CH7数学物理定解问题

（1）第一类边界条件：
直接给出系统边界上物理量的函数形式 u x , y , z f1 ( x0 , y0 , z0 , t )
0 0 0
对于一维：
u( x, t ) | x0 f1 (t )
比如：弦的两端固定 u( x, t ) | x 0 u( x, t ) | x l 0 若弦两端按某规律运动
s


1

d E d

9
所以
E

E u
u
u
-----此即泊松方程 若所讨论区域无电荷，则为
u 0
对于扩散方程
-----laplace方程
2
ut a u 0
当时间足够长,ut=0达到稳定状态，即浓度的稳定分布方程。
1、定义：由于某种原因，物理量在某些点上发生突变，则使 系统分为两部分或多部分，使偏微分方程为两部分或多部分。 每个部分都满足同样的偏微分方程，但在这点（或区域上） 对方程来说，相当于边界而又无法给出边界条件。
如右图的弦 ①连续性 u( x0 0, t ) =
u( x0 0, t )
1
F
t
3.三种典型方程的用途
12
1) 双曲型方程(Hyperbolic Equation)
以波动方程为代表的方程
utt a u、振动过程，或声波、 电磁波的传播规律． 2) 抛物型方程(Parabolic Equation)： 以热传导方程（或输运方程）为代表的方程
u qx k x
u q x | xa k | xa 0 x u | xa 0 u x | xa 0 所以 x
x 热流
x
x+dx
19
例3、弦振动中，在x=a端为自由端。
u
T1
a1
自由端说明弦在x=a 处的受力
无垂直于x方向分量
x
B
a2
T2
x+dx
x
u | xa 0 F=T x u | xa 0 x
20
33）、第三类边界条件： （
u （ u+ h ） | x0 , y 0 , z 0 = f 3 ( x 0 , y 0 , z 0 , t ) n
例4:热传导的杆在x=a端自由冷却，自由冷却的意思是：
界面法向方向上的热流与杆端温度和环境的温差成正比
u u 和 的线性关系。 给出系统在边界上 u n
注意问题： （1）、衔接条件只是时间的函数 （2）、衔接条件常常由物理规律给出。
25
§7、4
达朗贝尔公式
定解问题
一 、达朗贝尔公式 1.问题的提出： 对于常微分方程我们常来用先求出通解，然后利用附 加条件给出通解中所含的常数，能否利用此方称来求 解偏微分方程呢？--针对特定的边界形状联合方程和 边界条件（分离变量法） 2. 将方程变为通过积分可得通解的形式 —针对无限大空间中波的初值问题（行波法） 若我们可将关于u(x,y)的偏微分 方程化为形式，
一、波动方程的导出
8
泊松方程 在充满了介电常数为ε的电解质，电荷的体密度为ρ（x,y,z)， 研究该区域的静电场。 1.势函数u(x,y,z)是根本量,;
2.在所研究的区域中，任作一闭合曲面s，围出一空间τ， 由高斯定理：
E d s
s


1

d

因为 所以
E d E d s
5
定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。
泛定方程：不带有边界他条件的方程称为泛定方程。
它反映了问题的共性。 具体的问题的求解的一般过程： 1、根据系统的内在规律列出泛定方程
——客观规律
2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和
初始条件
——求解所必须用的
6
3、求解方法 —— 行波法、分离变量法、积分变 换法、格林函数法、保角变换法
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
2、通解的物理意义： 若 f 2 ( x) 是波在t=0时的波形。选定坐标系，以速度a沿x 正向移动，
， 即退化为拉普拉斯方程
它是描述物理现象中稳定过程规律的偏微分方程.在物理 现象中，它很好地描述了重力场、静电场、静磁场、稳恒流 的速度势等规律．
14
§7、2 定解条件
一 初始条件 ：
1.定义： 是对所研究系统的在开始计时时刻的系统状态初 始分布
2.初始条件的特征： 偏微分方程的阶数对应于初始条件中的数目: 一阶含时偏微分方程 有一个初始条件 二阶含时偏微分方程
ut a 2 u 0
u( x, y, z) |t 0 f ( x, y, z)
15
有两个初始条件
utt a 2 uxx 0
u( x, y, z, t ) |t 0 f1 ( x, y, z )
ut ( x, y, z, t ) |t 0 f 2 ( x, y, z )
t x 2 ( a ) t x t x
27
为了书写方便 ，作代换
1 x ( ) 2 t 1 ( ) 2a
x at x at
2 u 2 4a 0
3 、注意问题： 1）初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不 是一点处的情况。
16
研究具体的物理系统，还必须考虑研究对象所处的特定“环 境”，而周围环境的影响常体现为边界上的物理状况，即边 界条件．
二 边界条件 ： 1.定义： 系统的物理量始终在边界上具有的情况。 2.分类： 常见的线性边界条件分为三类： 第一类边界条件:直接给出了所研究的物理量在边界上的数值； 第二类边界条件:给出了所研究的物理量在边界外法线方向 上方向导数的数值； 第三类边界条件:给出了所研究的物理量及其外法向导数的 线性组合在边界上的数值. 17
ku n | x a h(u | x a ) （ 环境为度）
可写为 （u+H u m ) | x a

h
f 3 (t )
21
例5 : 如图一个弹簧所施加的力F(t)=-ku(l,t)，如图所示，其 中k是弹簧的劲度系数.给出边界条件.
u YS | x l ku(l , t ) 0 x YS u | x 0 0 x
第二篇
数学物理方程
1
数学物理方程常常来自于物理学、其它自然科学、技 术科学中，许多实际研究对象所涉及到的变量不仅仅是一 个变量问题，可能会涉及到很多变量，这些多变量函数所 满足的方程称为偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程、微分积分方程。如： 描写电磁场运动的Maxwell方程组 波传播满足的波动方程 热传导满足的传导方程 粒子扩散满足的扩散方程 电流、电压满足的电报方程
定律。
同一问题不同环境下，其方程形式相同，即方程反映的 是物理过程变化的规律。 本篇介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关的定解 问题和这些问题的几种常见解法。
4
二、边界问题----边界条件 对于具体的系统，要解出满足该系统所处条件下的方 程，必须考虑到系统周围的环境，不同系统，其周围环境 不同，即边界的区别。即使它们的满足同样的方程，但它 们的解不应该相同。因此，需要知道系统周围环境所处的 状态。体现边界状态的数学方程称为边界条件。 三、历史问题----初始条件 历史上的扰动对以后的状态会有很大的影响。比如： 分别用薄的物体和厚的物体敲击同一弦，研究其后的振动。 虽然，它们满足相同的数学方程，但初始情况不同，方程 的解不应该相同。要求解方程必须知道初始扰动的情况。 体现历史状态的数学方程称为初始条件。
u( x, t ) | x 0 f (t ) u( x, t ) | x l g(t )
18
（2）、第二类边界条件： 规定了系统边界上物理量法向方向上的方向导数的 函数形式。
u | n
x0 , y0 , z0
f 2 ( x0 , y0 , z0 , t )
例2：杆在x=a处绝热。
dinger 方程和 Dirac 方程 o 描写微观粒子运动的 Schr
等等
2
第七章 数学物理定解问题
重点
1、定解问题的概念 2、系统的边界条件和初始条件的写法；
3、行波法研究一维波动方程解的方法和解的表示
形式、以及解的物理意义。
3
第七章 一、数学物理方程
数学物理定解问题
数学物理方程是从物理问题中导出的反映客观物理量在 各个地点、各个时刻之间相互制约关系的数学方程。换言之， 是物理过程的数学表达。如 牛顿定律、热传导定律、热量 守恒定律、电荷守恒定律、高斯定律、电磁感应定律、胡克
四、方程的分类
10
1.数学物理方程的一般形式
a11u xx 2 a12 u xy a 22 u yy b1u x b2 u y cu f 0
其中 a11 ， a12 ， a22 ， b1 ， b2 ，c,f 只是 x,y 的函数
2.方程的分类;
a12、a 22 组成了一个判别式 二阶偏微商项的三个系数 a11、
2 a12 a11a12
按其符号，将方程化为三种类型;
11
2 (1)、 a12 a11a22 0双曲型
（ 2） 、 a12 a11a22 0抛物型
2
（3） a12 a11a22 0椭圆型
2
由判别式式知;
utt a 2u xx 0双曲型 2 u a u xx 0抛物型 t u 0 椭圆型
波动方程为： 则有：
2u 0
28
积分求通解： 对 积分一次 再积分一次