第5章中心极限定理
第一节
一,随机变量的收敛性 1. 依概率收敛
大数定律
定义1 若对任意给定的ε 定义1 若对任意给定的ε>0, 有:
lim P{| X n X |< ε } = 1,
n→∞
( lim P{| X n X |≥ ε } = 0 )
n→∞
则称{X 依概率收敛于X, 记作: 则称{Xn}依概率收敛于X, 记作:
σ2 P{| X |< ε } ≥ 1 2 ε
σ2 8 P{| X |< 3σ } ≥ 1 2 = 9σ 9
8 ∴ P { 3σ < X < + 3σ } ≥ 9
将一枚硬币抛掷1000 1000次 [例2] 将一枚硬币抛掷1000次,试利用车贝晓夫不等 式估计: 1000次中,出现正面H的次数在400至600次 式估计:在1000次中,出现正面H的次数在400至600次 次中 400 之间的概率. 之间的概率. 解: 设1000次抛掷中出现正面的次数为 则 次抛掷中出现正面的次数为X, 次抛掷中出现正面的次数为
n
D (∑ X i )
i =1
D(∑ X i )
i =1
n
n a n 1 b n = P{ < ( ∑ X i n ) ≤ } n σ n σ i =1 n σ
b n a n ≈ Φ( ) Φ( ) n σ n σ
2. 德莫佛---拉普拉斯定理
定理2 设随机变量X n ~ B( n, p ), (n = 1, 2), 则对 任意x ∈ R, 有
第一节 大数定律 第二节 中心极限定理
基本要求: 基本要求 理解实际推断原理; 1. 理解实际推断原理; 掌握车贝晓夫不等式; 2. 掌握车贝晓夫不等式; 熟悉几个常用的大数定律; 3. 熟悉几个常用的大数定律; 4. 熟练掌握并能运用几个常见的中心极限定理. 熟练掌握并能运用几个常见的中心极限定理. 重点: 重点 1.车贝晓夫不等式的运用; 1.车贝晓夫不等式的运用; 车贝晓夫不等式的运用 2.中心极限定理的应用. 2.中心极限定理的应用. 中心极限定理的应用 学时数 3-4
1 f ( x) = 2π 0
π ≤ x ≤ π 其它
∴ E (Yk ) = ∫
π
π
π 1 1 1 2 cos kxdx = 0 D(Yk ) = E (Yk ) = ∫ cos 2 kxdx = π 2π 2 2π
由于X 1 , X 2 相互独立, 则Y1 , Y2 也相互独立, 满足定理1
n →∞ n →∞
∑X
i
n
nσ
≤ x) = Φ( x) = ∫
x
∞
1 e dt 2π
t2 2
P{a < ∑ X i ≤ b}
i =1
n
= P{
a E (∑ X i )
i =1
n
D(∑ X i )
i =1
n
<
∑X
i =1
n
i
E (∑ X i )
i =1 n
n
≤
b E (∑ X i )
i =1
E ( X ) = 50, D ( X ) = (0.25) 2
(工件长度合格) = (49.25 < X < 50.75) = ( X 50 < 0.75)
由车贝晓夫不等式
P(工件长度合格) = P( X E( X ) < 0.75)
D( X ) (0.25) 2 8 ≥ 1 = 2 = 1 2 (0.75) (0.75) 9
n
n
D(∑ X i )
i=1 =
n
若对任意的实数x, 都有: 若对任意的实数x, 都有:
lim F n ( x ) = lim {Y n ≤ x } = Φ ( x )
n→ ∞ n→ ∞
则称序列{X 服从中心极限定理. 则称序列{Xn}服从中心极限定理.
二,几个常见的中心极限定理 1.林德贝格---勒维定理
四,车贝晓夫不等式 设随机变量X的方差DX存在,则对任意给定的ε DX存在 设随机变量X的方差DX存在,则对任意给定的ε>0, 有:
P { | X E X |≥ ε } ≤ DX
ε2
DX
ε2 证明:就X 为连续型随机变量证明,设其密度函数为(x) f
P { | X E X |< ε } ≥ 1
三,大数定律的一般提法 是一随机变量序列,{a 是一常数序列. 设{Xn}是一随机变量序列,{an}是一常数序列. 令
1 n Yn = ∑ X i n i =1
若对任意的ε 若对任意的ε>0, 有:
n→ ∞
lim P {| Y n a n |< ε } = 1
服从大数定律. 则称 {Xn}服从大数定律.
npq
推论 设随机变量X ~ B(n, p ), 则当n很大时, 近似地有 X ~ N (np, npq ), 从而可得近似公式 :
b np a np P ( a < X ≤ b) = Φ ( ) Φ( ) npq npq
a EX X EX b EX ∵ P{a < X ≤ b} = P{ < ≤ DX DX DX
2.贝努里大数定理 贝努里大数定理
定理2 设u n是n次贝努里实验中事件A发生的次数,p是事件 A在每次实验中出现的概率,则对任意ε > 0, 有
un lim P{| p |< ε } = 1 n→∞ n
证明:
1 令 ξi = 0
若第i次实验中A发生 (i = 1, 2 n) 若第i次实验中A不发生
定理1(独立同分布的中心极限定理)设X1 , X 2 X n 是相互独立同分布的随机变量序列,且具有有限的数 学期望和方差,E(Xi )= ,D(Xi )=σ 2 ≠ 0 (i = 1, 2).则
n
∑X
随机变量
i =1
i
n 的分布函数Fn ( x), 对任意实数x, 有
n
nσ
i =1
lim Fn ( x) = lim P(
五,几个常用的大数定律
1.车贝晓夫大数定理: 1.车贝晓夫大数定理: 车贝晓夫大数定理
定理1 设相互独立的随机变量序列X 1 , X 2 , X n 的数学期望与方差都存在,且存在常数c,使得 D(Xi )≤ c (i=1,2 ),则必有 1 n 1 n lim P ( ∑ X i ∑ E ( X i ) < ε ) = 1 n →∞ n i =1 n i =1
c 1 n ≤ lim 2 D( ∑ X i ) ≤ lim 2 n →∞ nε n →∞ ε n i =1
1
=0
推论(独立同分布大数定律) 设X 1 , X 2 , X n 是独立同 分布的随机变量序列, 记E ( X i ) = , D( X i ) = σ 2 (i = 1, 2), 则对任意ε > 0, 有 1 n Lim P( ∑ X i < ε ) = 1 n →∞ n i =1
a np X np b np = P{ < ≤ } np(1 p) np(1 p) np(1 p)
X n X →
P
2. 依分布收敛 定义2 的分布函数分别为F (x)和F(x),若在 定义2 设Xn与X的分布函数分别为Fn(x)和F(x),若在 F(x)的每一连续点x上有: F(x)的每一连续点x上有: 的每一连续点
n→ ∞
lim
Fn (x) = F (x)
则称Xn依分布收敛于X, 记作: 则称Xn依分布收敛于X, 记作: Xn依分布收敛于
X n X →
L
二,实际推断原理
人们在长期的生产和生活实际中积累了丰富 的经验,能够很自然地把那些概率接近于0 的经验,能够很自然地把那些概率接近于0的事件 (小概率事件),在一次试验中看成实际上是不可能 小概率事件),在一次试验中看成实际上是不可能 ), 事件;而把概率接近于1的事件(大概率事件),在一 事件;而把概率接近于1的事件(大概率事件),在一 ), 次试验中看成实际上是必然事件, 次试验中看成实际上是必然事件,这就叫实际推断 原理. 原理.
n n 2 EX i = i , DX i = σ i2 , D ∑ X i = ∑ σ i i =1 i =1
n n 2 EX i = i , DX i = σ , D ∑ X i = ∑ σ i i =1 i =1
2 i
Yn =
∑ X E(∑ X )
i =1 i i =1 i
P X EX ≥ ε) ( =
x EX ≥ε
∫
(x)dx ≤ f
2
x EX ≥ε
∫
2 (x EX)
ε
2
(x)dx f
≤∫
+∞
(x EX)
∞
ε
2
(x)dx ≤ f
DX
ε2
假设随机变量X的分布未知, [例1] 假设随机变量X的分布未知,但已知 试估计X落在(μ 3σ,μ+3σ)内 (μ- EX=μ,DX=σ2.试估计X落在(μ-3σ,μ+3σ)内 的概率. 的概率. 解: 由车贝晓夫不等式,任意的ε 0,有 由车贝晓夫不等式,任意的ε>0,有:
X ~ B(1000, 0.5)
1 EX = 1000 × = 500 2
1 1 DX = 1000 × × = 250 2 2
由车贝晓夫不等式得: 由车贝晓夫不等式得:
P{400 < X < 600} = P{| X 500 |< 100}
250 ≥ 1 = 0.975 2 100
例3 一机床制造长度为50cm的工件,有随机误差.统计 表明,长度的均方差为2.5mm.若工件实际长度在49.25~ 50.75之间算合格,估计该机床制造工件的合格率. 解: 设X 表示工件的长度, 则
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概率论与数理统计第五章 大数定律及中心极限定理
解: 设Xk为第k次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,…,100),
在100次炮击中炮弹命中的总颗数
100
X = ∑ Xk k =1
相互独立地服从同一分布，
E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,…,100)
随机变量
∑ 1
100 × 1.5
100 k =1
(
X
k
−
2)
=
1 15
(
X
−
200)
2. 伯努利定理 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率
3. 辛钦定理 （随机变量序列独立同分布且数学期望存在）
n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术 平均值的数学期望。
给出了“频率稳定性”的严格数学解释. 提供了通过试验来确定事件概率的方法. 是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.
§5.2 中心极限定理
望 E( Xk ) = µ (k = 1,2,"),则对于任意ε > 0,有
∑ lim
n→∞
P {|
1 n
n k =1
Xk
−
µ
|<
ε
}
=
1
说明
伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情
况。n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算
术平均值的数学期望。
三 小结
1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况 算术平均值依概率收敛于数学期望
= 1 − P { V − 100 ≤ 0.387 } (10 12 ) 20
∫ 0.387
≈ 1−
1
e − t 2 dt
−∞ 2π
= 1 −Φ (0.387) = 0.348
所以 P{V > 105} ≈ 0.348
在100次炮击中炮弹命中的总颗数
100
X = ∑ Xk k =1
相互独立地服从同一分布，
E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,…,100)
随机变量
∑ 1
100 × 1.5
100 k =1
(
X
k
−
2)
=
1 15
(
X
−
200)
2. 伯努利定理 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率
3. 辛钦定理 （随机变量序列独立同分布且数学期望存在）
n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术 平均值的数学期望。
给出了“频率稳定性”的严格数学解释. 提供了通过试验来确定事件概率的方法. 是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.
§5.2 中心极限定理
望 E( Xk ) = µ (k = 1,2,"),则对于任意ε > 0,有
∑ lim
n→∞
P {|
1 n
n k =1
Xk
−
µ
|<
ε
}
=
1
说明
伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情
况。n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算
术平均值的数学期望。
三 小结
1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况 算术平均值依概率收敛于数学期望
= 1 − P { V − 100 ≤ 0.387 } (10 12 ) 20
∫ 0.387
≈ 1−
1
e − t 2 dt
−∞ 2π
= 1 −Φ (0.387) = 0.348
所以 P{V > 105} ≈ 0.348
第五章大数律及中心极限定理
定义这个随机变量序列的算术平均序列： Yn = X—1—+ …n——+ —Xn
则对于任意的正数 ＞ 0 都满足关系： lim n→∞ P ( | Yn – | ≤ ) = 1。
即，相同期望与方差的独立随机变量序列
算术平均的极限是它们共同的数学期望
证明. 定理的证明根据数学期望、方差的性质 以及切比雪夫不等式完成。
p = P(X ≥10) = P( —X9.–—181—725.2—1/52 ≥ – 0.74)
≈ 1 – (–0.74) = (0.74) = 0.7703
□
如何理解大数律与中心极限定理
① 大数律与中心极限定理讨论的都是随机 变量序列部分和的极限问题
② 大数律说明，在一定的条件下部分和 Sn 的 算术平均的极限是一个常数 ( 共同的期望 )。 中心极限定理说明，在一定的条件下部分和 Sn 的极限分布是正态分布(标准化部分和的 极限分布是标准正态分布)。
P{ Sn n x} x
1
u2
e 2 du ( x)
n
2
思考3 如何近似计算概率P ( Sn ≤ y )、P ( | Sn | ≤ y ) ？
定理 5.1.4 (德莫佛—拉普拉斯中心极限定理)
假设随机变量序列 X1，X2，… 服从参数 n、p 的二项分布，即 Xn ~ B(n,p) 。 则对于任意的实数 x ，有
106 +1 项开始，都有 ① 数列 an 全都落在区间 ( 0 – 10－6 , 0 + 10－6 ) 中， ② Yn 落在 ( 0 – 10－6 , 0 + 10－6 ) 外的概率小于10－6 。
定理 5.1.1 (切比雪夫大数定理)
假设 X1，…，Xn，…是一个独立随机变量
则对于任意的正数 ＞ 0 都满足关系： lim n→∞ P ( | Yn – | ≤ ) = 1。
即，相同期望与方差的独立随机变量序列
算术平均的极限是它们共同的数学期望
证明. 定理的证明根据数学期望、方差的性质 以及切比雪夫不等式完成。
p = P(X ≥10) = P( —X9.–—181—725.2—1/52 ≥ – 0.74)
≈ 1 – (–0.74) = (0.74) = 0.7703
□
如何理解大数律与中心极限定理
① 大数律与中心极限定理讨论的都是随机 变量序列部分和的极限问题
② 大数律说明，在一定的条件下部分和 Sn 的 算术平均的极限是一个常数 ( 共同的期望 )。 中心极限定理说明，在一定的条件下部分和 Sn 的极限分布是正态分布(标准化部分和的 极限分布是标准正态分布)。
P{ Sn n x} x
1
u2
e 2 du ( x)
n
2
思考3 如何近似计算概率P ( Sn ≤ y )、P ( | Sn | ≤ y ) ？
定理 5.1.4 (德莫佛—拉普拉斯中心极限定理)
假设随机变量序列 X1，X2，… 服从参数 n、p 的二项分布，即 Xn ~ B(n,p) 。 则对于任意的实数 x ，有
106 +1 项开始，都有 ① 数列 an 全都落在区间 ( 0 – 10－6 , 0 + 10－6 ) 中， ② Yn 落在 ( 0 – 10－6 , 0 + 10－6 ) 外的概率小于10－6 。
定理 5.1.1 (切比雪夫大数定理)
假设 X1，…，Xn，…是一个独立随机变量
第五章 大数定律与中心极限定理
X p µ →
定理一表明，当n很大时，随机变量 X1，X2,…Xn….的算 术平均接近于数学期望 E(Xk)=µ 。通俗地说，在定理的条 件下，n个随机变量的算术平均，当n无限增大时将几乎变成 一个常数。(证明)
。则 E ( X k ) = µ , D ( X k ) = σ 2 (k = 1.2 L)
1 k 2 90000 − k ∑ C ( 3) ( 3 ) k = 29500 要直接计算是麻烦的，我们利用棣莫弗——拉普拉斯
k 90000
30500
定理来求它的近似值，即有
29500 − np X − np 30500 − np ≤ ≤ } p{29500 ≤ X ≤ 30500} = p{ np (1 − p) np (1 − p) np(1 − p )
例5.4
对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数
是一个随机变量，设一个学生无家长，1名家长，2名家长 来参加会仪的概率分别为0.05，0.8，0.15。若学校共有 400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服 从同一分布。 （1）求参加会议的家长数X超过450的概率； （2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。
=
∑
n
k =1
k
X
− E (
k =1
∑
X
n
X )
k =1
k
) =
∑
n
X
D (
∑
n
k = 1
k
的分布函数Fn(x)对于任意x满足
k =1
k
nσ
lim Fn ( x ) =
n→ ∞
lim
n → ∞
P
∑
n k =1
定理一表明，当n很大时，随机变量 X1，X2,…Xn….的算 术平均接近于数学期望 E(Xk)=µ 。通俗地说，在定理的条 件下，n个随机变量的算术平均，当n无限增大时将几乎变成 一个常数。(证明)
。则 E ( X k ) = µ , D ( X k ) = σ 2 (k = 1.2 L)
1 k 2 90000 − k ∑ C ( 3) ( 3 ) k = 29500 要直接计算是麻烦的，我们利用棣莫弗——拉普拉斯
k 90000
30500
定理来求它的近似值，即有
29500 − np X − np 30500 − np ≤ ≤ } p{29500 ≤ X ≤ 30500} = p{ np (1 − p) np (1 − p) np(1 − p )
例5.4
对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数
是一个随机变量，设一个学生无家长，1名家长，2名家长 来参加会仪的概率分别为0.05，0.8，0.15。若学校共有 400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服 从同一分布。 （1）求参加会议的家长数X超过450的概率； （2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。
=
∑
n
k =1
k
X
− E (
k =1
∑
X
n
X )
k =1
k
) =
∑
n
X
D (
∑
n
k = 1
k
的分布函数Fn(x)对于任意x满足
k =1
k
nσ
lim Fn ( x ) =
n→ ∞
lim
n → ∞
P
∑
n k =1
第五章 大数定律与中心极限定理
∑200
【解】 设 X i 表示“该射手第 i 次射击的得分”，则 Y = X i 表示射手所得总分，
i=1
Xi (i =1, 2, , 200) 独立同分布，分布表如下：
Xi
0
2
3
4
5
p
由于
0.1
0.1
0.2
0.2
0.4
E( Xi ) = 0×0.1+ 2×0.1+ 3×0.2 + 4×0.2 + 5×0.4 = 3.6 ；
试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，在实际应用中，当试 验次数很大时，便可以用事件发生的频率来替代事件的概率.
3、辛钦大数定律
设随机变量序列 X , X , 12
，Xn,
相互独立且服从相同的分布,具有相同的数学期望
E(X i
)
=
μ
,（
i
=
1,
2,
） ,则对任意给定的正数 ε ，有
) ,则对任意实数 x ，有
∑ ⎧
⎪
n
X − nμ i
⎫ ⎪
⎨ lim P i=1
≤ x⎬ =
⎪ n→∞
nσ
⎪
⎩
⎭
∫ 1
2π
x −t2
e
−∞
2 dt = Φ(x) .
154
第五章 大数定律与中心极限定理
n
∑ 【评注】 n 个相互独立同分布、方差存在的随机变量之和 Xi ，当 n 充分大时，近似 i =1
第五章 大数定律与中心极限定理
本章学习要点
① 了解切比雪夫不等式； ② 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大
【解】 设 X i 表示“该射手第 i 次射击的得分”，则 Y = X i 表示射手所得总分，
i=1
Xi (i =1, 2, , 200) 独立同分布，分布表如下：
Xi
0
2
3
4
5
p
由于
0.1
0.1
0.2
0.2
0.4
E( Xi ) = 0×0.1+ 2×0.1+ 3×0.2 + 4×0.2 + 5×0.4 = 3.6 ；
试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，在实际应用中，当试 验次数很大时，便可以用事件发生的频率来替代事件的概率.
3、辛钦大数定律
设随机变量序列 X , X , 12
，Xn,
相互独立且服从相同的分布,具有相同的数学期望
E(X i
)
=
μ
,（
i
=
1,
2,
） ,则对任意给定的正数 ε ，有
) ,则对任意实数 x ，有
∑ ⎧
⎪
n
X − nμ i
⎫ ⎪
⎨ lim P i=1
≤ x⎬ =
⎪ n→∞
nσ
⎪
⎩
⎭
∫ 1
2π
x −t2
e
−∞
2 dt = Φ(x) .
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第五章 大数定律与中心极限定理
n
∑ 【评注】 n 个相互独立同分布、方差存在的随机变量之和 Xi ，当 n 充分大时，近似 i =1
第五章 大数定律与中心极限定理
本章学习要点
① 了解切比雪夫不等式； ② 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大
第五章 大数定理与中心极限定理
说明
1 n 1、定理中{| X i | }是指一个随机事件， n i 1 当n 时，这个事件的概率趋于1.
2、 定理以数学形式证明了随机变量X 1 , X n 1 n 的算术平均X X i 接近数学期望E（X k） n i 1 （k 1,2, n），这种接近说明其具有的稳定性 .
第五章 大数定律与中心极限定理
第五章 大数定律与中心极限定理
§1 大数定律
1.1 切比雪夫不等式 1.2 依概率收敛 1.3 大数定律
§2 中心极限定理
HaiNan University
1
第五章 大数定律与中心极限定理
大数定律的客观背景
事件发生的频率稳定于某一常数 大量随机试验中 测量值的算术平均值具有稳定性
证明 取连续型随机变量的情况来证明.
设 X 的概率密度为 f ( x ), 则有
HaiNan University3第五章 大数定律 Nhomakorabea中心极限定理
P{ X μ ε }
2 x μ ε
x μ ε
f ( x)d x
x μ f ( x)d x 2 ε
1 1 2 2 2 ( x μ) f ( x ) d x 2 σ . ε ε
定理2 (契比雪夫大数定律)
1 nM M 1 D( X i ) 2 D( X i ) 2 . n i 1 n n n i 1 由契比雪夫不等式得: M 1 n 1 n P{ X i E ( X i ) } 1 n n i 1 n i 1 2
HaiNan University
10
第五章 大数定律与中心极限定理
1.3 大数定律
问题 : 设nA是n重贝努利试验中事件A发生 的次数，p是事件A发生的概率，
第五章 大数定律与中心极限定理
上述问题的解决是：
（1） 设X表示保险公司在每一个参保者身上所得的收益，则X为随机变量，服从两点分布，其分布规律为
X 12 12－b Pk 0.998 0.002 故保险公司在每一位参保者身上获的平均收益
E(X)＝12×0.998+(12-b)×0.002=12-0.002b
若要使保险公司期望盈利，则应有
解：将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并假定各次试验是独立的。在90000次波浪冲击中纵摇角度大于3°的次数记为X，则X是一个随机变量，且有X～b(90000,1/3).其分布律为：
所求的概率为：
要直接计算是麻烦的，我们利用棣莫弗-拉普拉斯定理来求它的近似值，即有：
其中n=90000,P=1/3.即有
据统计，某年龄的健康人在五年内死亡的概率为，某保险公司准备开办该年龄段的五年人寿保险业务，预计有2500人参加保险，条件是参加保险者交保险金12元，若五年内死亡，公司支付赔偿金b元（b待定），便有以下几个问题：
（1） 确定b，使保险公司期望盈利；
（2） 确定b，使保险公司盈利的可能性超过99％；
第五章 大数定律与中心极限定理
* 随机现象的规律只有在大量随机现象的考察中才能显现出来。
* 研究大量的随机现象，常常采用极限形式。
* 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有二种：大数定律与中心极限定理。
1 大数定律
* 事件发生的频率具有稳定性；
* 大量测量值的算术平均值也具有稳定性。
例如在分析天平上称量一质量为μ的物品，以表示n次重复测量结果，经验告知，当n充分大时，其平均值对μ的偏差是很小的。
定义：设是一个随机变量序列，a是一个常数。若对于任意正数，有：
（1） 设X表示保险公司在每一个参保者身上所得的收益，则X为随机变量，服从两点分布，其分布规律为
X 12 12－b Pk 0.998 0.002 故保险公司在每一位参保者身上获的平均收益
E(X)＝12×0.998+(12-b)×0.002=12-0.002b
若要使保险公司期望盈利，则应有
解：将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并假定各次试验是独立的。在90000次波浪冲击中纵摇角度大于3°的次数记为X，则X是一个随机变量，且有X～b(90000,1/3).其分布律为：
所求的概率为：
要直接计算是麻烦的，我们利用棣莫弗-拉普拉斯定理来求它的近似值，即有：
其中n=90000,P=1/3.即有
据统计，某年龄的健康人在五年内死亡的概率为，某保险公司准备开办该年龄段的五年人寿保险业务，预计有2500人参加保险，条件是参加保险者交保险金12元，若五年内死亡，公司支付赔偿金b元（b待定），便有以下几个问题：
（1） 确定b，使保险公司期望盈利；
（2） 确定b，使保险公司盈利的可能性超过99％；
第五章 大数定律与中心极限定理
* 随机现象的规律只有在大量随机现象的考察中才能显现出来。
* 研究大量的随机现象，常常采用极限形式。
* 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有二种：大数定律与中心极限定理。
1 大数定律
* 事件发生的频率具有稳定性；
* 大量测量值的算术平均值也具有稳定性。
例如在分析天平上称量一质量为μ的物品，以表示n次重复测量结果，经验告知，当n充分大时，其平均值对μ的偏差是很小的。
定义：设是一个随机变量序列，a是一个常数。若对于任意正数，有：
概率论第五章大数定律与中心极限定理讲解
1 P
1200
Xk
k 1
10
0
2
1[
2
2
]
2 22 2 0.0228 0.0456
例2 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均 值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的 寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率.
可知，当 n 时，有 1nn 源自1XiP E( X1)
a
因此我们可取 n 次测量值 x1, x2, , xn 的算术平均值
作为a
得近似值，即
a
1 n
n i1
xi ,当n充分大时误差很小。
例4 如何估计一大批产品的次品率 p ？ 由伯努利大数定律可知，当 n 很大时，可取频率
则对任意的 x ，有
n ~ N(np, np(1 p)) n , 近似地
即 n np ~ N (0,1)
np(1 p)
或 lim P{ n np
x
x}
1
t2
e 2 dt x
n np(1 p)
2
证 因为 n ~ b(n, p)
n
所以 n X k k 1
i 1
1200
1200
心极限定理可得 X k ~ N (n,n 2),即 X k ~ N (0,100)
k 1
k 1
则所求概率为
1200
1200
P k1 X k
20
P
Xk 0
k 1
第5章大数定律与中心极限定理
越小，则事
件{|X - E(X)|<
}的概率越大，即随机变量 X 集中
在期望附近的可能性越大. 也说明方差大小反映随机变量 取值的分散程度。
例1. 已知正常男性成人血液中,每毫升白细胞数平均是 7300,均方差是700 .利用契比雪夫不等式估计每毫升白 细胞数在 5200 ~ 9400 之间的概率
k 1 n
n
D( X k )
k 1
的分布函数的极限.
一、独立同分布的中心极限定理
定理1 设 任意实数 有
为一列相互独立相同分布
的随机变量，且具有数学期望和方差， 则对于
其中
为标准正态分布的分布函数。
若一随机变量可以表示成数量很多的相互独立相 同分布的随机变量的和，则该随机变量可近似服从 正态分布，标准化后就服从标准正态分布。
的概率 求200个仓内老鼠总数超过350只的概率 则 解: 设第i个粮仓内老鼠数目为 独立且同分布
得
例4：有一批电子元件装箱运往外地,正品率为80%， 若要95%以上的概率使箱内正品数多于1000只,问箱内
至少要装多少只元件？
解：设装n只元件， 记X为n只元件中正品的件数， 则 利用定理得
由于当
这个定理表明，二项分布的极限分布是正态分布
当
很大时，我们便可以利用定理 2 来近似计算二
项分布的概率。
例1. 设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成， 每个部件的损坏率为0.1。为了使整个系统正常工作， 至少必须有85个部件正常工作，求整个系统正常工作 的概率。
解：设 X 是损坏的部件数，则 X ~ B100, 0.1 则整个系统能正常工作当且仅当 X 15. 由德莫佛-拉普拉斯定理有 15 100 0.1 X 100 0.1 P{ X 15} P 100 0.1 0.9 100 0.1 0.9
第5章 大数定律及中心极限定理
第五章 大数定律与中心极限定理● 随机现象的规律只有在大量随机现象的考察中才能显现出来。
● 研究大量的随机现象，常常采用极限形式。
● 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有二种：大数定律与中心极限定理。
1 大数定律● 事件发生的频率具有稳定性；●大量测量值的算术平均值也具有稳定性。
大数定律就是从这种稳定性的研究中得出的。
定理一（契比雪夫大数定律）设随机变量序列,,,,21nXX X …相互独立，且具有相同的数学期望和方差：()()().,2,1,2 ===kX D X E k kσμ前n 个随机变量的算术平均：∑==nk k XnX 11对于任意正数ε，有{}εμ<-∞→||lim X P n =.1|1|1lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμnk kn XnP则称{X n }服从大数定律。
证：由于(),11111μμ=⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑==n nX E nX nE nk knk k(),111222121nn nX D nX n D nk kn k k σσ=⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑==由契比雪夫不等式可得：./1|1|221εσεμn XnP nk k-≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=在上式中令,∞→n 并注意到概率不能大于1，即得：.1|1|lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμnk k n X nP● 定理一给出了关于平均值稳定性的科学的描述。
● 上式的意义：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=εμ|1|1nk k X n是一个随机事件，等式表明，当∞→n 时，这个事件的概率趋于1。
即对于任意正数ε，当n 充分大时，不等式εμ<-∑=|1|1nk kX n成立的概率很大。
● 还表明，当n 很大时，随机变量nX X X ,,,21 的算术平均∑==nk kXnX 11接近于数学期望()()()μ====k X E X E X E 21.这种接近是在概率意义下的接近。
● 说明平均结果∑==nk kXnX 11渐趋稳定性。
《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
有极其重要的地位？
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为