二项式定理二项式定理的应用教案
二项式定理的应用教案人教版
针对以上难点，教师应采取以下教学方法：
（1）通过具体实例讲解二项式定理的定义和通项公式，让学生在实际问题中体会二项式定理的应用。
（2）通过 step-by-step 的讲解，让学生理解二项式定理的证明过程，尤其是数学归纳法的证明过程。
4. 数据分析：学生能够从实际问题中收集和处理数据，运用二项式定理对数据进行分析，从而得出结论。
在教学过程中，我将注重引导学生参与课堂讨论，鼓励他们提出自己的观点和思路，培养学生的批判性思维和问题解决能力。同时，通过解决实际问题，提高学生的创新意识和实践能力，使他们在数学学习中获得持续发展的能力。
教学难点与重点
回顾旧知：
简要回顾上节课学习的整式乘法、因式分解等内容，帮助学生建立知识之间的联系。
提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为二项式定理新课学习打下基础。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解二项式定理的定义、通项公式及展开式，结合实例帮助学生理解。
突出二项式定理的重点，强调二项式定理的难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。
肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的二项式定理内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
知识点梳理
1. 二项式定理的定义与通项公式
- 二项式定理的定义：$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$
当堂检测：
1. 请简述二项式定理的定义和通项公式。
2. 请解释二项式定理的展开式，并给出一个具体的例子。
高中数学《二项式定理》教案
二项式定理教案
（一）教学目标
1．知识与技能：掌握二项式定理①能根据组合思想及不完全归纳，得出二项式定理和二项展开式的通项。
②能正确区分二项式系数和某一项的系数。
③能正确利用二项式定理对任意给定的一个二项式进行展开，并求出它的特定项。
2．过程与方法：通过定理的发现推导提高学生的观察，比较，分析，概括等能力。
（二）教学重点与难点
重点：二项式定理的发现，理解和初步应用。
难点：二项式定理的发现。
（三）教学方法
启发诱导，师生互动
（四）教学过程。
二项式定理的理解和应用教案
二项式定理的理解和应用教案一、引言二项式定理是数学中重要的一条公式，它在代数、组合数学等领域具有广泛的应用。
本教案将带领学生深入理解二项式定理，并通过实例展示其实际应用。
二、二项式定理的概念1. 二项式的定义：二项式是具有形式 (a + b)^n 的代数表达式，其中a 和b 是实数，n 是一个非负整数。
2. 二项式定理的表述：对于任意非负整数 n，有以下等式成立：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k) 表示从 n 个元素中选择 k 个元素的组合数。
三、二项式定理的理解1. 二项式展开：通过二项式定理，可以将一个二项式展开为一组系数和幂次的组合。
2. 组合数的计算：组合数 C(n, k) 表示从 n 个元素中选择 k 个元素的方法数，可以通过杨辉三角、公式或递推方式计算。
四、二项式定理的应用1. 二项式定理在代数中的应用：a. 多项式展开：利用二项式定理，可以将多项式展开为一组系数和幂次的组合。
b. 多项式系数的求解：二项式定理中的系数可以用于求解特定幂次下的项数。
c. 方程求解：通过二项式定理，可以解决一些特定形式的方程。
2. 二项式定理在组合数学中的应用：a. 计算组合数：利用二项式定理中的组合数公式，可以高效地计算组合数，解决组合问题。
b. 概率计算：通过计算组合数，可以计算出概率问题中的可能性。
3. 二项式定理在实际问题中的应用：a. 统计学中的二项分布：二项式定理可以用来解决二项式分布问题，从而对一些离散事件进行概率计算。
b. 工程中的二项式展开：通过二项式定理，可以将一些工程问题转化为代数问题，从而求解最优解。
五、教学活动设计1. 概念讲解与举例：通过讲解二项式定理的定义和表述，并结合简单的例子来帮助学生理解。
2. 练习与讨论：提供一些二项式展开的例题，让学生尝试自行展开并与同学讨论答案，加深对二项式定理的理解。
《二项式定理应用》教案
《二项式定理应用》教案
教学目标：
1、知识与技能：能根据展开式的形式特点，归纳总结出系数和的求法
会应用求系数和的方法解决问题
2、过程与方法：通过对方法的发现提高学生的观察、分析、比较、概括等能力
3、情感、态度与价值观：
培养学生认真审题、缜密思考、自主探索、勤于动手、合作交流的学习习惯.
适当运用激励、幽默的教学语言激发学生学习数学的兴趣，增强学生学好数学的信心教学重点：二项式定理中的求和问题
教学难点：理解求不同系数和的方法
教学方法：引导学生由二项式展开形式，观察、启发、探究相结合的教学方法，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对二项式定理
的全面理解。
二项式定理的应用导学案
二项式定理的应用导学案一、知识背景1.二项式定理二项式定理又叫做牛顿定理，是代数中的一个基本公式。
它描述的是一个二次幂的多项式被展开后各项系数的规律。
当幂为自然数时，用二项式定理展开后可以帮助我们方便地计算出原式的各项系数。
2.二项式定理的公式(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k其中，C_n^k是组合数，表示从n个不同元素中取k个元素的不同组合数数目。
3.二项式定理的应用二项式定理最常见的应用是展开幂函数。
在实际应用中，展开幂函数可以简化数学计算，简化问题的形式。
同时，二项式定理也是概率与统计学科中重要的基础知识，通过计算组合数的计算，可以推导出诸多与随机现象相关的公式。
二、应用导学1.现实应用\mathcal{Case\ Study}小云生病了，医生建议她吃一种辅助药。
这种辅助药有两种口味，分别是橙子味和柠檬味，分别标志为O和L。
医生建议小云每天至少吃7粒此类药，而且每天要至少吃3粒橙子味药，另外，为了保持口味新鲜，每天两种药至少要吃一种。
问题是：小云要吃完所有这种辅助药，一共要多少种方案呢？\mathcal{Solution}按照题目中要求的计算，首先给出小云每天至少吃7粒药的方案数：(O+L)^7=C_7^0O^7C_7^1O^6L+C_7^1O^6L^1C_7^1O^6L+C_7^2O^ 5L^2+C_7^3O^4L^3+C_7^4O^3L^4+C_7^5O^2L^5+C_7^6O^1L^6+ C_7^7L^7因为每天要至少吃3粒橙子味药，所以从上述式子中减去：“一天不吃橙子味药”和“一天只吃1粒橙子味药”的方案数：(O+L)^7-[\sum\limits_{i=0}^1C_7^iL^{7-i}+(O+L)^6]再从上述式子中减去“每天都只吃柠檬味药”的方案数：(O+L)^7-[\sum\limits_{i=0}^1C_7^iL^{7-i}+(O+L)^6]+1最后，因为每天两种药至少要吃一种，所以要减去“一天只吃柠檬味药”和“一天只吃橙子味药”的方案数：(O+L)^7-[\sum\limits_{i=0}^1C_7^iL^{7-i}+(O+L)^6]+1-\sum\limits_{i= 0}^1C_6^i(O+L)^5将计算结果带入计算器，得到总方案数为14006种。
二项式定理 教案
二项式定理教案教案标题：二项式定理的引入与应用教案目标：1. 引导学生了解二项式定理的概念和公式；2. 帮助学生理解二项式定理的证明过程；3. 培养学生运用二项式定理解决实际问题的能力。
教案步骤：引入：1. 引导学生回顾多项式的定义和展开；2. 提问：你们是否遇到过类似于(a+b)²的表达式？这个表达式有什么特点？探究：1. 解释二项式定理的概念和公式：(a+b)ⁿ = C(n,0)aⁿb⁰ + C(n,1)aⁿ⁻¹b¹ +C(n,2)aⁿ⁻²b² + ... + C(n,n)a⁰bⁿ；2. 通过具体例子展示二项式定理的应用，如展开(a+b)³和(a+b)⁴，并与学生一起推导出展开式；3. 引导学生思考二项式定理的证明过程，帮助他们理解组合数学中的概念。
巩固与应用：1. 给学生一些练习题，要求他们利用二项式定理展开给定的表达式；2. 提供一些实际问题，要求学生运用二项式定理解决，如计算某个数的平方、立方等；3. 鼓励学生思考二项式定理在数学和其他学科中的应用，如概率论、统计学等。
总结：1. 概括二项式定理的概念和公式；2. 强调二项式定理在数学中的重要性和应用价值；3. 鼓励学生继续深入学习数学知识，拓展应用领域。
教案评估：1. 观察学生在课堂上的参与度和理解程度；2. 收集学生完成的练习题和解决实际问题的答案，评估他们对二项式定理的掌握程度；3. 针对学生的表现，提供个别辅导和反馈，帮助他们进一步提升。
教学资源：1. 板书或投影仪展示二项式定理的公式和例子；2. 练习题和实际问题的工作纸；3. 教材和参考书籍。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习更高阶的二项式定理，如帕斯卡三角形和二项式系数的性质；2. 引导学生研究二项式定理的证明过程，拓展他们的数学思维和推理能力；3. 鼓励学生将二项式定理应用于更复杂的数学问题和实际情境中，培养他们的创新思维和问题解决能力。
高三数学教案《二项式定理》四篇
高三数学教案《二项式定理》四篇教学过程篇一1.情景设置问题1：若今天是星期二，再过30天后的那一天是星期几？怎么算？预期回答：星期四，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少？问题2：若今天是星期二，再过810天后的那一天是星期几？问题3：若今天是星期二，再过天后是星期几？怎么算？预期回答：将问题转化为求“被7除后算余数”是多少？在初中，我们已经学过了(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3（提问）：对于(a+b)4，(a+b)5如何展开？（利用多项式乘法）（再提问）：（a+b)100又怎么办？(a+b)n(n?N+）呢？我们知道，事物之间或多或少存在着规律。
也就是研究（a+b)n(n?N+）的展开式是什么？这就是本节课要学的内容。
这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性。
学完本课后，此题就不难求解了。
（设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。
奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。
）2.新授第一步：让学生展开；问题1：以的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂、另一字母升幂排列，且两个字母幂指数的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1;③展开式中第二项的系数等于乘方指数。
第二步：继续设疑如何展开以及呢？（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。
）继续新授师：为了寻找规律，我们以中为例问题1：以项为例，有几种情况相乘均可得到项？这里的字母各来自哪个括号？问题2：既然以上的字母分别来自4个不同的括号，项的系数你能用组合数来表示吗？问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？（预期答案：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是、一个是。
二项式定理的应用 教案
二项式定理的应用一、概述二项式定理是人教版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-3的第二章的课程内容，共包含两个课时。
“二项式定理的应用”是在前面学习的二项式定理的基础上对涉及二项式定理的相关题目进行解题训练和研究的课题。
二、教学目标分析1.知识与技能（1）能熟练的运用二项式定理进行解题；（2）能准确熟练的运动二项式定理的通项进行解题；（3）熟练掌握二项式定理的相关性质。
2.过程与方法（1）引导学生通过观察、分析、归纳，自主总结出二项式定理的相关性质；（2）通过习题的训练使学生能熟练的运用二项式定理的性质及二项式的通项解决相应的问题；（3）通过观察法使学生了解到从简单到复杂，由特殊到一般的学习过程，也使学生学会通过自身的观察来分析问题、解决问题，进而找出规律。
3.情感态度与价值观(1)使学生了解到学习数学的科学性及解题的技巧；(2)使学生学会分析问题的方法和思路。
三、学习者特征分析在前面学习了二项式定理及其通项之后，同学们对二项式定理及其通项有了一定的了解，也有了一定的分析方向，二项式定理及其通项的运用相对来说比较简单，只要掌握了一定的方法之后运用二项式定理及其通项解答相关题目还是比较容易的。
四、教学策略选择与设计(1)回顾阶段：首先对前面学习过的二项式定理及其通项的相关性质进行回顾，包括二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数。
（2）引入阶段：对前面学习的内容进行了复习之后，先给出一些简单的二项式让学生进行展开，然后归纳总结二项式定理可能会考到的习题目类型。
（3）运用阶段：在熟练掌握二项式定理及其通项的基础上，针对不同类型的题目进行针对性的训练，进行的方式采用：老师讲解一个题目，然后学生自己做类似的3个题目。
（4）巩固阶段：课程结束后，布置一些相关的作业，让学生对课堂上所学的知识、方法和技巧进行复习和巩固。
五、教学资源与工具设计人教版《普通高中课程标准实验教科书》选修2-3教材、多媒体教室黑板。
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排列、组合、二项式定理·二项式定理的应用·教案教学目标1.利用二项式定理及二项式系数的性质解决某些关于组合数的恒等式的证明；近似计算;求余数或证明某些整除或余数的问题等.2.渗透类比与联想的思想方法，能运用这个思想处理问题.3.培养学生运算能力，分析能力和综合能力．教学重点与难点数学是一门工具,学数学的目的就是为了应用.怎样建立起要解决的问题与数学知识之间的联系（如一个近似计算问题与二项式定理有没有联系,怎样联系),是这节课的难点，也是重点所在．教学过程设计师：我们已经学习了二项式定理及二项式系数，请大家用6分时间完成以下三道题:(1)在（1-ｘ3)（１+x)１０的展开式中,ｘ5的系数是多少?（2）求（1＋x-x2）6展开式中含x5的项．（全体学生参加笔试练习)６分钟后，用投影仪公布以上三题的解答:（1)原式=(1+ｘ)10-x3(1＋ｘ）10,可知x５的系数是（1＋x）（2)原式=[1+(x－ｘ２）]６=1＋6（ｘ-x2)+1５（ｘ-x2)2+20（x-x2)３+1５（x-ｘ2）4+６（x-x2）5＋(x-x２）６.其中含x5的项为：２0·3x5＋15(-4）ｘ5+6ｘ5=6x5.师：解（1）,（2)两题运用了变换和化归思想，第(2)题把三项式化为二项式，创造了使用二项式定理的条件．第（3）题的解法是根据恒等式的概念，a,b取任何数时，等式都成立．根据习题结构特征选择a，b的取值.这种用概念解题的思想经常使用.下面我们看二项式定理的一些应用．师:请同学们想一想，例１怎样解？生甲:从结构上观察,则与练习的第(3)题有相似之处,只是组合数的系数成等比数列,是否根据二项式定理令a=１，b＝3，即可得到证明.师:请同学们根据生甲所讲，写出证明．（找一位同学板演)证明：在（ａ+b)ｎ的展开式中令a=１,b=3得:师：显然，适当选取ａ,b之值是解这一类题的关键,再看练习题.练习生乙:这题与例1类比有共同点，仍是组合数的运算，不同点是缺我考虑如能用二项式定理解,应对原题做以下变换:师：分析得很透彻.这种敢想、会想精神是每位同学都要培养的.首先是敢字，不要一见题目有些生疏就采取放弃态度；要敢于分析，才能善于分析,将来才敢于创新,善于创新.请大家把解题过程写在笔记本上.(教师请一名同学板演)在（a+b)6的展开式中令ａ＝1，b=3,得师：解题过程从“在(a+b)6的展开式中令ａ=1,b=3”写起就可以了.希望同学们再接再励，完成下个练习.练习师:大家议论一下，这道题能用二项式定理来解吗?生丙：初步观察，与上节课我们学刁的:“在(a+b)n的展开式解决．我们注意到组合数代数和的值为余弦值或正弦值,又注意到正项…)或ｒ=4ｍ+1(m=0,1,2,…)，负项出现在ｒ=4ｍ+2（ｍ=０，1，2，…）或r ＝4ｍ+3(m=0,1,2,…)，而虚数单位i有以下性质：i4m＝1，ｉ4m+1＝ｉ,i4m+2=-1,i4m+３＝－i（m∈Z)．于是想在（ａ+ｂ）ｎ的展开式中令ａ=1,b＝i.师：分析得有道理，请同学们按生丙同学的意见进行演算．(教师找一位同学板演）证明:设i是虚数单位,在（a+ｂ)n的展开式中令a=1,ｂ=ｉ中得:另一方面,又有由此得到根据复数相等定义，有师：认真分析习题的结构，运用类比与联想的思想方法，可以帮助我们找到解题的思路，下面我们研究二项式定理在数字计算方面的应用．例2 计算:1．9975（精确到０．001）.生丁:这道题若用二项式定理计算，必须把1．９97看作1+0.997,这样,1.９97５=（１+0.997)5.师:计算简单吗？生戊：把1.９９75化为(2-0．0０3）5，再展开,由于精确到0.0０1,不必各项都计算.师:按生戊所谈的方法，大家在自己的笔记本上计算一下．(教师找一位同学板演）解:1.9９7５＝（２-0.０03）5＝２5-５×24×０.003+１0×23×0.0０32-10×22×０.003＋…由于|T6|<|T5|<|T4｜≈1．０8×１0-6，则｜T4|＋T5＋Ｔ6|＜０.000０04.所以1．99７5≈32-0．24＋0.000 7２≈３1.７61.师:1９９6年全国高考有这样一道应用题：(用投影仪示出，老师读题)某地现有耕地1００0０公顷,规划１0年后粮食单产比现在增加２2%,人均粮食占有量比现在提高10％.如果人口年增长率为1％,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷)?稍候，教师问：谁想出解法了,请讲一讲.生己:设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷,耕地平均每年至多只能减少x公顷．十年后耕地亩数：104－10x,十年后总产量：M×（1＋２2%）(104-1０ｘ)．十年后人口:P×(1+１％)10，依题意可以得到不等式师：实际计算时,会遇到(1+0．０1）10的计算问题，请全体同学在笔记本上迅速计算出来．（教师请一同学板演)师：真迅速啊！请同学们课下把这道高考题完成．(答案:按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷)现在，我们再讨论一个新的问题.例３如果今天是星期一，那么对于任意自然数n,经过23n+3＋７n＋5天后的那一天是星期几？生庚:先将此题转化为数学问题,即本题实际上寻求对于任意自然数n,2３ｎ+3+7ｎ＋5被7除的余数.受近似计算题目启发,23n+3=8n+1=（7＋1)ｎ+1,这样可以运用数，７ｎ也是7的倍数，最后余数是1加上5,是６了.师：请同学们在笔记本上完成此题的解答(教师请一名同学板演）解：由于２3n+３+7n＋5＝8n+１＋7n＋5＝(7+1）ｎ＋１+7n+５则 23ｎ+3+7ｎ+５被7除所得余数为6所以对于任意自然数ｎ，经过23n+3＋7ｎ＋5后的一天是星期日.师:请每位同学在笔记本上完成这样一个习题：777７-1能被１9整除吗？（教师在教室内巡视，3分钟后找学生到黑板板演)解：7７77-１=(7６＋1)77由于76能被1９整除,因此7777－1能被1９整除.师：请生辛谈谈他怎样想到这个解法的？生辛:这是个幂的计算问题,可以用二项式定理解决.如果把777７改成(１9+58)７7，显然展开式中最后一项5877仍然不易判断是否能被19整除，于是我想到若7７７7-1能被38,或能被57，或能被76,或能被９5整除,必能被1９整除，而76与7７只差1,故欲证７777-1被19整除，只需证(76+1）77被76整除．得到了以上的解法.师:二项式定理解决的是乘方运算问题，因此幂的问题可以考虑二项式定理．下面我们解一些综合运用的习题例4 求证：３n＞２n-1（n+2）（n∈N，且n≥２)．师:仍然由同学先谈谈自己的想法．生壬:我觉得这道题仍可以用二项式定理解,为了把左式与右式发生联系，将3换成2+1．注意到:① 2n＋n·2n-１＝2n-1（2＋n）=2ｎ－1（n＋2);② n≥2,右式至少三项；这样,可以得到3ｎ＞2n-１（n+2)(n∈Ｎ，且n≥2）.生癸:根据题设条件有n∈N,且ｎ≥２.用数学归纳法应当可以证明．师：由于观察习题时思维起点不同,得到了习题不同解法,生×同学从乘方运算这点考虑，想到二项式定理,生×同学从题设条件n∈Ｎ考虑,想到数学归纳法.大家要养成习惯,每遇一题，从不同角度观察思考，得到更多解法，使我们思考问题更全面．用二项式定理证明,生×同学已经讲清楚了证明过程,大家课下在笔记本上整理好，现在请同学们在笔记本上完成数学归纳法的证明.（教师请一名同学板演）证明：①当n=2时，左式＝3２=9，右式=２2－1（2+2）＝２×4=8,显然9＞8.故不等式成立.②假设n=k(ｋ∈N且ｋ≥2）时，不等式成立,即3k＞2k-1(ｋ＋2），则当n=k+1时,由于左式=3k+1=3·3ｋ>3·２k－1（k＋2)＝3ｋ·2ｋ-1+3·2k．右式=2(k+１)-1［(k＋1)+2］＝2k(ｋ+３）＝ｋ·2k＋３·2k,则左式-右式=（3k·２k-1＋3·2ｋ)-(k·2k+3·２ｋ）＝3k·2k-１－2ｋ·2k－1=k·2k-１＞0．所以左式>有式.故当n=k+１时，不等式也成立.由①,②不等式对n≥２，ｎ∈N都成立．师:为了培养综合能力,同学们在笔记本再演算一道习题：设n∈N且n＞1，求证：（证明过程中可以运用公式：对n个正数a1,a2，…,aｎ，总有(教师在教室巡视，过２分钟找一名同学到黑板板演第(1）小题,再过3分钟找另一名同学板演第(2)小题)师：哪位同学谈一谈此题应怎样分析？生寅:第(1)小题左式与右式没有直接联系,应把它们分别转化，列前n项的和，由求和公式也能得到2n-１．因此得到证明.第（2）小题左式与右式也没有直接联系.根据题目给出的公式要师:根据式子的结构想有关知识和思考方法是分析问题的一种重要方法，要在解题实践中掌握．本节课讨论了二项式定理主要应用，包括组合数的计算、近似计算、整除和求余数的计算以及与其他数学知识的综合应用.当然,二项式定理的运用不止这些,凡是涉及到乘方运算(指数是自然数或转化为自然数）都可能用到二项式定理．认真分析习题的结构，类比、联想、转化是重要的找到解题途径的思考方法，希望引起同学们的重视．作业--1.课本习题：P25３习题三十一:6，７，10;2．课本习题:P２56复习参考题九：１5(2）.3.补充题:课堂教学设计说明1．开始练习起着承上启下的作用．这三题既复习了二项式定理及其性质，又考查了数学基本思想，如等价变换、未知转化已知,取特殊值，利于本节课进行，又培养了学生预习复习的学习习惯．2.只有学生自己动手、动脑、动口才能真正把知识学到手，才能培养思维能力、计算能力、表达能力、分析问题解决问题能力.因此课堂教学一定以学生为主体，体现主体参与．3.学生的回答不会像教案写的那样标准,教师要因势利导，帮助学生提高分析能力.--。