完整上海教材八年级第十九章几何证明知识整理.docx
沪教版(五四学制)八年级上册第十九章几何证明：1线段的垂直平分线课件
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）
N
总结
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点 到这条线段两个端点的距离相等。
∵点P在线段AB的垂直平分线上（已知） ∴PA=PB （线段垂直平分线上的任意一点到这条线 段两个端点的距离相等。 ）
A
M P
B
N
猜想
定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段 两个端点的距离相等。
=14cm．
有没有什么体会和大家分享？
运用3
练习1. 已知：如图， 在△ ABC中，AB=AC , DE是AB边
的垂直平分线交AC于点E，CBE 30o
求：A 多少度？
A
x
及时反思？
D
合理设参数，引入方程 求角度。
E
x 30o x 30o
B
C
运用4
例题2. 已知:如图,ΔABC中,BA=BC,边AB，BC的垂直平 分线交于P.
求：∠B等于多少度？
A
50°
D 50° E
B
C
学会运用
作图2，七宝镇政府打算修建一个体育中心.在选址 过程中,有人建议该体育中心所在位置到三个中学 (如图中P,Q,R表示)的距离相等.
P●
(1) Q●
R●
P● Q●
R● (2)
(1)根据上述建议,试在图(1)中画出体育中心G的位置；
(2)如果这三个中学的位置如图(2)所示,∠RPQ是一个钝 角,那么根据上述建议,体育中心G应在什么位置？
三角形的三条边的垂直平分线相交于一点
驶向胜利的彼岸
思考：证明线段相等的方法有哪些？
点P在线 段AB的垂 直平分线 上
线段垂直平分线的性质
PA=PB
秋上海教育版数学八上19.1《几何证明》word教案
课题几何证明会证明直角三角形的全等；HL ；角均分线的性质与判断；线段垂直均分线的性质与判断；教课目的勾股定理与逆定理的应用。
要点、难点线段垂直均分线与角均分线，直角三角形，勾股定理的综合应用考点及考试要求线段垂直均分线与角均分线，直角三角形，勾股定理的综合应用教课内容【一、知识点回首】：1．一个命题是由2．正确的命题称为和构成。
命题，错误的命题称为命题。
【二、针对练习】（一）填空题1．把以下命题改写成“假如,, ，那么 ,, ”的形式，并判断其真假：（1）同位角相等，两直线平行。
（2）同角的余角相等。
（3）平角都相等。
（4）等腰三角形顶角的均分线是底边上的高。
2.举反例证明以下命题是假命题：（ 1）两个互余的角不相等。
（ 2）素数都是奇数。
（ 3）同位角相等。
2 2（ 4）假如 x =y ，那么 x=y 。
3．如图，把定理“三角形的三个内角和等于180 °”，改写成已知：， A A 求证：。
4．如图，“求证：等腰三角形两腰上的高相等”B C改写成已知：， E D 求证：。
5．全等三角形的对应相等，对应相等。
BCCD6．等腰三角形的角相等。
等腰三角形的相互重合。
E F 7．如图，已知△ ABF≌△ DCE，则∠ C= ，BF∥. A B8．如图，点E、 F 在 AD上， AE=DF， AB∥ CD，要使△ ABF≌△ DCE，还需要增添条件（ A.S.A ），(A.A.S).（二）证明题1．如图，已知 AB=AC,AD=AE, ∠ 1=∠ 2. B求证：∠ B=∠ C.C2．如图， D、 E 在ABC 的边BC上，AB=AC，（1） BD=CE，求证： AD=AE．（2） AD=AE，求证： BD=CE．3．求证：等腰三角形两腰上的中线相等. B【线段的垂直均分线与角的均分线】【一、知识点回顾】1.线段垂直均分线的定理：线段垂直均分线上的到的距离相等. 2．线段垂直均分线的逆定理：和一条线段相等的点，在这条线段的上. 3．线段的垂直均分线能够看作是的点的会合. 4．角的均分线的定理：在角的均分线上的点到的距离相等 . 5．角的均分线的逆定理：在一个角的且距离相等的点，在这个角的6．角的均分线能够看作是的点的会合. 7．我们把切合的全部点的会合叫做点的轨迹.8． (1)的点的轨迹是这条线段的垂直均分线.(2)的点的轨迹是这个角的均分线.(3)的点的轨迹是以为圆心、【二、针对练习】（一）填空题1．把以下命题改成抗命题并判断抗命题的真假.第 7、 8题图A12DEAD E C上 .为半径的圆.(1)对顶角相等 .(2)全都三角形对应角相等 .(3)等腰三角形的两个底角相等 .(4) 直角三角形的两个锐角互余.A E2．如图，在ABC 中，AB=AC,∠A=50°,DE为AB的垂直均分线，那么∠ DBC= °B ABC 中，∠C=90°,∠CAB的均分线AD交BC于D,BC=10,BD=7,那么点D到3．如图，在AB的距离是DC4. 平面内与点 A 的距离等于 3 厘米的点的轨迹是.5．底边给定等腰三角形极点的轨迹.（二）解答题和证明题1. 如图，在ABC 中，AB5cm, AC 4cm, 边BC 的中垂线交AB 于点 D ，交BC 于点 E．求ACD 的周长ADBE 2.已知：如图，在 ABC 中，∠ABC的均分线与∠ACB均分线交于点I.求证：点 I 在∠ BAC的均分线上 .（三）作图题 B1.已知：如图，∠ AOB及边 OB上一点 C.求作：点 P，使 PO=PC且点 P 到 OA、 OB的距离相等 .O2. 如图，在ABC 内求作一点O， 3 如图，在 ABC一点 I，使点 O到 A、 B、 C 三点的距离相等 . 使点 I 到三边的距离相等 .CDACAICACBB内求作【直角三角形】A【一、知识点回首】A1. 直 角三角形全等的判断定假如两个直角三角形的相等，那么这两个直角三角形全BC2.直角三角形的性质：定理 1：直角三角形的两个 。
沪教版(五四学制)八年级上册第十九章几何证明：1证明举例(第1课时)课件
求证：EF∥AC
分析：
A
要证明EF ∥AC,只要证明 ∠DFE=∠FDC
又已知∠DFE=∠A ，因此只要
﹖ 证明 ∠A=∠FDC ，而这由
E D
﹖ 已知条件DF∥AB得到的。
B
C
F
例２ 已知：如图，点D,E,F分别是AC、AB、BC 上的点，DF∥AB， ∠DFE=∠A
求证：EF∥AC
分析：
要证明EF ∥AC,只要证明 ∠A+∠AEF=1800
平行？
平行线的判定定理： （1）同位角相等，两直线平行； （2）内错角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行；
平行线的传递性：平行于同一条直线的两条
直线也平行；
例１ 已知：如图，AB∥CD， ∠B+ ∠D=180O 求证：CB∥DE
分析： 要证明CB∥DE，只要证
A
． C ﹖B
明 ∠C+ ∠D=180O ，已知 ∠B+ ∠D=1800 ，因此只要证
（3） 若GP、HN分别平分∠BGF、∠EHD, 探索：GP、HN具有怎样的位置关系?
必做题：练习册 习题19.2（1） 选做题：提高题
又已知∠DFE=∠A ，因此只要 证明 ∠DFE+∠AEF=1800 ， 而这由已知条件DF∥AB得到的。 B
A
﹖E ﹖D C F
例２变式练习： 已知：如图，DF∥AB， EF∥AC
求证： ∠DFE=∠A
﹖A
E
D
﹖ B
C
F
练习1 已知：如图，∠1=∠B, ∠2=∠D 求证：AB∥CD
A
B
E1
F
2
C
D
练习2 已知：如图，∠C=∠1, ∠B=∠D
沪教版(五四学制)八年级上册第十九章几何证明：1命题和证明课件
第三段因果关系： 因：“∠1+∠2=∠2+∠3”； 果：“∠1=∠3”；“根据”是“等量减等量，差相等”．
再尝试说一说“三角 E
A
F
形内角和”证明过程中
的因果关系．
B
C
注意：寻找因果关系可以从条件出发找到由条件能够 直接得到的结果，也可以从结论出发去寻找得到这个 结论所需要的条件，同时还要注意导致这个结果的原 因往往不止一个，需要从前面的段落中去寻找．
得 ∠1+∠2=∠2+∠3（等量代换）． 所以∠1=∠3（等量减等量，差相等）．
辩一辩
这三种方法中，哪一种最可靠，最有说服力？
像上述第三种方法，我们运用演绎推理的方法得到 “对顶角相等”这个结论，演绎推理的过程就是演绎证 明．
演绎证明：从已知的概念、条件出发，根据已被 确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正 确的过程．
D 3
2 1
E C
其中，因： BE平分∠ABC 证明：因为 BE平分∠ABC（已知）；
果：∠1＝∠2．
所以 ∠1＝∠2（角平分线的意义）．
因： BD=DE
因为 BD=DE（已知) ；
果：∠2＝∠3．
所以 ∠2＝∠3（等边对等角）；
因：∠1＝∠2， ∠2＝∠3
所以 ∠1＝∠3（等量代换）；
果：∠1＝∠3．
Hale Waihona Puke 演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方 法．演绎证明是一种严格的数学证明．
在本书中，演绎证明简称证明． 学习演绎证明可以使我们的思维严格、缜密，其表 达条理清楚、无可辩驳 ．
沪教版(上海)八年级第一学期 第十九章 第1讲 几何证明
例
逆命题：如果一个角是钝角，那么这个角是两个钝角的和.
4
逆命题：直角三角形其中一边上中线等于这边的一半.
逆命题：如果两个三角形关于某点成中心对称，那么这两个三角形全等. 逆命题：如果两个三角形全等，那么其中两边及第三边上的高对应相等.
逆命题：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角.
例 5
例
逆命题：如果三角形两腰上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形.
第一讲
几何证明
命题 可以判断正误的陈述句
滚出去！ 站起来.
命题的组成
如果两条直线互相平行， 那么这两条直线被第三条直线所截得的内错角相等.
如果一个人骑着白马，那么他一定是唐僧。
对顶角相等.
逆命题
原命题： 如果两条直线互相平行， 那么这两条直线被第三条直线所截得的内错角相等.
逆命题： 如果两条直线被第三条直线所截得的内错角相等， 那么这两条直线互相平行.
l
例 6
例 6
例 6
例 7
例 7
例 8
练 习 1
练 习 2
练 习 3练 习 4练 习 5练 习 6
对顶角相等.
相等的角是对顶角.
如果一个人骑着白马，那么他一定是唐僧。
如果一个人是唐僧，那么他骑着白马。
例 1
例 1
例 2
例 2
如果一个四边形有三个角是直角，那么这个四边形是矩形.
如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
如果两个数都是无理数，那么他们的积是无理数.
例 3
例 3
例 4
5
逆命题：两直线平行，内错角相等. 逆命题：等角对等边.
逆命题：如果两条直线被第三条直线所截得的同旁内角的角平分线互相垂直，那么这两条直线平行. 逆命题：如果 a+b 为奇数，那么a，b两数一奇一偶.
沪教版(上海)八年级上册数学 第十九章 几何证明 全章复习 教案
第十九章几何证明全章复习教案【学习目标】1.理解命题、逆命题、定理、逆定理等的含义；2.掌握证明真命题正确性的方法步骤，会举反例说明假命题的错误；掌握证明线段相等角度相等的基本方法和思路；3.理解轨迹的定义，掌握三种基本轨迹；4.能判断直角三角形全等，能应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、几何证明1．命题和证明（1）命题定义：判断一件事情的句子.判断为正确的命题，叫做真命题；判断为错误的命题，叫做假命题.（2）演绎证明（简称证明）从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程. 要点诠释：命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论.2.公理和定理（1）公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据.（2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并能进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.3.逆命题与逆定理（1）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，则这两个命题叫互逆命题. 其中一个命题叫原命题；另一个命题叫它的逆命题.（2）如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，则这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理.4.证明真命题的一般步骤（1）理解题意，分清命题的条件（已知）、结论（求证）（2）根据题意，画出图形，并在图中标出必要的字母或符号（3）结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”（4）分析题意，探索证明思路（由“因”导“果”，执“果”索“因”）（5）依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰的写出证明过程（6）检查表达过程是否正确、完善要点诠释：（1）一个命题（定理）的逆命题（逆定理）并不是唯一的，这是因为一个命题的题设中可能有两个或多个条件，结论也可能不止一个；（2）逆命题的真假与原命题的真假没有关系.要点二、线段的垂直平分线和角的平分线1.线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的定义垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.（2）线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.如图：∵MN 垂直平分线段AB ∴PA=PB（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：线段的垂直平分线定理与逆定理往往与边相等、角相等的证明密切相关，它提供了证明边、角相等 的又一种重要的方法，在以后的学习中还会与直角三角形、角平分线、勾股定理等连在一起综合应用.2.角的平分线（1）角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.（2）角的平分线有下面的性质定理：①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.如图：∵OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD=PE.3.垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.MN BA P AB O D E P要点诠释：（1）当题目中的条件涉及到角平分线上的点与角的两边的垂直关系时，利用角的平分线性质可直接得到垂线段相等，而不必用全等三角形来证，但是在书写过程中，不要漏掉垂直关系；（2）已知角的平分线，有两种常用的添加辅助线的方法：一是把角沿着角平分线翻折，在这个角的两边截取相等线段，从而创设两个全等的三角形；二是过角平分线上的点向角两边做垂线段，利用角平分线的性质定理及其逆定理来解题.要点三、轨迹1.轨迹的定义把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.要点诠释：轨迹定义包含以下两层含义：其一、轨迹图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件（也称图形的纯粹性）；其二、轨迹图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上（也称图形的完备性）；所谓轨迹问题的证明就是用论证的方法证明得到的轨迹符合上述两层含义.2.三条基本轨迹轨迹1：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；轨迹2：到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；轨迹3：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、以定长为半径的圆.3.交轨法作图利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法.如果要求作的点（图形）同时要满足两个条件时，我们通常先作出满足条件A的轨迹，然后再作出满足条件B的轨迹，两轨迹的交点则同时满足条件A和条件B.交轨法是常用的作图方法，我们在利用尺规作三角形、线段的垂直平分线、角平分线时，都运用了交轨法.要点诠释：“尺规作图”是指限用无刻度直尺和圆规来作几何图形，基本的尺规作图有如下几种：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）经过一点作已知直线的垂线；（5）作线段的垂直平分线.要点四、直角三角形1. 直角三角形全等的判定（1）直角三角形全等一般判定定理：直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS)（2）直角三角形全等的HL判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：HL）综上：直角三角形全等的判定方法有SAS 、ASA 、SSS 、AAS 、HL.2.直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.3.勾股定理定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；勾股定理证明思路：面积分割法（勾股定理逆定理证明思路：三角形全等）勾股数组：如果正整数c b a 、、满足222c b a =+，那么c b a 、、叫做勾股数组，常见的勾股数组有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17.4.两点之间的距离公式如果直角坐标平面内有两点()()2211,,y x B y x A 、，那么A 、B 两点的距离为： ()()221221y y x x AB -+-=.两种特殊情况：（1）在直角坐标平面内，x 轴或平行于x 轴的直线上的两点()()y x B y x A ,,21、的距离为： ()()()212212221x x x x y y x x AB -=-=-+-=（2）在直角坐标平面内，y 轴或平行于y 轴的直线上的两点()()21,,y x B y x A 、的距离为： ()()()212212212y y y y y y x x AB -=-=-+-=要点诠释：几何证明的分析思路：（1）从结论出发，即：根据所要证明的结论→去寻找条件.例如：要证线段相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到线段相等；②角相等，然后利用等角对等边（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用线段的垂直平分线定理或角平分线定理来得出结论；要证角相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到角相等；②线段相等，然后利用等边对等角（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用角平分线逆定理来得出结论；要证垂直，则需先证：①两条直线所夹的角为90°；②先证等腰三角形，然后利用“三线合一”来得出结论（前提：在同一个三角形中）；要证三角形全等，则需先要从已知找条件，看要判定全等还却什么条件，然后再去寻找.（2）从已知出发，即：根据所给条件、利用相关定理→直接可得的结论.例如：已知线段的垂直平分线→线段相等；已知角平分线→到角的两边距离相等或角相等；已知直线平行→角相等；已知边相等→角相等（前提：在同一三角形中）.【典型例题】类型一、命题与证明例题1.下列语句不是命题的是（）A、两点之间线段最短B、不平行的两条直线有一个交点C、x与y的和等于0吗？D、对顶角不相等。
沪教版(五四制)八年级数学上册 第十九章几何证明提高讲义【无答案】
几何证明提高学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长【本讲内容】通过“倍长中线”、“截长补短”、“图形旋转”等添加辅助线的方法，构造全等三角形，实现边与角的转化及转移，最终得到证明结果。
【重点难点】添加合适的辅助线，解决证明问题知识梳理1.倍长中线法几何是初中数学的重要组成部分，在中考中占有相当的比例，在证明举例中，主要学习了以下几种题型：题型一：证明两条线段相等；（等腰三角形，三角形全等） 题型二：证明两线平行；（利用两条直线平行的判定定理） 题型三：证明两线垂直（证明角90度）；题型四：证明两角相等（等腰三角形，三角形全等）； 题型五：证明线段或角的和差倍；有一部分题目，只要应用我们的一些定理公理即可证明，但有部分题需要做出辅助线才能完成。
有的时候，做不出恰当的辅助线，或者做不出辅助线，就没有办法完成该题的解答。
为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手，现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。
倍长中线法：1.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。
2.若点C 是线段AB 的中点，则：① 从线段来看：12AC BC AB ==；② 从点与点的相对位置来看：点C 在点A B 、之间，且点A B 、关于点C 对称。
3.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。
① 一个三角形有三条中线； ② 每条中线平分三角形的面积；③ 三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成1:2的两段；④ 三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。
如何延长三角形的中线 1.延长1倍的中线：如图，线段AD 是ABC ∆的中线，延长线段AD 至E ，使DE AD =（即延长1倍的中线），再连接BE CE 、。
①总的来说，就可以得到一个平行四边形ABCD 和两对（中心选转型）全等三角形ABD ECD ∆≅∆、ACD EBD ∆≅∆，且每对全等三角形都关于点D 中心对称；②详细地说，就是可以转移角：BAD CED ∠=∠，CAD BED ∠=∠，ABD ECD ∠=∠，ACD EBD ∠=∠，ADB ECD ∠=∠，ADC EDB ∠=∠；可以移边：AB EC =，AC EB =；可以构造平行线：AB ∥EC ，AC ∥EB ；可以构造边长与AB 、AC 、AD 有关的三角形：ABE ∆、ACE ∆。
几何证明(4个概念2个性质3个判定2个定理2个应用2种思想方法1个轨迹)八年级数学上册沪教版
2 个性质3个判定
考点05 线段的垂直平分线
7.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
(D )
8.已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
(2)区别：定义、公理、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其
他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据；而命题不一定是真
命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据．
考点04 互逆定理
6. [2022·江苏无锡宜兴市二模]下列命题的逆命题成立的是
①同旁内角互补，两直线平行
①④ .
②等边三角形是锐角三角形
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中，
∵QA=QB，QC=QC，
∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.
∴AC=BC.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能根据分析
中后一种添加辅
助线的方法，写
出它的证明过程
吗？
考点06 角 平 分 线
AB=CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.
15.如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，
AB=DC，BE=CF.试判断AB与CD的位置关系，并证明.
A
解：AB//CD，理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°
B
F
∵在Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上海教材八年级第十九章 几何证明知识整理
一、知识梳理：
重要定理：
★线段的垂直平分线
定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
如图：
∵ MN 垂直平分线段 AB ∴ PA=PB
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。
如图：
∵ PA=PB
∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上
★角平分线
定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
如图： D
∵ OP 平分∠ AOB
PD ⊥ OA ， PE ⊥OB
∴ PD=PE
O
M
P
A B
N
A
P
E
B
逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
如图：
∵ PD=PE
PD ⊥ OA ， PE ⊥OB ∴ OP 平分∠ AOB
★基本轨迹
轨迹 1：和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。
轨迹 2：在一个角的内部 （包括顶点） 且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。
轨迹 3：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆。
★直角三角形的全等判定
直角三角形的全等： 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等， 那么这两个直角三角形全等。
（ H.L ）
★直角三角形的性质及判定
定理 1：直角三角形的两个锐角互余。
A
如图：
∵∠ C=90°
∴∠ A+ ∠ B=90 °
C
B
A
定理 2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
如图：∵∠ ACB=90°，
D
且点 D 是AB 的中点
∴ CD
1
AB （ CD=AD=BD ，或 AB=2CD ）
C
B
2
1
A
推论 1：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
如图：
∵∠ C=90°，∠ A=30° ∴ BC
1
AB
2
C
B
推论 2：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半一，那么这条直角边所对的角等于 30°。
如图：
∵∠ C=90°， BC 1
AB
∴∠ A=30°
2
A
★勾股定理及逆定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。
c
如图：
∵∠ C=90°，
b
∴AC 2
BC 2
AB 2
（ a
2
b 2
c
2
） C a
B
勾股定理逆定理： 如果三角形的一条边的平方等于其他两边的平方和， 那么这个三角形是直
角三角形。
如图：
∵AC 2
BC 2 AB 2 ，
∴⊿ ABC 是 RT ⊿，且∠ C=90°
★两点之间的距离公式：
若 A （ x 1， y 1 ）B （ x 2 ， y 2 ），则 AB=
( x 1 x 2 )2 ( y 1
y 2 ) 2
二、基础训练
命题
1、等腰三角形的底角相等的逆命题是
2、下列说法正确的是（ ）
A 、每个定理都有逆定理
B 、真命题的逆命题是真命题
C 、假命题的逆命题是假命题
D 、每个命题都有逆命题
轨迹
1、到定点 A 的距离为 4cm 的点的轨迹是 。
2、经过点 P 、 Q 的圆的圆心轨迹是。
（怎样画）
3、到∠ AOB 的两边距离相等的点的轨迹是。
（怎样画）
A
线段的垂直平分线
E
1、已知，在⊿ ABC 中，AB=AC ，DE 是 AC 边的垂直平分线， AB=8cn ，BC=6cm ， D
则⊿ BCD 的周长是 。
2、已知，在⊿ ABC 中， AB=AC ，DE 是 AC 边的垂直平分线， AB=16cm ，且 C
⊿BCD 的周长是 30cm ， BC=。
B
2
3、已知，在⊿ ABC 中，AB=AC ，DE 是 AC 边的垂直平分线， ∠ A=30°，则∠ BCD=
度。
角平分线
A
1、如图，在 RT ⊿ ABC 中，∠ B=90°， AD 平分∠ BAC ，若 AC=8，BD=3， 则⊿ ADC 的面积为 。
直角三角形有关内容
B
C
1、在 RT ⊿ ABC 中，∠ A=90°，∠ B=35°，则∠ C=
D
度。
2、直角三角形中斜边上的中线和高分别为
8cm 、 5cm ，则面积为。
3、直角三角形中，如果斜边和斜边上的中线的和为 24cm ，则斜边长为。
4、在 RT ⊿ ABC 中，∠ A=90°， BC=8，AC=4，则∠ C=
度。
5、直角三角形中两直角边的长分别为
5、 12，那么斜边上的中线为。
6、在 RT ⊿ ABC 中，∠ ACB=90°， CD ⊥AB ，∠ ACD=30°，
C
若 AD=4cm ，则 AB=
cm 。
B
D
A
7、如果等腰三角形底边上的中线等于腰长的一半， 那么这个等腰三角形的顶角为 度，
底角为 度。
8、如果等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，
那么这个等腰三角形的顶角为 度，底
角为
度。
9、已知两点 A( 2 , 3) , B(1, 1) ，则 AB=。
10、已知，在⊿ ABC 中， AB=20， AC=15， BC 边上的高
AD=12， BC 的长是
三、解答题
1、在直角坐标平面内，点
A 坐标为 (1,3) ，点
B 坐标为 ( 2,2) ，点
C 坐标为 (0, 4) ，
1）判断⊿ ABC 的形状，并说明理由； 2）求 BC 边上中线的长。
2、已知 A 、B 两点的坐标分别为
(1,2) , (4,1) ，在 x 轴上找一点 C ，使得∠ ACB=9 0°，求点
C 的坐标。
3
3、如图，已知⊿ ABC 中，∠ C=90 °， D 是 BC 上一点， AB=17 ，AD=10 ， BD=9 ，求 AC 的长。
A
C
B
D
4、已知：如图，在⊿ABC 中，∠ B=60 °， AB=2BC ，
求证：∠ C=90°
A
B
C
5、如图，已知AG⊥BD， AC⊥BG， E 是 AB 的中点， F 是 CD 的中点，则EF⊥ CD，请
说明理由。
G
F C
D
A E B
4。