热力学统计物理第六章

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热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布

热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布

al ln N E ln l al 0 l l al ln l 0 l 1,2,
l
al l e
l
或者
al
e
l
l
玻耳兹曼系统的最概然分布:麦克斯韦-玻耳兹曼分布(M.B) 拉氏乘子由下式确定:
不是独立变量
al 0
需满足条件:
N al 0
l
E l al 0
l
引入拉格朗日乘子 和
,建立辅助函数:
W (a1 , a2 , , al , ) ln N E
其全微分:
al ln N E ln l al 0 l l 26
l l
N ln N al ln al al ln l
当 al 有 al 的变化时,应有 ln 0
l l
ln ln al 1al ln lal
l l
25
的结论,因为
al ln ln l l

l
l
1
(经典极限条件或 所有的l 非简并性条件)
la
F . D.
l ! l l 1 l al 1 al ! ! l l a l ! l a l

l
M . B. al ! N!
l
l a
M . B. al ! N!
确定第 i 个粒子的力 学运动状态。
确定系统的微观运动状态需要
2 Nr
个变量。
qi1 ,, qir ; pi1 ,, pir i 1,2,, N

热力学统计 第六章 课件

热力学统计 第六章 课件
系统的微观运动状态就是它的力学运动状态。
全同粒子组成的系统就是由具有完全相同的内禀属性 (相同的质量、电荷、自旋等)的同类粒子组成的系统。
近独立粒子组成的系统,是指系统中粒子之间相互作 用很弱,相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量,因而 可以忽略粒子间的相互作用,将整个系统的能量表达为单 个粒子能量之和
3
不确定关系指出,粒子坐标的不确定值Δq和与之共
轭的动量的不确定值Δp满足ΔqΔp≈h。
如果用坐标q和动量p来描述粒子的运动状态,一个状 态必然对应于μ空间的一个体积,称之为一个相格。
对于自由度为1的粒子,相格大小为h。如果粒子自由 度为r,各自由度的坐标和动量的不确定值Δqi和Δpi分别 满足ΔqiΔpi≈h,相格的大小为 Δq1…Δqr Δp1 … Δpr≈hr
由此,前一式可理解为,将μ空间的体积Vdpxdpydpz除以 相格大小h3而得到的三维自由粒子在Vdpxdpydpz内的量子
态数。
对于自由粒子的动量,若采用球极坐标p、θ、φ来描 写,则有 px p sin cos , py p sin sin , pz p cos 动量空间体积元为p2sinθdpdθdφ。
§6.2 粒子运动状态的量子描述
微观粒子普遍具有波粒二象性。
德布罗意提出,能量为ε、动量为 p 的自由粒子联系 着圆频率为ω、波矢为 k 的平面波(德布罗意波)。
能量ε与圆频率ω,动量 p 与波矢 k 的关系为
, p k
此式称为德布罗意关系,适用于一切微观粒子。常量h和
ħ=h/2π都称为普朗克常量,数值为
经典描述 设粒子的自由度为r。 经典力学指出,粒子在任一时刻的力学运动状态由粒
子的r个广义坐标
q1,q2 ,…,qr 和与之共轭的r个广义动量 p1,p2,…,pr

南京大学-热力学与统计物理第六章讲解学习

南京大学-热力学与统计物理第六章讲解学习
子 1/ N ! 上。
(二)、玻耳兹曼、玻色、费米分布的推导 (1)玻耳兹曼分布公式
等几率原理:
对于处于平衡状态的孤立系统,每一个可能的微观状 态出现的概率是相等的;
最概然分布:
微观状态数最多的分布,出现在概率最大,称为最概然分 布(或最可几分布)。
Stirling公式 ln m! m(ln m 1)
上的各量子态共有
al
l
l
种方式。
将N个粒子加以交换,分别代表不同的状态,交换数就
是 N !,在交换数中应除去同一级上 al 个粒子的交换数 al ! ,
所以玻耳兹曼系统与分布 al 相应的系统的微观状态数是:
M.B
N!
l
al !
l
al l
(三).非定域系统:玻色-爱因斯坦分布
(1)对于玻色系统,粒子不可分辨,每一个个体量子态能 够容纳的粒子数不受限制。
1)!
(五).经典极限条件下,玻色系统的微观状态数
经典极限条件:
al
l
1
(对所有的
)时:
B.E
l
(l
al
1)!/ al (l
1)! l
(l
al
1)(l al al !
2) l
l
al l al
M.B N!
(六).经典极限条件下,费米系统的微观状态数
F.D

l
l !/ al
(l
使 InΩ为极大的分布必使 ln 0
ln [ln(l al ) ln al l ] al 0
l
各 al 满足约束条件:
N al 0
l
E lal 0
l
用拉氏乘子 和 乘这两个式子并从 ln

热学-统计物理6 第6章 热力学第二定律

热学-统计物理6 第6章 热力学第二定律

热功转换
3. 热传导
两个温度不同的物体放在一起,热量将自动地由高温物体 传向低温物体,最后使它们处于热平衡,具有相同的温度。 温度是粒子无规热运动剧烈程度即平均平动动能大小的宏观 标志。初态温度较高的物体,粒子的平均平动动能较大,粒 子无规热运动比较剧烈,而温度较低的物体,粒子的平均平 动动能较小,粒子无规热运动不太剧烈。若用粒子平均平动 动能的大小来区分它们是不可能了,也就是说末态与初态比 较,两个物体的系统的无序度增大了,这种自发的热传导过 程是向着无规热运动更加无序的方向进行的。
热机Q2
A , A
E
Q1
Q1
T1
A Q2
Q1 可
逆 热 机
T2 E’
用反证法,假设

得到
A A Q1 Q1
Q1 Q1
Q1 Q2 Q1 Q2
Q2 Q2
两部热机一起工作,成为一部复合机,结果外界不对复合
机作功,而复合机却将热量 Q1 Q2 Q1 Q2 从低温热源送到高温热源,违反热力学第二定律。
自然界中的自发热传导具有方向性。
通过某一过程,一个系统从某一状态变为另一状态, 若存在另一过程,能使系统与外界同时复原,则原来的过 程就是一个可逆过程。否则,若系统与外界无论怎样都不 能同时复原,则称原过程为不可逆过程。单摆在不受空气 阻力和摩擦情况下的运动就是一个可逆过程。
注意:不可逆过程不是不能逆向进行,而是说当过程逆向 进行时,逆过程在外界留下的痕迹不能将原来正过程的痕 迹完全消除。
现在考虑4个分别染了不同颜色的分子。开始时,4个分 子都在A部,抽出隔板后分子将向B部扩散并在整个容器内无 规则运动。隔板被抽出后,4分子在容器中可能的分布情形如 下图所示:

热力学统计物理 第6章

热力学统计物理 第6章

p , kT
-

kT

所以上述平衡条件相当于
p1 p2 ,
1 2
(力学平衡条件) (相平衡条件) 四、由微正则分布求热力学函数的方法 1 先计算Ω 2 再求 —积分 { 经典的 量子的—求和(三种系统)
S k ln ( E , N ,V ) S 1 得E , 3 由 E N ,V T p ln ( N , E ,V ) S 由 k k V N ,E T V N ,E 得 p( N ,V , T , E ) 再将 E ( N ,V , T ) 代入,即得状态方程 p( N ,V , T )
E2 1 E1
两边除以 Ω1(E1) Ω2(E2),


2(E2) 1 1(E1) 1 1(E1) E1 2(E2) E2
ln 1 ( E1 ) E1
ln ( E ) 令 1 2 N ,V E 这是两子系统通过热接触(交换能量)达到平衡时需要满足 的条件(热平衡条件):两子系统的β 相等。
( 0 ) ( E1,E2 ) 1 ( E1 ) 2 ( E2 ) ( 0) ( E1 , E ( 0) E1 ) 1 ( E1 ) 2 ( E ( 0) E1 )
A1
A2
即孤立系的Ω( 0) 取决于能量在两个子系统之间的分配。
总Ω( 0 ) 随能量E1 的变化而变化,故子系统 A1 必有一能量 值 E1 E 时,系统总微观状态数 Ω( 0) 有极大值. 1
d

微正则系综理论的热力学公式

三、熵与微观状态数Ω的关系
考虑由两个子系统 A1 和 A2 组成的复合孤立系统。

热力学统计物理第六章课件

热力学统计物理第六章课件



兼并度:不同能级,简并度不同。n=1时,w=6. h2/m数量级10-30,平动能很小,间隔很小,能级很密集。
例3:转子 r = 2, 量子数: l, m
量子理论要求,转子的角动量取一系列分立的值:
M 2 l (l 1) 2
l 0,1,2,
一定的l,角动量在z轴的投影也只能取分立的值
量子态1 1
2 3 4 5 A A
量子态2
量子态3
AA
AA AA
A
A
A
A
6
对于费米系统,可以有3个不同的微观状态。
量子态1 量子态2 量子态3
1
2
A
A
A A
3
A
A
分属玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的两个粒子占据三个量子态给出的微观状态数
粒子类别 量子态1
A B A B
量子态2
量子态3
A
A B A A B A B A A A A A A A A A A A A A A A A A B A B A
六、粒子状态数的半经典的求解
1、测不准关系 --不能完全测定粒子的坐标和位置。 不可确定度为:Δx· x≤ Δp 2、µ空间中 1)相格(相元)hr--粒子的运动状态 2)一定的µ空间体积中包含的粒子的状 态数有限。 3)从相空间的角度求粒子的量子态数或者 态密度?
例、求在V=L3内, 1)Px→Px+dPx,Py → Py+dPy,Pz → Pz+dPz 间的自由粒子的量子态数与态密度? 2)ε→ε+d ε的量子态数与态密度?
1 , 2 ,, l ,
1 , 2 ,, l ,
a1, a2 ,, al ,

热力学与统计物理第六章章末总结

热力学与统计物理第六章章末总结

第1节粒子运动状态的经典描述一.回顾1.最概然分布(1)分布:粒子在能级上的分布(2)最概然分布:概率最大的分布2.粒子运动状态描述--力学运动状态(1)经典力学描述(2)量子力学描述二.粒子向空间描述1.运动状态确定自由度为r的粒子,任意时刻的力学运动状态由r个广义坐标(q)和r个广义动量(p)的数值确定,则粒子的能量为2. 向空间(1)空间:由r个广义坐标和r个广义动量构成一个直角坐标系,这个2r维的空间,就称为空间。

(2)代表点(相点)(3)相轨迹.3.常见粒子的描述1. 自由粒子定义:不受力的作用而作自由运动的粒子。

描述:粒子能量为2. 线性谐振子3. 转子第2节粒子运动状态的量子描述1.波粒二象性与测不准关系1.波粒二象性德布罗意关系2. 测不准关系2.常见粒子的量子态描述1线性谐振子2. 转子(1),当L 确定时,可将角动量在其本征方向投影(z轴)(2)能量(3)简并与简并度3. 自旋角动量自旋角动量()是基本粒子的内禀属性4. 自由粒子(1)一维(2)三维容器边长L,动量和能量分量x: ,y:z;总动量和总能量(3)量子态数第3节系统微观运动状态的描述1、系统1、对象:组成系统的粒子为全同近独立粒子2、全同粒子系统具有完全相同的内禀属性的同类粒子的系统3、近独立粒子系统:系统中的粒子之间的相互作用很弱,相互作用的平均能量远小于单粒子能量。

4、系统的能量N个全同近独立粒子 .2、系统的微观状态的经典描述1、力学方法:。

2、可分辨全同粒子系统中任意两个粒子交换位置,系统的力学运动状态就不同。

3、量子描述1、全同性原理2、状态的描述(1)、定域系:全同粒子可辨非定域系:全同粒子不可分辨定域系需要要确定每个粒子的个体量子数;非定域系确定每个个体量子态上的粒子数(2)、微观粒子的分类玻色子:自旋量子数位整数费米子:自旋量子数为办整数4、系统分类1、玻色系统:玻色子不受泡利原理控制;2、费米系统:费米子受泡利原理约束,不可分辨;3、玻尔兹曼系统:粒子可分辨,同一个个体量子态上粒子数不受限制。

统计物理第六章

统计物理第六章

二、线性谐振子
圆频率为 的线性谐振子的能量可能值为
n (n );
1 2
n 0,1,2,
所有能级等间距,均为 ,每一个能级都是非简并的,即简并度为1。
三、转子
转子的能量:
M2 2I
量子理论要求:
M 2 l (l 1) 2 l 0,1,2,
固定l,角动量在空间任意方向上(比如说 z 轴)的投影:
一、自旋
电子(质子、中子等)具有内禀角动量(自旋)和内禀磁矩,关系为:

e S m
自旋角动量在空间任意方向上的投影(比如说 z 轴)只能取两个值:
1 S z m S ; 2
mS 1 称为自旋 (磁) 量子数 2
在外磁场中的势能为
e e U B z Bz mS B B m 2m
二.粒子的运动状态的经典描述
设粒子的自由度数r(能够完全确定质点空间位置的独立坐标数目),粒 子在任一时刻的力学运动状态(或者微观运动状态)由2r个广义坐标和广义 动量确定:
广义坐标 :q1 , q2 , q3 ,qr 广义动量 :p1 , p2 , p3 , pr
粒子的能量是广义坐标和广义动量的函数:
dnx dny dnz Vdp x dpy dpz h3 Vp 2 sin dpdd h3

对 : 0 , : 0 2 积分:0
坐标用球坐标表示:

x
y
x r sin cos
y r sin sin
z r cos
r sin sin r sin cos r cos cos x
r sin cos r sin cos r cos sin y
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l
l
l
N al 0 l
E lal 0 l
[lnlnBB.E.E
lNal[lEn(]l
精l 品a课la)件llnlnalla]l
al
l
0
33
…… ……
即:能级1上有a1个粒子, 能级2上有a2个粒
子,……。
精品课件
l
al
2
a2
1
a17 1
1、玻耳兹曼系统εl 上的ωl 个量子态时,第一个粒
子可以占据ω 个量子态中的任何一个态,有ωl 种可能的
占据方式。由于每个量子态能够容纳的粒子数不受限制,在第 一个粒子占据了某一个量子态以后,第二个粒子仍然有ωl种
的占据方式,这样al 个编了号的粒子占据ωl个la量l 子态共有
种可能的占据方式,
精品课件
18
(2) 各个能级都考虑在内,系统总的占据方式数:
al l
l
(3) 现在考虑将N个粒子互相交换,不管是否在同一能级上,交换
数是N!,在这个交换中应该除去在同一能级上al 个粒子的交换al !
因此得因子
N!/ al!
A
A AA
⑤⑥ A
A
AA
两个玻色子占据3个量子态有6种方式
精品课件
10
(2)费米系统:即自旋量子数为半整数的粒子组成的系统
粒子不可分辨,每个个体量子态上最多能容纳一个 粒子(费米子遵从泡利原理)。
系统由两个粒子组成(定域子)。粒子的个体量子 态有3个, 讨论系统有那些可能的微观状态
量子态1 量子态2 量子态3
❖ 微观粒子的状态杂乱无章,一个系统的力学状态也是 杂乱无章的,有很多个可能的状态,那么,每个状态 出现的概率为多少呢,与什么因素有关
精品课件
14
1、等概率原理:对于处理平衡态的孤立系 统系统,各个可能状态出现的概率是相等的 等概率原理是统计物理的一个基本假设,是 平衡态统计物理的基础。
精品课件
6.5分布和微观状态
量子态1 AB
A BAB
量子态2
AB
BA
AB
量子态3
AB
BABA
AB 1 2 3
因此,对于定域系统可有9种不同的微观状态,即 32。
一般地为 a .
精品课件
8
不可分辨的全同粒子系统(非定域系)
确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为
确定每一个体量子态上的粒子数。或:
确定了每个量子态上的粒子数就确定了系统的微观状
种可能的
(2)将各种能级的结果相乘,就得到玻色系统与分布{ al }
相应的微观状态数为:
BE
l
(l al 1)! al! (l 1)!
精品课件
23
3、 费米系统分布 { al } 包含的微观状态数:
粒子不可分辨,每一个个体量子态最多只能容
纳一个粒子。
l al
a 相当于从 l 个量子态中选 l 个被粒子占据。
分布 al 满足条件: al N l 精品课件
all E
l
16
分布只表示每一个能级上有多少个粒子。当能级 是简并态时,一种分布包含很多种微观状态。
每一种不同的量子态的占据方式都是不同的微观 运动状态。
N 粒子系统的 能 级1, 2, , l ,
简并度 1, 2,,l ,
粒子数 a1, a2,,al ,
l
精品课件
例:系统有6个可分辨粒子,共两个能级,1=3,2=4 给定分布:a1= 4, a2=2
2 1
a2 34 42 a1
2 1
a2 a1
34 42
能级之间粒子交
换的方式数目为
6! al !
6! 2!4!
l
(4) 系统分布 {al} 包含的总微观状态数为
MB
N! al !
l
al l

动量为 p 的物体联系着圆频率为
,波矢为k的平
面波,并有 ,P k
粒子状态是分立(不连续)的。
粒子所处的状态叫量子态 (单粒子态)。
量子态 用一组量子数表征(如自由粒子nx, ny, nz).
不同量子态的量子数取值不同。
量子描述单粒子的状态是确定单粒子的量子态,对于N个粒
子的系统,就是确定各个量子态上的粒子数。
1 , 1, a1,
2, ,
a2,2,,,
ll,, al,
MB
N! al!
l
lal
l
精品课件
28
2 取对数,用斯特林公式化简
MB
N! al!
l
lal
l
ln ln N! lnal! al lnl
斯特林近似公式
l
l
ln m ! m ln m m要求 m 1
ln ln N! lnal! al lnl 要求 al 1
C al l
l ! al !(l al )!
将各能级的结果相乘,得到费米系统与分布{ al }
相应的微观状态数为:
F.D.
l
l ! al!(l al)!
精品课件
24
§6.6 玻耳兹曼分布
玻尔兹曼系统 玻色系统
MB
N!
al !
l
al l
l
BE
l
(l al 1)! al! (l 1)!
l
精品课件
31
dN
l
dal 0 dE ldal 0
l
d (ln )
l
d
al
ln
l
al
=0
d (ln N E) d ln dN dE 0
l
ln
al
l
l dal
0
dal 任意,所以
ln
al
l
l
0

al le l
称为 麦克斯韦—玻耳兹曼分布(玻耳兹曼 系统粒子的最概然分布)。
精品课件
26
为什么提出最概然分布?
出现概率最大分布——随机现象多次呈 现的结果
当最概然分布的几率大于非概然几率很 多时,系统呈现出基本相同的状态——可以 用其表征平衡态分布
精品课件
玻耳兹曼系统粒子的最概然分布——玻耳兹曼分布。
一、玻尔兹曼分布的推导(M.B.系统)
1、 写出分布及对应的微观状态数
全同近独立粒子组成的系统,具有确定的粒子数N,
能量 E 和体积V ,系统的N个粒子分布于各个能级,设
第i能级上的粒子数为ai,则组成系统的粒子处于各能级 的情况可描述为:
能级:
1, 2 , l , l l 1,2,
粒子数: a1 , a2 , al ,
以符号al 表示 a1, a2 , al ,, 称为一个分布。
宏观态:系统的热力学状态 用少数几个宏观参量即可确定系 统的宏观态。
微观态:系统的力学状态。
确定方法:①可分辨的全同粒子系统(玻耳兹曼系统);
②不可分辨的全同粒子系统(玻色、
费米系)
精品课件
13
确定各微观状态出现的概率就能用统计的方法 求出微观量的统计平均值,从而求出相应宏观物理量, 因此确定各微观状态出现的概率是统计物理学的基本问 题。
精品课件
统计物理基本观点:宏观性质是大量微观粒 子运动的集体表现;宏观物理量是相应微观物理量 的统计平均值。
精品课件
2
§6.1 粒子运动状态的微观描述
单粒子的状态描述:用 r 个广义坐标和 r 个广义动量,N
个粒子系统的运动状态需要 q1、q2、…qr; p1、p 2、…pr 来确定。用 q1、q2、…qr; p1、p 2、…pr
l
l
N ln N N al ln al al al ln l
l
l
l
N ln N al lnal al lnl
l
l
精品课件
29
3 拉格朗日未定乘子法(拉氏乘子法)求极值
ln N ln N al lnal al lnl
l
l
对上式做一次微分,对于极值,一次微分为零
d (ln ) (lnal d al d al ) lnl d al
l
l
l
d
al
ln
l
al
0
精品课件
30
d (ln )
l
d
al
ln
l
al
=0
由于系统确定,则还要满足约束条件:
N al l
E lal l
对上两式子做一次微分得到:
dN dal 0
l
dE ldal 0
l
上两式子乘以未定乘子得到:
dN dal 0
l
dE ldal 0
45
……
▲ 显然,粒子和粒子之间的交换 不会产生新的占据方式。
▲ 粒子和量子态之间的交换 会产生新的占据方式:
1
2
3 45
……
▲ 量子态和量子态之间的交换 不产生新的占据方式:
1
32
45
精品课件
……
22
量子态交换数 (l 1)!
粒子交换数 a l !
各种交换共有 方式。
(l al 1)! al!(l 1)!
精品课件
7
玻耳兹曼系统
(如定域系)。
粒子可以分辨, 每个个体量子态上的粒子数不受 限制. 确定系统的微观状态要求确定每个粒子所处的个体量子态。
确定了每个粒子所处的量子态就确定了系统的一个微观状态
例:设系统由A、B两个粒子组成(定域子)。粒子的个体 量子态有3个, 讨论系统有那些可能的微观状态?
① ② ③ ④ ⑤ ⑥⑦⑧⑨
精品课件
32
玻色分布和费米分布
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