第二章 数学物理定解问题

I。
图2-2（a）
图2-2（b）
（1）由x＝c点的初始位移，求出其它点的初始位移。设。由于[0,c]
段是直线，设，由x＝0时＝0和x＝c时＝h定出A＝h/c和B＝0。同样，
[c,l]段也是直线，设，由x=c时，＝h和x=l时，＝0，定出和，综上得
另外，由题意，显然。 （2）先求初始位移，设拉力与张力T平衡时点x＝c得位移为h，由 ，所以
， 而x点的应变则是
， 图2-1 弹性杆的微小纵振动 由于振动是微小的（不超过杆的弹性限度），由胡克定律有
。 设杆的横截面为S（设为常数），则由牛顿第二定律，段的运动方程是
其中常数满足，并利用了胡克定律式，而且将函数在处展开为泰勒级数 并取了前两项。以除上式的两端后， 令取极限，得到
记
则方程最后变为
2、长为的均匀杆，侧面绝缘一端温度为零，另一端有恒定热流进入 （即单位时间内通过单位截面积流入的热量为），杆的初始温度分布 是，试写出相应的定解问题。
3、一均匀杆的原长为，一端固定，另一端沿杆的轴线方向拉长而静 止，突然放手任其振动，试建立振动方程与定解条件。
4、把下列方程化为标准型。 5、 若是两个任意二次连续可微函数，验证 满足方程
的热量守恒问题（设杆的侧面是绝热的），有
其中S为杆的截面积，常数满足，将（1）代入，并令取极限，得到 （3）
类似地，对于小段，有 ， 满足。将（1）代入，并令取极限，得到 (4)
(3) 所谓牛顿冷却定律是指，在介质边界面S上，热流强度地外法向分量是 同介质温
与周围介质温度之差成正比，即 （5）
其中的比例常数b>0称为热交换系数。在x=l处，的方向就是x的正方向，所 以（5）成
计算得原方程为
即
（3） 由 ，所以特征方程为
(Ⅰ)若，则，该方程为双曲型的。
特征线为和，或写为及。
令
（1）
(2)
原方程化为
（3）
将减式得， 所以 ，代入得标准型为
(Ⅱ)若，则，这时方程为椭圆型的。 其特征方程为 特征线为 及。 于是令 计算可得原方程化为
或
即
。
（4） 因为，所以该方程是椭圆型的，其特征方程为
x=l端
为绝热（即热流为零）；（2）两端均有热流流入；（3）两端以牛顿冷却定
律与周围介质（其
温度恒为）进行热交换。
解：（1） 显然。设热流强度为，由热学中的Fourier定律，热流强
与介质的温度的关系是
，
（1）
是x方向的单位矢量），将(1)代入，记得
ห้องสมุดไป่ตู้
（2）
（2）设x=0处的热流强度为，x=i处的热流强度为。考虑杆的小段
性的，故可设任何方向上单位长度上所受的张力T也是常数。在非边界的膜 上任取一小块
到，现在来分析此小块横向上的受力和运动情况： 沿平行于r的方向，设张力与平衡位置的夹角为，有 在r边上受力 ，
边上受力 ， 沿平行于的方向，设张力与平衡位置的夹角为，有
边上受力 ， 边上受力 ， 在小振动近似下， 由此并根据牛顿第二定律可
，
（4）
，
（5）
。
（6）
由方程（5）、（6）消去p后所得得方程再与方程（4）消去，即得
，
（7）
，由方程（3）、（7）和，得到
，
（8）
由于流体是无旋的，即 ， 必存在速度势，使得
（9）
这样，求三个未知函数归结为求一个未知函数u。方程（5）和（6）消去p
后，将
（9）代入，有
（10）
方程（4）与（10）消去s后，将（9）代入，得到
（3）
其中k和是常数，它们由流体的性质决定。
原则上五个方程（1）－（3）（（1）是矢量方程，它相当于三个标
量方程）可以确定五个未知函数和p，然而它们是非线性的，其求解已
超出本课程的范围。这里我们设法将它们线性化。
设平衡时流体的密度为，引入稠密度以代替。因为声波在传播过程
中，都是小量，略去高阶小量后，方程（1）－（3）成为
故定解问题为
2 解：杆的初始温度分布是，即有初始条件：
由杆的一端温度为零，有边界条件：
杆的另一端有恒定热流，即：
故定解问题为：
3 解：以表示小段的质心位移，设为杆的横截面积，为杆的密 度，是在点处所受的力。
由牛顿第二运动定律，有 当时， ，，又因为 ，故有
令 ，可得振动方程为 由题意放手时即是振动的初始时刻，此时杆振动的速度为零，即 而端拉离平衡位置使整个杆伸长了，故整个系统的初始位移为 再看边界条件，一端固定即该端没有位移，有 另一端由于放手任其振动时未受外力，有 故振动方程与定解条件为：
4 解 (1) 因为，所以该方程是椭圆型的，其特征方程为
特征线为 和。故可令，
为计算方便，又令
原方程化为 改变自变量的记号得：
（2） 由于 (Ⅰ)若，则，该方程为双曲型。 其特征方程为 ，和 特征线为 和。故可令，， 所以原方程化为
(Ⅱ) 若，则，该方程为椭圆型。 其特征方程为 ，和 特征线为 和。故可令，，为计算方便，又令
。在x=0段，的方向与x的正方向相反，所以有 。
例6 试将方程
化成标准型。 解：因为，所以该方程是双曲型的，其特征方程为
特征线为 和。令， 。 例7 讨论方程 的类型，并化为标准型． 解：所以
故所给方程为双曲型的，其特征方程为 即 解之有 特征曲线为
令 则原方程化为
1、长为的弦两端固定，开始时在受冲量的作用，试写出相应的定解问 题。
， 由此得，利用（1）小题的结果，得到
同样有。 （3）由题意有。在点x=c，由冲量定理，有，即是
弦的质量密度）；在其它点处。因此。 说明: 也可以用极限的形式写出。将冲量I看成均匀分布在小段
为小量）内，则在此小段上单位长度受到的冲量是，于是，由冲 量定理，得
在计算结果最后取。
导出长为l的杆的一维热传导问题下的边界条件：（1）x=0端保持恒温，
第二章 数学物理定解问题
2.2.1 例题分析
2.2 基础训练
例1 导出均匀弹性杆的微小纵振动方程，设杆的弹性模量（杆伸长 单位长度所需要的力）为E，质量密度为，作用于杆的外力密度为 F(x,t)
解：取x轴沿杆的轴线方向，以u(x,t)表示x点，t时刻的纵向位移。 使用微元法，考虑杆上的一小段的运动情况。以记杆上x点，t时刻的应 力(杆在伸缩过程中各点相互之间单位截面上的作用力)，其方向沿x 轴，现在求杆上x点，t时刻的应变（相对伸长）。如图（2。1）所示， A’B’表AB段（平衡位置）在t时刻所处的位置，则AB段的相对伸长是
特征线为 和。故令， 原方程变为
， 或
即： 5 验证：由题意有 及 及
可得 6证明：由题意只有验证 是方程的解即可。将代入方程（1）左边
式中，并利用条件是方程（1）的解，可得 证毕。
6、验证线性奇次方程的叠加原理。即若 均是线性二阶齐次方程 （1）
的解，其中都只是的函数，而且级数收敛，其中为任意常数，并对可以 逐次微分两次，求证仍是原方程的解。
2.2.3 解答与提示 1 解：设弦的两端为：，由题意有 弦的振动方程为
定解条件为：
在点，由冲量定理有 ，即 ；在其它处，或写成
注意：也可用极限的形式写出：将冲量看成均匀分布在小段 （是无穷 小量），则在此小段上单位长度受到的冲量是，于是，由冲量定理得
这就是杆的纵振动方程，也是一维波动方程。
例2 导出无旋流体中声波的传播方程。
解：运用规律法，直接从现有的理想流体动力学方程和热力学的物
态方程出发导出声波方程。
设流体密度为，空间中一点(x,y,z)的流体元的速度为, 压强为，而连续
性方程是
；
（1）
理想流体的动力学方程是
；
（2）
此外，声波传播过程是绝热过程，它的物态方程是
（11）
方程（7）、(8)和（11）都是声波的传播方程。如果都不
随t变化，则方程（7）、(8)和（11）都变成Laplace方程：
，
(12)
，
(13)
，
(14)
这些方程给出的是稳定场方程。
例3 均匀、各向同性的弹性圆膜，沿圆周固定，试列出膜的横振动方程和
边界条件。
解：设圆膜的质量面密度为为常数（因为圆模是均匀的），又因为圆膜是 弹性各向同
除方程两边，并且令取极限，得 ， ，
。 边界条件为： 。 对弦的横振动问题导出下列情况下的初始条件：
（1）弦的两端点x=0和x＝l固定， 用手将弦上的点x＝c (0<c<l)拉 开使之与平衡位置的偏离为h（图2。2（a），并设h<<l），然后放手；
（2）弦的两端点x=0和x＝l固定，用横向力拉弦上的点x＝c (0<c<l)， 达到平衡后放手（图2。2（b））； （3）弦的两端点x=0和x＝l固定，以槌击弦上的点x＝c (0<c<l) 使之获得冲量