(广西专用)201x中考数学二轮新优化复习第二部分专题综合强化专题2 函数图象问题针对训练

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2025年广西中考数学二轮复习课件：专题1方程(组)与不等式(组)

计划进货“吉祥龙”和“如意龙”两种公仔吉祥物，发现用6 000元购进
的“吉祥龙”的数量是用2 500元购进的“如意龙”的数量的2倍，且每个
“吉祥龙”的进价比每个“如意龙”的进价贵了5元.
(1)求一个“吉祥龙”、一个“如意龙”的进价分别是多少元.
解：设一个“吉祥龙”的进价是x元，则一个“如意龙”的进价是(x－5)
④若该不等式组的解集为1≤x＜3，则m的值为___.
8
m≤4
⑤若该不等式组无解，则m的取值范围为______.
8＜m≤10
⑥若该不等式组有且只有3个整数解，则m的取值范围为__________.
类型二
考向一
例1
方程(组)及不等式的应用
购买、分配问题(北部湾2020.24)
某校举办知识竞赛，计划去商场为获得一等奖和二等奖的学生分
念品共用200元.
(1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价.
解：设A款纪念品的进货单价为x元/个，B款纪念品的进货单价为y元/个.
3－2 = 120，
= 80，
由题意得
解得
= 60.
+ 2 = 200，
答：A款纪念品的进货单价为80元/个，B款纪念品的进货单价为60元/个.
(2)该经销店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5 000元，则
金购买甲、乙两种农机具.已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，
用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同.
(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元.
解：设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要(x＋1)
15
10
万元.依题意得＝，

2024年中考数学二模试卷(广西卷)(全解全析)

2024年中考第二次模拟考试数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．有理数2024-的相反数是（）A ．12024B ．12024-C ．2024D ．2024-1．C【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．【详解】解：2024-的相反数是2024，故选：C ．2．鱼纹样是我国的传统吉祥图案之一．因与“余”谐音，往往用来比喻人们生活的富足有余．下列鱼纹剪纸图案是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．D【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，根据轴对称图形的概念求解即可．【详解】解：A.不是轴对称图形，本选项不符合题意；B.不是轴对称图形，本选项不符合题意；C.不是轴对称图形，本选项不符合题意；D.是轴对称图形，本选项符合题意．故选：D ．3．下列计算正确的是（）A ．336a a a +=B ．248a a a ⋅=C ．624a a a ÷=D ．()325a a -=-3．C【分析】本题考查合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方．根据合并同类项法则计算并判定A ；根据同底数幂相乘法则计算并判定B ；根据同底数幂相除法则计算并判定C ；根据幂的乘方法则计算并判定D ．【详解】解：A ．3332a a a +=，故此选项不符合题意；B ．246a a a ⋅=，故此选项不符合题意；C ．624a a a ÷=，故此选项符合题意；D ．()326a a -=-，故此选项不符合题意；故选：C ．4．不等式3x +1＜10的解集是()A ．x ＞4B ．x ＞3C ．x ＜4D ．x ＜34．D【分析】首先移项，合并同类项，然后系数化成1，即可求解．【详解】移项，得：3x ＜10﹣1，即3x ＜9，则x ＜3．故选D ．【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．5．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r ，则圆周长C 与r 的关系式为2πC r =．下列判断正确的是（）A ．2是变量B ．π是变量C ．r 是变量D ．C 是常量5．C【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可．【详解】解：2与π为常量，C 与r 为变量，故选：C ．【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键．6．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．2,3,5B．3,4,8C．4,5,7D．5,6,126．C【分析】本题考查构成三角形的条件，涉及三角形三边关系，由选项中所给线段长，利用三角形三边关系即可得到答案，熟记三角形三边关系是解决问题的关键．【详解】解：A、由235+=，结合三角形三边关系可知2,3,5无法构成三角形，不符合题意；B、由348+<，结合三角形三边关系可知3,4,8无法构成三角形，不符合题意；C、由7435,4597-=<+=>，结合三角形三边关系可知4,5,7能构成三角形，符合题意；D、由561112+=<，结合三角形三边关系可知5,6,12无法构成三角形，不符合题意；故选：C．7．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A9B20C．22D257．C【分析】此题考查了最简二次根式的判断，解题的关键是熟知最简二次根式的特点，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式．直接利用最简二次根式的定义逐项分析即可得出答案．【详解】解：A93=，不是最简二次根式；B2025=，不是最简二次根式；C．22D255=，不是最简二次根式；故选：C．8．在一个不透明的袋子里装有5个小球，这些小球除颜色外无其他差别，其中红球2个，白球3个，摇匀后，从这个袋子中任意摸出一个球，则这个球是白球的概率是（）A．23B．25C．35D．568．C【分析】本题考查了概率的求法：如果一个事件有 n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率()mP An=，用白球的个数除以球的总数即可求得答案．【详解】解：∵从这个袋子中任意摸出一个球共有5种等可能的情况，这个球是白球的有3种可能，∴从这个袋子中任意摸出一个球，则这个球是白球的概率35=，故选：C ．9．将点()35P --，向右平移3个单位长度得到点Q ，则点Q 的坐标为（）A ．()05-，B ．()65--，C ．()32--，D ．()38--，9．A【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移．直接利用平移中点的变化规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”求解即可．【详解】解：将点()35P --，向右平移3个单位长度，得到点Q 的坐标为()335-+-，，即()05-，．故选：A ．10．如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径画弧，两弧相交于两点M ，N （注：画弧时，半径保持不变）；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．如果CD AC =，15B ∠=︒，那么ACB ∠的度数为（）A ．120︒B ．125︒C ．130︒D ．135︒10．D【分析】首先根据题目中的作图方法确定MN 是线段BC 的垂直平分线，得到CD BD =，即DBC DCB ∠=∠；接下来根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得CDA ∠以及A ∠的度数，然后根据三角形内角和定理计算即可得到答案．【详解】∵由作图可知，MN 垂直平分BC ，∴CD BD =，∴15DCB DBC ∠=∠=︒．∴30CDA DCB DBC ∠=∠+∠=︒∵CD AC =，∴30A CDA ∠=∠=︒．∴1801801530135ACB B A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选D ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质、三角形外角性质和三角形内角和定理．11．如图，点A ，B ，C ，E 在O 上，OC AB ⊥于点D ，22.5E ∠=︒，22OB =，则 BC 的长为（）A ．24πB ．22πC 2πD ．π11．B【分析】连接OA ，则22OA OB ==根据垂径定理得到 BC AC =，由圆周角定理得到245AOC E ∠=∠=︒，根据弧长公式计算出 AC 的长，即可得到 BC的长．【详解】解：连接OA ，则22OA OB ==，∵OC AB ⊥于点D ，∴ BCAC =，∵22.5E ∠=︒，∴245AOC E ∠=∠=︒，∴ AC 的长为45221802ππ⨯=，∴ BC 的长为22π．故选：B ．【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理、弧长公式等知识，熟练掌握垂径定理、圆周角定理是解题的关键．12．已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是()A．B．C．D．12．A【详解】解：分析题中所给函数图像，-段，AP随x的增大而增大，长度与点P的运动时间成正比．O E-段，AP逐渐减小，到达最小值时又逐渐增大，排除C、D选项，E F-段，AP逐渐减小直至为0，排除B选项．F G故选A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分）13．为了保证婴幼儿的饮食安全，质检部门准备对某品牌罐装牛奶进行检测，这种检测适合用的调查方式是(填“全面调查”或“抽样调查”)13．抽样调查【详解】试题分析：根据抽样调查和普查的特点即可作出判断．了解市场上某品牌婴幼儿奶粉的质量安全情况，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，而不能将整批某品牌婴幼儿奶粉全部用于实验，所以选择抽样调查．考点：普查和抽样调查的选择点评：调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．14．因式分解：225a -=．14．(5)(5)a a +-【分析】直接利用平方差公式分解即可得．【详解】解：原式()()22555a a a =-=+-．故答案为：()()55a a +-．【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ：AD =2：3，BC =6，则平行四边形ABCD 的周长是．15．20【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB ＝CD ，AD ＝BC ，进而可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∵AB ：AD =2：3，BC =6∴AB ＝CD =4∴AB +BC ＝4+6＝10，∴平行四边形ABCD 的周长是20，故答案为：20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等．16．如图，在ABC 中，P ，Q 分别为AB ，AC 的中点．若APQ △的面积1APQ S =△，则ABC 的面积ABC S = ．16．4【分析】根据中位线的性质得出PQ BC ∥，12PQ BC =，证明APQ ABC ∽，根据相似三角形的性质得出221124APQABC S PQ S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得出4414ABC APQ S S ==⨯= ．【详解】解：∵P ，Q 分别为AB ，AC 的中点，∴PQ BC ∥，12PQ BC =，∴APQ ABC ∽，∴221124APQABC S PQ S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∴4414ABC APQ S S ==⨯= ．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了中位线的性质和三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．17．如图，学校教学楼AB 的后面有一栋宿舍楼CD ，当光线与地面的夹角是25︒时，教学楼在宿舍楼的墙上留下高3m 的影子CE ，而当光线与地而夹角是45︒时，教学楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有20m 的距离(B ，F ，C 在一条直线上），则教学楼AB 的高度为m ．（结果精确到1m ，参考数据：sin 250.42︒≈．cos 250.91︒≈，tan 250.47)︒≈17．23【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作EH AB ⊥于H ，根据正切的定义用AH 表示出EH ，根据等腰直角三角形的性质得到AB BF =，结合图形列出方程，解方程得到答案．【详解】解：作EH AB ⊥于H ，AB BC ⊥ ，DC BC ⊥，EH AB ⊥，∴四边形HBCE 为矩形，3∴==BH CE ，EH BC =，在Rt AHE △中，tan AH AEH EH∠=，100tan 2547AH EH AH ∴==︒，在Rt ABF 中，45AFB ∠=︒，3BF AB AH ∴==+，由题意得，100(3)2047AH AH -+=，解得，20AH ≈，23AB AH BH ∴=+=，故答案为：2318．如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC 的底边BC 在x 轴的正半轴上，顶点A 在反比例函数()50y x x =＞的图象上，延长AB 交y 轴于点D ，若5OC OB =，则BOD 的面积为．18．512【分析】过A 作AH x ⊥轴于H ，连接OA ，根据5OC OB =，可得2BH OB =，即有2ABH AOB S S =V V ，结合A 在反比例函数()50y x x =＞的图象上，可得52AOH S =V ，即有5252123ABH S =⨯=+V ，证明BOD BHA ∽V V ，即有221124BOD ABHS OB S BH ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎝⎭⎝⎭V V ，问题随之得解．【详解】解：过A 作AH x ⊥轴于H ，连接OA，如图：∵ABC 是等腰三角形，AH x ⊥轴于H ，∴BH CH =，AH OD ∥，∵5OC OB =，∴2BH OB =，∴2ABH AOB S S =V V ，∵A 在反比例函数()50y x x =＞的图象上，∴52AOH S =V ，∴5252123ABH S =⨯=+V ，∵AH OD ∥，∴BOD BHA ∽V V ，∴221124BOD ABHS OB S BH ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭V V ，∴115544312BOD ABH S S =⨯==V V ．故答案为：512．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握反比例函数的图象与性质，是解答本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（满分6分）计算：2(54)32(2)-⨯+÷-19．1【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，即可作答．【详解】解：2(54)32(2)-⨯+÷-()()54342=-⨯+÷-()1342=⨯+÷-()32=+-1=20．（满分6分）解方程：323x x=-．20．x =-6【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．【详解】解：323x x=-，3x =2（x -3），3x =2x -6，3x -2x =-6，x =-6，经检验，x =-6是方程的根，∴原方程的解为x =-6．【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解题的关键．21．（满分10分）如图，已知AE BF ∥，AC 平分BAE ∠．(1)尺规作图：作ABF ∠的平分线交AC 于点O ，交AE 于点D ；（要求：保留作图浪迹，不写作法，标明字母）(2)求证：ABO ADO △≌△．21．(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的尺规作图，角平分线的定义和平行线的性质：（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；（2）先由平行线的性质得到ADB FBD ∠=∠，再由角平分线的定义分别证明ABD ADB ∠=∠，BAO DAO ∠=∠，据此可利用AAS 证明ABO ADO △≌△．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）证明：∵AE BF ∥，∴ADB FBD ∠=∠，∵BD 平分ABF ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∵AC 平分BAE ∠，∴BAO DAO ∠=∠，又∵OA OA =，∴()AAS ABO ADO ≌．22．（满分10分）为提高居民防范电信诈骗意识，确保反诈宣传工作落地见效，某社区举行《2024年防诈骗知识》竞赛，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20份答卷，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：收集数据甲小区：858095100909585657585899070901008080909675乙小区：806080956510090858580957580907080957510090整理数据成绩x （分）6070≤≤x 7080x <≤800x <≤9900x <≤10甲小区2585乙小区3755分析数据统计量平均数中位数众数甲小区85.7587a 乙小区83.5b80(1)填空：=a _____，b =_____；(2)若甲小区共有1000人参与答卷，请估计甲小区成绩大于80分的人数；(3)根据以上数据分析，你认为甲、乙两个小区哪一个对防诈骗知识掌握更好？请写出其中一个理由．22．(1)90；82.5(2)650人(3)甲小区对防诈骗知识掌握更好，理由见解析【分析】本题考查了众数、中位数、平均数、频数分布表、用样本估计总体等知识；熟练掌握众数、中位数的定义是解题的关键．（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）由甲小区共有人数乘以甲小区成绩大于80分的人数所占的比例即可；（3）依据表格中平均数、中位数、众数，做出判断即可．【详解】（1）解：甲小区中成绩为90分的出现了4次，出现的次数最多，则甲小区的众数90a =；把乙小区得分从低到高排列，处在第10名和第11名的得分分别为80分，85分，则乙小区的中位数808582.52b +==,故答案为：90；82.5；（2）解：8510006502585+⨯=+++人，∴估计甲小区成绩大于80分的人数为650人；（3）解：甲小区对防诈骗知识掌握更好，理由如下：①甲小区的平均数大于乙小区的平均数；②甲小区的中位数大于乙小区的中位数；③甲小区的众数大于乙小区的众数．综上：甲小区对防诈骗知识掌握更好．23．（满分10分）如图，点O 在直角ABC 的边BC 上，90C ∠=︒，以O 为圆心、OC 为半径的O 与边AB 相交于点D ，连接AO 交O 于点E ，连接CE 并延长交AB 于点F ．已知,10AC AD BC ==．(1)求证：AD 是O 切线；(2)若2cos 3BAC ∠=，求O 半径．23．(1)见解析(2)4【分析】此题考查了切线的判定、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握解直角三角形是解题关键．（1）连接OD ，证明(SSS)AOD AOC ≌，则90ADO ACO ∠=∠=︒，即可证明AD 是O 切线；（2）设O 半径为r ，则10BO BC OC r =-=-，OD OC r ==，利用同角的余角相等得到BAC BOD ∠=∠，则2cos cos 3BOD BAC ∠=∠=，得到2103OD r OB r ==-，即可得到O 半径；【详解】（1）证明：连接OD ，在AOD △和AOC 中，AC AD OC OD AO AO =⎧⎪=⎨⎪=⎩，(SSS)AOD AOC ∴ ≌，90ADO ACO ∴∠=∠=︒，AD OD ∴⊥，OD 是O 的半径，AD ∴是O 切线；（2）解：设O 半径为r ，则10BO BC OC r =-=-，OD OC r ==，90ABC BAC BOD ABC ∠+∠=∠+∠=︒ ，BAC BOD ∴∠=∠，2cos 3BAC ∠=，∴2cos cos 3BOD BAC ∠=∠=，∴2103OD r OB r ==-，解得4r =，即O 半径为424．（满分10分）第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州正式开幕，亚运会吉祥物由三个机器人造型组成，分别是宸宸、琮琮、莲莲，代表杭州的三大世界遗产．某商店购进了一批热销的吉祥物小商品，其中“宸宸”的进货单价比“琮琮”的进货单价少2元，用1000元购进“宸宸”的个数与用1200元购进“琮琮”的个数相同．(1)“宸宸”和“琮琮”的进货单价分别是多少元？(2)该商店计划购进“宸宸”和“琮琮”共100个，“宸宸”的个数不超过80个，且总费用不超过1120元，若“宸宸”和“琮琮”的销售单价分别为16元和20元，商店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？24．(1)“宸宸”的进货单价为10元，则“琮琮”的进货单价为12元(2)商店购买“宸宸”40个，购买“琮琮”60个，才能获得最大利润，最大利润是720元【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用：（1）设“宸宸”的进货单价为x 元，则“琮琮”的进货单价为()2x +元，根据用1000元购进“宸宸”的个数与用1200元购进“琮琮”的个数相同列出方程求解即可；（2）用1000元购进“宸宸”的个数与用1200元购进“琮琮”的个数相同，根据利润=单价利润⨯销售量求出“宸宸”和“琮琮”的利润，然后求和得到W 关于m 的一次函数关系式，再根据“宸宸”的个数不超过80个，且总费用不超过1120元，列出不等式组求出m 的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设“宸宸”的进货单价为x 元，则“琮琮”的进货单价为()2x +元，由题意得，100012002x x =+，解得10x =，经检验，10x =是原方程的解，∴212x +=，答：“宸宸”的进货单价为10元，则“琮琮”的进货单价为12元；（2）解：设购买“宸宸”m 个，总利润为W 元，则购买“琮琮”()100m -个，由题意得，()()()161020121002800W m m m =-+--=-+，∵“宸宸”的个数不超过80个，且总费用不超过1120元，∴()8010121001120m m m ≤⎧⎨+-≤⎩，解得4080m ≤≤，∵20-<，∴W 随m 的增大而减小，∴当40m =时，W 最大，最大值为240800720-⨯+=，∴10060m -=∴商店购买“宸宸”40个，购买“琮琮”60个，才能获得最大利润，最大利润是720元．25．（满分10分）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy ．通过测量得到球距离台面高度y （单位：dm ）与球距离发球器出口的水平距离x （单位：dm ）的相关数据，如下表所示：表1直发式()dm x 024********…()dm y 3.84 3.964m3.843.642.561.44…表2间发式()dm x 024681012141618…()dm y 3.36 2.52n0.841.402.4033.203…根据以上信息，回答问题：(1)表格中m =______，n =______；(2)求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；(3)若“直发式”模式下，球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为1d ，“间发式”模式下，球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为2d ，请比较12d d 、的大小，并说明理由．25．(1)3.961.68，(2)()0.014²4y x =--+(3)12d d =，理由见解析【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式.（1）根据表1数据直接得出m 的值；由“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，设出抛物线解析式，用待定系数法求出函数解析式，然后把4x =代入解析式得出y 的值即可；（2）用待定系数法求出函数解析式即可；（3）令（2）中解析式0,y =解方程求出x 的值；设出“间发式“模式下的抛物线解析式，用待定系数法求出函数解析式，再令0y =，解方程求出x 得值.【详解】（1）由抛物线的对称性及已知表1中的数据可知: 3.96m =；在“间发式“模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，设这条直线的解析式为()0y kx b k =+≠，把()0,3.36、()8,0代入,得：3.3680b k b =⎧⎨+=⎩，解得：0.42,3.36k b =-⎧⎨=⎩∴这条直线的解析式为0.42 3.36y x =-+，当4x =时，0.424 3.36 1.68y =-⨯+=，表格2中， 1.68n =；故答案为: 3.961.68，；（2）由已知表1中的数据及抛物线的对称性可知:“直发式“模式下，抛物线的顶点为()44，，∴设此抛物线的解析式为()4²4(0)y a x a =-+<，把()0,3.84代入,得:()3.8404²4a =-+，解得：0.01a =-，∴“直发式“模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为()0.014²4y x =--+；（3）12d d =，理由为：当0y =时，()00.014²4x =--+，解得：116x =-(舍去)，224x =，∴“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为124d =；“间发式“模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，由已知表2中的数据及抛物线的对称性可知：“间发式“模式下，这条抛物线的顶点坐标为()16,3.20，∴设这条抛物线的解析式为()16² 3.2(0)y m x m =-+<，把()8,0代入,得()0816² 3.2m =-+，解得：0.05m =-，∴这条抛物线的解析式为()0.0516² 3.2y x =--+，当0y =时，()00.0516² 3.2x =--+，解得：128,24x x ==，224dm d ∴=，12d d ∴=．26．（满分10分）综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD ，组织同学们进行折纸探究活动．【初步尝试】把正方形对折，折痕为EF ，然后展开，沿过点A 与点E 所在的直线折叠，点B 落在点B '处，连接 B C '，如图1，请直接写出AEB '∠与ECB '∠的数量关系．【能力提升】把正方形对折，折痕为EF ，然后展开，沿过点A 与BE 上的点G 所在的直线折叠，使点B 落在EF 上的点P 处，连接PD ，如图2，猜想APD ∠的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图2的条件下，作点A 关于直线CP 的对称点A '，连接PA '，BA '，AC ，如图3，求PA B '∠的度数．26．初步尝试：AEB ECB ''∠=∠；能力提升：猜想：60APD ∠=︒，理由见解析；拓展延伸：15PA B '∠=︒【分析】初步尝试：连接BB '，由折叠的性质可知，BE CE =，BE BE '=，AEB AEB '∠=∠，BB AE '⊥，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出90BB C '∠=︒，推出AE CB '∥，即可得出答案；能力提升：根据正方形的性质和折叠的性质，易证()SAS AFP DFP ≌，从而证明APD △是等边三角形，即可得到答案；拓展延伸：连接A C '、AA '，由（2）得APD △是等边三角形，进而得出30PDC ∠=︒，再结合等边对等角的性质和三角形内角和定理，求得15PAC ∠=︒，30ACP ∠=︒，由对称性质得：AC A C '=，30ACP A CP '∠=∠=︒，证明()SSS AA B CA B '' ≌，得到30CA B '∠=︒，再由15CA P CAP '∠=∠=︒，即可求出PA B '∠的度数．【详解】解：初步尝试：AEB ECB ''∠=∠，理由如下：如图，连接BB '，由折叠的性质可知，BE CE =，BE BE '=，AEB AEB '∠=∠，BB AE '⊥，∴BE CE BE '==，∴EBB EB B ''∠=∠，ECB EB C ''∠=∠，∵()2180EBB EB B EB C ECB EB B EB C ''''''∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，∴90BB C '∠=︒，即BB CB ''⊥，∴AE CB '∥，∴AEB ECB '∠=∠，∴AEB ECB ''∠=∠；解：能力提升：猜想：60APD ∠=︒，理由如下：理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90ADC ∠=︒，由折叠性质可得：AF DF =，EF AD ⊥，AB AP =，在AFP 和DFP △中，90AF DF AFP DFP FP FP =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴()SAS AFP DFP ≌，∴AP PD =，∴AP AD PD ==，∴APD △是等边三角形，∴60APD ∠=︒；解：拓展延伸：如图，连接A C '、AA '，由（2）得APD △是等边三角形，∴60PAD PDA APD ∠=∠=∠=︒，AP DP AD ==，∵90ADC ∠=︒，∴30PDC ∠=︒，又∵PD AD DC ==，∴()118030752DPC DCP ∠=∠=⨯︒-︒=︒，45DAC DCA ∠=∠=︒，∴604515PAC PAD DAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，754530ACP DCP DCA ∠=∠-∠=︒-︒=︒，由对称性质得：AC A C '=，30ACP A CP '∠=∠=︒，∴60ACA '∠=︒，∴ACA ' 是等边三角形，在AA B ' 与CA B '△中，A A A CA B A B AB BC=⎧⎪=='''⎨'⎪⎩，∴()SSS AA B CA B '' ≌，∴1302AA B CA B AA C '''∠=∠=∠=︒，又∵15CA P CAP '∠=∠=︒，∴15PA B CA B CA P '''∠=∠-∠=︒．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．。

(广西专用)2019中考数学二轮新优化复习-第二部分专题综合强化专题3 几何中的动态变换问题课件

例 4 (2017·柳州)如图，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，BE 交 CD 于点 O，连接 DE.有下列结论：①DE＝12BC；②△ BOD∽△COE；③BO＝2EO；④AO 的延长线经过 BC 的中点．其中正确的是___①__③__④_____(填写所有正确结论的编号)．
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☞ 解题思路
• 本题考查三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．根据相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，重心的定义与性质解答即可．
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【解答】∵D，E 是 AB，AC 的中点，∴DE∥BC，DE＝12BC，故①正确；∵ DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE∶BC＝AE∶AC＝1∶2.∵DE∥BC，∴△DOE ∽△BOC，∴BO∶OE＝BC∶DE＝2∶1，故③正确；∵三角形三条中线交于一点， BE，CD 是中线，∴AO 是三角形中线，故④正确；△DOE∽△COB，DO∶OC＝EO∶ OB＝1∶2，对△BOD 和△COE 来说不存在两组对边成比例，故△BOD 和△COE 不一定相似，故②错误．
例 1 (2017·北部湾经济区)如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，AC＝2，BD＝2 3，将菱形按如图方式折叠，使点 B 与点 O 重合，折痕为 EF，则五边形 AEFCD 的周长为___7_____.
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☞ 解题思路
根据菱形的性质得到∠ABO＝∠CBO，AC⊥BD，得到∠ABC＝60°，由折叠的性质得到 EF⊥BO，OE＝BE，∠BEF＝∠OEF，推出△BEF 是等边三角形，得到 ∠BEF＝60°，得到△AEO 是等边三角形，推出 EF 是△ABC 的中位线，求得 EF＝12 AC＝1，AE＝OE＝1，同理 CF＝OF＝1，于是得到结论．

广西中考数学二轮新优化复习第二部分专题综合强化专题1规律探究型问题课件

第 18 页
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解题思路
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第一步：观察正方形铁片按顺时针方向旋转位置，点P每旋转4次为一个循环；第二步：找出2 017除以每4次一个循环的余数，确定点P2 017与点P1的纵坐标；第三步：求点P2 017的横坐标为5＋12×504＝6 053，得出结果．
第 19 页
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【解答】第一次P1(5,2)，第二次P2(8,1)，第三次P3(10,1)，第四次P4(13,2)，第五次P5(17,2)，…发现点P的位置4次为一个循环． • ∵2 017÷4＝504……1， • ∴点P2 017的纵坐标与点P1的纵坐标相同，均为2， • 横坐标为5＋1ห้องสมุดไป่ตู้×504＝6 053，∴P2 017(6 053,2)．
第5页
• 【解答】∵30＝1，① 31＝3，② 32＝9，③ 33＝27， ④ 34＝81， • ⑤35＝243，⑥…， • ∴个位数字4个数一循环， • ∴(2 018＋1)÷4＝504……3， • ∴1＋3＋9＝13， • ∴30＋31＋32＋…＋32 018的结果的个位数字是3.
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类型2 图形累加规律(2017桂林T18.分值：3分．题型：填空)
第二部分专题综合强化
专题一规律探究型问题
常考题型· 精讲
类型 1 数式规律 (2018 北部湾经济区 T17 ； 2018 桂林 T18 ； 2018 百色 T16； 2018梧州 T12；2017贺州 T12；2016南宁 T18；2016百色 T18；2016贵港T18.分值均为3分．题型：选择，填空)
第3页
2．常见的数字规律有： (1)自然数列规律：0,1,2,3，…，n(n≥0)；(2)正整数列规律：1,2,3，…，n(n≥1)； (3)奇数列规律：1,3,5,7,9，…，2n－1(n≥1)；(4)偶数列规律：2,4,6,8，…，2n(n≥1)； nn＋1 (5)正整数和：1＋2＋3＋4＋…＋n＝ (n≥1)；(6)正整数平方：1,4,9,16，…， 2 n2(n≥1)；(7)正整数平方加 1：2,5,10,17，…，n2＋1(n≥1)；(8)正整数平方减 1： 0,3,8,15，…，n2－1(n≥1)．

(广西专用)2019中考数学二轮新优化复习第二部分专题综合强化专题4 实际应用与方案设计问题针对训练

第二部分专题四类型1 购买、销售、分配类问题1．(2017·柳州)学校要组织去春游，小陈用50元负责购买小组所需的两种食品，买第一种食品共花去了30元，剩余的钱还要买第二种食品，已知第二种食品的单价为6元/件，问：小陈最多能买第二种食品多少件？解：设最多能买第二种食品x 件，根据题意，得6x ＋30≤50，解得x ≤103，又∵食品的件数为整数，即第二种食品最多买3件．答：小陈最多能买第二种食品3件．2．(2016·钦州)某水果商行计划购进A ，B 两种水果共200箱，这两种水果的进价、售价如下表所示：价格类型进价(元/箱)售价(元/箱) A 6070 B40 55 (1)(2)若商行规定A 种水果进货箱数不低于B 种水果进货箱数的13，应怎样进货才能使这批水果售完后商行获利最多？此时利润为多少？解：(1)设A 种水果购进x 箱，则B 种水果购进(200－x )箱．根据题意，得60x ＋40(200－x )＝10 000，解得x ＝100，则200－x ＝100.答：A 种水果购进100箱，B 种水果购进100箱．(2)设A 种水果进货x 箱，则B 种水果进货(200－x )箱，售完这批水果的利润为w 元，则w ＝(70－60)x ＋(55－40)(200－x )＝－5x ＋3 000.∵－5＜0，∴w 随着x 的增大而减小．∵x ≥13(200－x )，解得x ≥50，∴当x ＝50时，w 取得最大值，此时w ＝2 750.答：进货A 种水果50箱，B 种水果150箱时，获取利润最大，此时利润为2 750元．3．(2018·宁波)某商场购进甲、乙种两种商品，甲种商品共用了2 000元，乙种商品共用了2 400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．(1)求甲、乙两种商品的每件进价；(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元．销售过程中发现甲种商品销售不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品单价保持不变．要使两种商品全部售完共获利不少于2 460元，问甲种商品按销售单价至少销售多少件？解：(1)设甲种商品的每件进价为x 元，则乙种商品的每件进价为(x ＋8)元．根据题意，得2 000x ＝2 400x ＋8，解得x ＝40. 检验：当x ＝40时，x (x ＋8)≠0，∴x ＝40是分式方程的解，且符合题意．则x ＋8＝48.答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元．(2)设甲种商品按原销售单价销售a 件．由(1)可得购进的甲、乙两种商品的件数都为50件．根据题意，得(60－40)a ＋(60×0.7－40)(50－a )＋(88－48)×50≥2 460，解得a ≥20.答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．4．(2018·烟台)为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A ，B 两种不同款型，其中A 型车单价400元，B 型车单价320元．(1)今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A ，B 两种款型的单车共100辆，总价值36 800元．试问本次试点投放的A 型车与B 型车各多少辆？(2)试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A ，B 两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A 型车与B 型车各多少辆？解：(1)设本次试点投放的A 型车有x 辆，B 型车有y 辆．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝100，400x ＋320y ＝36 800，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝60，y ＝40.答：本次试点投放的A 型车有60辆，B 型车有40辆．(2)由(1)知A ，B 型车辆的数量比为3∶2，设整个城区全面铺开时投放的A 型车3a 辆，B 型车2a 辆，根据题意，得3a ×400＋2a ×320≥1 840 000，解得a ≥1 000，即整个城区全面铺开时投放的A 型车至少3 000辆，B 型车至少2 000辆，则3 000×100 100 000＝3(辆)， 2 000×100100 000＝2(辆)．答：平均每100人至少享有A 型车3辆，至少享有B 型车2辆．5．某运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车每次共运35吨，3辆大型渣土运输车和2辆小型渣土运输车每次共运40吨．(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？(2)该运输公司决定派出大小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于150吨，问该运输公司最多派出几辆小型渣土运输车？解：(1)设一辆大型渣土运输车每次运输土方x 吨，一辆小型渣土运输车每次运输土方y 吨．根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝35，3x ＋2y ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10，y ＝5.答：一辆大型渣土运输车每次运输土方10吨，一辆小型渣土运输车每次运输土方5吨．(2)设该运输公司派出a 辆小型渣土运输车，则派出大型渣土运输车(20－a )辆．由题意可得10(20－a )＋5a ≥150，解得a ≤10.∵a 是整数，∴a 最大为10，答：该运输公司最多派出10辆小型渣土运输车．类型2 工程、生产、行程类问题1．(2018·襄阳)正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时．求高铁的速度．解：设高铁的速度为x 千米/时，则动车的速度为x 2.5＝0.4x 千米/时．依题意得3250.4x －325x＝1.5，解得x ＝325. 检验：当x ＝325时，0.4x ≠0，∴x ＝325是原方程的根．答：高铁的速度为325千米/时．2．随着京沈客运专线即将开通，阜新将进入方便快捷的“高铁时代”，从我市到A 市若乘坐普通列车，路程为650 k m ，而乘坐高铁列车则为520 k m ，高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的4倍，乘坐高铁列车从我市到A 市所需时间比乘坐普通列车缩短8 h.(1)求高铁列车的平均速度；(2)高铁开通后，从我市乘坐高铁列车到A 市需要多长时间？解：(1)设普通列车的平均速度为x k m/h.则高铁的平均速度是4x k m/h.依题意，得650x －5204x＝8, 解得x ＝65，检验：当x ＝65时，4x ≠0，∴x ＝65是原分式方程的解，且符合题意，则4x ＝260.答：高铁列车的平均速度是260 k m/h.(2)520÷260＝2(h)，答：高铁开通后，从我市乘坐高铁列车到A 市需要2 h.3．(2018·抚顺)为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的32倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．(1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？(2)若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1 200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？解：(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为x 米，则甲工程队每天能改造道路的长度为32x 米．根据题意得360x －36032x ＝3，解得x ＝40，检验：当x ＝40时，32x ≠0， ∴x ＝40是原分式方程的解，且符合题意，则32x ＝32×40＝60. 答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．(2)设安排甲队工作m 天，则安排乙队工作1 200－60m 40天．根据题意，得7m ＋5×1 200－60m 40≤145，解得m ≥10.答：至少安排甲队工作10天．4．某工厂签了1 200件商品订单，要求不超过15天完成．现有甲、乙两个车间来完成加工任务．已知甲车间的加工能力是乙车间加工能力的1.5倍，并且加工240件需要的时间甲车间比乙车间少用2天．(1)求甲、乙每个车间的加工能力每天各是多少件？(2)甲、乙两个车间共同生产了若干天后，甲车间接到新任务，留下乙车间单独完成剩余工作，求甲、乙两车间至少合作多少天，才能保证完成任务．解：(1)设乙车间的加工能力每天是x 件，则甲车间的加工能力每天是1.5x 件．根据题意，得240x －2401.5x＝2, 解得x ＝40. 检验：当x ＝40时，1.5x ≠0，∴x ＝40是分式方程的解，且符合题意则1.5x ＝60.答：甲车间的加工能力每天是60件，乙车间的加工能力每天是40件．(2)设甲、乙两车间合作m 天，才能保证完成任务．根据题意，得m ＋[1 200－(40＋60)m ]÷40≤15，解得m ≥10.答：甲、乙两车间至少合作10天，才能保证完成任务．类型3 增长率问题1．(2017·桂林)为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5 000万元，2017年投入基础教育经费7 200万元．(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1 500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3 500元，购买一台实物投影需2 000元，则最多可购买电脑多少台？解：(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x .根据题意，得5 000(1＋x )2＝7 200，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍去)．答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.(2)2018年投入基础教育经费为7 200×(1＋20%)＝8 640(万元)．设购买电脑m 台，则购买实物投影仪(1 500－m )台．根据题意，得3 500m ＋2 000(1 500－m )≤86 400 000×5%，解得m ≤880.答：2018年最多可购买电脑880台．2．(2018·安顺)某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1 600万元．(1)从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？(2)在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1 000户(含第1 000户)每户每天奖励8元，1 000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．解：(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x .根据题意，得1 280(1＋x )2＝1 280＋1 600，解得x 1＝0.5＝50%，x 2＝－2.5(舍去)．答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.(2)设2017年该地有a 户享受到优先搬迁租房奖励．根据题意，得8×1 000×400＋5×400(a －1 000)≥5 000 000，解得a ≥1 900. 答：2017年该地至少有1 900户享受到优先搬迁租房奖励．3．(2016·柳州)下表是世界人口增长趋势数据表：(1)(2)利用你在(1)中所得到的结论，以1960年30亿人口为基础，设计一个最能反映人口数量y 关于年份x 的函数关系式，并求出这个函数的解析式；(3)利用你在(2)中所得的函数解析式，预测2020年世界人口将达到多少亿人．解：(1)从1960年到2010年世界人口平均每年增长(69－30)÷(2010－1960)＝39÷50＝0.78(亿人)．(2)设人口数量y 关于年份x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将x ＝1 960，y ＝30；x ＝1 974，y ＝40分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 30＝1 960k ＋b ，40＝1 974k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝57，b ＝－1 370.故函数解析式为y ＝57x －1 370. 检验：∵当x ＝1 987时，y ≈50；当x ＝1 999时，y ≈58；当x ＝2 010时，y ≈66；∴人口数量y 与年份x 之间的函数关系基本符合y ＝57x －1 370. (3)∵当x ＝2 020时，y ＝57×2 020－1 370≈73，答：预测2020年世界人口将达到73亿人．类型4 方案设计问题与最值问题1．(2018·北部湾一模)某公司在北部湾经济区农业示范基地采购A, B 两种农产品，已知A 种农产品每千克的进价比B 种多2元，且用24 000元购买A 种农产品的数量(按重量计)与用18 000元购买B 种农产品的数量(按重量计)相同．(1)求A ，B 两种农产品每千克的进价分别是多少元．(2)该公司计划购进A ，B 两种农产品共40吨，并运往异地销售，运费为500元/吨，已知A 种农产品售价为15元/k g ，B 种农产品售价为12元/k g ，其中A 种农产品至少购进15吨且不超过B 种农产品的数量，问该公司应如何采购才能获得最大利润，最大利润是多少？解：(1)设A 种农产品每千克的进价是x 元，则B 种农产品每千克的进价是(x －2)元．依题意得24 000x ＝18 000x －2，解得x ＝8，检验：当x ＝8时，x (x －2)≠0，且符合题意，故x ＝8是原分式方程的解，x －2＝8－2＝6.答： A 种农产品每千克的进价是8元，B 种农产品每千克的进价是6元．(2)设该公司购进A 种农产品m 吨，则购进B 种农产品(40－m )吨．依题意得m ≤40－m ，解得m ≤20.∵m ≥15，∴15≤m ≤20.设该公司获得利润为y 元，依题意得y ＝(15－8)×1 000m ＋(12－6)×1 000(40－m )－40×500，即y ＝1 000m ＋220 000.∵1 000＞0, y 随m 的增大而增大，∴当m ＝20时，y 取最大值，此时y ＝1 000×20＋220 000＝240 000 (元)，∴B 种农产品的数量为 40－m ＝20 (吨)．答：该公司采购A ，B 两种农产品各20吨时能获得最大利润，最大利润为240 000元.2．(2018·来宾二模)某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A 种型号衣服9件，B 种型号衣服10件，则共需1 810元；若购进A 种型号衣服12件，B 种型号衣服8件，共需1 880元．已知销售一件A 型号衣服可获利18元，销售一件B 型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于699元，且A 型号衣服不多于28件．(1)求A ，B 型号衣服每件进价各是多少元？(2)若已知购进A 型号衣服是B 型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案并简述购货方案．解：(1)设A 型号衣服每件进价为x 元，B 型号衣服每件进价为y 元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9x ＋10y ＝1 810，12x ＋8y ＝1 880，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝90，y ＝100.答：A 型号衣服每件进价为90元，B 型号衣服每件进价为100元．(2)设B 型号衣服购进m 件，则A 型号衣服购进(2m ＋4)件．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 182m ＋4＋30m ≥699，2m ＋4≤28，解得192≤m ≤12. ∵m 为正整数，∴m ＝10,11,12,2m ＋4＝24,26,28.∴有三种进货方案：①B 型号衣服购进10件，A 型号衣服购进24件；②B 型号衣服购进11件，A 型号衣服购进26件；③B 型号衣服购进12件，A 型号衣服购进28件．3．(2017·河池)某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．(1)排球和足球的单价各是多少元？(2)若恰好用去1 200元，有哪几种购买方案？解：(1)设排球的单价为x 元，则足球的单价为(x ＋30)元．由题意得 500x ＝800x ＋30，解得x ＝50，经检验，x ＝50是原分式方程的解，且符合题意，则x ＋30＝80.答：排球的单价是50元，足球的单价是80元．(2)设恰好用完1 200元，可购买排球m 个和足球n 个．由题意得50m ＋80n ＝1 200，整理，得m ＝24－85n . ∵m ，n 都是正整数，∴①当n ＝5时，m ＝16，②当n ＝10时，m ＝8.∴有两种方案：①购买足球5个，购买排球16个；②购买足球10个，购买排球8个．4．(2018·湘西)某商店销售A 型和B 型两种电脑，其中A 型电脑每台的利润为400元，B 型电脑每台的利润为500元．该商店计划一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍．设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？(3)实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调a (0＜a ＜200)元，且限定商店最多购进A 型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．解：(1)根据题意，得y ＝400x ＋500(100－x )＝－100x ＋50 000.(2)∵100－x ≤2x ，∴x ≥1003＝3313， ∵y ＝－100x ＋50 000中k ＝－100＜0，∴y 随x 的增大而减小．∵x 为正整数，∴当x ＝34时，y 取得最大值，最大值为46 600.答：该商店购进A 型电脑34台，B 型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46 600元．(3)根据题意，得y ＝(400＋a )x ＋500(100－x )，即y ＝(a －100)x ＋50 000，3313≤x ≤60. ①∵当0＜a ＜100时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝34时，y 取最大值，即商店购进34台A 型电脑和66台B 型电脑的销售利润最大．②a ＝100时，a －100＝0，y ＝50 000，即商店购进A 型电脑数量满足3313≤x ≤60的整数时，均获得最大利润； ③∵当100＜a ＜200时，a －100＞0，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝60时，y 取得最大值．即商店购进60台A 型电脑和40台B 型电脑的销售利润最大．类型5 表演、比赛、租车类问题1．某校积极推进“阳光体育”工程，本学期在九年级11个班中开展篮球单循环比赛(每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛)．比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场得－1分．(1)如果某班在所有的比赛中只得14分，那么该班胜负场数分别是多少？(2)假设比赛结束后，甲班得分是乙班的3倍，甲班获胜的场数不超过5场，且甲班获胜的场数多于乙班，请你求出甲班、乙班各胜了几场．解：(1)设该班胜x 场，则该班负(10－x )场．依题意得3x －(10－x )＝14，解得x ＝6.答：该班胜6场，负4场．(2)设甲班胜了x 场，乙班胜了y 场．依题意有3x －(10－x )＝3[3y －(10－y )]，化简，得3y ＝x ＋5，即y ＝x ＋53.∵x ，y 是非负整数，且0≤x ≤5，x ＞y ，∴x ＝4，y ＝3.答：甲班胜了4场，乙班胜了3场．2．(2017·百色)某校九年级10个班师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现唱歌类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个．(1)九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？(2)该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟，预计所有演出节目交接用时共花15分钟．若从20：00开始，22：30之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个？解：(1)设九年级师生表演的歌唱类节目有x 个，舞蹈类节目有y 个．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝10×2，x ＝2y －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝8，答：九年级师生表演的歌唱类节目有12个，舞蹈类节目有8个．(2)设参与的小品类节目有a 个．根据题意，得12×5＋8×6＋8a ＋15＜150，解得a ＜278. ∵a 为整数，∴a 的最大值为3，答：参与的小品类节目最多能有3个．3．(2018·锦州)为迎接“七·一”党的生日，某校准备组织师生共310人参加一次大型公益活动，租用4辆大客车和6辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多15个．(1)求每辆大客车和每辆小客车的座位数；(2)经学校统计，实际参加活动的人数增加了40人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？解：(1)设每辆小客车的座位数是x 个，每辆大客车的座位数是y 个．11 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝15，4y ＋6x ＝310，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝25，y ＝40.答：每辆大客车的座位数是40个，每辆小客车的座位数是25个．(2)设租用小客车a 辆，则25a ＋40(10－a )≥310＋40，解得a ≤313.∵a 为整数，∴a 最大为3.答：最多租用小客车3辆．。

中考强化练习2022年广西壮族自治区百色市中考数学第二次模拟试题(含答案及解析)

2022年广西壮族自治区百色市中考数学第二次模拟试题考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、点P （3，﹣5）关于x 轴对称的点的坐标为（） A ．（3，5） B ．（5，3） C ．（﹣3，5） D ．（﹣3，﹣5） 2、如图，从⊙O 外一点A 引圆的切线AB ，切点为B ，连接AO 并延长交圆于点C ，连接BC ．若∠A＝28°，则∠ACB 的度数是（） A ．28° B ．30° C ．31° D ．32° 3、下图中，不可能围成正方体的是（）A ．B ．C ．D ． 4、已知241x +加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方,给出下面五个单项式①4x ,②2x -,③24x -,④44x ,⑤-1其中,正确的个数共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个·线○封○密○外5、等腰三角形的一个底角是40，则它的顶角是A ．40B ．70C ．100D ．140 6、2222a ab b x -+与214b ab x +是同类项，a 与 b 的关系是（） A ．a>b B ．a<b C ．a=b D ．a ≥ b7、城镇人口占总人口比例的大小表示城填化水平的高低。

由下面统计图可知，我国城镇化水平提高最快的时期是\（）A ．1953～1964B ．1964～1982C ．1982～1990D ．1990～20028、设1a =,a 在两个相邻整数之间,则这两个整数是( )A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和59、下面是四位同学所作的ABC ∆关于直线MN 对称的图形，其中正确的是（）A ．B ．C ．D ．10、如图所示是根据某班级40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，由图像可知该班40同学一周参加体育锻炼时间的中位数，众数分别是（） A ．10.5，16 B ．9，8 C ．8.5，8D ．9.5，16 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、已知：2310x x --=，则1x x -=_____． 2、设 3 y = x +2z, 则x 2 - 9y 2+ 4z 2 +4 xz 的值为_____.3、角是轴对称图形，__是它的对称轴．4、定义运算22a b a b ⊗=-,下面给出了关于这种运算的四个结论:①2⊗(-2)=0；②a b b a ⊗=⊗；③若0a b ⊗=,则a b =；④()()4a b a b ab +⊗-=,其中正确结论的序号是_______(填上你认为所有正确结论的序号)5、比较大小：341133⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________ 1213⎛⎫ ⎪⎝⎭（填“>”,“<”或“=”）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、因式分解: 53242357a b c a b c a bc +-·线○封○密○外2、如图，已知,A AGE D DGC ∠=∠∠=∠.（1）试说明：//AB CD ；（2）若21180∠+∠=，且230BEC B ∠=∠+，求B 的度数.3、某校运动会需购买A 、B 两种奖品共100件.A 、B 两种奖品单价分别为10元、15元.设购买A 种奖品m 件，购买两种奖品的总费用为W 元．()1写出(W 元)与(m 件)之间的函数关系式；()2若购买两种奖品的总费用不超过1150元，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍，求出自变量m 的取值范围，并确定最少费用W 的值．4、如图所示，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且FD BE =，连接CE ，CF .（1）求证：BCE DCF ∠=∠；（2）若点G 在AD 上，且45ECG ∠=︒，连接GE ，求证：GE BE DG =+.5、如图，点E 是△ABC 的BC 边上的一点，∠AEC ＝∠AED ，ED ＝EC ，∠D ＝∠B ，求证：AB ＝AC ．-参考答案- 一、单选题1、A【分析】根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．【详解】点P （3，﹣5）关于x 轴对称的点的坐标为（3，5）．故选A ．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．2、C【分析】连接OB ，如图，先根据切线的性质得到∠ABO=90°，再利用互余计算出∠AOB=62°，然后根据圆周·线○封○密·○外角定理得到∠ACB的度数．【详解】解：连接OB，如图，∵AB为圆O的切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∴∠AOB=90°-∠A=90°-28°=62°，∠AOB=31°．∴∠ACB=12故选C．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．3、D【解析】【分析】根据题意利用折叠的方法，逐一判断四个选项是否能折成正方体即可．【详解】根据题意，利用折叠的方法，A可以折成正方体，B也可以折成正方体，C 也可以折成正方体，D 有重合的面，不能直接折成正方体．故选D ．【点睛】本题考查了正方体表面展开图的应用问题，是基础题．4、D【解析】【分析】根据完全平方公式的特点逐个进行判断，即可得出答案．【详解】 ∵4x 2+1+4x=（2x+1）2，4x 2+1-4x 2=12，4x 2+1+4x 4=（2x 2+1）2，4x 2+1-1=4x 2=（2x ）2，而和-2x 相加不能得出一个式子的平方，∴正确的个数是4，故选D ．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，弄清题意，熟练掌握a 2±2ab+b 2=（a±b）2是解题的关键. 5、C【分析】根据三角形的内角和是180度，用180°减去2个底角的度数，可以求出顶角的度数. 【详解】解：∵一个等腰三角形的一个底角是40°，∴另一个底角也是40°，∴顶角为：180°-40°×2·线○封○密○外=180°-80°=100°故选C.【点睛】本题考查了三角形的内角和公式以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.6、C【分析】利用同类项的定义求出a 与b 的值，原式合并同类项得到最简结果，再利用完全平方公式，即可解答.【详解】2222a ab b x -+与214b ab x +是同类项,得到： a 2-ab+2b 2=b 2+ab,移项的：2220a ab b -+= ，()20a b -= ，∴a=b,故选：C.【点睛】此题考查完全平方公式，同类项，解题关键在于列出方程.7、D【解析】【分析】根据折线统计图中所标的百分比可以看到，变化趋势较为明显提高的是1990年---2002年，由此即可求出答案．【详解】13.26%<18.30%<20.60%<26.23%<39.1%，所以城镇化水平提高最快的时期是1990年-2002年，故选D.【点睛】本题考查了折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况． 8、B 【解析】【分析】. 【详解】，∴3，即，故选B. 【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握正确的估算方法是解题的关键. 9、D 【分析】 ·线○封○密·○外根据对称的定义即可得出答案.【详解】A：对称点连接的直线与对称轴不垂直，故选项A错误；B：对称点不在对称轴上，故选项B错误；C：对称点连接的直线到对称轴的距离不相等，故选项C错误；故答案选择：D.【点睛】本题考查的是图形的对称，属于基础题型，比较简单.10、B【解析】【分析】根据中位数、众数的概念分别求解即可．【详解】将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；故选：B【点睛】考查了中位数、众数的概念，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．二、填空题1、3【分析】首先凑成完全平方式，在求解x 的值，代入计算即可.【详解】解：方法一原式可化为：2993144x x -+=+ 所以可得：2313()24x -=解得x =13x x -= 方法二因为2310x x --= 所以2310130x x x x x x x --=--= 所以13x x -=故答案为3 【点睛】本题主要考查完全平方式的定义，注意如何凑成完全平方式. 2、0 【分析】根据完全平方公式，先将3y=x+2z 两边平方，得9y 2=x 2+4xz+4z 2，再把9y 2=x 2+4xz+4z 2代入x 2-9y 2+4x 2+4xz 中，化简可知代数式的值. ·线○封○密○外【详解】由3y=x+2z两边平方得，9y2=x2+4xz+4z2，所以x2-9y2+4z2+4xz=0.故答案为：0.【点睛】此题考查完全平方公式，解题关键在于掌握运算公式.3、角平分线所在的直线【分析】根据角平分线的定义即可解答．【详解】解：角的对称轴是“角平分线所在的直线”．故答案为：角平分线所在的直线．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，理解轴对称图形沿对称轴折叠能够完全重合是解题的关键．4、①④【解析】【分析】直接利用新定义逐一进行求解即可判断正误，从而得出答案．【详解】∵a⊗b=a2-b2，∴①2⊗（-2）=22-（-2）2=0，正确；②a ⊗b=a 2-b 2，b ⊗a=b 2-a 2，故a ⊗b 与b ⊗a 不一定相等，故错误；③若a ⊗b=a 2-b 2=0，则a=±b，故错误；④（a+b ）⊗（a-b ）=（a+b ）2-（a-b ）2=4ab ，故正确，故答案为：①④．【点睛】本题考查了新定义运算，涉及了平方差公式，完全平方公式，正确弄清新定义的运算规则是解题的关键.5、> 【分析】根据同底数幂的乘法进行计算后即可比较大小. 【详解】 ∵341133⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=713⎛⎫ ⎪⎝⎭=713，1213⎛⎫ ⎪⎝⎭=1213 ∵73＜123 ∴713＞1213 故填：＞.【点睛】此题主要考查有理数的大小比较，解题的关键是熟知幂的运算法则. 三、解答题 1、a 3bc （a 2b 2c+5ab-7）【解析】【分析】 ·线○封○密○外根据题意提取公因式即可.【详解】解：原式=322(57)a bc a b c ab +-【点睛】本题主要考查提取公因式，根据每个字母的最低次数提取即可.2、（1）见解析；（2）50B ∠=.【解析】【分析】（1）欲证明AB∥CD，只需推知∠A=∠D 即可；（2）利用平行线的判定定理推知CE∥FB，然后由平行线的性质推知180CEB B ∠+∠=，根据已知条件230BEC B ∠=∠+，即可解答.【详解】解：（1）因为,A AGE D DGC ∠=∠∠=∠，又因为AGE DGC ∠=∠，所以A D ∠=∠，所以//AB CD ；（2）因为12180∠+∠=，又因为2180CGD ∠+∠=，所以1CGD ∠=∠，所以//CE FB ，所以180CEB B ∠+∠=.又因为230BEC B ∠=∠+，所以230180B B ∠++∠=，所以50B ∠=.【点睛】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握平行线的判定定理求解即可.3、（1）W =-5m +1500；（2）当m =75时，W 取最小值，最小值为1125．【分析】（1）设购买A 种奖品m 件，购买两种奖品的总费用为W 元，则购买B 种奖品（100-m ）件，根据总费用=A 种奖品单价×购买数量+B 种奖品单价×购买数量，即可得出W （元）与m （件）之间的函数关系式；（2）根据“购买两种奖品的总费用不超过1150元，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍”，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再利用一次函数的性质即可求出W 的最小值．【详解】（1）设购买A 种奖品m 件，购买两种奖品的总费用为W 元，则购买B 种奖品（100-m ）件，根据题意得：W=10m+15（100-m ）=-5m+1500；（2）根据题意得：()5150011503100m m m -+≤⎧⎨≤-⎩，解得：70≤m≤75， ∵-5＜0， ∴W 随m 值的增大而减小， ∴当m=75时，W 取最小值，最小值为1125．【点睛】本题考查了一次函数的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出W 关于m 的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，找出关于m 的一元一次不等式组．·线○封○密·○外4、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由正方形的性质得到BC CD =，90B ADC ︒∠=∠=，求得B CDF ∠=∠，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到GE GF =，根据线段的和差即可得到结论．【详解】证明（1）在正方形ABCD 中，∵BC CD =，90B FDC ∠=∠=︒又∵BE FD =∴BCE DCF ∆≅∆∴BCE DCF ∠=∠（2）∵45ECG ∠=︒∴45DCG BCE ∠+∠=︒又∵BCE DCF ∠=∠∴45FCG DCG DCF ∠=∠+∠=︒在GCE ∆和△GCF ∆中∵CG CG = FCG GCE ∠=∠又由（1）知CF CE = ∴GCE GCF ∆≅∆∴GE GF FD DG ==+又∵BE FD =∴GE BE DG =+【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 5、见解析．【分析】由SAS 证明△AED 与△AEC 全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定解答即可．【详解】（1）在△AED 与△AEC 中 AE AE AED AEC ED EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AED ≌△AEC （SAS ）， ∴∠D ＝∠C ， ∵∠D ＝∠B ， ∴∠B ＝∠C ， ∴AB ＝AC ；【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，关键是根据SAS 证明△AED 与△AEC 全等． ·线○封○密○外。

(广西专用)2019中考数学二轮新优化复习第二部分专题综合强化专题6 圆的相关证明与计算针对训

第二部分专题六类型1 与全等三角形相关证明与计算1．(xx·梧州)如图，过⊙O 上的两点A ，B 分别作切线，并交BO 、AO 的延长线于点C ，D ，连接CD ，交⊙O 于点E ，F ，过圆心O 作OM ⊥CD ，垂足为M 点．求证：(1)△ACO ≌△BDO ； (2)CE ＝DF .证明：(1)∵AC ，BD 为⊙O 的切线， ∴∠CAO ＝∠DBO ＝90°，在△ACO 和△BDO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠CAO ＝∠DBO ，AO ＝BO ，∠AOC ＝∠BOD ，∴△ACO ≌△BDO (A S A )． (2)∵△ACO ≌△BDO ，∴CO ＝DO .∵OM ⊥CD ，∴MC ＝DM ，EM ＝MF ，∴CE ＝DF .2．(xx·北京)如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，连接OP ，CD .(1)求证：OP ⊥CD ；(2)连接AD ，BC ，若∠DAB ＝50°，∠CBA ＝70°，OA ＝2，求OP 的长．(1)证明：如答图，连接OC ，OD .∴OC ＝OD .∵PD ，PC 是⊙O 的切线， ∴∠ODP ＝∠OCP ＝90°.在Rt △ODP 和Rt △OCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC ，OP ＝OP ，∴Rt △ODP ≌Rt △OCP (HL)， ∴∠DOP ＝∠COP ， ∵OD ＝OC ，∴OP ⊥CD .(2)解：∵OA ＝OD ＝OC ＝OB ＝2，∴∠ADO ＝∠DAO ＝50°，∠BCO ＝∠CBO ＝70°， ∴∠AOD ＝80°，∠BOC ＝40°， ∴∠COD ＝60°.∵OD ＝OC ， ∴△COD 是等边三角形，由(1)知，∠DOP ＝∠COP ＝30°，在Rt △ODP 中，OP ＝ODcos30°＝433.3．(xx·贺州)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 的切线分别交AB ，AC 的延长线于E ，F ，连接BD .(1)求证：AF ⊥EF ；(2)若AC ＝6，CF ＝2，求⊙O 的半径． (1)证明：如答图1，连接OD .∵EF 是⊙O 的切线，且点D 在⊙O 上， ∴OD ⊥EF .∵OA ＝OD ，∴∠DAB ＝∠ADO . ∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAB ＝∠DAC ， ∴∠ADO ＝∠DAC ，∴AF ∥OD ，∴AF ⊥EF .(2)解：如答图2，过D 作DG ⊥AE 于点G ，连接CD .∵∠BAD ＝∠DAF ，AF ⊥EF ，∴BD ＝CD ，DG ＝DF ，在Rt △ADF 和Rt △ADG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，DF ＝DG ，∴Rt △ADF ≌Rt △ADG (HL)，同理可得Rt △CDF ≌Rt △BDG ，∴BG ＝CF ＝2，AG ＝AF ＝AC ＋CF ＝6＋2＝8， ∴AB ＝AG ＋BG ＝8＋2＝10， ∴⊙O 的半径为12AB ＝5.4．(xx·苏州)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AD 垂直于过点C 的切线，垂足为D ，CE 垂直AB ，垂足为E .延长DA 交⊙O 于点F ，连接FC ，FC 与AB 相交于点G ，连接OC .(1)求证：CD ＝CE ；(2)若AE ＝GE ，求证：△CEO 是等腰直角三角形．证明：(1)连接AC .∵CD 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥CD .∵AD ⊥CD ，∴∠DCO ＝∠D ＝90°， ∴AD ∥OC ，∴∠DAC ＝∠ACO .∵OC ＝OA ， ∴∠CAO ＝∠ACO ，∴∠DAC ＝∠CAO . ∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝90°，在△CDA 和△CEA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠CEA ，∠DAC ＝∠EAC ，AC ＝AC ，∴△CDA ≌△CEA (AA S)，∴CD ＝CE . (2)连接BC .∵△CDA ≌△CEA ， ∴∠DCA ＝∠EC A.∵CE ⊥AG ，AE ＝EG ， ∴CA ＝CG ，∴∠ECA ＝∠ECG .∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠ACE＝∠B.∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG.∵∠D＝90°，∴∠DCF＋∠F＝90°，∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°，∴∠AOC＝2∠F＝45°，∴△CEO是等腰直角三角形．类型2 与相似三角形相关证明与计算1．(xx·玉林适应考试)如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，点C在OP上，且BC＝PC.(1)求证：直线BC是⊙O的切线；(2)若OA＝3，AB＝2，求BP的长．(1)证明：如答图，连接OB.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OB A.又∵BC＝PC，∴∠P＝∠CBP.∵OP⊥AD，∴∠A＋∠P＝90°，∴∠OBA＋∠CBP＝90°，∴∠OBC＝180°－(∠OBA＋∠CBP)＝90°.∵点B在⊙O上，直线BC是⊙O的切线．(2)解：如答图，连接DB.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴Rt △ABD ∽Rt △AOP ，∴AB AO ＝AD AP ，即23＝6AP，解得AP ＝9， ∴BP ＝AP －BA ＝9－2＝7.2．(xx·贺州)如图，AB 是⊙O 的弦，过AB 的中点E 作EC ⊥OA ，垂足为C ，过点B 作直线BD 交CE 的延长线于点D ，使得DB ＝DE .(1)求证：BD 是⊙O 的切线；(2)若AB ＝12，DB ＝5，求△AOB 的面积． (1)证明：∵OA ＝OB ，DB ＝DE ，∴∠A ＝∠OBA ，∠DEB ＝∠DBE .∵EC ⊥OA ，∠DEB ＝∠AEC ， ∴∠A ＋∠DEB ＝90°，∴∠OBA ＋∠DBE ＝90°，∴∠OBD ＝90°. ∵OB 是⊙O 的半径，∴BD 是⊙O 的切线．(2)解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，连接OE ，如答图．∵点E 是AB 的中点，AB ＝12， ∴AE ＝EB ＝6，OE ⊥AB . 又∵DE ＝DB ，DF ⊥BE ， ∴DE ＝DB ＝5，∴EF ＝BF ＝3，∴DF ＝DE 2－EF 2＝4. ∵∠AEC ＝∠DEF ，∴∠A ＝∠EDF .∵OE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠AEO ＝∠DFE ＝90°， ∴△AEO ∽△DFE ，∴EO FE ＝AEDF，即EO 3＝64，得EO ＝92， ∴S △AOB ＝12AB ·OE ＝12×12×92＝27.3．(xx·随州)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，CN 为⊙O 的切线，OM ⊥AB 于点O ，分别交AC ，CN 于D ，M 两点．(1)求证：MD ＝MC ；(2)若⊙O 的半径为5，AC ＝45，求MC 的长． (1)证明：如答图，连接OC .∵CN 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CM ，∠OCA ＋∠ACM ＝90°. ∵OM ⊥AB ，∴∠OAC ＋∠ODA ＝90°. ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ， ∴∠ACM ＝∠ODA ＝∠CDM ，∴MD ＝MC .(2)解：由题意可知AB ＝5×2＝10，AC ＝4 5. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴BC ＝102－452＝2 5.∵∠AOD ＝∠ACB ，∠OAD ＝∠CAB ，∴△AOD ∽△ACB, ∴OD BC ＝AO AC ，即OD 25＝545，可得OD ＝52.设MC ＝MD ＝x ，在Rt △OCM 中，由勾股定理得(x ＋52)2＝x 2＋52，解得x ＝154，即MC ＝154.4．(xx·来宾)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，DE ⊥AD ，交AB 于点E ，AE 为⊙O 的直径．(1)判断BC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；(2)求证：△ABD ∽△DBE ； (3)若cos B ＝223，AE ＝4，求CD .(1)解：结论：BC 与⊙O 相切．证明：如答图，连接OD .∵OA ＝OD ， ∴∠OAD ＝∠OD A. ∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠DAB ，∴∠CAD ＝∠ADO ， ∴AC ∥OD .∵AC ⊥BC ，∴OD ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线． (2)证明：∵BC 是⊙O 的切线，∴∠ODB ＝90°， ∴∠BDE ＋∠ODE ＝90°.∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°，∴∠DAE ＋∠AED ＝90°. ∵OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED ， ∴∠DAB ＝∠BDE .∵∠ABD ＝∠DBE ， ∴△ABD ∽△DBE .(3)解：在Rt △ODB 中，∵cos B ＝BD OB ＝223，∴设BD ＝22k ，OB ＝3k .∵OD 2＋BD 2＝OB 2， ∴4＋8k 2＝9k 2，∴k ＝2，∴BO ＝6，BD ＝4 2. ∵DO ∥AC, ∴BD CD ＝BO AO ，∴42CD ＝62，∴CD ＝423.类型3 与锐角三角函数相关证明与计算1．(xx·毕节)如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AC 于点E ，过点E 作AB 的垂线交AB 于点F ，交CB 的延长线于点G ，且∠ABG ＝2∠C .(1)求证：EG 是⊙O 的切线；(2)若tan C ＝12，AC ＝8，求⊙O 的半径．(1)证明：如答图，连接OE ，BE .∵∠ABG ＝2∠C ，∠ABG ＝∠C ＋∠A ，∴∠C ＝∠A ，∴BC ＝AB .∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠CEB ＝90°，∴CE ＝AE . ∵CO ＝OB ，∴OE ∥AB . ∵GE ⊥AB ，∴EG ⊥OE .又∵OE 是⊙O 半径，∴EG 是⊙O 的切线．(2)解：∵AC ＝8，∴CE ＝AE ＝4.∵tan C ＝BE CE ＝12，∴BE ＝2，∴BC ＝CE 2＋BE 2＝25，∴CO ＝5，即⊙O 的半径为 5.2．(xx·贵港二模)如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90° ，以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ，点E 是BC 的中点，连接BD, DE .(1)求证： DE 是⊙O 的切线； (2)若AB ＝3AD ，求si nC .(1)证明：连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠BDC ＝90°.∵E 为BC 的中点， ∴DE ＝BE ＝CE ，∴∠EDB ＝∠EBD .∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD .∵∠ABC ＝90°，∴∠EDO ＝∠EDB ＋∠ODB ＝∠EBD ＋∠OBD ＝∠ABC ＝90°，∴OD ⊥DE ，∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线.(2)解：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°.∵∠ABC ＝90°，∴∠C ＋∠BAC ＝90°，∴∠C ＝∠ABD .∵AB ＝3AD ，∴si n ∠ABD ＝AD AB ＝13，∴si nC ＝13.3．(xx·柳州三模)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ，切点为G ，连接AG 交CD 于K .(1)求证： KE ＝GE ；(2)若KC 2＝KD ·CE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由； (3)在(2)的条件下，若si nE ＝35，AK ＝2 5 ，求FG 的长．第3题答图(1) 解：如答图1，连接OG .∵EG 是⊙O 的为切线，∴∠KGE ＋∠OGA ＝90. ∵CD ⊥AB, ∴∠AKH ＋∠OAG ＝90°. 又∵OA ＝OG, ∴∠OGA ＝∠OAG, ∴∠KGE ＝∠AKH ＝∠GKE, ∴KE ＝GE .(2)解：AC ∥EF .理由：连接GD ，如答图2所示． ∵KG 2＝KD ·GE ，即KG KD ＝GE KG ， ∴KG GE ＝KD KG，又∵∠KGE ＝∠GKE ，∴△GKD ∽△EGK , ∴∠E ＝∠AGD .又∵∠C ＝∠AGD, ∴∠E ＝∠C, ∴AC ∥EF .(3) 解：连接OG ，OC ，如答图3所示．∵si nE ＝si n ∠ACH ＝35，设AH ＝3t ，则AC ＝5t ，CH ＝4t .∵KE ＝GE ，AC ∥EF, ∴CK ＝AC ＝5t,∴HK ＝CK －CH ＝t .在Rt △AHK 中，根据勾股定理得AH 2＋HK 2＝AK 2，即(3t )2＋t 2＝(25)2，解得t ＝ 2.设⊙O 的半径为r ，在Rt △OCH 中，OC ＝r ，OH ＝r －3t ，CH ＝4t ，由勾股定理得OH 2＋CH 2＝OC 2，即(r －3t )2＋(4t )2＝r 2，解得r ＝2526. ∵EF 为⊙O 的切线，∴△OGF 为直角三角形，在Rt △OGF 中，OG ＝r ，tan ∠OFG ＝tan ∠CAH ＝CH AH ＝43，∴FG ＝OG t an ∠OFG ＝252643＝2528.4．(xx·北海)在△ABC 中，AB ＝AC .以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D, ⊙O 的切线BP 与AC 的延长线交于点P ，连接DE ，BE .(1)求证：BD ︵＝DE ︵； (2)求证：∠AED ＝∠BCP ；(3)已知：si n ∠BAD ＝55，AB ＝10，求BP 的长． (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .又∵AB ＝AC ， ∴AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC ，∴BD ︵＝DE ︵. (2)证明： ∵AB 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ， ∴BD ＝DC .∵BD ︵＝DE ︵，∴BD ＝DE ， ∴DC ＝DE ，∴∠DEC ＝∠DCE .∵∠AED ＋∠DEC ＝180°，∠DCE ＋∠BCP ＝180°， ∴∠AED ＝∠BCP . (3)解：∵si n ∠BAD ＝BD AB ＝55，AB ＝10， ∴AC ＝AB ＝10，BD ＝25，∴DC ＝DE ＝2 5. 设EC ＝x ，则AE ＝10－x ，∵在Rt △ABE 中，BE 2＝AB 2－AE 2,在Rt △BEC 中，BE 2＝BC 2－EC 2，∴AB 2－AE 2＝BC 2－EC 2，即102－(10－x )2＝(25＋25)2－x 2，解得x ＝4，∴ EC ＝4，AE ＝6，∴BE ＝AB 2－AE 2＝102－62＝8. ∵∠ABE ＋∠EBP ＝90°，∠EBP ＋∠P ＝90°， ∴∠ABE ＝∠P .又∵∠AEB ＝∠ABP ＝90°，∴△ABE ∽△APB ，∴AE AB ＝BE BP ，即610＝8BP ，∴BP ＝403.类型4 与特殊三角形相关证明与计算1．(xx·钦州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是角平分线，BE 平分∠ABC 交AD 于点E ，点O 在AB 上，以OB 为半径的⊙O 经过点E ，交AB 于点F .(1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若AC ＝4，∠C ＝30°，求EF ︵的长．(1)证明：如答图，连接OE .∵OB ＝OE ， ∴∠OBE ＝∠OEB . ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠OBE ＝∠EBD ，∴∠OEB ＝∠EBD ，∴OE ∥BD .∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，∴∠OEA ＝∠BDA ＝90°.∵点F 有⊙O 上，∴AD 是⊙O 的切线． (2)解：∵AB ＝AC ＝4，∠C ＝∠B ＝30°，∴BD ＝2 3.设⊙O 的半径为r ，则BO ＝OE ＝r ，AO ＝AB －OB ＝4－r .∵OE ∥BD ，∴AO AB ＝OEBD，即4－r 4＝r 23，解得r ＝83－12，∴l EF ︵＝30π83－12180＝(433－2)π.2．(xx·巴中)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点F ，过点C 作CE ∥AB ，与过点A 的切线相交于点E ，连接AD .(1)求证：AD ＝AE ；(2)若AB ＝6，AC ＝4，求AE 的长． (1)证明：∵AE 与⊙O 相切，AB 是⊙O 的直径，∴∠BAE ＝90°，∠ADB ＝90°.∵CE ∥AB ，∴∠E ＝90°， ∴∠E ＝∠ADB .∵在△ABC 中，AB ＝BC ， ∴∠BAC ＝∠BC A. ∵CE ∥AB ， ∴∠BAC ＝∠ACE ，∴∠BCA ＝∠ACE .又∵AC ＝AC ， ∴△ADC ≌△AEC (AA S)，∴AD ＝AE . (2)解：设AE ＝AD ＝x ，CE ＝CD ＝y ，则BD ＝6－y .∵△AEC 和△ADB 为直角三角形，∴AE 2＋CE 2＝AC 2，AD 2＋BD 2＝AB 2，将AB ＝6，AC ＝4，AE ＝AD ＝x ，CE ＝CD ＝y ，BD ＝6－y 代入，解得x ＝823，y ＝43，即AE 的长为823. 3．(xx·南宁)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 是角平分线，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OB 为半径的圆经过点D ，交BC 于点E .(1)求证：AC 是⊙O 的切线； (2)若OB ＝10，CD ＝8，求BE 的长． (1)证明：如答图，连接OD . ∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠1＝∠2.∵OB ＝OD ， ∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3， ∴OD ∥BC .∵∠C ＝90°， ∴∠ODA ＝90°. ∵点D 在⊙O 上， ∴AC 为⊙O 的切线；(2)解：过O 作OG ⊥BC ，连接OE ，如答图．∴四边形ODCG 为矩形， ∴GC ＝OD ＝OB ＝10，OG ＝CD ＝8，在Rt △OBG 中，利用勾股定理得 BG ＝6.∵OG ⊥BE ，OB ＝OE ，∴BE ＝2BG ＝12.类型5 与特殊四边形相关证明与计算1．(xx·毕节)如图，已知⊙O 的直径CD ＝6，A ，B 为圆周上两点，且四边形OABC 是平行四边形，过A 点作直线EF ∥BD ，分别交CD ，CB 的延长线于点E ，F ，AO 与BD 交于G 点．(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)求AE 的长．(1)证明：∵CD 为⊙O 的直径，∴∠DBC ＝90°， ∴BD ⊥BC .∵四边形OABC 是平行四边形， ∴AO ∥BC ，∴BD ⊥OA .∵EF ∥BD ，∴OA ⊥EF .∵点A 在⊙O 上，∴EF 是⊙O 的切线． (2)解：连接OB ，如答图．∵四边形OABC 是平行四边形，∴OA ＝BC ，而OB ＝OC ＝OA ， ∴OB ＝OC ＝BC ，∴△OBC 为等边三角形，∴∠C ＝60°. ∴∠AOE ＝∠C ＝60°. 在Rt △OAE 中， ∵tan ∠AOE ＝AE OA， ∴AE ＝3tan60°＝3 3.2．(xx·贵港二模)如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的⊙O 与AD ，AC 分别交于点E ，F ，且∠ACB ＝∠DCE .第2题图(1)求证：直线CE 与⊙O 相切；(2)若tan ∠BAC ＝2，BC ＝2，求⊙O 的半径． (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD ， ∴∠BCA ＝∠DAC .又∵∠ACB ＝∠DCE ， ∴∠DAC ＝∠DCE .连接OE ，则∠DAC ＝∠AEO ＝∠DCE . ∵∠DCE ＋∠DEC ＝90°， ∴∠AEO ＋∠DEC ＝90°， ∴∠OEC ＝90°，即OE ⊥CE .又∵OE 是⊙O 的半径， ∴直线CE 与⊙O 相切．(2)解：∵tan ∠BAC ＝2，BC ＝2，∴AB ＝ 2 ， ∴AC ＝ 6.∵∠DCE ＝∠ACB ， ∴tan ∠DCE ＝tan ∠ACB ＝22， ∴DE ＝DC ·tan∠DCE ＝1.在Rt △CDE 中，CE ＝CD 2＋DE 2＝ 3. 设⊙O 的半径为r ，则在Rt △COE 中，CO 2＝OE 2＋CE 2，即(6－r )2＝r 2＋3，解得r ＝64. 3．(xx·贵港)如图，在菱形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，且PA ＝PD ，⊙O 是△PAD 的外接圆．(1)求证：AB 是⊙O 的切线； (2)若AC ＝8，tan ∠BAC ＝22，求⊙O 的半径． (1)证明：连接OP ，OA ，OP 交AD 于点E ，如答图．第3题答图∵PA ＝PD ，∴AP ︵＝DP ︵，∴OP ⊥AD ，AE ＝DE ， ∴∠1＋∠OPA ＝90°. ∵OP ＝OA ，∴∠OAP ＝∠OPA ， ∴∠1＋∠OAP ＝90°. ∵四边形ABCD 为菱形，∴∠1＝∠2，∴∠2＋∠OAP ＝90°， ∴OA ⊥AB ，∴AB 是⊙O 的切线． (2)解：连接BD ，交AC 于点F ，如答图． ∵四边形ABCD 为菱形， ∴DB 与AC 互相垂直平分． ∵AC ＝8，tan ∠BAC ＝22， ∴AF ＝4，tan ∠DAC ＝DF AF＝22，∴DF ＝22，∴AD ＝AF 2＋DF 2＝26， ∴AE ＝ 6.在Rt △PAE 中，tan ∠1＝PEAE ＝22， ∴PE ＝ 3.设⊙O 的半径为R ，则OE ＝R －3，OA ＝R ，在Rt △OAE 中， ∵OA 2＝OE 2＋AE 2， ∴R 2＝(R －3)2＋(6)2， ∴R ＝332，即⊙O 的半径为332.4．如图，正方形ABCD 顶点A ，D 在⊙O 上，边BC 经过⊙O 上一定点P ，且PF 平分∠AFC ，边 AB ，CD 分别与⊙O 相交于点E ，F ，连接EF .(1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)若FC ＝2，求PC 的长． (1)证明：如答图，连接OP .∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC . ∵PF 平分∠AFC ，∴∠AFP ＝∠PFC .∵OP ＝OF ， ∴∠AFP ＝∠OPF ，∴∠PFC ＝∠OPF ， ∴OP ∥CD ，∴∠BPO ＝∠C ＝90°，∴OP ⊥BC . 又∵OP 是⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线．(2)解：如答图，连接AP .∵∠D ＝90°， ∴AF 是⊙O 的直径，∴∠AEF ＝∠APF ＝90°， ∴∠BEF ＝∠B ＝∠C ＝90°. ∵OP ∥CD ，∴OP ∥CD ∥BA ， ∴AO AF ＝BP BC ＝12，∴BP ＝12BC ＝12B A.∵∠APB ＋∠FPC ＝90°，∠PFC ＋∠FPC ＝90°， ∴∠APB ＝∠PFC .∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△APB ∽△PFC,∴FC PB ＝CP BA ＝12，∴FC CP ＝PB BA ＝12，∴PC ＝2FC ＝4.（本资料素材和资料部分来自网络，供参考。

广西2019年中考数学二轮新优化复习第二部分专题综合强化专题4实际应用与方案设计问题针对训练

【配套K12】[学习](广西专用)2019中考数学二轮新优化复习第二部分专题综合强化专题5 与

第二部分专题五1．(2018·北京)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝AD ，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，连接OE .(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若AB ＝5，BD ＝2，求OE 的长．(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠OAB ＝∠DC A.∵AC 为∠DAB 的平分线，∴∠OAB ＝∠DAC ，∴∠DCA ＝∠DAC ，∴CD ＝AD ＝AB .∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵AD ＝AB ，∴四边形ABCD 是菱形．(2)解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ，BD ⊥AC .∵CE ⊥AB ，∴OE ＝OA ＝OC .∵BD ＝2，∴OB ＝12BD ＝1. 在Rt △AOB 中，AB ＝5，OB ＝1，∴OA ＝AB 2－OB 2＝2，∴OE ＝OA ＝2.2．(2017·柳州)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，CD 边上的点，BE 和AF 交于点O ，且AE ＝DF .(1)求证：△ABE ≌△DAF ；(2)若BO ＝4，OE ＝2，求正方形ABCD 的面积.(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAE ＝∠D ＝90°.在△ABE 和△DAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＝DA ，∠BAE ＝∠ADF ，AE ＝DF ，∴△ABE ≌△DAF (S A S)． (2)解：∵△ABE ≌△DAF ，∴∠ABE ＝∠FAD .又∵∠FAD ＋∠BAO ＝90°，∴∠ABO ＋∠BAO ＝90°，∴∠AOB ＝∠EAB ＝90°，∴△ABO ∽△EBA ，∴AB EB ＝BO BA. ∵BO ＝4，OE ＝2，∴AB 6＝4AB， ∴AB 2＝24，∴正方形ABCD 的面积是24.3．(2017·百色)矩形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，CE ，AF 分别交BD 于G ，H 两点．求证：(1)四边形AFCE 是平行四边形；(2)EG ＝FH .证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC .∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴AE ＝12AD ，CF ＝12BC ，∴AE ＝CF ， ∴四边形AFCE 是平行四边形．(2)∵四边形AFCE 是平行四边形，∴CE ∥AF ，∴∠DGE ＝∠AHD ＝∠BHF .∵AD ∥BC ，∴∠EDG ＝∠FBH ，在△DEG 和△BFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠DGE ＝∠BHF ，∠EDG ＝∠FBH ，DE ＝BF ，∴△DEG ≌△BFH (AA S)，∴EG ＝FH .4．(2018·玉林适应性考试) 如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O .点P 是AC 上动点，∠CAB ＝∠CAD ，且AB ＝10，cos ∠CAB ＝45.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若点E 是AB 边上动点，连接PB ，PE ，求线段PE ＋PB 的最小值．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，∴∠CAB ＝∠DC A.∵∠CAB ＝∠CAD ，∴∠DCA ＝∠CAD ，∴CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．(2)解：如答图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点P ，连接BP ，此时线段PE ＋PB 的值最小，且PE ＋PB ＝DE .∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BD ＝2BO ，∴∠AOB ＝90°.∵AB ＝10，cos ∠CAB ＝OA AB ＝45， ∴AO ＝45AB ＝8， ∴BO ＝6，BD ＝2BO ＝12.∵∠DEB ＝∠AOB ＝90°，∴∠BDE ＝∠OAB ，∴DE ＝DB ·cos∠BDE ＝12×45＝485， ∴线段PE ＋PB 的最小值为485. 5．(2016·贵港)如图1，在正方形ABCD 内作∠EAF ＝45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，过点A 作AH ⊥EF ，垂足为H .(1)如图2，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG .①求证：△AGE ≌△AFE ；②若BE ＝2，DF ＝3，求AH 的长．(2)如图3，连接BD 交AE 于点M ，交AF 于点N .请探究并猜想：线段BM ，MN ，ND 之间有什么数量关系？并说明理由.解：(1)①证明：由旋转的性质知AF ＝AG ，∠DAF ＝∠BAG .∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD ＝90°.又∵∠EAF ＝45°，∴∠BAE ＋∠DAF ＝45°.∴∠BAG ＋∠BAE ＝45°，∴∠GAE ＝∠FAE .在△AGE 和△AFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AG ＝AF ，∠GAE ＝∠FAE ，AE ＝AE ，∴△GAE ≌△FAE (S A S)． ②∵△GAE ≌△FAE ，AB ⊥GE ，AH ⊥EF ，∴AB ＝AH ，GE ＝EF ＝5.设正方形的边长为x ，则EC ＝x －2，FC ＝x －3.在Rt △EFC 中，EF 2＝FC 2＋EC 2，即(x －3)2＋(x －2)2＝25，解得x ＝6(负值已舍去)．∴AB ＝6，∴AH ＝6.(2)解：MN 2＝ND 2＋BM 2.理由：如答图所示．将△ABM 逆时针旋转90°得△ADM ′.∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°.由旋转的性质可知，∠ADM ′＝∠ABM ＝45°，BM ＝DM ′.∴∠NDM ′＝90°，∴NM ′2＝ND 2＋DM ′2.∵∠EAM ′＝90°，∠EAF ＝45°， ∴∠EAF ＝∠FAM ′＝45°.在△AMN 和△ANM ′中， ⎩⎪⎨⎪⎧ AM ＝AM ′，∠MAN ＝∠M ′AN ，AN ＝AN ，∴△AMN ≌△AM ′N (S A S)．∴MN ＝M ′N . 又∵BM ＝DM ′，∴MN 2＝ND 2＋BM 2.。

中考数学(广西地区)总复习第二篇专题聚焦专题二选

6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①b＜0，c＞0；②a＋b＋c＜0；③方程的两根之和大于0；④a－b＋c＜0 ，其中正确的个数是( B )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
点拨：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴在 y 轴右侧，且抛物线与 y 轴交于正半轴，∴b＞0，c＞0，故①错误；由图象知，当 x＝1 时，y＜0，即 a＋b＋c＜0，故②正确，令方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1，x2，由对称轴 x ＞0，可知x1＋2 x2＞0，即 x1＋x2＞0，故③正确；由图象可知抛物线与 x 轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：－1＜x＜0，∴当 x＝－1 时，y＝a－b＋c＜0，故 ④正确．故选 B
数学
广西专用
专题二选填重难点题型突破
命题规律总结：反比例函数的图象与性质一般在选择题或填空题中考查，以填空题为主．考查类型有以下三种：1.单纯考查反比例函数的图象与性质；2.反比例函数与一次函数结合；3.反比例函数与几何图形结合，设问形式有：①求反比例函数解析式；②求代数式的值；③求三角形的面积；④函数值比较大小．
命题规律总结：图形判定问题考查题型有选择题和填空题，考查类
型有以下几种：1.全等三角形的判定；2.相似三角形的判定；3.等腰三
角形的判定；4.特殊四边形的判定．设问形式有：①添加条件判定相似
三角形或特殊四边形；②找出图中全等三角形或等腰三角形的个数．
【例3】 (2016·武汉)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．
【例2】如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0；②a＋b＋c＞0；③a＞b；④4ac－b2＜0. 其中正确的结论有( C )

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第二部分专题二
类型1 函数图象的分析与判断
1．下列图象中，表示y是x的函数的是( C )
2．(xx·青海)均匀地向一个容器注水，最后将容器注满．在注水过程中，水的高度h 随时间t的变化规律如图所示，这个容器的形状可能是( D )
3．(xx·东营)小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s(m)与时间t(mi n)的大致图象是( C )
4．(xx·宜昌)某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m，则草坪的一边长为y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变化而变化的图象可能是( C )
5．(xx·大庆)在同一直角坐标系中，函数y ＝k x
和y ＝kx －3的图象大致是( B )
6．(xx·烟台)如图，矩形ABCD 中，AB ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，点P 从点A 出发，以1 cm/s 的速度沿A →D →C 方向匀速运动，同时点Q 从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿A →B →C 方向匀速运动，当一个点到达点C 时，另一个点也随之停止．设运动时间为t (s)，△APQ 的面积为S (cm 2)，下列能大致反映S 与t 之间函数关系的图象是( A )
类型2 反比例函数综合问题
1．(xx·大连)如图，一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象与反比例函数y ＝k 2
x
的图象相交于A (2,3)，
B (6,1)两点，当k 1x ＋b ＜k 2
x
时，x 的取值范围为( D )
A ．x ＜2
B ．2＜x ＜6
C ．x ＞6
D ．0＜x ＜2或x ＞6
2．如图，已知双曲线y ＝k x
(k ＞0)经过直角三角形OAB 的斜边OB 的中点D ，且与直角边
AB 相交于点C .若点B 的坐标为(4,6)，则△AOC 的面积为( A )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
3．(xx·桂平二模)在平面直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上一个定点，点P 是函数y ＝4
x
(x ＞0)图象上一个动点，PB ⊥y 轴于点B ，连接PA ，当点P 的横坐标逐渐增大时，四边
形OAPB 的面积将会( C )
A ．逐渐增大
B ．先增后减
C ．逐渐减小
D ．先减后增
4．(xx·钦州模拟)如图，直线y ＝x ＋4与双曲线y ＝－3
x
相交于A ，B 两点，点P 是y 轴
上的一个动点，当PA ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为( B )
A ．(0，5
3)
B ．(0，5
2)
C ．(0，－5
3
)
D ．(0，－5
2
)
5．(xx·南宁一模)如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝8x 的图象与函数y ＝1
2x 的图象相
交于A ，B 两点，点C 是函数y ＝8
x
位于第一象限内的图象上一点，连接AC ，BC .若∠C ＝90°，
则点C 的坐标为( A )
A ．(2,4)
B ．(3,6)
C ．(4,2)
D ．(52，16
5)
6．(xx·重庆A卷)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数
y ＝k
x
(k ＞0，x ＞0)的图象上，横坐标分别为1,4，对角线BD ∥x 轴．若菱形ABCD 的面积为45
2
，则k 的值为( D )
A ．5
4
B ．15
4
C ．4
D ．5
7．(xx ·贵港一模)如图，将直线y ＝x 向下平移b 个单位长度后得到直线l ，直线l 与反比例函数y ＝5
x
(x ＞0)的图象相交于点A ，与x 轴相交于点B ，则OA 2－OB 2的值为__10__.
8．如图，点P 的坐标为(6,4)，PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，反比例函数y ＝k
x
的
图象交PM 于点A ，交PN 于点B .若四边形OAPB 的面积为18，则k ＝__6__.
9．反比例函数y 1＝－3x ，y 2＝k x 的图象如图所示，点A 为y 1＝－ 3
x
的图象上任意一点，
过点A 作x 轴的平行线交y 2＝k x
的图象于点C ，交y 轴于点B .点D 在x 轴的正半轴上，AD ∥OC .若四边形CODA 的面积为2，则k 的值为__－5__.
10．如图，点A 是反比例函数y ＝2
x
(x ＞0)的图象上任意一点，过点A 作AB ∥x 轴，交
反比例函数
y ＝－3
x
的图象于点B ，如果以AB 为边作□ABCD (其中点C ，D 在x 轴上)，则S □ABCD 等
于__5__.
类型3 二次函数图象与性质综合问题
1．如图，点A ，B 的坐标分别为(0,4)和(3,4)，抛物线y ＝a (x －m )2＋n 的顶点在线段AB 上运动(抛物线随顶点一起平移)，与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)，点C 的横坐标最小值为－4，则点D 的横坐标最大值为( C )
A ．－3
B ．6
C ．7
D ．8
2．(xx·河池二模)如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，OC 与x 轴正半轴的夹角为15°，点B 在抛物线y ＝ax 2(a ＜0)的图象上，则a 的值为( B )
A ．－2
3
B ．－2
3
C ．－2
D ．－12
3．已知点E (2,1)在二次函数y ＝x 2－8x ＋m (m 为常数)的图象上，则点E 关于图象对称轴的对称点坐标是( C )
A ．(4,1)
B ．(5,1)
C．(6,1) D．(7,1)
4．函数y ＝－x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图象如图，它与x 轴交于A ，B 两点，线段OA 与
OB 的比为1∶3，则m 的值为( D )
A ．1
3或2
B ．1
3
C ．1
D ．2
5．如图所示，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴负半轴相交于A ，B 两点，Q (n ，1
2)
是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上一点，且AQ ⊥BQ ，则a 的值为( D )
A ．－1
3
B ．－1
2
C ．－1
D ．－2
6．(xx·随州)如图所示，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝1.直线y ＝－x ＋c 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于C ，D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a ＋b ＋c ＞0；②a －b ＋c ＜0；③x (ax ＋b )≤a ＋b ；④a ＜－1.其中正确的有( A )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
7．(xx·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a >0)的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，它的对称轴与抛物线y ＝ax 2(a >0)交于点B .若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是__－2__.
8．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝－2，点C 在抛物线上，且位于点A ，B 之间(点C 不与点A ，B 重合)．若△ABC 的周长为a ，则四边形AOBC 的周长为__a ＋4__(用含a 的式子表示)．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2－4x 与x 轴正半轴交于点A ，其顶点为M ，将这条抛物线绕点O 旋转180°后得到的抛物线与x 轴负半轴交于点B ，其顶点记为N ，连接AM ，MB ，BN ，NA ，则四边形AMBN 的面积为__32__.
10．已知关于x 的二次函数y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a 的图象与x 轴的一个交点坐标为(m,0)．若
－4＜m ＜－3，则a 的取值范围是__3＜a ＜4或－13＜a ＜－14
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