+-. 即直线AB 的斜率为定值12-. 1︒当90PAB ∠=︒时，由1AB k k ⋅=-得2k =，此时()2,2P ，1,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，9,32B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求得PA =AB =1152122PAB S PA AB ===△. 2︒当90APB ∠=︒时，可得1k =，此时()2,2P ，()0,0A ，()8,4B -，求得PA =，PB =111222PAB S PA PB =⋅=⋅=△. 3︒当90ABP ∠=︒时，无解.综上所述，当PAB △为直角三角形时，PAB △的面积为152或12. 22.（Ⅰ）若2a =，2()2f x x x b =++，不等式()()20f x x ⋅-≥恒成立. 当2x >时，20x ->，此时()0f x ≥，02x <<时，20x -<，此时()0f x ≤，∴()2440f b =++=，解得8b =-，经检验符合题意.（由图像直接得到()20f =也相应给分）（Ⅱ）若0b =，则2()y f x x ax ==+.因为[]0,1x ∈，当0a ≥时，2()f x x ax =+在区间[]0,1上单调递增；当0a <时，()222,0(),x ax x a f x x ax x ax x a⎧-+≤<-⎪=+=⎨+>-⎪⎩，所以要使()f x 在[]0,1上单调递增，则需12a-≥，即2a ≤-.所以满足条件的实数a 的取值范围是(][),20,-∞-+∞.（由数形结合得到a 的范围也相应给分）（Ⅲ）解：依题意，方程20x ax b ++=在区间[]0,2上有两个相异实根.设1x ，2x 是方程20x ax b ++=在区间[]0,2上的两个相异实根，则()()12()f x x x x x =--， ∴()()2121224(42)(0)(2)22b ab b b a b f f x x x x ++=++==--，不妨设1202x x ≤<≤，则()()221122121222022122x x x x x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫≤--<⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴224b ab b ++的取值范围是[)0,1.。