桂电概率论与数理统计试卷5
概率统计试题5
《概率论与数理统计》试卷（A ）注：可能用到的数据()()()()()()()()()()()0.050.0250.050.050.0250.02522220.9750.9750.0250.0251.645,1.96,4 2.3138,5 2.0150,004 2.7764,5 2.5706, 1.6450.95, 1.960.9756 1.237,7 1.1.690,614.449,716.013z z t t t t χχχχ====Φ===Φ=Φ=====一、填空题（每小题4分，共40分）1．设3/1)()(==B P A P ，()1/2P A B = ，则()|P A B = 3/4 2．设随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<=其他,010,2x x x fY 表示对X 的三次独立重复观察试验中事件{}2/1≤X 出现的次数，则{}==2Y P 9/643．设随机变量()()0,~2>σσμN X ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率为12，则=μ 44．设随机变量1X 与2X 有相同的分布，其分布律为{}114i P X =-=， {}102i P X ==， {}114i P X ==， 1,2i =且满足1}0{21==X X P ，则==}{21X X P 05．已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，令1232-+=X X Y ，则Y的数学期望()E Y = 1532-+λλ6．设随机变量X 的数学期望()μ=X E ，方差()2σ=X D ，则由切比雪夫不等式，有{}≤≥-σμ3X P 1/97．设121,,,,+n n X X X X 是来自正态总体()2,σμN 的样本，记∑==ni i X nX 11， ()∑=--=ni iXX n S 12211，则统计量1n X Sμ+-服从___t____分布，自由度为 n-18．已知总体X 的概率密度为()1,01()0,x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其他1θ>-设n X X X ,,,21 为X 的样本，则参数θ的矩估计量为ˆθ= ˆθ=211X X--9．设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,111,16751,0)(x x x x x F则==}1{2XP ____ 3/8_10．随机变量X 在区间[]1,2-上服从均匀分布，随机变量1,00,01,0X Y X X >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则Y 的方差()D Y = 8/9二 、（10分）设有来自A 、B 、C 三个地区考生报名表各10份、15份和25份，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，今随机地抽取一份报名表。
桂电概率论与数理统计试卷7
桂林电子科技大学试卷学年第 学期 课号 课程名称 概率论与数理统计 适用班级（或年级、专业） 考试时间 120 分钟 班级 学号 姓名1、 已知3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，7.0)|(=A B P ，则=)|(B A P ；2、 高炮发射一发炮弹而击中敌机的概率是0.5。
当每门高炮只射一发时，至少需要____门高炮同时发射才能以99%的把握击中来犯的一架敌机； 3、 设总体),(~2σμN X ，,,21X X …n X ,是X 的样本，X 为样本均值，则)(μ-X E = 。
二、 选择题（每小题4分，共12分）1、 对任意事件A ，B ，下列选项正确的是：（ ） （A ）)()()(B P A P B A P +=⋃； （B ）)()()(B A P AB P A P +=； （C ）)()(A P AB P <；（D ）)()()(B P A P B A P -=-。
2、在11张卡片上分别写上probability 这11个字母，从中任意连抽7张，其排列结果为ability 的概率是：（ ） （A ）7114P ；（B ）117；（C ）7112C ； （D ）7112P 。
3、设随机变量X 的均值()X E 与方差()X D 存在，则对任意给定的0>ε，则切比雪夫不等式为：（ ）(A) (){}()2εεX D X E X P ≤<-； （B ）(){}()2εεX E X D X P ≤<-；(C) (){}()2εεX D X E X P ≤≥- ； （D ）(){}21εε≤<-X E X P 。
三、 （每小题10分，共20分）1. 已知随机变量()Y X ,的联合分布率为：),max(Y X U =，||Y X V -=，试求：1）、U 及V 的分布律；2）、)(XY E ；3）、在0=X 的条件下Y 的条件分布律。
2. 设X 的概率密度为4)(x Ax f =)1(≥x 试求：(1) A ； (2) )(X E , D (X )。
2017年桂林电子科技大学考研复试试题概率统计(B)
科目代码: 219
科目名称:概率论与数理统计
B卷
注意：答案必须全部写在答题纸上，写在试题上无效；答案要标注题号，答题纸要填写姓名和考号，并标注页 码与总页数；交卷时，将答题纸与试题一起装入试卷袋，密封签字。
1.（20 分）设一袋子中有 10 只红球，5 只白球。每次随机取出一球，取出观察颜色
（2）Y 2X 1 的分布列；
n
（3）若 X1, X 2 ,, X n 是 X 的样本。则 X X i 的分布。 i 1
3.（15 分）设 X 服从参数为 的指数分布，即 X 的密度函数为：
f
(x)
e ,
0
,
x
x 0
0
试求：（1）Var X ；
（2） p{X Var X } ；
（3）若 X1, X 2 ,, X n 是 X 的样本。则参数 的矩估计？ 4.（15 分）设 X ,Y 相互独立且服从同一分布， p( X i) 1 ,i 1, 2, 3 ，又设
3 U max{X ,Y} ，V min{X ,Y} 。试求：
（1） (U ,V ) 的分布列；
（2） Cov U ,V ；
（3） Z (U V 1)2 的分布列。
5.（10 分）设随机变量 X
的分布函数为：
FX
(
x)
1
e2 0
x
, ,
x0
。试证
其它
第1页共2页
Y 1 e2 X 在区间 (0,1) 内服从均匀分布。
后，将原球放回袋中，同时将一只白色球也放入袋中。试求：
（1）已知第一次取得红球的条件下，第二次取得红球的条件概率；
（2）取出的两只球一红一白的概率；
桂电概率论与数理统计试卷8
桂林电子科技大学试卷学年第 学期 课号 课程名称 概率论与数理统计 适用班级（或年级、专业） 考试时间 120 分钟 班级 学号 姓名一、 填空题 (每小题4分，共12分)1. 若A 和B 互不相容，且10,)(<<=p p A P ,则=)(A B P ____________；2. 设ηξ,是相互独立的随机变量，其分布函数分别为)(),(y F x F ηξ，则),max(ηξ=Z 的分布函数为_______________________________；3. 已知()n 22~χχ。
则()=2χE ___________，()2χD = 。
二、 选择题（每小题4分，共12分）1. 设随机变量X 的分布率为),2,1,0k ,ae )k X (P k===-则a=( )(A)1 (B) 11--e(C) 11-+e(D) 02. 设随机变量X 服从二项分布)p ,n (b ，且84.0DX ,2.1EX ==，则==2)X (P （ ） (A) 0.2646 (B) 0.21 (C) 0.09 (D) 0.493. 设总体);(~2σx F X ，()X D =2σ为未知参数，,,21X X …n X ,是X 的样本，()()∑∑==-=--=n i in i i X X n B X X n S 1221221,11 。
则下列正确的选项是（ ） （A ）2B 是2σ无偏估计；(B) 2S 是2σ有偏估计； (C) 2S 是2σ无偏估计；(D) 2B ，2S 都是2σ无偏估计。
三（每小题10分，共20分）1 某工厂甲乙丙三个车间加工同一零件，产量分别占全厂的45%，35%，20%，又知各车间的正品率分别为96%，98%，95%，求全厂的次品率。
2 已知），（2~σμN X , 即22221σμσπ）（）（--=x X ex f ,证明），（10~N X Y σμ-=。
四、（每小题10分，共20分）求：2X Y =的分布律及)5.1Y 1(P <<-。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(03年)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件【】A．A1，A2，A3相互独立．B．A2，A3，A4相互独立．C．A1，A2，A3两两独立．D．A2，A3，A4两两独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计2．(07年)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜P＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【】A．3p(1－p)2．B．6p(1－p)2．C．3p2(1－p)2．D．6p2(1－p)2．正确答案：C解析：P{第4次射击恰好第2次命中目标}＝P{前3次射击恰中1枪，第4次射击命中目标} ＝P{前3次射击恰中1枪}.P{第4次射击命中目标}＝C31p(1－p)2.P＝3p2(1－p)2 知识模块：概率论与数理统计3．(09年)设事件A与事件B互不相容，则【】A．P()＝0．B．P(AB)＝P(A)P(B)．C．P(A)＝1－P(B)．D．P()－1．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计4．(14年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)＝0．5，P(A－B)＝0．3，则P(B－A)＝【】A．0．1B．0．2C．0．3D．0．4正确答案：B解析：∵A与B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)．故0．3＝P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B) ＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)(1－0．5)＝0．5(P(A) 得P(A)＝＝06，P(B－A)＝P(B)－P(AB)＝P(B)－P(A)P(B)＝0．5－0．6×0．5＝0．2．知识模块：概率论与数理统计5．(15年)若A，B为任意两个随机事件，则【】A．P(AB)≤P(A)P(B)．B．P(AB)≥P(A)P(B)．C．P(AB)≤．D．P(AB)≥．正确答案：C解析：由ABA，ABB得P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)，两式相加即得：P(AB)≤．知识模块：概率论与数理统计6．(16年)设A，B为两个随机事件，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，如果P(A｜B)＝1，则【】A．P()＝1．B．P(A｜)＝0．C．P(A∪B)＝1．D．P(B｜A)＝1．正确答案：A解析：由1＝P(A｜B)＝，有P(B)＝P(AB) 于是知识模块：概率论与数理统计7．(90年)设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是：【】A．X－YB．P{X－Y}＝0C．P{X－Y}＝D．P{X＝Y}＝1正确答案：C解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y ＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝知识模块：概率论与数理统计8．(93年)设随机变量X的密度函数为φ(χ)，且φ(－χ)－φ(χ)，F(χ)为X的分布函数，则对任意实数a，有【】A．F(－a)＝1－∫0aφ(χ)dχB．F(－a)＝－∫0aφ(χ)dχC．F(－a)＝F(a)D．F(－a)＝2F(a)－1正确答案：B解析：由概率密度的性质和已知，可得故选B．知识模块：概率论与数理统计9．(95年)设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(｜X－μ｜＜σ) 【】A．单调增大．B．单调减小．C．保持不变．D．增减不定．正确答案：C解析：由已知X～N(μ，σ)，得～N(0，1) 故P{｜X－μ｜＜σ}＝＝(1)Ф－Ф(－1) 故选C．知识模块：概率论与数理统计填空题10．(89年)设随机变量X的分布函数为则A＝_______，P{｜X｜＜}＝_______．正确答案：1；解析：∵分布函数是右连续的，故得1＝Asin ∴A＝1 这时，F(χ)在(－∞，＋∞)上都连续，于是知识模块：概率论与数理统计11．(91年)设随机变最X的分布函数为则X的概率分布为_______．正确答案：解析：F(χ)为一阶梯状函数，则X可能取的值为F(χ)的跳跃点：－1，1，3．P(X＝－1)＝F(－1)－F(－1－0)＝0．4 P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝0．8－0．4＝0．4 P(X＝3)＝F(3)－F(3－0)＝1－0．8＝0．2 知识模块：概率论与数理统计12．(94年)设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数P{Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，Y～B(3，p)．其中p＝故知识模块：概率论与数理统计13．(00年)设随机变量X的概率密度为若k使得P{X≥k}＝，则k的取值范围是_______．正确答案：[1，3]解析：∵P(X≥k)＝∫k＋∞f(χ)dχ．可见：若k≤0，则P(X≥k)＝1 若0＜k＜1，则P(X≥k)＝若k＞6，则P(X≥k)＝0 若3＜k≤6，则P(X ≥k)＝若1≤k≤3，则P(X≥k)＝综上，可知K∈[1，3]．知识模块：概率论与数理统计14．(05年)从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率分布为而P(Y＝2｜X＝1)＝0，P(Y＝2｜X＝2)＝，P(Y＝2｜X＝3)＝，P(Y＝2｜X＝4)＝，故由全概率公式得知识模块：概率论与数理统计15．(05年)设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X＝0}与{X＋Y＝1}相互独立，则a＝_______，b＝_______．正确答案：0．4；0．1．解析：由题意知0．4＋a＋b＋0．1＝1，∴a＋b＝0．5 而P{X＝0}＝0．4＋a，P{X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＋P{X＝1，Y＝0}＝a＋b＝0．5，P{X ＝0，X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＝a 由P{X＝0，X＋Y＝1)＝P{X＝0)P{X ＋Y＝1} ∴a＝(0．4＋a)0．5，得a＝0．4，从而b＝0．1．知识模块：概率论与数理统计16．(06年)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max(X，Y)≤1}＝_______．正确答案：解析：由题意知X与Y的概率密度均为：则P(X≤1}＝P{Y≤1}＝∫－∞1f(χ)dχ＝故P{max(X，Y)≤1}＝P{X≤1，y≤1}＝P{X≤1}P{y≤1}＝知识模块：概率论与数理统计17．(99年)设随机变量Xij(i＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，Eij＝2，则行列式Y＝的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，P1，…，Pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
概率论与数理统计期末试卷与答案(最新5)
概率论与数理统计期末试卷及答案一、填空题：1、一袋中有50个球，其中20个红球，30个白球，现两人从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到白球的概率为 3/5 。
2、设P(A)=1/2, P(B|A)=1/3, P(A|B)=1/2，那么()P AB = 2/3 。
3、若随机变量X 的概率密度为2(),11,f x Ax x =-<<那么A= 3/2 。
4、若二维随机变量（X,Y ）在以原点为圆心的单位圆内的概率密度函数是1/π，其它区域都是0，那么221()2P X Y +<= 1/2 。
5、掷n 枚骰子，记所得点数之和为X ，则EX = 3.5n 。
6、若X ，Y ，Z 两两不相关，且DX=DY=DZ=2，则D(X+Y+Z) = 6 。
7、若随机变量12,,,n X X X 相互独立且同分布于标准正态分布N(0,1)，那么它们的平方和22212n X X X +++服从的分布是2()n χ。
8、设A n 是n 次相互独立的试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对任意的0>ε,lim {||}An n p n→+∞-≥ε= 0 。
9、设总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，样本为12,,,n X X X ，设00:H =μμ，10:H <μμ，则拒绝域为z α<-。
10、设总体X 服从区间[1,a ]上的均匀分布，其中a 是未知参数。
若有一个来自这个总体的样本2, 1.8, 2.7, 1.9, 2.2, 那么参数a 的极大似然估计值a = 12max{,,,} 2.7n x x x =。
二、选择题1、设10张奖券只有一张中奖，现有10个人排队依次抽奖，则下列结论正确的是（ A ） （A ）每个人中奖的概率相同； （B ）第一个人比第十个人中奖的概率大；（C ）第一个人没有中奖，而第二个人中奖的概率是1/9； （D ）每个人是否中奖是相互独立的 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且21(,)X N μσ，22(,)Y N μσ，则X Y -服从的分布是（ B ）（A ）212(,)N -μμσ；（B ）212(,2)N -μμσ；（C ）212(,)N +μμσ；（D ）212(,2)N +μμσ3、设事件A 、B 互斥，且()0P A >，()0P B >，则下列式子成立的是（ D ）（A ）(|)()P A B P A =； （B ）(|)0P B A >； （C ）(|)()P A B P B =； （D ）(|)0P B A =；4、设随机变量X 与Y 独立同分布，P(X= -1) = P(Y= -1) =1/2，P(X= 1) = P(Y= 1) =1/2，则下列成立的是（ A ）（A ）()1/2P X Y ==； （B ）()1P X Y ==； （C ）(0)1/4P X Y +==； （D ）(1)1/4P XY ==；5、有10张奖券，其中8张2元，2张5元。
桂林电子科技大学概率论与数理统计(B卷)2015年考研复试专业课真题试卷
1. 设 A，B，C 均为随机事件。证明： PAB PAC PBC PA ；
2. 证 明 泊 松 分 布 具 有 可 加 性 。 若 X j ~ p(j ), j 1, 2,L , k ， 且 X1, X 2,L , X k 相 互 独 立 。 则
x 1 。 其他
其中 为未知参数。 X1,L , X n 为总体 X 的样本。试求 的矩估计和最大似然估计。
四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）
1.
设 X1,K , X n 是总体 N (, 2 ) 的简单随机样本，T
X 2 1 s2 。试证： T 是 2 的无偏估计； n
共页
第页
1. 设 x1， x2 ，…， xn1 是总体 X ～ N (, 2 ) 的样本。 x n xi ， s n xi x 2 。
i 1
i 1
试求统计量 x xn1 s
n n1
的分布及自由度。
2. 设总体 X 的概率密度为： f x 11
0
1 ，若 P( X
2)
5 9
，试求
P( X 3) 。
2. 设随机变量Y 服从参数为 1 的指数分布， a 0 为常数。试求：
机变量 X ,Y 不相关， E X Var Y 2, E Y 1 。试求 E X X Y 2
2. 设总体 X : N (, 2 ) ，从总体 X 中抽取样本 X1,L , X 2n (n 2) ，
Y
n i 1
(Xi
X ni
2X )2
,其中
X
概率论与数理统计试题与答案完整版
概率论与数理统计试题与答案HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分）1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。
2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若95)1(=≥X p ，则=≥)1(Y p 。
3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。
4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。
5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2χ的样本，则统计量∑==n1i i X Y 服从分布。
6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度=L 。
（按下侧分位数）二、选择题（本题满分15分，每题3分）1、 若A 与自身独立，则（ ）(A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<<A P ； (D) 0)(=A P 或1)(=A P2、下列数列中，是概率分布的是（ ）(A) 4,3,2,1,0,15)(==x xx p ； (B) 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41)(==x x p ； (D) 5,4,3,2,1,251)(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ，则有（ ）(A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=-(C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D4、设随机变量),(~2σμN X ，则随着σ的增大，概率()σμ<-X P （ ）。
(A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本，X 与2S 分别为样本均值与样本方差，则下列结果错误．．的是（ ）。
广西大学概率论与数理统计 选做习题全解
1.一打靶场备有5支某种型号的枪,其中3支已经校正,2支未经校正.某人使用已校正的枪击中目标的概率为1p ,使用未经校正的枪击中目标的概率为2p .他随机地取一支枪进行射击,已知他射击了5次,都未击中,求他使用的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互独立).解 以M 表示事件“射击了5次均未击中”,以C 表示事件“取得的枪是已经校正的”，则,5/3)(=C P,5/2)(=C P 又,按题设,)1()|(51p C M P -=52)1()|(p C M P -=,由贝叶斯公式)()()|(M P MC P M C P =)()|()()|()()|(C P C M P C P C M P C P C M P +=52)1(53)1(53)1(525151⨯-+⨯-⨯-=p p p.)1(2)1(3)1(3525151p p p -+--= 2.某人共买了11只水果,其中有3只是二级品,8只是一级品.随机地将水果分给C B A 、、三人,各人分别得到4只、6只、1只.(1)求C 未拿到二级品的概率.(2)已知C 未拿到二级品,求B A ,均拿到二级品的概率. (3)求B A ,均拿到二级品而C 未拿到二级品的概率.解 以，，，C B A 分别表示事件C B A ，，取到二级品,则C B A ，，表示事件C B A ，，未取到二级品.(1).11/8)(=C P(2)就是需要求).|(C AB P 已知C 未取到二级品,这时B A ,将7只一级品和3只二级品全部分掉.而B A 、均取到二级品,只需A 取到1只至2只二级品,其他的为一级品.于是.5441027234103713)|(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C AB P(3).55/32)()|()(==C P C AB P C AB P3.一系统L 由两个只能传输字符0和1的独立工作的子系统1L 和2L 串联而成(如图15.3),每个子系统输入为0输出为0的概率为)10(<<p p ;而输入为1输出为1的概率也是p .今在图中a 端输入字符1,求系统L 的b 端输出字符0的概率.题15.3图解 “系统L 的输入为1输出为0”这一事件(记)01(→L )是两个不相容事件之和,即),00()01()01()11()01(2121→→→→=→L L L L L 这里的记号“)11(1→L ”表示事件“子系统1L 的输入为1输出为1,其余3个记号的含义类似.于是由子系统工作的独立性得)}00()01({)}01()11({)}01({2121→→+→→=→L L P L L P L P)}00({)}01({)}01({)}11({2121→→+→→=L P L P L P L P).1(2)1()1(p p p p p p -=-+-=4.甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?解 以i A 表示事件“第i 次投掷时投掷者才得6点”.事件i A 发生,表示在前1-i 次甲或乙均未得6点,而在第i 次投掷甲或乙得6点.因各次投掷相互独立,故有.6165)(1-⎪⎭⎫⎝⎛=i i A P 因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为 }{}{531 A A A P P =甲胜 +++=)()()(531A P A P A P ),(21两两不相容因 A A⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 426565161.116)6/5(11612=-=同样,乙胜的概率为}{}{642 A A A P P =乙胜 +++=)()()(642A P A P A P.1156565656153=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=5.将一颗骰子掷两次,考虑事件=A “第一次掷得点数2或5”,=B “两次点数之和至少为7”，求),(),(B P A P 并问事件B A ,是否相互独立.解 将骰子掷一次共有6种等可能结果,故.3/16/2)(==A P 设以i X 表示第i 次掷出骰子的点数,则}).6({1})7({)(2121≤+-=≥+=X X P X X P B P因将骰子掷两次共有36个样本点,其中621≤+X X 有6,5,4,3,221=+X X 共5种情况,这5种情况分别含有1,2,3,4,5个样本点,故.12/712/5136/)54321(1)(=-=++++-=B P以),(21X X 记两次投掷的结果,则AB 共有(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)这7个样本点.故.36/7)(=AB P 今有).(36/7)12/7)(3/1()()(AB P B P A P === 按定义B A ,相互独立.6.B A ，两人轮流射击,每次各人射击一枪,射击的次序为 A B A B A ,,,,,射击直至击中两枪为止.设各人击中的概率均为p ,且各次击中与否相互独立.求击中的两枪是由同一人射击的概率.解 A 总是在奇数轮射击,B 在偶数轮射击.先考虑A 击中两枪的情况.以12+n A 表示事件“A 在第12+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”. 12+n A 发生表示“前n 2轮中A 共射击n 枪而其中击中一枪,且A 在第12+n 轮时击中第二枪”（这一事件记为C ），同时“B 在前n 2轮中共射击n 枪但一枪未中”(这一事件记为D )，因此)()()()(12D P C P CD P A P n ==+nn p p p p n )1()1(11-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- .)1(122--=n p np注意到 ,,,753A A A 两两互不相容,故由A 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为A )的概率为∑∑∞=-∞=++∞=-===1122112121)1()()()(n n n n n n p np A P A P A P1122])1[()1(-∞=∑--=n n p n p p.)2(1])1(1[1)1(2222p p p p p --=---(此处级数求和用到公式.1,)1(1112<=-∑∞=-x nx x n n 这一公式可自等比级数1,110<=-∑∞=x x x n n 两边求导而得到.)若两枪均由B 击中,以)1(2+n B 表示事件 “B 在第)1(2+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”. )1(2+n B 发生表示在前12+n 轮中B 射击n 枪其中击中一枪,且B 在第)1(2+n 轮时击中第2枪，同时A 在前12+n 轮中共射击1+n 枪,但一枪未中.注意到 ,,,864A A A 两两互不相容,故B 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为B )的概率为 ∑∞=+-+∞=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==111)1(21)1()1(1)()(n n n n n p p p p n B P B P 12112222])1[()1()1(-∞=∞=--=-=∑∑n n n np n p p p np.)2()1(])1(1[1)1(222222p p p p p --=---= 因此,由一人击中两枪的概率为222)2()1()2(1)()()(p p p p B P A P B A P --+--=+= .21pp--= 7.有3个独立工作的元件1,元件2,元件3,它们的可靠性分别为.,,321p p p 设由它们组成一个“3个元件取2个元件的表决系统”,记为2/3].[G 这一系统的运行方式是当且仅当3个元件中至少有2个正常工作时这一系统正常工作.求这一2/3][G 系统的可靠性.解 以i A 表示事件“第i 个元件正常工作”，以G 表示事件“2/3][G 系统正常工作”，则G 可表示为下述两两互不相容的事件之和：321321321321A A A A A A A A A A A A G = 因321,,A A A 相互独立,故有)()()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P G P +++=)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++=AB124题 15.8 图35.)1()1()1(321321321321p p p p p p p p p p p p +-+-+-=8. 在如图15.8图所示的桥式结构电路中，第i 个继电器触点闭合的概率为i p ，.54321，，，，i ＝各继电器工作相互独立.求：（1）以继电器触点1是否闭合为条件，求A 到B 之间为通路的概率.（2）已知A 到B 为通路的条件下，继电器触点3是闭合的概率.解 以F 表示事件“A 到B 为通路”，以i C 表示事件“继电器触点i 闭合”，.54321，，，，i ＝各继电器工作相互独立. （1）得.()|(()|()(1111））C P C F P C P C F P F P +=而 )()|(545321C C C C C P C F P =)()()()()(54253254532C C C P C C C P C C P C C P C P --++=)()(5432543C C C C P C C C P ＋-543254354253254532p p p p p p p p p p p p p p p p p p ＋－－－＋＋＝)()|(432541C C C C C P C F P ＝543243254p p p p p p p p p －＋＝ 故 ),1)(|()|()(1111p C F P p C F P F P -+=其中)|(1C F P 543254354253254532p p p p p p p p p p p p p p p p p p ＋－－－＋＋＝，)|(1C F P 543243254p p p p p p p p p －＋＝. （2）令,1i i p q -=则)()()]([1)()()|()|(35241333F P C P C C C C P F P C P C F P F C P -=＝.)()1(354215241F P p q q q q q q q q +--＝)(F P 的表达式由（1）确定.9.进行非学历考试，规定考甲、乙两门课程，每门课考第一次未通过都允许考第二次．考生仅在课程甲通过后才能考课程乙，如两门课程都通过可获得一张资格证书．设某考生通过课程甲的各次考试的概率为1p ，通过课程乙的各次考试的概率为2p ，设各次考试的结果相互独立．又设考生参加考试直至获得资格证书或者不准予再考为止．以X 表示考生总共需考试的次数．求X 的分布律以及数学期望)(X E ．解 按题意知考试总共至少需考２次而最多只考４次．以i A 表示事件“课程甲在考第i 次时通过”，以i B 表示事件“课程乙在考第i 次时通过”，2,1=i ．事件}2{=X 表示考试总共考２次，这一事件只在下列两种互不相容的情况下发生，一种是课程甲、乙都在第一次考试时通过．亦即11B A 发生（此时他得到证书）；另一种是课程甲在第一次、第二次考试均未通过，亦即21A A 发生（此时他不准再考）．故2111}2{A A B A X ==，同样211121211}3{B B A B A A B B A X ==， 21212121}4{B B A A B B A A X ==.得X 的分布律为)(}2{2111A A B A P X P ==)()(2111A A P B A P +=)()()()(2111A P A P B P A P +=2121)1(p p p -+=；)(}3{211121211B B A B A A B B A P X P ==)(12111B A A B A P =21121)1()1(p p p p p -+-=；)(}4{21212121B B A A B B A A P X P ==)(121B A A P =)1()1(211p p p --=．)1()1(4])1()1([3])1([2)(211211212121p p p p p p p p p p p X E --+-+-+-+=)]2(1)[2(211p p p -+-=．例如，若431=p ，212=p ，则有66.2)(=X E （次）．10.(1)5只电池,其中有2只是次品,每次取一只测试,直到将2只次品都找到.设第2只次品在第)5,4,3,2(=X X 次找到,求X 的分布规律(注:在实际上第5次检测可无需进行).(2)5只电池,其中2只是次品,每次取一只,直到找出2只次品或3只正品为止.写出需要测试的次数的分布律.解 (1)X 可能取的值为2,3,4,5.P X P ==}2{{第1次、第2次都取到一只次品}.1014152=⨯=P X P ==}3{{(前两次取到一只次品) (第3次取到一只次品)}=P {第3次取到一只次品|前两次取到一只次品}P ⨯{前两次取到一只次品} .102)42534352(31=⨯+⨯⨯=P X P ==}4{{(前3次取到一只次品) (第4次取到一只次品)}=P {第4次取到一只次品|前3次取到一只次品}P ⨯{前3次取到一只次品} .103)324253324253324352(21=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=}4{}3{}2{1}5{=-=-=-==X P X P X P X P .10/4=得分布律为X 2 3 4 5k p 101 102 103 104(2)以Y 表示所需测试的次数,则Y 的可能取值为2,3,4. .10/1}2{}2{====X P Y P}3{=Y 表示“前3次取到都是正品”或“第二只次品在第3次取到”， 故 }3{}3{}3{=+==X P P Y P 次取到的都是正品前.103102314253=+⨯⨯ .1061031011}3{}2{1}4{=--==-=-==X P X P X P Y 的分布律为Y 2 3 4k p 101103 10611．向某一目标发射炮弹设炮弹弹着点目标的距离为R (单位:10m ),R 服从瑞利分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,252)(25/2r r er r f r R若弹着点离目标不超过5m 时,目标被摧毁.(1)求发射一枚炮弹能摧毁目标的概率.(2)为使至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率不小于0.94,问最少需要独立发射多少枚炮弹. 解 (1)所求概率为⎰⎰-∞-==≤525/52252)(}5{dr e r dr r f R P r R .632.01|1525/2=-==--e e r(2)设发射n 枚炮弹,则这n 枚炮弹都不能摧毁目标的概率为n )632.01(-,故至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率为n )632.01(1--.按题意需求最小的n ,使得.94.0)632.01(1≥--n即.81.2)368.0/(ln )06.0(ln ,06.0368.0=≥≤n n故最少需要独立发射3枚炮弹.12．设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为31，击伤的概率为21，击不中的概率为61.并设击伤两次也会导致潜水艇下沉.求释放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.（提示：先求击不沉的概率.）解 “击沉”的逆事件为事件“击不沉”，击不沉潜水艇仅出现于下述两种不相容的情况：（1）4枚深水炸弹全击不中潜水艇（这一事件记为A ），（2）一枚击伤潜水艇而另三枚击不中潜水艇（这一事件记为B ）.各枚炸弹袭击效果被认为是相互独立的.故有,61)(4⎪⎭⎫⎝⎛=A P ,612114)(3⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B P （因击伤潜水艇的炸弹可以是4枚中的任一枚），又A ，B 是互不相容的，于是，击不沉潜艇的概率为.613)()()(4=+=B P A P B A P 因此，击沉潜艇的概率为.97989.06131)(14=-=-=B A P p 13． 一盒中装有4只白球，8只黑球，从中取3只球，每次一只，作不放回抽样. （1）求第1次和第3次都取到白球的概率.（提示：考虑第2次的抽取.） （2）求在第1次取到白球的条件下，前3次都取到白球的概率. 解 以,1A ,2A 3A 分别表示1，2，3次取到白球.（1）)()()]([)(321321223131A A A P A A A P A A A A P A A P +==)()|()|()()|()|(112213112213A P A A P A A A P A P A A P A A A P +=.111124118103124113102=⨯⨯+⨯⨯=（2）124102113124)()()|(13211321⨯⨯==A P A A A P A A A A P .5531106== 14．设元件的寿命T (以小时计)服从指数分布,分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(03.0t t e t F t(1)已知元件至少工作了30小时,求它能再至少工作20小时的概率.(2)由3个独立工作的此种元件组成一个2/3][G 系统(参见第7题),求这一系统的寿命20>X 的概率.解 (1)由指数分布的无记忆性(参见教材)1(第56页)知所求概率为}20{}30|50{>=>>=T P T T P p .5488.0)20(16.0==-=-e F(2)由第7题知2/3][G 系统的寿命20>X 的概率为 .5730.0)23()1(3}20{232=-=+-=>p p p p p X P 15.(1)已知随机变量X 的概率密度为,,21)(+∞<<-∞=-x e x f xX 求X 的分布函数. (2)已知随机变量X 的分布函数为),(x F X 另外有随机变量⎩⎨⎧≤->=,0,1,0,1X X Y 试求Y 的分布律和分布函数.解 (1)由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<≤<<∞-=-.0,21,0,21)(x e x e x f x xX当0<x 时,分布函数,212121)()(|xx x xx xX X e e dx e dx x f x F ====∞-∞-∞-⎰⎰当0≥x 时,分布函数.2112121212121)()(0x x xx x x X X e e dx e dx e dx x f x F ---∞-∞--=-+=+==⎰⎰⎰故所求分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=-.0,211,021)(x e x e x F x xX(2),21)0(}0{}1{==≤=-=X F X P Y P .21211}1{1}1{=-=-=-==Y P Y P分布律为Yk p 21 21 分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=.1,1,11,21,10)(y y y y F Y 16.(1)X 服从泊松分布,其分布律为,,2,1,0,!}{ ===-k k e k X P k λλ问当k 取何值时}{k X P =为最大. (2)X 服从二项分布,其分布律为.,2,1,0,)1(}{n k p p k n k X P k n k =-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==- 问当k 取何值时}{k X P =为最大. 解 (1)由λλλλ----⨯=-==ek k e k X P k X P k k 1)!1(!}1{}{⎪⎩⎪⎨⎧><===<>=,,1,,2,1,,1,,1λλλλk k k k k 当当当 知道,当λ<k 时,}{k X P =随k 增大而递增; 当λ>k 时,}{k X P =随k 增大而递减.从而,若λ为正整数,则当λ=k 时,}1{}{-===λλX P X P 为概率的最大值,即当1-==λλk k 或时概率都取到最大值.若λ不是正整数,令的整数部分），是即λλ00]([k k =则,100+<<k k λ此时有},1{}{},{}1{0000+=>==<-=k X P k X P k X P k X P因此不难推得]}[{}{0λ===X P k X P 为概率的最大值. (2)由⎪⎩⎪⎨⎧+><=+==+<>--++=---=-==,)1(,1,,2,1,)1(,1,)1(,1)1()1(1)1()1(}1{}{p n k n k p n k p n k p k k p n p k p k n k X P k X P 当当当知道,当p n k )1(+<时, }{0k X P =随k 增大而递增; ,当p n k )1(+>时,}{0k X P =随k 增大而递减.从而,若p n )1(+为正整数,则当p n k )1(+=时,}1)1({})1({-+==+=p n X P p n X P 为概率的最大值,即当1)1()1(-+=+=p n k p n k 或时概率都取到最大值.若p n )1(+不是正整数,令])1[(0p n k +=,则1)1(00+<+<k p n k ,此时有},{}1{00k X P k X P =<-= },1{}{00+=>=k X P k X P不难推得]})1[({}{0p n X P k X P +===为概率的最大值.17.. 若离散型随机变量X 具有分布律X 1 2 … nk pn 1 n 1 … n1 称X 服从取值为n ,,2,1 的离散型均匀分布.对于任意非负实数x ，记][x 为不超过x 的最大整数.记),1,0(~U U 证明1][+=nU X 服从取值为n ,,2,1 的离散型均匀分布.证 对于,,,2,1n i =}1]{[}1]{[)(-===+==i nU P i nU P i X P .1}1{}1{nn i U n i P i nU i P =<≤-=<≤-= 证毕. 18.设),2,1(~-U X 求X Y =的概率密度. 解 X 的概率密度为⎩⎨⎧<<-=.,0,21,3/1)(其他x x f X记X 的分布函数为).(x F X 先来求Y 的分布函数).(y F Y 当0≤y 时,,0}{)(=≤=y Y P y F Y当0>y 时,}{}{)(y X y P y X P y F Y ≤≤-=≤= ).()(y F y F X X --= 将)(y F Y 关于y 求导可得Y 的概率密度)(y f Y 如下:⎩⎨⎧>-+=.,0,0),()()(其他y y f y f y f X X Y当10<<y 时, 01<-<-y .因而,3/1)(,3/1)(=-=y f y f X X 此时.3/13/1)(+=y f Y当21<<y 时, 12-<-<-y .因而,0)(,3/1)(=-=y f y f X X 此时.3/1)(=y f Y当2>y 时,,0)(,0)(=-=y f y f X X 因而.0)(=y f Y 故⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<=.,0,21,3/1,10,3/2)(其他y y y f Y19.设X 的概率密度⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<≤<≤<=.1,21,10,21,0,0)(2x xx x x f X求XY 1=的概率密度. 解 因函数x x g y 1)(==严格单调减少,它的反函数.1)(yy h =当∞<<x 0时, ∞<<y 0. 由第二章)2(公式(2.1)得Y 的概率密度为⎩⎨⎧≤∞<<'⋅=.0,0,0,)()]([y y y h y h f f X Y⎪⎩⎪⎨⎧≤∞<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.0,0,0,112y y y y f X因而⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<≤<<≤=.11,121,110,1)/1(121,0,0)(222y y y y y y y f Y 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<∞<≤≤=.10,21,1,21,0,0)(2y y y y y f Y本题X 和X1的概率密度相同. 20. 设随机变量X 服从以均值为λ1的指数分布.验证随机变量][X Y =服从以参数为λ--e1的几何分布.这一事实表明连续型随机变量的函数可以是离散型随机变量.解 X 的概率密度为⎩⎨⎧>=-.,0,0,)(其他x e x f x X λλ，X 的值域为）（∞,0，故][X Y =的值域为},2,1,0{ ，Y 是离散型随机变量.对于任意非负整数y ，有}1{}]{[}{+<≤====y X y P y X P y Y P)1(1d +--+--==⎰y y y yx e e x e λλλλ2,1,0,))(1(==--y e e y λλ－ .2,1,0,))1(1)(1( =--=--y e e y λλ－这就是说Y 服从以λ--e1为参数的几何分布.这表示一个连续型随机变量经过变换变成了离散型随机变量.21.投掷一硬币直至正面出现为止,引入随机变量 =X 投掷总次数. ⎩⎨⎧=.,0,1若首次投掷得到反面若首次投掷得到正面，Y (1)求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律. (2)求条件概率}.1|2{},1|1{====X Y P Y X P解 (1)Y 的可能值是0,1,X 的可能值是.,3,2,1 }1{}1|1{}1,1{======X P X Y P Y X P .2/12/11=⨯= (因1=X 必定首次得正面,故).1}1|1{===X Y P 若1>k ,}{}|1{}1,{k X P k X Y P Y k X P ======.0)2/1(0=⨯=k(因,1>=k X 首次得正面是不可能的,故).,3,2,0}|1{ ====k k X Y P }1{}1|0{}0,1{======X P X Y P Y X P 0)2/1(0=⨯=(因1=X 必须首次得正面,故).0}1|0{===X Y P 当1>k}{}|0{}0,{k X P k X Y P Y k X P ====== ,3,2),2/1(1=⨯=k k (因,1>=k X 必定首次得反面,故).1}|0{===k X Y P 综上,得),(Y X 的分布律及边缘分布律如下:XY 1 2 3 4 … }{j Y P =0 0 221 321 421 (21)1 21 0 0 0 (21)}{i X P = 21 221 321 421 (1)(2).12/12/1}1{}1,1{}1|1{========Y P Y X P Y X P.0}1{}2,1{}1|2{=======X P Y X P X Y P22.设随机变量),(~λπX 随机变量).2,max(X Y =试求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律. 解 X 的分布律为 .,2,1,0,!}{ ===-k k e k X P k λλX 的可能值是 ,2,1,0;Y 的可能值为.,4,3,2}0{}0|2{}2,0{======X P X Y P Y X P .}0{1λ-==⋅=e X P}1{}1|2{}2,1{======X P X Y P Y X P .}1{1λλ-==⋅=e X P2≥i 时}{}|{},{i X P i X j Y P j Y i X P ======,4,3,2,,0,,!},{0},{1=⎪⎩⎪⎨⎧≠==⎩⎨⎧≠=⋅==⋅=-j i j i j i e i j i X P i j i X P i λλ即得Y X ,的联合分布律及边缘分布律为 XY 0 1 2 3 4 5 … }{j Y P =2 λ-e λλ-e!22λλ-e 0 0 0 …∑=-2!i i i e λλ3 0 0 0!33λλ-e 0 0 …!33λλ-e4 0 0 0 0!44λλ-e 0 …!44λλ-e}{i X P = λ-eλλ-e!22λλ-e!33λλ-e!44λλ-e ... (1)23. 设X ，Y 是相互独立的泊松随机变量，参数分别为,,21λλ求给定n Y X =+的条件下X 的条件分布.解 }|{n Y X k X P =+=}{},{n Y X P n Y X k X P =+=+==}{},{n Y X P k n Y k X P =+-===独立性 }{}{}{n Y X P k n Y P k X P =+-==1)(2121!)()!(!2121-+----⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅=n e k n e k en kn kλλλλλλλλn k n k k k n n )(!)!(!2121λλλλ+-=- .)(2122112121kn kn kn k k n k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλλλλλ这就是说给定n Y X =+的条件下X 的条件分布为以)/(,211λλλ+n 为参数的二项分布.24. 一教授将两篇论文分别交给两个打字员打印.以X ，Y 分别表示第一篇第二篇论文的印刷错误.设),(~λπX ),(~μπY X ，Y 相互独立.（1）求X ，Y 的联合分布律；（2）求两篇论文总共至多1个错误的概率. 解 （1）X ，Y 的联合分布律为,!!!!},{)(y x e y e x e y Y x X P y x y x μλμλμλμλ+---=⋅===.,2,1,0, =y x(2) 两篇论文总共至多1个错误的概率为})1{}0({}1{=+=+=≤+Y X Y X P Y X P}1,0{}0,1{}0,0{==+==+===Y X P Y X P Y X P).1()()()()(μλμλμλμλμλμλ++=++=+-+-+-+-e e e e25. 一等边三角形ROT (如图15.25)的边长为1,在三角形内随机地取点),(Y X Q (意指随机点),(Y X 在三角形ROT 内均匀分布).(1) 写出随机变量),(Y X 的概率密度. (2) 求点Q 的底边OT 的距离的分布密度.解 (1)因三角形ROT 的面积为4/3,故),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤≤≤=.,0),1(3030,3/4),(其他或x y x y y x f（2）点),(Y X Q 到底边OT 的距离就是Y ,因而求Q 到OT 的距离的分布函数,就是求),(Y X 关于Y 的 边缘分布函数,现在 ,230,32134),()(3.13/<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰-y y dx y x f y f y y Y 从而⎪⎩⎪⎨⎧<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.,0,230,32134)(其他y y y f Y Y 的分布函数为xyo题15.25图⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=.23,1,230,3434,0,0)(2y y y y y y F Y 26. 设随机变量),(Y X 具有概率密度⎩⎨⎧>>=+-.,0,0,0,),()1(其他y x xe y x f y x(1) 求边缘概率密度).(),(y f x f Y X (2) 求条件概率密度).|(),|(||x y f y x f X Y Y X 解 (1)当0>x 时, ,)()(0)1(x y y xy x y x X e e e dy xe x f -∞==--∞+-===⎰当0>y 时,dx xe y y xe dx xey f y x x x y x y x Y ⎰⎰∞+-∞==+-∞+-+++-==)1(0)1(0)1(111)( .)1(1)1(22)1(+=+-=∞==+-y y xe x x y x 故边缘概率密度分别是⎩⎨⎧>=-.,0,0,)(其他x e x f x X ⎪⎩⎪⎨⎧>+=.,0,0,)1(1)(2其他y y y f Y(2)条件概率密度: 当0>x 时,⎪⎩⎪⎨⎧>=-+-.,0,0,)|()1(|取其他值y y e xe x y f x y x X Y⎩⎨⎧>=-.,0,0,取其他值y y xe xy当0>y 时,⎪⎩⎪⎨⎧>+=+-.,0,0,)1/(1)|(2)1(|取其他值x x y xe y x f y x Y X ⎩⎨⎧>+=+-.,0,0,)1()1(2取其他值x x e y x y x27. 设有随机变量U 和V ，它们都仅取1，1-两个值．已知 ,2/1}1{==U P}.1|1{3/1}1|1{-=-=====U V P U V P (1)求U 和V 的联合分布密度.(2)求x 的方程02=++V Ux x 至少有一个实根的概率.(3)求x 的方程0)(2=+++++V U x V U x 至少有一个实根的概率. 解 (1).6/1)2/1)(3/1(}1{}1|1{}1,1{========U P U V P V U P }1{}1|1{}1,1{-=-=-==-=-=U P U V P V U P.6/1)2/1)(3/1(}]1{1[)3/1(===-⨯=U P}1{}1|1{}1,1{==-==-==U P U V P V U P.3/1)2/1)(3/2(}1{}]1|1{1[=====-=U P U V P }1{}1|1{}1,1{-=⋅-====-=U P U V P V U P.3/1)2/1()3/2(}1{}]1|1{1[=⨯=-=-=-=-=U P U V PV U ,的联合分布密度为UV -1 1 -1 1/6 2/6 1 2/6 1/6(2) 方程02=++V Ux x 当且仅当在042≥-=∆V U 时至少有一实根,因而所求的概率为 .2/1}1{}04{}0{2=-==≥-=≥∆V P V U P P(3) 方程0)(2=+++++V U x V U x 当且仅当在0)(4)(2≥+-+=∆V U V U 时至少有一实根,因而所求的概率为.6/5}1,1{}1,1{}1,1{}0{=-==+=-=+-=-==≥∆V U P V U P V U P Pxy题 15.30图28. 某图书馆一天的读者人数)(~λπX ,任一读者借书的概率为p ,各读者借书与否相互独立.记一天读者借书的人数为Y ,求X 与Y 的联合分布律.解 读者借书人数的可能值为}{}|{},{,,,2,1,0k X P k X i Y P i Y k X P X Y Y ======≤==.,,2,1,2,1,!)1(k i k k e p p i k k i k i ==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--λλ 29. 设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从U (0,1),求两变量之一至少为另一变量之值两倍的概率. 解 按题意知,(X,Y )在区域:}10,10|),{(<<<<=y x y x G 服从均匀分布,其概率密度为其他10,10,0,1),(<<<<⎩⎨⎧=y x y x f所求概率为}2{}2{Y X P X Y P p >+>==⎰⎰⎰⎰+12),(),(G G dxdy y x f dxdy y x f=G 1的面积+G 2的面积=1/2, G 1 ,G 2见图15.29.30. 一家公司有一份保单招标，两家保险公司竞标.规定标书的保险费必须在20万元至22万元之间.若两份标书保险费相差2千或2千以上，招标公司将选择报价低者，否则就重新招标.设两家保险公司的报价是相互独立的，且都在20万至22万之间均匀分布.试求招标公司需重新招标的概率. 解 设以X ，Y 分别表示两家保险公司提出的保费. 由假设X 和Y 的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,2220 ,21)(其他μμf因X ，Y 相互独立，故),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<==.,0,2220 ,2220 ,41)()(),(其他y x y f x f y x f Y X 按题意需求概率为}.2.0{≤-Y X P 画出区域：},2.0|),{(≤-Y X y x 以及矩形},2220 ,2220|),{(<<<<y x y x 如图15.30，它们公共部分的面积G 为G ＝正方形面积－2×三角形面积＝4-1.8×1.8＝0.76.所求概率＝.19.02276.0=⨯oy题15.29图31. 设),0(~),,0(~2221σσN Y N X 且Y X ,相互独立,求概率}20{2112σσσσ<-<Y X P . 解 因Y X ,独立,其线性组合Y X 12σσ-仍为正态变量,而 0)()()(1212=-=-Y E X E Y X E σσσσ22212122122)()()(σσσσσσ=+=-Y D X D Y X D 故).2,0(~222112σσσσN Y X -因而 }20{2112σσσσ<-<Y X P =}202200{222121222112σσσσσσσσ-≤--<Y X P=5.0)2()0()22(222121-=-ΦΦσσσσΦ=4207.05.09207.0=-32. NBA 篮球赛中有这样的规律，两支实力相当的球队比赛时，每节主队得分与客队得分之差为正态随机变量，均值为1.5，方差为6，并且假设四节的比分差是相互独立的.问 （1）主队胜的概率有多大？（2）在前半场主队落后5分的情况下，主队得胜的概率有多大？ （3）在第1节主队赢5分得情况下，主队得胜的概率有多大？ 解 以)4,3,2,1(=i X i 记主队在第i 节的得分与客队在第i 节的得分之差，则有),6,5.1(~N X i ).64,5.14(~41⨯⨯∑=N X i i 记Z 为标准正态随机变量.（1）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯->⨯⨯=>∑∑==646645.14}0{4141－i i i i X P X P .7889.0}7224.1{=->=Z P（2）由独立性}5{}5|0{432141>+=-=>∑∑==X X P X X P i i i i}33{123562343>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->⨯-+=Z P X X P.8281.0}5577.0{=>=Z P（3）}05{}5|0{432141>+++==>∑=X X X P X XP i i}5{432->++=X X X P⎭⎬⎫⎩⎨⎧-->⨯-++=185.45635.4432X X X P.4987.0}239.2{}185.9{=->=->=Z P Z P 33. 产品的某种性能指标的测量值X 是随机变量,设X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他．,0,0,)(221x xe x f x X测量误差Y~U (εε,-),X ,Y 相互独立,求Z=X+Y 的概率密度)(z f Z ,并验证du e Z P u⎰-=>εεε202/221}{解 (1)Y 的概率密度为其他．，εεε<<-⎪⎩⎪⎨⎧=y y f Y ,0,21)(故Z =X+Y 的概率密度为⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(仅当⎩⎨⎧<-<->εεx z x 0即⎩⎨⎧+<<->εεz x z x 0时，上述积分的被积函数不等于零,参考图15.33, 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=⎰⎰+--+-其他，，，,0,21,21)(21210εεεεεεεεz dx xe z dx xez f z z x z x Z =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<--+---+-其他，，，,0],[21],1[21221221221)()()(εεεεεεεεz e e z e z z z (2)⎰∞=>εεdz z f Z P Z )(}{题15.33图题 15.34 图=][21221221)()(⎰⎰∞+-∞---εεεεεdz e dz e z zε21记成[Ⅰ+Ⅱ] 其中Ⅰ=⎰⎰∞-∞--=-0)(,2121du euz eu dz z εεε令Ⅱ=⎰⎰∞-∞+--=+-εεεε2)(2121du euz dzeu z 令于是εε21}{=>Z P [Ⅰ+Ⅱ]=⎰-εε202121du eu34. 在一化学过程中，产品中有份额X 为杂质，而在杂质中有份额Y 是有害的，而其余部分不影响产品的质量.设)5.0,0(~),1.0,0(~U Y U X ，且X 和Y 相互独立，求产品中有害杂质份额Z 的概率密度. 解 因,XY Z =)5.0,0(~),1.0,0(~U Y U X 且X 和Y 相互独立，于是Z 的概率密度为,d )()(1)(21-x xzf x f x z f Z ⎰+∞∞= )1(* 其中，⎩⎨⎧<<=. 0,0.1,0 ,10)(1其他x x f ，⎩⎨⎧<<=. 0,0.5,0 ,2)(2其他x x f 易知仅当⎩⎨⎧<<<<0.5,00.1,0z/x x 即⎩⎨⎧<<<<,200.1,0x z x 时，)1(*中的被积函数不等于零，参考题15.34图，即得⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅⋅=⎰.0, 0.05,0 ,d 1210)(1.02其他z x xz f z ⎪⎩⎪⎨⎧<<=.0, 0.05,0 ,ln 201.02其他z x z ⎩⎨⎧<<-=.0, 0.05,0 ),20ln(20其他z z 35. 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.0,,0,),(其他y x e y x f y(1) 求),(Y X 的边缘概率密度.y题 15.35 图1y 题 15.35 图2(2) 问Y X ,是否相互独立. (3) 求Y X ＋的概率密度).(z f Y X + (4) 求条件概率密度).|(|y x f Y X (5) 求条件概率}.5|3{<>Y X P (6) 求条件概率}.5|3{=>Y X P解 （1）⎪⎩⎪⎨⎧>==⎰∞.0, 0,,d )(其他x e y e x f -x x -y X⎪⎩⎪⎨⎧>==⎰.0, 0,,d )(0其他y ye x e y f -y y-y Y （2）Y X ,不是相互独立的. （3）⎰+∞∞-+-=.d ),()(y y y z f z f Y X仅当,0y y z <-<即⎪⎩⎪⎨⎧<>>z y y zy 02时被积函数不为零.如图15.35图1，得⎪⎩⎪⎨⎧>-==⎰+.0, 0,,d )(2/2/其他z e e y e z f -z -z zz -y Y X （4）对于,0>y⎪⎩⎪⎨⎧<<==--. 0, ,0 ,1)|(|其他y x y ye e y x f y yY X即对于固定的)0(>y y X 的条件分布是区间),0(y 上的均匀分布. （5）如图15.35图2，条件概率为}5{}5,3{}5|3{<<>=<>Y P Y X P Y X P,)d (d d 50⎰⎰⎰-=yy f xy e Y D y分子＝⎰⎰⎰=5355x53d )(-e d d ex x y x-y -y,e e 3)d e (-e 35535--+-=+⎰x -x -＝ 分母＝⎰⎰=5Y5d e (y)d y y y f -yx,1e 6d e e555+-=+-=⎰--y -y y y故.82030.0}5|3{=<>Y X P（6）⎪⎩⎪⎨⎧<<=.0, ,50 ,51)5|(|其他x x f Y X.52d 51}5|3{53===>⎰x Y X P36.设图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p ,借阅乙种图书的概率为α,设每人借阅甲、乙图书的行动相互独立，读者之间的行动也相互独立.(1)某天恰有n 个读者,求甲、乙两种图书中至少借阅一种的人数的数学期望.解 (1)以X 表示某天读者中借阅甲种图书的人数，因各人借阅甲种图书的概率均为p ,且由题设各人是否借阅相互独立,故np X E p n b X =)(),,(~因此.(2)以A 表示事件“读者借阅甲种图书”,以B 表示事件“读者借阅乙种图书”,则就读者而言,有 ).()()()(AB P B P A P B A P -+=借阅两种图书的行动相互独立,故ααp p B P A P B P A P B A P -+=-+=⋃)()()()()(. 以Y 表示至少借阅一种图书的人数,由题设各人是否借阅相互独立,知),(~ααp p n b Y -+,故).()(ααp p n Y E -+=也可这样做.引入随机变量:⎩⎨⎧=.,0,,1种图书的任一种位读者不借阅甲、乙两若第两种图书的一种位读者至少借阅甲、乙若第i i Z in i ,,2,1 =)()(][)(,111ααp p n Z E Z E Y E Z Y ni i n i i n i i -+====∑∑∑===.这里不需假设读者之间的行动相互独立.37.某种鸟在某时间区间],0(0t 下蛋数为1~5只,下r 只蛋的概率与r 成正比.一个收集鸟蛋的人在0t 时去收集鸟蛋,但他仅当鸟窝多于3只蛋时他从中取走一只蛋.在某处有这种鸟的鸟窝6个(每个鸟窝保存完好,各鸟窝中蛋的个数相互独立).(1) 写出一个鸟窝中鸟蛋只数X 的分布率.(2) 对于指定的一只鸟窝,求拾蛋人在该鸟窝中拾到一只蛋的概率. (3) 求拾蛋人在6只鸟窝中拾到蛋的总数Y 的分布律及数学期望.(4) 求}4{},4{><Y P Y P(5) 当一个拾蛋人在这6只鸟窝中拾过蛋后,紧接着又有一个拾蛋人到这些鸟窝中拾蛋,也仅当鸟窝中多于3只蛋时,拾取一只蛋,求第二个拾蛋人拾得蛋数Z 的数学期望.解 (1)设该中鸟在],0(0t 内下蛋数为X 按题意,5,4,3,2,1,}{===r Cr r X P 其中C 为待定常数.因∑===51,1}{r r X P 即有,11551==∑=C Cr r 所以15/1=C ,因此X 的分布律为.5,4,3,2,1,151}{===r r r X P (2)因当且仅当窝中蛋数多于3时,某人从中取走一只蛋,故拾蛋人在该窝中拾取一只蛋的概率为53155154}5{}4{}3{=+==+==>X P X P X P (3)记拾蛋人在6只鸟窝中拾到蛋的总数为Y ,则)53,6(~b Y ,故518)53(6)(=⨯=Y E(4)}6{}5{}4{1}4{=-=-=-=<Y P Y P Y P Y P=6524535253565253461⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0.456,(6) 第2个拾蛋人仅当鸟窝中最初有5只蛋时,他才能从该窝中拾到一只蛋,故他在一个鸟窝中拾到 一只蛋的为,31}5{===X P p 以Z 记第2个拾蛋人拾到蛋的总数,则),31,6(~b Z 故有2)31(6)(=⨯=Z E ．38. 设袋中有r 只白球,r N -只黑球.在袋中取球)(r n n ≤次,每次任取一只做不放回抽样,以Y 表示取到白球的个数,求)(Y E .解 引入随机变量i X :⎩⎨⎧=,,0,,1次取球得到不是白球若第次取到白球若第i i X i ,,,2,1n i = 则n 次取球得到的白球数.21n X X X Y +++=而的分布律为次取球得到白球第i i X Nri P X P ,}{}1{=== i X 0 1 k p Nr-1 N r.,,2,1n i = 即知i X 的数学期望为NrX E i =)(.于是得Y 得数学期望为NnrN r n X E X E Y E ni i n i i =⨯===∑∑==11)()()(. 本题也可按以下方式写出Y 的表达式,从而求得)(Y E ,将球编号,引入随机变量:i X⎩⎨⎧=号白球未被取到若第号白球被取到若第i i X i ,0,,1 r i ,,2,1 = 则 r X X X Y +++= 21.事件}1{=i X 发生,表示在袋中取球n 次,若每次任取一只不放回抽样时,第i 号白球被取到.因为事件}1{=i X 可以在第一次、第二次、…、第n 次取球,这n 种两两互不相容的情况发生,且每次取到第i 号白球的概率都是N1.因此r i NnN N N X P i ,,2,1,111}1{ ==+++==, 这样N n X E i =)(,从而N nrX E Y E ri i ==∑=1)()(.39.抛一颗骰子直到所有点数全部出现为止,求所需投掷次数Y 的数学期望. 解 引入随机变量.6,5,4,3,2,1,=i X i 如下:,11=X,,2待次数等待第二不同点所需等是第一点得到后X3X 是第一、第二两点得到后,等待第三个不同点所需等待次数, 654,,X X X 的意义类似.则所需投掷的总次数为621X X X Y +++= .因第一点得到后,掷一次得第二个不同的点的概率为65,因此2X 的分布律为,,2,1,)61(65}{12 ===-k k X P k 即2X 服从参数65=p 的几何分布,又因得到两个不同的点后,掷一次得第三个不相同点的概率为64,故3X 服从参数64=p 的几何分布,其分布律为,2,1,)62(64}{13===-k k X P k同样,654,,X X X 的分布律分别为.,2,1,)63(63}{14 ===-k k X P k .,2,1,)64(62}{15 ===-k k X P k .,2,1,)65(61}{16 ===-k k X P k 因几何分布 ,2,1,)1(}{1=-==-k p p k X P k 的数学期望为(参见第四章)2(习题选解19题)pX E 1)(=. 所以∑∑==+==62161)()()()(i ii i X E X E X E Y E =7.14]1626364656[1=+++++． 40.设随机变量Y X ,相互独立.且Y X ,分别服从以βα1,1为均值得指数分布.求).(2X Ye X E -+解 )()()()(22X X e E Y E X E Ye X E --+=+ dt ee Y E X E X D ttαα-∞-⎰⋅⋅++=02)()]([)(⎰∞+-++=0)1(22111dt e t ααβαα.)1(22++=αβαα41.一酒吧间柜台前有6张凳子,服务员预测,若两个陌生人进来就坐的话,他们之间至少相隔两张凳子.(1) 若真有2个陌生人入内,他们随机地就坐,问服务员预言为真的概率是多少? (2) 设2个顾客是随机坐的,求顾客之间凳子数的数学期望.解 (1)将凳子按自左至右编号,设服务员预言为真.)(A 若第一顾客就坐于1号,则另一顾客可坐4或5或6号共三种坐法,)(B 若第一顾客就坐于2号,则另一顾客可坐在5或6号共两种坐法,)(C 若第一顾客就坐于6号,只有一种坐法.综合)(),(),(C B A 三种情况共计6种坐法.同样,若第一顾客分别就坐于6号,5号,4号,则另一顾客也有6种坐法,因此两人共有1226=⨯种坐法,若两人随机就坐共有3026=A 种坐法,故服务员预言为真的概率是523012==p ．(2)若两顾客是随机坐的,以Y 记两顾客间的凳子数,则Y 可能取的值为0,1,2,3,4.可知Y 的分布律为Y 0 1 2 3 4k p155 154 153 152 151于是3415141523153215411550)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ． 42.设随机变量10021,,,X X X 相互独立，且都服从),1,0(U 又设,10021X X X Y ⋅⋅⋅= 求概率}10{40-<Y P 的近似值.解 所求概率为}.1.92ln {}10ln 40{ln }10ln 40{ln }10{1001100140-<=-<=-<=<=∑∏==-i i i i X P X P Y P Y P p因n X X X ,,,21 相互独立且都服从),1,0(U 知n X X X ln ,,ln ,ln 21 也相互独立,且服从同一分布,又),1,0(~U X i 其概率密度为⎩⎨⎧<<=其他，,010,1)(x x f 故有.112)(,2d ln )(ln,1d ln )(ln 1221=-===-==⎰⎰i i i X D x x X E x x X E由中心极限定理得}1.92ln {1001-<=∑=i i X P p⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-<-⨯-=∑=11001001.921100)1(100ln 1001i i X P.7852.0)97.0()1001001.92(=Φ=+-Φ≈43.来自某个城市的长途电话呼叫的持续时间X (以分计)是一个随机变量,它的分布函数是⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=--.0,0,0,e21e 211)(]3[3x x x F x x (其中]3[x是不大于3x的最大整数). (1) 画出)(x F 的图形.(2) 说明X 是什么类型的随机变量.(3) 求}6{},4{},3{},4{>>==X P X P X P X P (提示)0()(}{--==a F a F a X P ).解 (1)(2))(x F 的所有不连续点为),,2,1(3 =k k X 取这些值的概率的总和为∑∑∞=∞=--==11)]03()3([}3{k k k F k F k X P∑∞=-----⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1)133(33]33[33e 21e 211e 21e 211i k k k k∑∑∞=∞=---=-=-=111.21e )1e (21)e e (21i k kk k注意到,在)(x F 的任一连续点a 处有;0}{==a X P 又由于∑∞===121}3{k k X P ,因此,不可能取到可列多个值,,,21 x x 使得∑∞===1,1}{k kx X P 故X 不是离散型随机变量.又由于)(x F 不是连续函数,故X也不是连续型随机变量. (3) .0}4{==X P)03()3(}3{--==F F X P ⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-----)11(111e 21e 211e 21e 211 .316.0)e 1(211=-=- .684.00e 21e 211}4{)4(}4{134=---==-=<--X P F X P .135.0e 21e 2111)6(1}4{222==⎪⎭⎫⎝⎛---=-=>---e F X P 44.一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况.据历史数据分析,在未来一周中一组客户中至少提出一项索赔的客户数X 占10%.写出X 的分布,并求12.0250⨯>X (即30>X )的概率.设各客户是否提出索赔相互独立..0.0.0.00.1题15.43图解 按题意知)10.0,250(~b X .现在需要求 ∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=>2503125090.010.0250}30{x xx x X P 即需求 ∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>30025090.010.02501}30{x xx x X P 由拉普拉斯定理得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-Φ-≈>90.010.025010.0250301}30{X P.1469.08531.01)054.1(1=-=Φ-=45.在区间)1,0(随机地取一点X .定义}.75.0,min{X Y = (1) 求随机变量Y 的值域.(2) 求Y 的分布函数,并画出它的图形.(3) 说明Y 不是连续型随机变量, Y 也不是离散型随机变量.解 (1)因},75.0,min{X Y =故X Y ≤且.75.0≤Y 又由于X 的值域是)1,0(,知Y 的值域为]75.0,0(.(2) 由(1)知当0<y 时,0}{)(=≤=y Y P y F Y 当75.0≥y 时, .1}{)(=≤=y Y P y F Y 当75.00<≤y 时,事件}{y Y ≤表示X 是在],0(y 随机取的一点.故有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=75.0,175.00,0,0)(y y y y y F Y)(y F Y 的图形如题15.45图所示.(3) 从题15.45图看出, )(y F Y 在点75.0=y 处不连续, 故它不是连续型随机变量. )(y F Y 只有一个不连续点75.0=y .注意到在)(y F Y 的任一连续点a 处,有,0}{==a Y P 而在不连续点75.0=y 处,.25.0)075.0()75.0(}75.0{=--==Y Y F F Y P 故不可能取到可列多个值,,,21 y y 使得,1}{1==∑∞=k ky Y P 故Y 不是离散型随机变量..01题15.45图。
概率论与数理统计考试试卷(附答案)
概率论与数理统计考试试卷（附答案）一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1. 事件表达式B A -的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生(D) 事件A 与事件B 至少有一件发生2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1(D) 是必然事件3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布(D) 自由度为2的F 分布4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( )(A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计6. 随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的方差D (X )的值为( ) (A) 0.25(B) 3.5(C) 0.75(D) 0.5二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。
把答案填在题中横线上） 1. 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (AB )= __________2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____4. 已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则P {X ≤1.5}=_______.5. 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (2X +Y )=__________6. 一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝_____________________ _______三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。
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桂林电子科技大学试卷学年第 学期 课号 课程名称 概率论与数理统计 适用班级（或年级、专业） 考试时间 120 分钟 班级 学号 姓名一、 填空题（每小题4分，共12分）1、 设Y X ,是相互独立的随机变量，且均服从正态分布)4,6(N ，则)]1)(1[(2--X Y E ＝ 。
2、 设总体()θ,0~U X ，,,21X X …5,X 是X 的样本。
则(){2,,,max 521θ>X X X P = 。
3、 设总体),(~2σμN X ，,,21X X …n X ,是X 的样本，X 为样本均值。
则X 的概率密度为： 。
二、 选择题（每小题4分，共12分）1、 设B A,为任意的两个随机事件，且0)(,>⊂A P B A ，则下列选项不正确的是 。
（A ）、)()(B P A P <；（B ）、)()(B P B A P =+； （C ）、)()(B P AB P = ；（D ）、)|()(B A P A P <。
2、 若),(~p n b X ，则=)(2X E 。
（A ）2)1(np - （B ）)1(np p np -- （C ）2)1(np +（D ）)1(np p np +-3、设总体),(~2σμN X ，,,21X X …n X ,是X 的样本，且2σ已知。
0H ：0μμ=（已知），1H ：0μμ≤。
则适合于检验假设的统计量为：（A ）、ns X /μ- ； （B ）、nX /0σμ- ； （C ）、ns X /0μ- ； （D ）、nX /σμ- 。
三（每小题10分，共20分）1．设随机变量)4,10(~N X ，25-=X Y ，试求：（1）、Y 的概率密度；（2）、}48{<Y P 。
2．设随机变量X 的分布律为：2,1,0,31}{===k k X P ，试求： （1）、12-=X Y 的分布律； （2）、)(Y D 。
四（每小题12分，共24分）1． 设来自A ，B ，C 三个学校的考生人数分别为10，15，25名，其中女生分别占3，5，7名，若随机叫一名考生，试求： （1）、是女生的概率； （2）、已知叫的是一名女生，问该女生是A 校的概率。
2．已知),(Y X 的联合分布律为：试求：（1）、β； （2）、X 与Y 是否独立； （3）、)(XY E 。
五 （每小题10分，共20分）1． 设总体()λπ~X ，,,21X X …n X ,是X 的样本，试求()0=X p 的最大似然估计。
2． 设总体)2,0(~2N X ，,,21X X …4,X 是X 的样本，()()212234234X X b X X a Y -+-=，且Y 服从2χ分布。
试求常数b a ,。
六 (共12分)设Y X ,的联合概率密度为：⎩⎨⎧>>=+-其他,00,0,),()(y x ce y x f y x试求：（1）c 的值；（2）边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； (3)Y X Z -=的概率密度。
桂林电子科技大学试卷评分标准与参考答案学年第 学期 课号 课程名称 概率论与数理统计 适用班级（或年级、专业） 一、填空题（每小题4分，共12分）3、 设Y X ,是相互独立的随机变量，且均服从正态分布)4,6(N ，则)]1)(1[(2--X Y E ＝195。
4、 设总体()θ,0~U X ，,,21X X …5,X 是X 的样本。
则(){2,,,max 521θ>X X X P =31/32 。
5、 设总体),(~2σμN X ，,,21X X …n X ,是X 的样本，X 为样本均值。
则X 的概率密度为：+∞<<-∞=--x enx f x n X ,2)(222)(σμπσ。
二、选择题（每小题4分，共12分）6、 设B A ,为任意的两个随机事件，且0)(,>⊂A P B A ，则下列选项不正确的是( A ) 。
（A ）、)()(B P A P <；（B ）、)()(B P B A P =+； （C ）、)()(A P AB P = ；（D ）、)|()(B A P A P ≤。
7、 若),(~p n b X ，则=)(2X E ( D ) 。
（A ）2)1(np -； （B ）)1(np p np --； （C ）2)1(np +；（D ）)1(np p np +-。
3、 设总体),(~2σμN X ，,,21X X …n X ,是X 的样本，且2σ已知。
0H ：0μμ=（已知），1H ：0μμ≤。
则适合于检验假设的统计量为：（B ） 。
（A ）、ns X /μ- ； （B ）、nX /0σμ- ； （C ）、ns X /0μ- ； （D ）、nX /σμ- 。
三（每小题10分，共20分）1、解： （1） 依题意，+∞<<-∞=--x ex f x X ,221)(8)10(2π…2分)52(}52{}25{}{)(yF y X P y X P y Y P y F X Y +=+≤=≤-=≤= …2分 +∞<<-∞⋅=⋅+='=--y e y f y F y f y X Y Y ,2215151)52()()(200)48(2π…2分（2） 由第一问知，)10,48(2N Y ～，所以)0()2048481048{}48{Φ=-<-=<Y P Y P =0.5 …4分 2、解：（1） 当0=x 时，1-=Y ；当1=x 时，0=Y ；当2=x 时，3=Y ，所以31}0{}1{===-=X P Y P ；31}1{}0{====X P Y P ；31}2{}3{====X P Y P 。
…4分故12-=X Y 的分布律为：…1分 （2） 由Y 的分布律知：32313310311)(=⨯+⨯+⨯-=Y E …1分 31031331031)1()(2222=⨯+⨯+⨯-=Y E …1分于是 92694310)]([)()(22=-=-=Y E Y E Y D …3分 四（每小题12分，共24分）1、解：（1） 设1A 为叫到的是A 校，2A 为叫到的是B 校，3A 为叫到的是C 校，N 为叫到的是女生。
则)()|()()|()()|()(332211A P A N P A P A N P A P A N P N P ⋅+⋅+⋅=450137312573115531103=⨯+⨯+⨯=…6分 （2） 1374545013731103)()()|()|(111=⨯=⋅=N P A P A N P N A P …6分 2、解：（1） 依题意知，611316131=⇒=+++ββ …2分（2） 111111{0},{1}362632P X P X ==+===+=2121}1{}0{31}1,0{⨯=-=⋅=≠=-==∴Y P X P Y X P 故Y X ,不相互独立。
…5分 （3） ∑∑==⋅=2121)(i j ij jiP yx XY E …5分21311161)1(1611031)1(0=⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯+⨯-⨯= 。
五 （每小题10分，共20分） 解：1. ∵λ的似然函数为：(),!1λλλ-=∏=ex L ni ixi∴()()∑∑==-⋅+-=ni in i ix x n L 11!ln ln ln λλλ， …4分令()[]0ln =λλd L d ，得：01=+-∑=λni ixn 即 x =λˆ。
…2分 ∴()0=X P 的最大似然估计量为：()X e X P-==0ˆ …4分 2. ∵()20,0~212N X X -，()100,0~3434N X X -。
…2分 ∴()1,0~52/)2(12N X X -，()1,0~10/)34(34N X X -。
…2分当 201,1001==b a 时，Y 服从()22χ分布。
…6分 六 (共12分)解： （1） 由因⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f …2分⎰⎰+∞+∞+-=⇒==0)(11c c dxdy e cy x …2分（2） 由（1）可知，⎩⎨⎧>>=+-其它,0),()(y x e y x f y x …1分于是，当0≤x 时，0)(=x f X 当0<x 时，⎰+∞∞--+-==x y x X e dy e x f )()(⎩⎨⎧≤>=∴-000)(x x e x f xX …1分 同理⎩⎨⎧≤>=-0)(y y e y f yY …1分（3） ⎰⎰≤-=≤-=≤=zy x Z dydx y x f z Y X P z Z P z F ),(}{}{)(∴ 当0≥z 时，⎰⎰+∞--+--=-=z zx z y x Z e dy e dx z F 0)(2111)( 当0<z 时，⎰⎰+∞-++-==z z y z y x Z e dx edy z F 0)(21)( ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=∴-0210211)(z e z ez F z zZ …2分 故： ⎪⎩⎪⎨⎧<≥='=-021021)()(z e z ez F z f z zZ Z …1分。