第四讲 对数函数与指数函数经典难题复习巩固综述
高中数学第四章指数函数与对数函数重难点归纳(带答案)
高中数学第四章指数函数与对数函数重难点归纳单选题1、函数f(x)={a x ,(x <0)(a −2)x +3a,(x ≥0)，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[13,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[13,2) 答案：C分析：根据条件可知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ⩽1，解出a 的范围即可．解：∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，因为f(x)={a x ,(x <0)(a −2)x +3a,(x ≥0)∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ⩽a 0，解得0<a ⩽13，∴a 的取值范围是(0,13]． 故选：C ．2、已知函数y =a x 、y =b x 、y =c x 、y =d x 的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．b +d >a +cB ．b +d <a +cC ．a +d >b +cD ．a +d <b +c 答案：B分析：如图，作出直线x =1,得到c >d >1>a >b ，即得解.如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，所以b+d<a+c.故选：B3、我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型c(t)=c0e−kt描述，假定某药物的消除速率常数k=0.1（单位：ℎ−1），刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln2≈0.693,ln3≈1.099）A．5.32hB．6.23hC．6.93hD．7.52h答案：C分析：利用已知条件c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为t1，转化求解即可.解：由题意得：c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为t1c(t1)=2000e−0.1t1≥1000e−0.1t1≥1 2故−0.1t≥−ln2，t≤ln20.1≈6.93故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93ℎ4、函数y =log 2(2x −x 2)的单调递减区间为（ ） A ．(1,2)B ．(1,2] C ．(0,1)D ．[0,1) 答案：A分析：先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果 由2x −x 2>0，得0<x <2， 令t =2x −x 2，则y =log 2t ，t =2x −x 2在(0,1)上递增，在(1,2)上递减， 因为y =log 2t 在定义域内为增函数，所以y =log 2(2x −x 2)的单调递减区间为(1,2)， 故选：A5、化简√−a 3·√a 6的结果为（ ） A ．−√a B ．−√−a C ．√−a D ．√a 答案：A分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案. 由题意，可知a ≥0，∴√−a 3·√a 6=(−a )13⋅a 16=−a 13⋅a 16=−a 13+16=−a 12=−√a .故选：A.6、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a =5，b =log 83=13log 23，即23b =3，所以4a−3b =4a43b =(2a )2(23b )2=5232=259．7、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)A．3B．3.6C．4D．4.8答案：B分析：根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt即可求得t的值.由题可知：50=20+(100−20)e−12k⇒(e−k)12=38⇒e−k=(38)112，冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e−kt⇒(e−k)t=34⇒t⋅lne−k=ln34⇒t=ln 3 4ln(38)112=12(ln3−2ln2)ln3−3ln2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选：B.8、如图所示：曲线C1，C2，C3和C4分别是指数函数y=a x，y=b x,y=c x和y=d x的图象,则a，b，c，d与1的大小关系是（）A ．a <b <1<c <dB ．a <b <1<d <cC ．b <a <1<c <dD ．b <a <1<d <c 答案：D分析：先根据指数函数的单调性，确定a ，b ，c ，d 与1的关系，再由x =1时，函数值的大小判断. 因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数， 所以c ，d 大于1，a ，b 小于1，由图知：c 1>d 1 ，即c >d ， b 1<a 1，即 b <a ， 所以b <a <1<d <c ， 故选：D 多选题9、若f (x )满足对定义域内任意的x 1,x 2，都有f (x 1)+f (x 2)=f (x 1⋅x 2)，则称f (x )为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ ）A ．f (x )=2xB ．f (x )=(12)xC ．f (x )=log 12x D ．f (x )=log 3x答案：CD分析：利用“好函数”的定义，举例说明判断A ，B ；计算判断C ，D 作答.对于A ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=6，f (x 1⋅x 2)=4， 则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，A 不是；对于B ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=34，f (x 1⋅x 2)=14，则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，B 不是；对于C ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 12x 1+log 12x 2=log 12(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，C 是；对于D ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 3x 1+log 3x 2=log 3(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，D 是． 故选：CD10、下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是（ ） A ．y =2x −3B ．y ={−x +1,x ≥0x +1,x <0C ．y =x 2−3x +3D ．y =|x −2| 答案：AB分析：根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值． 对于选项A ，当x =1时，y =21−3=−1<0，当x =12时，y =212−3=1>0，所以能用二分法求零点的近似值．对于选项B ，当x =2时，y =−2+1=−1<0，当x =12时，y =−12+1=12>0，能用二分法求零点的近似值．对于选项C ，y =x 2−3x +3=(x −32)2+34>0，故不能用二分法求零点的近似值． 对于选项D ，y =|x −2|≥0，故不能用二分法求零点的近似值． 故选：AB ．11、某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，若使这种溶液的杂质含量达到市场要求，则过滤次数可以为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10 答案：BCD分析：由2100×(23)n≤11000解不等式可得答案.设经过n 次过滤，这种溶液的杂质含量达到市场要求，则2100×(23)n≤11000， 即(23)n≤120，两边取对数，得nlg 23≤−lg20，即n (lg2−lg3)≤−(1+lg2)， 得n ≥1+lg2lg3−lg2≈7.4. 故选：BCD.12、下面几个结论正确的是（ ）A ．已知a =(√32)23，b =(45)13，c =ln3，则a <b <cB ．已知a =312，b =√63，c =log 47，则a <c <b C ．已知a =0.32，b =log 20.3，c =20.3，则b <c <a D ．已知log 12a >log 12b >0，则a b <a a <b a答案：AD 分析：对于A ，a =(√32)23=(34)13<(45)13<1，c =ln3>1，即可得到大小关系；对于B ，a 6=(312)6=27，b 6=(√63)6=36可得到a <b ，再选取中间量32，通过比较，得到最终结果；对于C ，b <0，a <1，c >1，可得到大小关系；对于D ，通过构造对数函数和幂函数，利用函数的单调性可得到最终结果.对于A ，a =(√32)23=(34)13<(45)13<1，c =ln3>1，所以a <b <c ；故A 正确；对于B ，a 6=(312)6=27，b 6=(√63)6=36>27∴a <b c =log 47，∵32=log 4432，∵(32)3=278,b 3=6>278∴b >32(432)2=64>72=49∴c <32，∴c <b ∵a >32∴c <a 最终为：c <a <b .故B 错误；对于C ，b =log 20.3<0，a =0.32=0.09<1，c =20.3>20=1∴b <a <c ；故C 错误； 对于D ，当log 12a >log 12b >0时，∵y =log 12x 在定义域内是减函数，故得到0<a <b <1，∵y =a x 是减函数，故得到a b <a a ，又因为y =x α在x >0时是增函数，故得到a a <b a ，故D 正确. 故选：AD.13、给定函数f (x )=2x x 2+1（ ）A ．f (x )的图像关于原点对称B ．f (x )的值域是[−1,1]C ．f (x )在区间[1,+∞)上是增函数D ．f (x )有三个零点 答案：AB分析：对于A ：由函数f (x )的定义域为R ，f (−x )=−f (x )，可判断； 对于B ：当x =0时，f (x )=0，当x ≠0时，f (x )=2x+1x，由x +1x ≥2或x +1x ≤−2，可判断；对于C ：由t =x +1x 在[1,+∞)单调递增可判断；对于D ：令f (x )=0，解方程可判断.解：对于A ：因为函数f (x )的定义域为R ，且f (−x )=2(−x )(−x )2+1=−2xx 2+1=−f (x )，所以函数f (x )是奇函数，所以f (x )的图像关于原点对称，故A 正确； 对于B ：当x =0时，f (x )=0， 当x ≠0时，f (x )=2x+1x，又x +1x≥2或x +1x≤−2，所以0<f (x )≤1或−1≤f (x )<0，综上得f (x )的值域为[−1,1]，故B 正确；对于C ：因为t =x +1x 在[1,+∞)单调递增，所以由B 选项解析得， f (x )在区间[1,+∞)上是减函数，故C 不正确；对于D ：令f (x )=0，即2xx 2+1=0，解得x =0，故D 不正确， 故选：AB. 填空题14、把满足log 23×log 34×⋅⋅⋅×log n+1(n +2)，n ∈N ∗为整数的n 叫作“贺数”，则在区间(1,50)内所有“贺数”的个数是______． 答案：4分析：利用换底公式计算可得log 23×log 34×⋅⋅⋅×log n+1(n +2)=log 2(n +2)，即可判断. 解：因为log 23×log 34×⋅⋅⋅×log n+1(n +2) =lg3lg2×lg4lg3×⋅⋅⋅×lg (n+2)lg (n+1)=lg (n+2)lg2=log 2(n +2)，又log 24=2，log 28=3，log 216=4，log 232=5，log 264=6，……， 所以当n +2=4，8，16，32时，log 2(n +2)为整数， 所以在区间(1,50)内“贺数”的个数是4． 所以答案是：415、函数f (x )=2√2−x+lg (x +3)的定义域为______．答案：(−3,2)分析：根据给定函数有意义列出不等式组，求解即可得原函数定义域. 函数f (x )=2√2−x lg (x +3)有意义，则有{2−x >0x +3>0，解得−3<x <2，所以函数f (x )的定义域为(−3,2). 所以答案是：(−3,2)16、已知125x =12.5y =1000，则y−x xy=________．答案：13分析：先把指数式化为对数式，再由换底公式化为同底数对数运算即可. 解：因为125x =12.5y =1000，所以x =log 1251000，y =log 12.51000，y−xxy =1x −1y =log 1000125−log 100012.5=log 100012512.5=log 100010=13．所以答案是：13.小提示：本题考查指对数互化公式、换底公式和对数运算，属于基础题. 解答题17、已知函数f(x)=log 2(2x +1). （1）求不等式f(x)>1的解集；（2）若函数g(x)=log 2(2x −1)(x >0)，若关于x 的方程g(x)=m +f(x)在[1,2]有解，求m 的取值范围. 答案：（1）{x |x >0}；（2）[log 213,log 235].分析：（1）由f(x)>1可得2x +1>2，从而可求出不等式的解集， （2）由g(x)=m +f(x)，得m =g (x )−f (x )=log 2(1−22x +1)，再由x ∈[1,2]可得log 2(1−22x +1)的范围，从而可求出m 的取值范围（1）原不等式可化为2x +1>2，即2x >1,∴x >0， 所以原不等式的解集为{x |x >0}（2）由g(x)=m +f(x)， ∴m =g (x )−f (x )=log 2(1−22x +1)，当1≤x ≤2时，25≤22x +1≤23，13≤1−22x +1≤35，m ∈[log 213，log 235]18、对于定义在区间[m,n ]上的两个函数f (x )和g (x )，如果对任意的x ∈[m,n ]，均有|f (x )−g (x )|≤1成立，则称函数f (x )与g (x )在[m,n ]上是“友好”的，否则称为“不友好”的．已知函数f (x )=log a (x −3a )，g (x )=log a1x−a(a >0,a ≠1)．(1)若f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上都有意义，求a 的取值范围； (2)讨论函数f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是否“友好”． 答案：(1)(0,1) (2)答案见解析分析：（1）由题意解不等式组{a +2−3a >0a +2−a >0即可；（2）假设存在实数a ，使得f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的，即|f (x )−g (x )|=|log a (x 2−4ax +3a 2)|≤1，即−1≤log a (x 2−4ax +3a 2)≤1，只需求出函数y =log a (x 2−4ax +3a 2)在区间[a +2,a +3]上的最值，解不等式组即可． （1）若f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上都有意义，则必须满足{a +2−3a >0a +2−a >0，解得a <1，又a >0且a ≠1，所以a 的取值范围为(0,1)． （2）假设存在实数a ，使得f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的，则|f (x )−g (x )|=|log a (x 2−4ax +3a 2)|≤1，即−1≤log a (x 2−4ax +3a 2)≤1，因为a ∈(0,1)，则2a ∈(0,2)，a +2>2，所以[a +2,a +3]在x =2a 的右侧，由复合函数的单调性可得y =log a (x 2−4ax +3a 2)在区间[a +2,a +3]上为减函数， 从而当x =a +2时，y max =log a (4−4a )，当x =a +3时，y min =log a (9−6a )，所以{log a(4−4a)≤1log a(9−6a)≥−10<a<1，即{4−4a≥a9a−6a2−1≤00<a<1，解得0<a≤9−√5712，所以当0<a≤9−√5712时，f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是“友好”的；当9−√5712<a<1时，f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是“不友好”的．。
高中数学指数函数与对数函数单元复习课第4课时指数函数与对数函数课件
科研课题组的奖励方案:奖金f(x)(单位:万元)随投资收益x(单
位:万元)的增加而增加,且奖金不低于1万元,同时不超过投资
收益的20%.
(1)根据题目要求,写出f(x)满足的条件.
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型:
①f(x)=+2;②f(x)=4lg x-2.
对数函数 y=logax
(a>0,且 a≠1)
非奇非偶函数
图象始终在 y 轴右方
增长越来越慢
5.函数的零点是什么?函数的零点、方程的根、函数的图象
之间的关系是什么?
提示:(1)使得f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点;
(2)函数f(x)的零点即为方程f(x)=0的实数根,亦即f(x)的图象与
(6)函数f(x)=a|x|(a>0,a≠1)的最小值等于1.( × )
(7)函数 f(x)=|logax|与 g(x)=|lo x|是同一个函数.( √ )
(8)若函数f(x)=loga|x|(a>0,a≠1)在区间(-∞,0)内单调递减,则
0<a<1.( × )
(9)若偶函数f(x)有6个零点,则其零点之和等于0.( √ )
x轴交点的横坐标.
6.一次函数、指数函数、对数函数的增长特点分别是什么?
提示:一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度,指数函数
y=ax(a>1)的增长速度越来越快,对数函数y=logax(a>1)的增长
速度越来越慢.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳完整版(带答案)
高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳完整版单选题1、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足L =5+lgV ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（√1010≈1.259） A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6 答案：C分析：根据L,V 关系，当L =4.9时，求出lgV ，再用指数表示V ，即可求解. 由L =5+lgV ，当L =4.9时，lgV =−0.1， 则V =10−0.1=10−110=√1010≈11.259≈0.8.故选：C.2、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a=5，b =log 83=13log 23，即23b=3，所以4a−3b=4a 43b =(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C.3、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t 分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −kt ，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1) A ．3B ．3.6C ．4D ．4.8 答案：B分析：根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt即可求得t的值.由题可知：50=20+(100−20)e−12k⇒(e−k)12=38⇒e−k=(38)112，冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e−kt⇒(e−k)t=34⇒t⋅lne−k=ln34⇒t=ln 3 4ln(38)112=12(ln3−2ln2)ln3−3ln2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选：B.4、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.5、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）附：lg2≈0.3010A ．10%B ．20%C ．50%D ．100% 答案：B分析：根据题意，计算出log 24000log 21000的值即可；当SN=1000时，C =Wlog 21000，当SN=4000时，C =Wlog 24000，因为log 24000log 21000=lg4000lg1000=3+2lg23≈3.60203≈1.2所以将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了20%，故选：B.小提示：本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用. 6、指数函数 y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4 答案：B分析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值. 因为y =a x 的图象经过点(3,18)，所以a 3=18，解得a =12，故选：B.7、用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ） A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.4 答案：B分析：利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得.依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7∈(0.68,0.72)，且满足|0.72-0.68|<0.1， 所以所求的符合条件的近似值为0.7.故选：B8、若ln2=a ，ln3=b ，则log 818=（ ） A ．a+3b a 3B ．a+2b 3aC ．a+2b a 3D ．a+3b 3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得. log 818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a 3a.故选：B 多选题9、（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477） A ．6B ．9C ．8D ．7 答案：BC分析：因为每过滤一次杂质含量减少13,所以每过滤一次杂志剩余量为原来的23,由此列式可解得.设经过n 次过滤，产品达到市场要求，则 2100×(23)n⩽11000，即(23)n⩽120，由 nlg 23⩽−lg20，即 n(lg2−lg3)⩽−(1+lg2)，得 n ⩾1+lg2lg3−lg2≈7.4， 故选BC ．小提示：本题考查了指数不等式的解法,属于基础题. 10、已知a =log 3e,b =log 23，c =ln3，则（ ） A ．a <b <c B ．a <c <b C ．D ．a +c <b 答案：BC分析：由对数函数的单调性结合换底公式比较a,b,c 的大小，计算出a +c ，利用基本不等式得a +c >2，而b <2，从而可比较大小．a cb +>由题意可知，对于选项AB ，因为b =log 23=ln3ln2>ln3lne =ln3=c ，所以b >c ，又因为a =log 3e <log 33=1，且c =ln3>lne =1，所以，则b >c >a ，所以选项A 错误，选项B 正确；对于选项CD ，a +c =log 3e +ln3=lne ln3+ln3=1ln3+ln3>2√1ln3⋅ln3=2，且b =log 23<b =log 24=2，所以，故选项C 正确，选项D 错误； 故选：BC.小提示：关键点点睛：本题考查对数函数的单调性，利用单调性比较对数的大小，对于不同底的对数，可利用换底公式化为同底，再由用函数的单调性及不等式的性质比较大小，也可结合中间值如0或1或2等比较后得出结论．11、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y （个）与加工时间x （分）之间的函数关系，A 点横坐标为12，B 点坐标为(20,0),C 点横坐标为128．则下面说法中正确的是（ ）A ．甲每分钟加工的零件数量是5个B ．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C ．D 点的横坐标是200D ．y 的最大值是216 答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误；设D 的坐标为(t,0)，由题得△AOB ∽△CBD ，则有1220=128−20t−20，解可得t =200，所以选项C 正确；当x =128时，y =216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟，c a >a c b +>一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确，设D的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB和CD的斜率相等，则有∠ABO=∠CDB，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB=∠CBD，则△AOB∽△CBD，则有1220=128−20t−20，解可得t=200；即点D的坐标是(200,0)，所以选项C正确；由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B错误；当x=128时，y=(128−20)×2=216，所以y的最大值是216.所以选项D正确. 故选：ACD12、已知函数f(x)=a x(a>1)，g(x)=f(x)−f(−x)，若x1≠x2，则（）A．f(x1)f(x2)=f(x1+x2)B．f(x1)+f(x2)=f(x1x2)C．x1g(x1)+x2g(x2)>x1g(x2)+x2g(x1)D．g(x1+x22)⩽g(x1)+g(x2)2答案：AC分析：对选项A、B，利用指数幂的运算性质即可判断选项A正确，选项B错误；对选项C、利用g(x)=f(x)−f(−x)=a x−a−x(a>1)在R上单调递增即可判断，选项C正确；对选项D、根据f(x)=a x(a>1)，且x1≠x2，由凹凸性有f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]，又f(−x)=(1 a )x(a>1)，由凹凸性有f(−x1−x22)>12[f(−x1)+f(−x2)]即可判断选项D错误；解：对选项A：因为a x1⋅a x2=a x1+x2，所以f(x1)f(x2)=f(x1+x2)，故选项A正确；对选项B：因为a x1+a x2≠a x1x2，所以f(x1)+f(x2)≠f(x1x2)，故选项B错误；对选项C：由题意，因为a>1，所以g(x)=f(x)−f(−x)=a x−a−x在R上单调递增，不妨设x1>x2，则g(x1)>g(x2)，所以(x1−x2)g(x1)>(x1−x2)g(x2)，即x1g(x1)+x2g(x2)>x1g(x2)+ x2g(x1)，故选项C正确；对选项D：因为f(x)=a x(a>1)，且x1≠x2，所以由凹凸性有f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]，又f(−x)=(1a )x(a>1)，所以由凹凸性有f(−x1−x22)>12[f(−x1)+f(−x2)]，所以有f(x1+x22)+12[f(−x1)+f(−x2)]<f(−x1−x22)+12[f(x1)+f(x2)]，即f(x1+x22)−f(−x1−x22)<12[f(x1)+f(x2)]−12[f(−x1)+f(−x2)]，即g(x1+x22)<g(x1)+g(x2)2，故选项D错误；故选：AC.13、已知函数f(x)={lnx,x>0,−x2−4x,x≤0.关于x的方程f(x)−t=0的实数解个数，下列说法正确的是（）A．当t≤0时，方程有两个实数解B．当t>4时，方程无实数解C．当0<t<4时，方程有三个实数解D．当t=4时，方程有两个实数解答案：CD分析：方程f(x)−t=0即f(x)=t，作出函数f(x)的简图，数形结合可得结果.方程f(x)−t=0即f(x)=t，作出函数f(x)的简图，由图可知：当t<0时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有2个交点，即方程f(x)−t=0有2个实数解；当t=0时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有3个交点，即方程f(x)−t=0有3个实数解，故A错误；当t>4时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有1个交点，即方程f(x)−t=0有1个实数解，故B错误；当0<t<4时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有3个交点，即方程f(x)−t=0有3个实数解，故C正确；当t=4时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有2个交点，即方程f(x)−t=0有2个实数解，故D正确.故选：CD.填空题14、已知函数f(x)=1+log a(x−1)(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，又点P的坐标满足方程mx+ny=1，则mn的最大值为_____．答案：18##0.125分析：根据对数型函数的过定点(2,1)，代入方程中可得2m+n=1，根据基本不等式即可求解.f(x)=1+log a(x−1)(a>0且a≠1)过定点(2,1)，所以P(2,1),所以2m+n=1故2m⋅n≤(2m+n2)2⇒m⋅n≤18，当且仅当m=14,n=12时等号成立.所以答案是：1815、已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=−e ax.若f(ln2)=8，则a=__________.答案：-3分析：当x>0时−x<0，f(x)=−f(−x)=e−ax代入条件即可得解.因为f(x)是奇函数，且当x>0时−x<0，f(x)=−f(−x)=e−ax．又因为ln2∈(0,1)，f(ln2)=8，所以e−aln2=8，两边取以e为底的对数得−aln2=3ln2，所以−a=3，即a=−3．小提示：本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．16、函数y=log12(3x−1)的单调递减区间为_____答案：(13,+∞)分析：根据复合函数单调性规律即可求解 函数y =log 12(3x −1)的定义域为(13,+∞)又y =log 12(3x −1)是由y =log 12u 与u =3x −1复合而成，因为外层函数y =log 12u 单调递减，所以求函数y =log 12(3x −1)的单调递减区间即是求内层函数u =3x −1的增区间，而内层函数u =3x −1在(13,+∞)上单调递增，所以函数y =log 12(3x −1)的减区间为(13,+∞)所以答案是：(13,+∞)解答题17、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )=x 2+mx ，函数f (x )在y 轴左侧的图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )−a =0有4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 答案：(1)f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0(2)(−1,0)分析：（1）利用f (−2)=0可求x ≤0时f (x )的解析式，当x >0时，利用奇偶性f (x )=f (−x )可求得x >0时的f (x )的解析式，由此可得结果；（2）作出f (x )图象，将问题转化为f (x )与y =a 有4个交点，数形结合可得结果.（1）由图象知：f (−2)=0，即4−2m =0，解得：m =2，∴当x ≤0时，f (x )=x 2+2x ； 当x >0时，−x <0，∴f (−x )=(−x )2−2x =x 2−2x ，∵f (x )为R 上的偶函数，∴当x >0时，f (x )=f (−x )=x 2−2x ； 综上所述：f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0；（2）∵f (x )为偶函数，∴f (x )图象关于y 轴对称，可得f (x )图象如下图所示，f (x )−a =0有4个不相等的实数根，等价于f (x )与y =a 有4个不同的交点， 由图象可知：−1<a <0，即实数a 的取值范围为(−1,0).18、吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x 万盒，需投入成本ℎ(x )万元，当产量小于或等于50万盒时ℎ(x )=180x +100；当产量大于50万盒时ℎ(x )=x 2+60x +3500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？ 答案：(1)y ={20x −300,0≤x ≤50−x 2+140x −3700,x >50,x ∈N(2)70万盒分析：（1）根据题意分0≤x ≤50和x >50两种情况求解即可； （2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.（1）当产量小于或等于50万盒时，y =200x −200−180x −100=20x −300， 当产量大于50万盒时，y =200x −200−x 2−60x −3500=−x 2+140x −3700， 故销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N （2）当0≤x≤50时，y≤20×50−300=700；当x>50时，y=−x2+140x−3700，当x=1402=70时，y=−x2+140x−3700取到最大值，为1200．因为700<1200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．。
高考数学总复习重点知识专题讲解与训练4---指数函数及对数函数(解析版)
§xx§]
5.若
a
=
log 1
π
1 3
，
π
b = e3 ，
c
=
log3cos
1 5
π
，则（
）
A. b > c > a
B. b > a > c
C. a > b > c
D. c > a > b
【答案】B
【 解析】
a
=
log 1
π
1 3
=
logπ 3∈(0,1) ,
π
b = e3 >1,
c
=
log3cos
A． f
（log3
1 4
）＞
f
（
−3
22
）＞
f
（
−2
23
）
B． f
（log3
1 4
）＞
f
（
−2
23
）＞
f
（
−3
22
）
C．
f
−3
（2 2
）＞
f
−2
（2 3
）＞
f
1 （log3 4
）
D．
f
（
−2
23
）＞
f
−3
（2 2
）＞
f
（log3
1
） 4
【答案】C
【解析】
f
( x) 是定义域为 R 的偶函数，所以
f
(log3
211 28 +1
>
7
，因此排除
A，D．故选
B．
4．（2018 年全国Ⅲ卷理 12）设 a = log0.2 0.3 ， b = log2 0.3 则（
第四章指数函数与对数函数复习与小结课件(人教版)
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
[解题思路] (1)依题意，x＝enπ>ene＞lne＝1，y＝log52＜
log5
5＝12，1＝e0＞z＝e－12
1
＞4－2
＝12，于是有 y＜z＜x，选 D.
(2)∵a＝log32＝log123，b＝ln2＝lo1g2e，而 3＞e 且 y＝log2x
为增函数，所以
第四章 指数函数与对数函数
复习与小结
知识框图
基本初等函数
指数函数
反函数 对数函数
指数与指数 幂运算
指数函数 及其性质
对数及其运算
对数函数 及其性质
知识框图
①方程f(x)＝0的实数x；②f(a)·f(b)＜0；③x轴；④有零点 ⑤二分法；⑥方程f(x)＝0的根；⑦函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标
a＜b，又
c＝5－12＝
1 ，而 5
5＞2＝log24＞log23，
∴c＜a，综上所述 c＜a＜b.
[答案] (1)D (2)C
3．求参数范围
[例 4] 当 0＜x≤12时，4x＜logax，则 a 的取值范围是(
)
A．(0，
2 2)
B．( 22，1)
C．(1， 2)
D．( 2，2)
|lgx|，0＜x≤10， (2)已知函数 f(x)＝－12x＋6，x＞10. 若 a，b，c 互不相
B．(－12，0]析] (1)根据函数有意义的条件建立不等式求解．要使 函数有意义，则 1－2log6x≥0⇒log6x≤12⇒0＜x≤ 6，所以原函 数定义域为(0， 6]．
(2)依题有02＜ x＋21x＋ ＞10＜ ，1
⇒ x－＞12－ ＜12x， ＜0
模块复习课04 指数函数与对数函数(课件)
数学 必修 第一册 A
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模块复习课(四) 指数函数与对数函数
1
[训练 7] 已知 x＝ln π，y＝log52，z＝e－2 ，则( )
A．x<y<z
B．z<x<y
C．z<y<x
D．y<z<x
答案 D
解析 依题意，x＝ln π>ln e＝1，y＝log52<log5 5＝12，
1
1＝e0>z＝e－12>4－2 ＝12，于是有 y<z<x.]
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模块复习课(四) 指数函数与对数函数
[训练 8] 比较下列各组数的大小： (1)40.9,80.48，12－1.5； (2)log20.4，log30.4，log40.4. 解 (1)40.9＝21.8,80.48＝21.44，12－1.5＝21.5， 因为 y＝2x 在 R 上是增函数，所以 40.9>12－1.5>80.48.
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模块复习课(四) 指数函数与对数函数
五、函数的零点与方程的解
函数的零点及判断个数的方法 (1)函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (2)确定函数零点的个数有两个基本方法：一是利用图象研究与x轴的交点个数 或转化成两个函数图象的交点个数进行判断，二是判断区间(a，b)上是否有零点， 可应用f(a)·f(b)与0的关系判断． 提醒：函数的零点是一个实数而非一个点，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方 程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．
(精选试题附答案)高中数学第四章指数函数与对数函数重难点归纳
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数重难点归纳单选题1、若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根（精确度0.1）为（）．A．1.2B．1.4C．1.3D．1.5答案：B分析：根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.解：因为f(1)<0,f(1.5)>0，所以f(1)f(1.5)<0，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.5−1=0.5>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.25)<0，所以f(1.25)f(1.5)<0，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5−1.25=0.25>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.375)<0，所以f(1.375)f(1.5)<0，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5−1.375=0.125>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.4375)>0，所以f(1.4375)f(1.375)<0，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375−1.375= 0.0625<0.1，所以满足精确度0.1；所以方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根（精确度0.05）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .故选：B2、已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b答案：A分析：由题意可得a 、b 、c ∈(0,1)，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由b =log 85，得8b =5，结合55<84可得出b <45，由c =log 138，得13c =8，结合134<85，可得出c >45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、c ∈(0,1)，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a <b ；由b =log 85，得8b =5，由55<84，得85b <84，∴5b <4，可得b <45； 由c =log 138，得13c =8，由134<85，得134<135c ，∴5c >4，可得c >45.综上所述，a <b <c . 故选：A.小提示：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.3、已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=log 2(x +2)+t ，f (−6)=（ ） A ．−2B ．2C ．−4D ．4 答案：A分析：因f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)=0，从而可求t ，再由奇函数的定义即可求出f (−6)的值. 解：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，又当x ≥0时，f(x)=log 2(x +2)+t ， ∴ f (0)=log 2(0+2)+t =0， ∴t =−1，∴当x ≥0时，f(x)=log 2(x +2)−1，∴f (−6)=−f (6)=−[log 2(6+2)−1]=−(log 223−1)=−2， 故选：A.4、已知函数f(x)=9+x 2x，g(x)=log 2x +a ，若存在x 1∈[3,4]，对任意x 2∈[4,8]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,134]B ．(134,+∞)C ．(0,134)D ．（1，4）答案：A分析：将问题化为在对应定义域内f(x 1)max ≥g(x 2)max ，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.由题意知：f(x)在[3,4]上的最大值大于或等于g(x)在[4,8]上的最大值即可． 当x ∈[3,4]时，f(x)=9x +x ，由对勾函数的性质得：f(x)在[3,4]上单调递增，故f(x)max =f(4)=94+4=254．当x ∈[4,8]时，g(x)=log 2x +a 单调递增，则g(x)max =g(8)=log 28+a =3+a ， 所以254≥3+a ，可得a ≤134．故选：A5、已知y 1=(13)x，y 2=3x ，y 3=10−x ，y 4=10x ，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A分析：根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.y 2=3x 与y 4=10x是增函数，y 1=(13)x与y 3=10−x=(110)x是减函数，在第一象限内作直线x =1，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A ． 故选：A6、设a =30.7, b =(13)−0.8, c =log 0.70.8，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b 答案：D分析：利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a,b,c 的大小关系. 因为a =30.7>1， b =(13)−0.8=30.8>30.7=a ，c =log 0.70.8<log 0.70.7=1， 所以c <1<a <b . 故选：D.小提示：本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：y =a x ，当a >1时，函数递增；当0<a <1时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：y =log a x ，当a >1时，函数递增；当0<a <1时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等.7、若32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，则f (x )的另一个零点为（ ）A ．1B ．2C ．（1，0）D ．（2，0） 答案：A分析：由32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，可得a 值，再利用韦达定理列方程解出f (x )的另一个零点． 因为32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，所以f (32)=2×(32)2−a ×32+3=0，解得a =5．设另一个零点为x 0，则x 0+32=52，解得x 0=1，所以f (x )的另一个零点为1． 故选：A ．8、已知0<a <1,b <−1，则函数y =a x +b 的图像必定不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：A解析：根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项. 因为0<a <1，故y =a x 的图象经过第一象限和第二象限， 且当x 越来越大时，图象与x 轴无限接近.因为b <−1，故y =a x 的图象向下平移超过一个单位，故y =a x +b 的图象不过第一象限. 故选：A ．9、设函数f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|，则f （x ）（ ） A ．是偶函数，且在 (12，+∞)单调递增B ．是奇函数，且在 (−12，12)单调递增 C ．是偶函数，且在(−∞，−12)单调递增 D ．是奇函数，且在 (−∞，−12)单调递增分析：先求出f (x )的定义域结合奇偶函数的定义判断f (x )的奇偶性，设t ＝|2x+12x−1|，则y ＝ln t ，由复合函数的单调性判断f (x )的单调性，即可求出答案.解：由{2x +1≠02x −1≠0，得x ≠±12．又f （﹣x ）＝ln |﹣2x +1|﹣ln |﹣2x ﹣1|＝﹣（ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|）＝﹣f （x ）， ∴f （x ）为奇函数，由f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|＝ln |2x+12x−1|， ∵2x+12x−1=1+22x−1=1+1x−12．可得内层函数t ＝|2x+12x−1|的图象如图，在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减，在（−12，12）上单调递增， 又对数式y ＝lnt 是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f （x ）在（−12，12）上单调递增， 在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减． 故选：B ．10、设f(x)={e x−1,x <3log 3(x −2),x ≥3，则f(f (11))的值是（ ）A ．1B ．eC ．e 2D ．e −1分析：根据自变量的取值，代入分段函数解析式，运算即可得解. 由题意得f(11)=log 3(11−2)=log 39=2， 则f(f (11))=f (2)=e 2−1=e . 故选：B.小提示：本题考查了分段函数求值，考查了对数函数及指数函数求值，属于基础题. 填空题11、已知log a 13>1，则实数a 的取值范围为______．答案：(13,1).分析：分0<a <1和a >1两种情况求解即可.解：当0<a <1时，由log a13>1，可得log a13>log aa，解得13<a <1；当a >1时，log a 13>1，可得log a13>log aa，得a <13，不满足a >1，故无解.综上所述a 的取值范围为：(13,1). 所以答案是：(13,1).12、已知a ，b 为正数，化简√a 5b 2⋅(a 2b )−1⋅√b 3=_______．答案：a 12b 12分析：根据根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算公式即可求出结果.原式=a 52b 2⋅a −2b −1⋅b 32=a 12b 12． 所以答案是：a 12b 12．13、已知√(a −1)44+1=a ，化简(√a −1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=_________． 答案：a −1分析：根据已知条件判断a 的范围，再结合根式的运算性质，即可求得结果. 由已知√(a −1)44+1=a ，即|a −1|=a −1，即a ⩾1，所以(√a −1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=(a −1)+(a −1)+(1−a)=a −1， 所以答案是：a −1小提示：本题考查根式的运算性质，属简单题；注意公式的熟练应用即可. 14、函数f （x ）＝3x −3−x 3x +3−x+2，若有f （a ）＋f （a －2）＞4，则a 的取值范围是________.答案：（1，＋∞）分析：构造函数F （x ）＝f （x ）－2，则f （a ）＋f （a －2）＞4等价于F （a ）＋F （a －2）＞0，分析F(x)奇偶性和单调性即可求解.设F （x ）＝f （x ）－2，则F （x ）＝3x −3−x3x +3−x ，易知F （x ）是奇函数，F （x ）＝3x −3−x3x +3−x ＝32x −132x +1＝1－232x +1在R 上是增函数，由f （a ）＋f （a －2）＞4得F （a ）＋F （a －2）＞0， 于是可得F （a ）＞F （2－a ），即a ＞2－a ，解得a ＞1. （1，＋∞）15、已知函数f (x )={x 2+4x x ≥22|x−a | x <2 ，若对任意的x 1∈[2,+∞)，都存在唯一的x 2∈(−∞,2)，满足f (x 2)=f (x 1)，则实数a 的取值范围是______． 答案：0≤a <4分析：由题意可得函数f (x )在[2，＋∞）时的值域包含于函数f (x )在（−∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数f (x )在x ∈[2，＋∞）时的值域，当x ∈（−∞，2）时，对a 分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a 的取值范围． 解：设函数g (x )=x 2+4x , x ≥2的值域为A ，函数ℎ(x )=2|x−a | , x <2的值域为B ，因为对任意的x 1∈[2,+∞)，都存在唯一的x 2∈(−∞,2)，满足f (x 2)=f (x 1)， 则A ⊆B ，且B 中若有元素与A 中元素对应，则只有一个.当x1∈[2,+∞)时，g(x)=x2+4x =x+4x，因为x+4x ≥2√x⋅4x=4，当且仅当x=4x，即x=2时，等号成立，所以A=[4,+∞)，当x2∈(−∞,2)时，ℎ(x)=2|x−a| , x<2①当a≥2时，ℎ(x)=2a−x , x<2，此时B=(2a−2,+∞)，∴2a−2<4，解得2≤a<4，②当a<2时，ℎ(x)={2a−x,x<a2x−a,a≤x<2，此时ℎ(x)在(−∞,a)上是减函数，取值范围是(1,+∞)，ℎ(x)在[a,2)上是增函数，取值范围是[1,22−a)，∴22−a≤4，解得0≤a<2，综合得0≤a<4.所以答案是：0≤a<4小提示：关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.解答题16、已知函数ℎ(x)=|log12x|.(1)求ℎ(x)在[12,a](a>12)上的最大值；(2)设函数f(x)的定义域为I，若存在区间A⊆I，满足:对任意x1∈A，都存在x2∈A(其中A表示A在I上的补集)使得f(x1)=f(x2)，则称区间A为f(x)的“Γ区间”.已知ℎ(x)=|log12x|(x∈[12,2])，若A=[12,a)为函数ℎ(x)的“Γ区间”，求a的最大值.答案：（1）答案见解析；（2）1.解析：（1）作出函数ℎ(x)=|log12x|的图象，分12<a≤2，a>2，利用数形结合法求解.(2)根据对任意x1∈A，都存在x2∈A使得f(x1)=f(x2)，分12<a≤1，1<a≤2，分别求得ℎ(x)在[12,a)和[a,2]上的值域，利用集合法求解.（1）函数ℎ(x)=|log12x|的图象如图所示：当12<a≤2时，ℎ(x)的最大值为ℎ(12)=1，当a>2时，ℎ(x)的最大值为ℎ(a)=−log12a.(2) 当12<a≤1时，ℎ(x)在[12,a)上的值域为(log12a,1]，ℎ(x)在[a,2]上的值域为[0,1]，因为满足:对任意x1∈A，都存在x2∈A使得f(x1)=f(x2)，所以(log12a,1)[0,1]，成立；此时A=[12,a)为函数ℎ(x)的“Γ区间”，当1<a≤2时，ℎ(x)在[12,a)上的值域为[0,1]，ℎ(x)在[a,2]上的值域为[−log12a,1]，当1≤x1<a时，ℎ(x1)<ℎ(a)=−log12a，所以∃x1∈[1,a)，ℎ(x1)∉[−log12a,1]，即存在x1∈A，对任意x2∈A使得f(x1)≠f(x2)，所以A=[12,a)不为函数ℎ(x)的“Γ区间”，所以a的最大值是1.小提示：方法点睛：双变量存在与恒成立问题：若∀x 1∈D 1,∀x 2∈D 2， f (x 1)>g (x 2)成立，则 f (x )min >g (x )max ；若∃x 1∈D 1,∃x 2∈D 2， f (x 1)>g (x 2)成立，则 f (x )max >g (x )min ；若∃x 1∈D 1,∀x 2∈D 2， f (x 1)>g (x 2)成立，则 f (x )max >g (x )max ；若∀x 1∈D 1,∃x 2∈D 2， f (x 1)>g (x 2)成立，则 f (x )miax >g (x )min ；若∀x 1∈D 1,∃x 2∈D 2， f (x 1)=g (x 2)成立，则 f (x )的值域是g (x )的子集；17、（1）计算：(279)12+(lg5)0+(2764)−13； （2）设4a =5b =100，求2(1a +2b )的值．答案：（1）4；（2）2．分析：（1）根据指数的运算性质直接计算即可；（2）通过换底公式可得1a=1log 4100=log 1004，1b =1log 5100=log 1005，进而可得解. （1）原式=(259)12+(lg5)0+[(34)3]−13=53+1+43=4． （2）∵4a =100， ∴a =log 4100．同理可得，b =log 5100，则1a =1log4100=log 1004，1b =1log 5100=log 1005， ∴1a +2b=log 1004+2log 1005=log 100(4×52)=log 100100=1． ∴2(1a +2b )=2．18、已知函数f (x )=log 12x +12x −172．(1)用单调性的定义证明：f (x )在定义域上是减函数；(2)证明：f (x )有零点；(3)设f (x )的零点在区间(1n+1,1n )内，求正整数n ．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析(3)10分析：（1）设0<x 1<x 2，则结合对数的运算法则可证得f (x 1)−f (x 2)=(log 12x 1−log 12x 2)+(12x 1−12x 2)>0，则f (x 1)>f (x 2)，由此可得证.（2）结合函数的解析式有f (1)=−8<0，f (116)=72>0，且f (x )在区间(116 ， 1)上连续不断，由零点存在定理可得证.（3）结合函数的解析式可得f (110)f (111)<0，由此可得答案.（1）因为f (x )的定义域为(0,+∞)，设x 1，x 2是(0,+∞)内的任意两个不相等的实数，且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=(log 12x 1−log 12x 2)+(12x 1−12x 2)， 因为x 2−x 1>0，x 1x 2>0，所以log 12x 1−log 12x 2>0，12x 1−12x 2=x 2−x 12x 1x 2>0，所以f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在定义域(0,+∞)上是减函数．（2）因为f (1)=0+12−172=−8<0，f (116)=4+8−172=72>0， 所以f (1)⋅f (116)<0，所以f (x )有零点．（3）f (111)=log 12111+112−172=log 211−3>log 28−3=0，f (110)=log 12110+5−172=log 210−72=log 25−52=log 2√25−log 2√32<0，所以f (110)f (111)<0，又f (x )在(0,+∞)上为减函数，所以f (x )的零点在区间(111,110)内，故n ＝10． 19、某校手工爱好者社团出售自制的工艺品，每件的售价在20元到40元之间时，其销售量y （件）与售价x （元/件）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下表所示．(1)求此一次函数的解析式；(2)若每件工艺品的成本是20元，在不考虑其他因素的情况下，每件工艺品的售价是多少时，利润最大？最大利润是多少？答案：(1)y =−20x +840(20⩽x ⩽40)(2)每件工艺品的售价为31元时，利润最大，最大利润为2420元分析：（1）设y =ax +b ，任取两级数据代入求得参数值得解析式；（2）由（1）中关系式得出利润与x 的关系，由二次函数的性质得最大值．（1）设y =ax +b ，不妨选择两组数据(20,440)，(22,400)代入，可得{440=20a +b,400=22a +b,解得{a =−20,b =840, ∴一次函数的解析式为y =−20x +840(20⩽x ⩽40)．（2）设利润为S 元，由题意可得S =(−20x +840)(x −20)=−20x 2+1240x −16800=−20(x −31)2+2420，∴当x =31时，S max =2420，∴每件工艺品的售价为31元时，利润最大，最大利润为2420元．。
2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块06-幂函数、指数函数对数函数
模块六：幂函数、指数函数与对数函数1、幂函数（1）函数y x α=（α为常数）叫做幂函数，其中x 是自变量．幂函数特征（1）系数为 ；（2）x α中底数自变量，指数是常数；（3）后面不加任何项，如3y x =，2x y x +=，22y x =+都不是幂函数（2）五个常见幂函数的图象（3）五个常见幂函数的性质（3）幂函数y x α=（α为常数）的性质1）幂函数y x α=（α为常数）在()0,+∞上都有定义，并且图象都过点()1,1；2）0α>时，幂函数的图象过原点，并且在区间[)0,+∞上是增函数； 3）0α<时，幂函数在区间()0,+∞上是减函数； 4）幂函数y x α=（α为常数）的图象都不过第四象限 2、指数与指数幂的运算 （1）指数幂mna = （0a >，,m n N *∈且1n >）； m na −= ；（0a >，,m n N *∈且1n >） n= ；当n = ；当n = ；（2）指数幂运算（3）指数幂运算3、指数函数（1）指数函数的概念:（2）指数函数的图象与性质特别说明：指数函数x y a =（0a >且1a ≠）的图象与函数1xy a⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称．（3）底数对指数函数图象的影响（4）指数函数的图象变换（翻折变换）→4、对数及对数运算（1）对数式与指数式的互化： ．（2）对数恒等式：log 1a = ；log a a = ；log b a a = ；lg 2lg5+= ； ln e = ； （3）对数的运算性质如果0a >且1a ≠，0M >，0N >，则 （1）()log a MN = ；（2）log aMN= ； （3）log n a M = ；（4）恒等式：log ab a = ；log mn a b = ；（5）换底公式：log a b = ． （6）其他变形5、对数函数（1）对数函数的概念：（2）对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象与性质特别说明：（1）函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象与函数1log ay x =的图象关于x 轴对称．（3）底数对对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象的影响 1）当1a >时，对数函数的图象“上升”；当01a <<时，对数函数的图象“下降”；2）底数的大小决定了图象相对位置的高低（4）对数函数的图象变换6、反函数注：互为反函数的两个函数的图象关于直线y x=对称．7、指数不等式与对数不等式8、指数方程与对数方程【课本优质习题汇总】新人教A版必修一110新人教A版必修一119新人教A版必修一120新人教A版必修一127新人教A版必修一127新人教A版必修一160新人教A版必修一160新人教A版必修一161新人教A版必修一161新人教B版必修二14新人教B版必修二30新人教B版必修二30新人教B版必修二38新人教B版必修二54。
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精典专题系列第4讲 指数函数与对数函数一、导入：名叫抛弃的水池一个人得了难治之症，终日为疾病所苦。
为了能早日痊愈，他看过了不少医生，都不见效果。
他又听人说远处有一个小镇，镇上有一种包治百病的水，于是就急急忙忙赶过去，跳到水里去洗澡。
但洗过澡后，他的病不但没好，反而加重了。
这使他更加困苦不堪。
有一天晚上，他在梦里梦见一个精灵向他走来，很关切地询问他：“所有的方法你都试过了吗？” 他答道：“试过了。
” “不，”精灵摇头说，“过来，我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。
” 精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说：“进水里泡一泡，你很快就会康复。
”说完，就不见了。
这病人跳进了水池，泡在水中。
等他从水中出来时，所有的病痛竟然真地消失了。
他欣喜若狂，猛地一抬头，发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。
这时他也醒了，梦中的情景让他猛然醒悟：原来自己一直以来任意放纵，受害已深。
于是他就此发誓，要戒除一切恶习。
他履行自己的誓言，先是苦恼从他的心中消失，没过多久，他的身体也康复了。
大道理：抛弃是治疗百病的万灵之药，人之所以有很多难缠的情感，就是因为在大多数情况下，舍不得放弃。
把消极扔掉，让积极代替，就没有什么可抱怨的了。
二、知识点回顾：1．根式 (1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果 ，那么x 叫做a 的n 次方根n ＞1且n ∈N * 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个 ，负数的n 次方根是一个n a零的n 次方根是零 当n 是偶数时，正数的n 次方根有 ，这两个数互为±na(a>0)负数没有偶次方根(2)两个重要公式．①n a n ＝ ②(n a)n ＝ (注意a 必须使na 有意义)． 2. 幂的有关概念①正分数指数幂： ＝ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1)；②负分数指数幂： ＝ ＝ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1)． ③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 ．y ＝ax a ＞1 0＜a ＜1图象DSE 金牌化学专题系列3．指数函数的图象与性质4．对数的概念 (1)对数的定义如果 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数． (2)两种常见对数对数形式 特点记法 常用对数 底数为 lgx 自然对数底数为lnx5．对数的性质、换底公式与运算法则性质①loga1＝ ，②logaa ＝ ， ③ ＝ 。
换底公式logab ＝ (a ，b ，c 均大于零且不等于1)运算法则如果a>0，且a ≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(M ·N)＝ ， ②loga ＝ ， ③logaMn ＝nlogaM(n ∈R).定义域 R 值域(0，＋∞)y ＝ax a ＞1 0＜a ＜1性 质(1)过定点 (2)当x ＞0时， ；x ＜0时，(2)当x ＞0时， ；x ＜0时，(3)在R 上是 (3)在R 上是6.对数函数的定义、图象与性质定义函数 (a>0，且a≠1)叫做对数函数图象a>1 0<a<1性质(1)定义域：(2)值域：(3)当x＝1时，y＝0，即过定点(4)当0<x<1时，；当x>1时，(4)当0<x<1时，当x>1时，y∈y∈；(5)在(0，＋∞)上为(5)在(0，＋∞)上为7．反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数 (a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称．三、专题训练：计算下列各式(1)133()2-×(－76)0＋148×42＋(32×3)6－232()3-；(2)a35b2·35b34a3；考点一有理指数幂的化简与求值(3)413322333824a a b a ab b-++÷(1－2 3b a)×3a.[自主解答](1)原式＝133()2-×1＋342-×142＋(132×123)6－133()2-＝2＋4×27＝110. (2) a 35b 2·35b 34a 3＝33212a-·321510b-＝54a＝a 4a.(3)令13a＝m ，13b＝n ，则原式＝m 4－8mn 3m 2＋2mn ＋4n 2÷(1－2nm )·m ＝m (m 3－8n 3)m 2＋2mn ＋4n 2·m 2m －2n＝m 3(m －2n )(m 2＋2mn ＋4n 2)(m 2＋2mn ＋4n 2)(m －2n )＝m 3＝a.变式训练：计算下列各式(1)138()125-－(－78)0＋[(－2)3]43-＋1643-＋|－1100|12；(2)9332aa-÷3a－73a 13；(3)(－338)23-＋(1500)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.解：(1)原式＝(25)－1－1＋(－2)－4＋2－3＋110＝52－1＋116＋18＋110＝14380. (2)原式＝936671366a aa a--＝973136666a+--＝a 0＝1.(3)(3)原式＝(－1)23-×(338)23-＋(1500)12-－105－2＋1 ＝(278)23-＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679.画出函数y ＝|3x －1|的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？[自主解答] 函数y ＝|3x －1|的图象是 由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位 后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折 到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k<0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．思考：保持条件不变，讨论函数y ＝|3x －1|的单调性.解：由例2所作图象可知，函数 y ＝|3x －1|在[0，＋∞)上为增函 数，在(－∞，0)上为减函数.变式训练：已知函数y ＝(13)|x ＋1|.(1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值． 解：(1)法一：由函数解析式可得 y ＝(13)|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧(13)x ＋1，x ≥－13x ＋1，x ＜－1.，考点二指数函数的图象其图象由两部分组成：一部分是：y ＝(13)x (x ≥0)―――→向左平移1个单位y ＝(13)x ＋1(x ≥－1)；另一部分是：y ＝3x(x ＜0)―――→向左平移1个单位y ＝3x ＋1(x ＜－1)． 如图所示：法二：①由y ＝(13)|x|可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y ＝(13)x 的图象，保留x ≥0的部分，当x<0时，其图象是将y ＝(13)x (x ≥0)图象关于y 轴对折，从而得出y ＝(13)|x|的图象．②将y ＝(13)|x|向左移动1个单位，即可得y ＝(13)|x ＋1|的图象，如图所示．(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数． (3)由图象知当x ＝－1时，有最大值1，无最小值．已知函数f(x)＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a 的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a 的取值范围． [自主解答] (1)当a ＝－1时，f(x)＝2431()3x x --+， 令g(x)＝－x 2－4x ＋3，考点三指数函数的性质由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝(13)t 在R 上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)， 递减区间是(－∞，－2)．(2)令h(x)＝ax 2－4x ＋3，y ＝(13)h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a>012a －164a ＝－1，解得a ＝1 即当f(x)有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝(13)h(x)的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能有a ＝0.因为若a ≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.故a 的取值范围是a ＝0. 变式训练：已知g(x)＝－(14)x＋4(12)x＋5，求该函数的定义域、值域和单调区间．解：由g(x)＝－(14)x ＋4(12)x ＋5＝－(12)2x ＋4(12)x ＋5.∴函数的定义域为R ，令t ＝(12)x (t>0)．∴g(t)＝－t 2＋4t ＋5＝－(t －2)2＋9. ∵t>0，∴g(t)＝－(t －2)2＋9≤9， 等号成立条件是t ＝2，即g(x)≤9，等号成立条件是(12)x ＝2，即x ＝－1.∴g(x)的值域是(－∞，9]． 由g(t)＝－(t －2)2＋9(t>0)，而t ＝(12)x 是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间． 求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间． ∵g(t)在(0,2]上递增， 在[2，＋∞)上递减， 由0<t ＝(12)x ≤2，可得x ≥－1，由t ＝(12)x ≥2，可得x ≤－1.∴g(x)在[－1，＋∞)上递减，在(－∞，－1]上递增．故g(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是[－1，＋∞)．【例4】(1)计算：lg5(lg8＋lg1 000)＋(3lg2)2＋lg 16＋lg0.06；(2)化简：log 34273·log 5[21log 1024－23(33)－27log 7]；(3)已知：lgx ＋lgy ＝2lg(2x －3y)，求32log xy的值． [自主解答] (1)原式＝lg5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2 ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2 ＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋(3lg 5)－2 ＝3(lg 2＋lg 5)－2＝1.(2)原式＝(log 3427－1)·log 5(10－3－2) ＝(34－1)log 55＝－14.(3)∵lgx ＋lgy ＝2lg(2x －3y) ∴xy ＝(2x －3y)2＝4x 2＋9y 2－12xy 即4x 2－13xy ＋9y 2＝0考点四 对数式的化简与求值∴(4x －9y)(x －y)＝0，即4x ＝9y ，x ＝y(舍去)， ∴32log x y＝32log94＝2.变式训练：计算：(1)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)；(2)15(lg32＋log 416＋6lg 12)＋15lg 15. 解：(1)原式＝(log 32＋12log 32)(12log 23＋13log 23)＝(log 32＋log 32)(log 23＋log 233) ＝log 322·log 2(3·33) ＝log 3322·log 2563 ＝32·log 32·56·log 23＝54.(2)原式＝15[lg32＋2＋lg(12)6＋lg 15]＝15[2＋lg(32×164×15)]＝15(2＋lg 110) ＝15[2＋(－1)]＝15.【例5】比较下列各组数的大小．(1)log 323与log 565；(2)log 1.10.7与log 1.20.7； (3)已知12log b<12log a< 12log c ，比较2b,2a,2c的大小关系．[自主解答] (1)∵log 323<log 31＝0，而log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565.(2)法一：∵0<0.7<1,1.1<1.2，考点五对数值的大小比较∴0>log 0.71.1>log 0.71.2. ∴1log 0.71.1<1log 0.71.2， 由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.法二：作出y ＝log1.1x 与y ＝log1.2x 的图象，如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知 log1.10.7<log1.20.7.(3)∵y ＝12log x 为减函数，且12log b<12log a<12log c ， ∴b>a>c.而y ＝2x 是增函数， ∴2b >2a >2c .变式训练：设a 、b 、c 均为正数，且2a＝12loga ，(12)b ＝12logb ，(12)c ＝log 2c ，则 ( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<a<c解析：如图：∴a<b<c.【例6】已知f(x)＝log a x(a>0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a 的取值范围．[自主解答] ∵f(x)＝log a x ，则y ＝|f(x)|的图象如右图．由图示，要使x ∈[13，2]时恒有|f(x)|≤1，只需|f(13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a>1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a<1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)．变式训练：(2010·山东潍坊二模)已知函数f(x)＝log2(x ＋1)，将y ＝f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g(x)的图象． (1)求g(x)的定义域；(2)令F(x)＝f(x －1)－g(x)，求F(x)的最大值．解：(1)f(x)＝log 2(x ＋1)――――――――→向左平移1个单位 y ＝log 2(x ＋2)――――――→纵坐标伸长到原来的2倍y ＝2log 2(x ＋2)，考点六对数函数图象与性质的应用即g(x)＝2log 2(x ＋2)，∴x ＋2>0. ∴x>－2.∴定义域为(－2，＋∞)．(2)∵F(x)＝f(x －1)－g(x)＝log 2x －2log 2(x ＋2) ＝log 2x (x ＋2)2(x>0)＝log 2xx 2＋4x ＋4 ＝log 21x ＋4x＋4≤log 218＝－3， ∴当x ＝2时，F(x)max ＝－3.【例7】(2011·成都模拟)设f(x)＝12log1－axx －1为奇函数，a<0. (1)求a 的值；(2)若对于区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式f(x)>(12)x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．[自主解答] (1)∵f(－x)＝－f(x)， ∴12log 1＋ax－1－x ＝－12log1－axx －1＝12log x －11－ax ，∴1＋ax －x －1＝x －11－ax ，即(1＋ax)(1－ax)＝－(x ＋1)(x －1)， ∴a ＝－1或a ＝1(舍去)．(2)由(1)可知f(x)＝12log x ＋1x －1＝12log (1＋2x －1)， ∵f(x)>(12)x ＋m 恒成立，x ∈[3,4]，∴m<f(x)－(12)x ，x ∈[3,4]．令g(x)＝f(x)－(12)x ＝12log (1＋2x －1)－(12)x ，x ∈[3,4]．考点七 与对数函数有关的综合问题∵函数f(x)＝12log (1＋2x －1)与y ＝－(12)x 在x ∈[3,4]上均为增函数，∴g(x)在[3,4]上为增函数，∴g(x)min ＝g(3)＝－98，∴m<－98.思考： 若f(x)的值域为[1，＋∞)，求x 的取值范围．解：由例题知， f(x)＝12log x ＋1x －1又∵f(x)的值域为[1，＋∞) ∴0<x ＋1x －1≤12∴－3≤x<－1.即x 的取值范围为[－3，－1)．变式训练：已知函数y ＝loga2(x2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数，求a 的取值范围．解：因为μ(x)＝x 2－2ax －3在(－∞，a]上是减函数， 在[a ，＋∞)上是增函数，要使y ＝log a2(x 2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数， 首先必有0<a 2<1，即0<a<1或－1<a<0，且有⎩⎪⎨⎪⎧μ(－2)≥0，a ≥－2，得a ≥－14.综上，得－14≤a<0或0<a<1.五、巩固练习：一、选择题1．(2011·济南模拟)定义运算a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊗2x 的图象大致为( )解析：由a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )得f (x )＝1⊗2x＝⎩⎨⎧2x (x ≤0)，1 (x >0).答案：A2．(2010·辽宁高考)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20D ．100解析：a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，代入已知得log m 2＋log m 5＝2， 即log m 10＝2，所以m ＝10. 答案：A3．(2010·全国卷Ⅰ)设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝125-，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：a ＝log 32＝ln 2ln 3＜ln 2＝b ，又c ＝125-＝15＜12，a ＝log 32＞log 33＝12，因此c ＜a ＜b .4．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b (a >0且a ≠1)为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )解析：由图可知，函数f (x )＝log a (x ＋b )是单调递减函数，所以0<a <1，又因为f (x )＝log a (x ＋b )的图象与x 轴的交点的横坐标在(0,1)内，所以0<b <1，根据上述参数a ，b 的特点，函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致如B 项所示．答案：B5．(2011·石家庄模拟)已知函数f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2，若f (x )＝0有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：法一：f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2＝0，得a －2x ＝22－x ，即a －2x ＝42x ，令t ＝2x(t >0)，则t 2－at ＋4＝0在t ∈(0，＋∞)上有解，令g (t )＝t 2－at ＋4，g (0)＝4>0，故满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2>0，Δ＝a 2－16≥0，得a ≥4.法二：f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2＝0，得a －2x ＝22－x ，a ＝2x ＋42x ≥4.二、填空题 6．2327－32log 2×log 218＋2lg(3＋5＋3－5)的结果为________．解析：原式＝9－3×(－3)＋lg(3＋5＋3－5)2＝18＋lg 10＝19.答案：197．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是________．解析：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32.当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或32.8．若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]三、解答题9．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围． 解：法一：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ， 设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立． 由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2， 所以实数λ的取值范围是λ≤2. 10．(1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n的值；(2)已知2lg x －y 2＝lg x ＋lg y ，求xy的值． 解：(1)由log a 2＝m ，log a 3＝n 得a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝22×3＝12. (2)由已知得lg(x －y 2)2＝lg(xy )，∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0，∴(x y )2－6·x y ＋1＝0， ∴xy ＝3±2 2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x >0，y >0，∴x y >1，从而xy ＝3＋22， xy ＝1＋ 2.六、拓展训练:1、(2010·安徽高考)设a ＝253()5，b ＝352()5，c ＝252()5，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a[规范解答] 构造指数函数y ＝(25)x (x ∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b ＜c ；又y ＝(25)x (x ∈R)与y ＝(35)x (x ∈R)之间有如下结论：当x ＞0时，有(35)x ＞(25)x ，故253()5＞252()5，∴a ＞c ，故a ＞c ＞b. 2、(2010·天津高考)设函数f(x)＝212log,0,log (),0.x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[规范解答] 由题意可得2120log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或1220,log ()log a a a >⎧⎪⎨->⎪⎩ 解之得a>1或－1<a<0.七、反思总结：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1．(2011·桐乡模拟)函数y ＝ax ＋2012＋2012(a>0，a ≠1)的图象恒过定点________．解析：令x ＋2012＝0，则x ＝－2012，此时y ＝a0＋2012＝1＋2012＝2013 ∴恒过定点(－2012,2013)． 答案：(－2012,2013)2．若a>0，a ≠1，x>y>0，n ∈N ，则下列各式：①(log a x)n ＝nlog a x ；②(log a x)n ＝log a x n ； ③log a x ＝－log a 1x ；④nlog a x ＝1n log a x ；⑤log a x n ＝log a nx ；⑥log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y .其中正确的个数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3．如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y ＝ax ，y ＝bx ，y ＝cx ，y ＝dx 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ( )A ．a<b<1<c<dB ．a<b<1<d<cC ．b<a<1<c<dD ．b<a<1<d<c解析：由指数函数y ＝a x (a>0且a ≠1)的单调性及函数y ＝a x 与y ＝(1a )x 间的关系可知b<a<1<d<c.4．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )>f (c x )D ．大小关系随x 的不同而不同 解析：∵f (1＋x )＝f (1－x )， ∴f (x )的对称轴为直线x ＝1， 由此得b ＝2. 又f (0)＝3，∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增． 若x ≥0，则3x ≥2x ≥1， ∴f (3x )≥f (2x )． 若x <0，则3x <2x <1， ∴f (3x )>f (2x )． ∴f (3x )≥f (2x )．5．设m 为常数，如果函数y ＝lg(mx 2－4x ＋m －3)的值域为R ，则m 的取值范围是________． 解析：因为函数值域为R ，所以mx 2－4x ＋m －3能取到所有大于0的数，即满足⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(－4)2－4m (m －3)≥0或m ＝0.解得0≤m ≤4.答案：[0,4]6．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：∵3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23log 31()2+＝18×2log 31()2＝18×121log 31()2＝18×13＝124. 答案：124。