人教版高中数学《二项式定理》教学课件(全国一等奖)
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人教课标版《二项式定理》PPT精品课件1
1.5二项式定理
问题:
(ab)2和(ab)3
展开式中各有哪些项？各项系数 各是什么？
(a b)4
展开式中有哪些项？各项系数各 是什么？
问题
(a b)n
展开式中有哪些项？各项系数各 是什么？
(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b ) ＝a2＋2ab＋b2
an-rbr＋…＋
Cnnbn
二项式定理
(a＋b)n＝(a＋b) (a＋b) (a＋b) …… (a＋b)
＝C0nan＋C1n an-1b＋C2n an-2b2＋ C3nan-3b3＋…＋ C rnrnann--rrbrr＋…＋ Cnnbn
其右端的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式共有n+1项.
x
Tr＋1＝ C1r0 (3x2)10－r(－
1 x
)r
＝C
r 10
·
310－
r·
x20－ 2r·
(－1)r ·x－2r
＝
(－1)r ·
310－ r·Cr10
·
x20－
5r 2
令
20－
5r 2
＝0
∴r＝8 r∈N
∴ (3x2－1 )10 的展开式中第9项为常数项。
x
练习 Ｐ３２ ： １、２、３、 ４、５、６、
a2 ab ab b2 (a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b ) ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
C03a3 C13a2b C23ab2 C33 b3
共有四项
(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝C03 a3＋ C13a2b＋ C23ab2＋C33 b3
问题:
(ab)2和(ab)3
展开式中各有哪些项？各项系数 各是什么？
(a b)4
展开式中有哪些项？各项系数各 是什么？
问题
(a b)n
展开式中有哪些项？各项系数各 是什么？
(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b ) ＝a2＋2ab＋b2
an-rbr＋…＋
Cnnbn
二项式定理
(a＋b)n＝(a＋b) (a＋b) (a＋b) …… (a＋b)
＝C0nan＋C1n an-1b＋C2n an-2b2＋ C3nan-3b3＋…＋ C rnrnann--rrbrr＋…＋ Cnnbn
其右端的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式共有n+1项.
x
Tr＋1＝ C1r0 (3x2)10－r(－
1 x
)r
＝C
r 10
·
310－
r·
x20－ 2r·
(－1)r ·x－2r
＝
(－1)r ·
310－ r·Cr10
·
x20－
5r 2
令
20－
5r 2
＝0
∴r＝8 r∈N
∴ (3x2－1 )10 的展开式中第9项为常数项。
x
练习 Ｐ３２ ： １、２、３、 ４、５、６、
a2 ab ab b2 (a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b ) ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
C03a3 C13a2b C23ab2 C33 b3
共有四项
(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝C03 a3＋ C13a2b＋ C23ab2＋C33 b3
6.3.1 《二项式定理》课件ppt
2
2 6
C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +8 (2x ) ·(3 ) -C8
项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有
关.
微判断
(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(
)
答案 ×
解析 二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等,只有当a,b的系数
都为1时两者相等.
(2)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.(
答案 √
解析 (x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.
3
Tk+1=C ·( √ )n-k· -
1
2 3√
=
1
C ·( 3 )n-k·
1
1 - · 3
2
∵第 6 项为常数项,∴k=5,且 n-5×2=0,∴n=10.
10-2
1
(2)由(1)知 Tk+1= - 2 ·C10
· 3 .
10-2
令
=2,则 k=2.
3
2
1
1
45
2
因为含 x3 的项是展开式中的第 4 项,所以二项式系数为C93 =84.
探究三
利用二项式定理解决整除和余数问题
例3试判断7777-1能否被19整除.
思路分析由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定
理展开.
解 7777-1=(76+1)77-1
1
2
76
77
=7677+C77
2
2 6
C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +8 (2x ) ·(3 ) -C8
项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有
关.
微判断
(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(
)
答案 ×
解析 二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等,只有当a,b的系数
都为1时两者相等.
(2)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.(
答案 √
解析 (x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.
3
Tk+1=C ·( √ )n-k· -
1
2 3√
=
1
C ·( 3 )n-k·
1
1 - · 3
2
∵第 6 项为常数项,∴k=5,且 n-5×2=0,∴n=10.
10-2
1
(2)由(1)知 Tk+1= - 2 ·C10
· 3 .
10-2
令
=2,则 k=2.
3
2
1
1
45
2
因为含 x3 的项是展开式中的第 4 项,所以二项式系数为C93 =84.
探究三
利用二项式定理解决整除和余数问题
例3试判断7777-1能否被19整除.
思路分析由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定
理展开.
解 7777-1=(76+1)77-1
1
2
76
77
=7677+C77
2
高中数学《二项式定理》课件
03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法，尤其在证明二项式定理时， 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后，通过假设当$n=k$时二项式定 理成立，推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中，数学归纳法 首先证明基础步骤，即当$n=0$或 $n=1$时，二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式，从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式，其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算，可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)，即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中，二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中，二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外，二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程
人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
① 项： a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk
二项式定理一等奖完整ppt课件
在数学中的地位和作用
二项式定理是组合数学中的基本定理之一，它描述了两个向量的和的n次幂的展 开式。
在组合数学中，二项式定理被广泛应用于排列、组合、概率论等领域。同时，它 也是多项式定理的基础之一。
03
二项式定理的证明方法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 数学归纳法
数学归纳法是一种证明二项式定理的有效方法。首先，我们需要证明当n=1时，二项式定理成立。然 后，假设当n=k时，二项式定理成立，再证明当n=k+1时，二项式定理也成立。通过这个递推关系， 我们可以得出结论：当n为任意正整数时，二项式定理都成立。
二项式系数的应用
举例说明二项式系数在解决实际问题中的应用，如概率计算、统计 学等。
06
总结与展望
二项式定理的重要性和影响
重要的数学工具
二项式定理是数学中重要的工具 之一，在代数学、数论、组合数
学等学科中都有广泛的应用。
解决问题的关键
二项式定理可以解决一些经典的 数学问题，如组合问题、概率问 题等，为人们提供了重要的解题
思路和方法。
对其他学科的影响
二项式定理不仅在数学学科中有 重要的地位，还对其他学科如物 理学、工程学、计算机科学等产
生了深远的影响。
与其他数学分支的联系和相互渗透
01
与代数学的联系
二项式定理与代数学中的多项式理论密切相关，可以看作是多项式的一
种推广和应用。
02
与组合数学的相互渗透
二项式定理与组合数学有着密切的联系，它可以用来解决一些组合问题
数学归纳法的关键步骤是：第一步，证明基础情况（n=1）成立；第二步，假设归纳基础（n=k）成 立，并由此推断归纳步骤（n=k+1）成立。第三步，根据归纳步骤得出结论，证明二项式定理对所有 正整数n都成立。
6.3.1二项式定理PPT课件(人教版)
①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
反思 感悟
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底 数化成两数的和与差的情势，且这种转化情势与除数有密切 的关系.
跟踪训练4 (1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.
证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝11－－225n＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝31n＋C1n×31n－1＋…＋Cnn－1×31＋1－1＝31×(31n－1＋C1n×31n－2＋… ＋Cnn－1)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.
反思 感悟
求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所 谓 的 “ 双 通 法 ” 是 根 据 多 项 式 与 多 项 式 的 乘 法 法 则 得 到 (a ＋ bx)n(s＋tx)m 的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Cknan－k(bx)k·Crmsm－r(tx)r，再 依据题目中对指数的特殊要求，确定 r 与 k 所满足的条件，进而求 出 r，k 的取值情况.
跟踪训练 2
在2
x－
1
6
x
的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
解 第 3 项的二项式系数为 C26＝15，
又 T3＝C26(2
x)4－
1x2＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk＋1＝Ck6(2
x)6－k－
1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为
A.10
B.－10
√C.2
D.－2
二项式定理说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件
的展开式中含
x32的项的系数为
30，则
a＝
A. 3
B．－ 3
C．6
() D．－6
[解析] (2)∵Tr＋1＝Cr5(x2)5－r－x23r＝(－2)rCr5·x10－5r，由 10 －5r＝0，得 r＝2，∴T3＝(－2)2C25＝40.
(3)Tr＋1＝Cr5( x)5－r·－xar＝Cr5(－a)rx5－22r，由5－22r＝32，解 得 r＝1.由 C15(－a)＝30，得 a＝－6.故选 D.
[答案] C
突破点一
突破点二
课标达标检测
二项式定理 结 束
(2)(2016·安徽安庆二模)将x＋4x－43 展开后，常数项
是________．
[解析]
x＋4x－43＝
x－
2 6 x
展开式的通项是
Ck6
( x)6－k·－ 2xk＝(－2)k·Ck6( x)6－2k.
令 6－2k＝0，得 k＝3.
所以常数项是 C36(－2)3＝－160.
[答案] (2)C (3)D
突破点一
突破点二
课标达标检测
二项式定理 结 束
(4)
x－ 1 24
8 x
的展开式中的有理项共有________项．
[解析]
(4)
x－ 1 8 24 x
的展开式的通项为
Tr ＋ 1 ＝
Cr8·( x)8－r2－4 1xr＝－12rCr8x16－4 3r(r＝0,1,2，…，8)，为使
突破点一
突破点二
课标达标检测
二项式定理 结 束
[方法技巧] 求解形如(a＋b)n(c＋d)m 的展开式问题的思路
(1)若 n，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个， 如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
高中数学《二项式定理》说课获奖课件
(k∈{0,1,2, ‥· n})
Cnk： 二项式系数
(k∈{0,1,2, ‥· n})
引导学生对二项展开式的特点进
行分析，从而加深对二项式定理的理
解，形成知识体系。
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ‥·＋Cnnbn (n∈N*) 二项展开式的特点： (1)共有n+1项 (2)各项的次数都等于二项式的次数n (3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0 字母b按升幂排列，次数由0增加到n (4)二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2 ，… Cnk , … ,
类比(a+b)2 与 (a+b)3 ，你能否写出 (a+b)4 的展 开式呢？
那么
n (a+b) =？
巩固已有的思想方法，建 立猜想二项式定理的认知基础
在学生通过猜想得出二项式定理后，师
生共同对学生得出的知识进行完善，得出
二项式定理的内容。
二项式定理
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ห้องสมุดไป่ตู้·＋Cnnbn (n∈N*) 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnk an-kbk ：二项展开式的通项,记作Tk+1 Tk+1 =Cnk an-kbk
2 1 C C 恰有1个取b的情况有 2 种，则ab前的系数为 2
恰有2个取b的情况有 C
2 2 2 种，则b 前的系数为
C
2 2
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
Cnk： 二项式系数
(k∈{0,1,2, ‥· n})
引导学生对二项展开式的特点进
行分析，从而加深对二项式定理的理
解，形成知识体系。
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ‥·＋Cnnbn (n∈N*) 二项展开式的特点： (1)共有n+1项 (2)各项的次数都等于二项式的次数n (3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0 字母b按升幂排列，次数由0增加到n (4)二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2 ，… Cnk , … ,
类比(a+b)2 与 (a+b)3 ，你能否写出 (a+b)4 的展 开式呢？
那么
n (a+b) =？
巩固已有的思想方法，建 立猜想二项式定理的认知基础
在学生通过猜想得出二项式定理后，师
生共同对学生得出的知识进行完善，得出
二项式定理的内容。
二项式定理
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ห้องสมุดไป่ตู้·＋Cnnbn (n∈N*) 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnk an-kbk ：二项展开式的通项,记作Tk+1 Tk+1 =Cnk an-kbk
2 1 C C 恰有1个取b的情况有 2 种，则ab前的系数为 2
恰有2个取b的情况有 C
2 2 2 种，则b 前的系数为
C
2 2
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
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aa3b4 4个1个a3ab4
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a2b2 C462 个a2b2
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a4
a3b
a2b2
ab3
b4
C140 个a4 C441 个a3b C462 个a2b2 C443 个ab3 C414 个b4
(a b)3
(a b)(a b)(a b)
a3
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)
a2b
a2b
a2b
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)
ab2
ab2
ab2
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
艾萨克·牛顿 Isaac Newton (1643—1727) 英国科学 家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一 位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家．
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
aaaababbbba各式aa项中ab是各ab取关bb一于ba个aaa字,abb母a的b相bnb乘ab次得 aa单到ab项．ab式bbbaaaababbbb
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
(a b)(a b)(a b)
b3
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)(a b)(a b) 展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个
a3 a2b ab2 b3 字母相乘得到．
各项是关于 a, b 的三次单项式
问题2：展开式中各项是如何得到的？
这三个因式中各取一个
字母相乘得到．
ab2 ab2
ab2
3个ab2
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个 字母相乘得到．
b3 1个b3
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)(a b)
a2 ab ba b2 1个a2 2个ab 1个b2
展开式的每一项都是从 这两个因式中各取一个 字母相乘得到．
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
问题4：请写出 (a b)n 的展开式.
(a b)n (a b)( ab )(ab)
n
证明： （项的结构）
各项是从 n 个因式中各取一个字母相乘得到关于 a, b
的 n 次单项式，有 an , an1b, an2b2 ,
,ankbk ,
, bn
共 n 1项．
问题4：请写出 (a b)n 的展开式.
(a b)n (a b)( ab )(ab)
证明： （项的系数）
n
a
n
项是从
n
个因式中都不取
b，有
C
0 n
种；
a
n1b
项是从
n
个因式中取
1
个
b，有
C
1 n
种；
a b n2 2
项是从
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a4 a3b a2b2 ab3 b4 字母相乘得到．
各项是关于 a, b 的四次单项式
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab aaaa aaab aa bb abbb
bbbb
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)n (a b)(a b) (a b)
n
展开式的每一项都是从这 n 个因
这三个因式中各取一个 字母相乘得到．
a3 1个a3
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个
字母相乘得到．
a2b
a2b
a2b
3个a2b
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
a4
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a3b a3b a3b a3b
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
(a b)(a b)(a b)(a b)
展开式的每一项都是从 这四个因式中各取一个
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ห้องสมุดไป่ตู้
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)(a b)
a2 ab ba b2
展开式的每一项都是从 这两个因式中各取一个 字母相乘得到．
各项是关于 a, b 的二次单项式
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)9
? (a b)n
问题1：归纳猜想 (a b)n 的展开式有什么规律？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a2b2 C462 个a2b2
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a4
a3b
a2b2
ab3
b4
C140 个a4 C441 个a3b C462 个a2b2 C443 个ab3 C414 个b4
(a b)3
(a b)(a b)(a b)
a3
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)
a2b
a2b
a2b
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)
ab2
ab2
ab2
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3
艾萨克·牛顿 Isaac Newton (1643—1727) 英国科学 家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一 位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家．
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
aaaababbbba各式aa项中ab是各ab取关bb一于ba个aaa字,abb母a的b相bnb乘ab次得 aa单到ab项．ab式bbbaaaababbbb
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
(a b)(a b)(a b)
b3
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)(a b)(a b) 展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个
a3 a2b ab2 b3 字母相乘得到．
各项是关于 a, b 的三次单项式
问题2：展开式中各项是如何得到的？
这三个因式中各取一个
字母相乘得到．
ab2 ab2
ab2
3个ab2
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个 字母相乘得到．
b3 1个b3
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)(a b)
a2 ab ba b2 1个a2 2个ab 1个b2
展开式的每一项都是从 这两个因式中各取一个 字母相乘得到．
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
问题4：请写出 (a b)n 的展开式.
(a b)n (a b)( ab )(ab)
n
证明： （项的结构）
各项是从 n 个因式中各取一个字母相乘得到关于 a, b
的 n 次单项式，有 an , an1b, an2b2 ,
,ankbk ,
, bn
共 n 1项．
问题4：请写出 (a b)n 的展开式.
(a b)n (a b)( ab )(ab)
证明： （项的系数）
n
a
n
项是从
n
个因式中都不取
b，有
C
0 n
种；
a
n1b
项是从
n
个因式中取
1
个
b，有
C
1 n
种；
a b n2 2
项是从
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a4 a3b a2b2 ab3 b4 字母相乘得到．
各项是关于 a, b 的四次单项式
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab aaaa aaab aa bb abbb
bbbb
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)n (a b)(a b) (a b)
n
展开式的每一项都是从这 n 个因
这三个因式中各取一个 字母相乘得到．
a3 1个a3
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个
字母相乘得到．
a2b
a2b
a2b
3个a2b
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
a4
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
a3b a3b a3b a3b
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
(a b)(a b)(a b)(a b)
展开式的每一项都是从 这四个因式中各取一个
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ห้องสมุดไป่ตู้
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)(a b)
a2 ab ba b2
展开式的每一项都是从 这两个因式中各取一个 字母相乘得到．
各项是关于 a, b 的二次单项式
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)9
? (a b)n
问题1：归纳猜想 (a b)n 的展开式有什么规律？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4