2016届高三数学一轮复习优题精练：直线与圆
高三数学一轮同步训练直线与圆的综合(1) Word版含答案
. 直线与圆的综合（）
【典型例题】
例()已知直线的方程为θ＋)－(θ∈)，则直线的倾斜角的取值范围是.
()若直线与曲线＝－)恰有一个公共点，则的取值范围是.
例求适合下列条件的直线方程：
（）经过点（，），且在两坐标轴上的截距相等；
（）经过点（，），倾斜角等于直线的倾斜角的倍.
例平面直角坐标系中，直线截以原点为圆心的圆所得的弦长为
（）求圆的方程；
（）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于，，当长最小时，求直线的方程；
（）设，是圆上任意两点，点关于轴的对称点为，若直线、分别交于轴于点（，０）和（，０），问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【巩固练习】
．过点（，）引一直线，使它的横截距是纵截距的倍，则直线的方程是.
．若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为.
．已知直线：和直线：()，若⊥，则的值为.。
南京师范大学附属中学2016届高三数学一轮同步训练：直线与圆的综合(1) 含答案
12. 直线与圆的综合（1)【典型例题】例1(1)已知直线l的方程为x cosθ＋错误!y－2=0 (θ∈R)，则直线l的倾斜角的取值范围是.（2)若直线y=x+k与曲线x＝错误!恰有一个公共点,则k的取值范围是。
例2 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P(3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A(—1，—3），倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.例3平面直角坐标系xoy中，直线10-+=截以原点O为圆心的圆x y（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D,E，当DE 长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点(m，０)和(n，０），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【巩固练习】1．过点P （1，2）引一直线，使它的横截距是纵截距的2倍,则直线的方程是____________.2．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,则直线l 斜率的取值范围为_______.3．已知直线l 1：ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a —1)y +a 2-1=0，若l 1⊥l 2，则a 的值为__________。
4.直线l 与圆04222=+a y x y x －＋＋ (a <3)相交于两点A ，B ,弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方程为 .5。
经过圆2220xx y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ．6．已知实数x ，y满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1,则实数m 等于 ．7．若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上,过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16相切于点M ，则｜PM ｜的最小值________．8．已知圆C的圆心与点(2,1)P-关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11=0与圆C相交于A，B两点，且6=AB，则圆C的方程_________．9．圆x2+y2=8内一点P（－1，2），过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点。
名校推荐江苏省南京师范大学附属中学高三数学一轮同步训练：直线与圆的位置关系2 含答案
10. 直线与圆的位置关系（2）1．已知圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，半径为5，且该圆与直线x －y ＝0相交所得的弦长为223，求圆C 的方程．2．已知直线l 过点M (12，1)，与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，求∠ACB 取得最小值时，直线l 的方程．3．已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，求系数b 的取值范围．4．自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．5．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P 、Q 两点且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求m 的值．6．已知与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切的直线交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，O 为原点，|OA |＝a ，|OB |＝b ，(a ＞2，b ＞2).（1）求证：(a －2)(b －2)＝2； （2）求△AOB 的面积的最小值．7. 若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，求直线l 的倾斜角的取值范围．8．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有4个不同的交点，求实数m 的取值范围．9．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1,2)，过点M 的圆的两条弦AC 、BD 互相垂直，求AC ＋BD 的最大值．※10．设集合A ＝{(x ,y )|m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ,y ∈R }，B ＝{(x ,y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ,y ∈R }， 若A ∩B ≠ ，求实数m 的取值范围．[反思回顾]10. 直线与圆的位置关系（2）1. (x －1)2＋(y ＋1)2＝25或(x －5)2＋(y －7)2＝25．2. 要使∠ACB 最小，则需弦长最小，需圆心到直线的距离最大．所以当直线与CM 垂直时，∠ACB 取得最小值，此时直线l 方程为2x －4y ＋3＝0．3. 解一：可直接画出图形来判断.即在同一坐标系内作出l ：y ＝x ＋b及C ：y ＝1－x 2的图形(如图)易得b 的取值范围是1≤b ＜2．解二：由方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b x 2＋y 2＝1(y ≥0)，消去x 得2y 2－2by ＋b 2－1＝0 (y ≥0)，l 和C 有两个公共点等价于此方程有两个不等的非负实数解，于是 ⎩⎪⎨⎪⎧△＝4b 2－8(b 2－1)＞0b ＞0b 2－1≥0， 解得1≤b ＜2．4.解：经配方，已知圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1， 它关于x 轴的对称圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1， 设光线l 所在直线方程为y －3＝k (x ＋3)，由题设，对称圆的圆心(2,－2)到直线l 的距离为1.即|5k ＋5| 1＋k 2＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－34或－43．故所求直线方程为3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0．5. 解法1：将x ＝3－2y 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0．设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2)，则y 1,y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝m ＋125，∵ OP ⊥OQ , ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0,而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2，∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2) ＋4y 1y 2，∴m ＝3，此时△＞0.∴m 的值为3．解法2: 把圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0化为(x ＋12)2＋(y －3)2＝37－4m 4，∴圆心C (－12，3)，半径r ＝37－4m 2．过点C 作直线x ＋2y －3＝0的垂线为2x －y ＋4＝0． 由⎩⎨⎧2x －y ＋4＝0，x ＋2y －3＝0解得线段PQ 的中点M 为(－1，2)． ∵OP ⊥OQ ，在Rt △POQ 中，斜边PQ 上的中线|OM |＝12|PQ |＝5．圆C 的半径r ＝(12|PQ |)2＋|CM |2＝52，∴37－4m 2＝52，解得m ＝3． 6. 解：（1）曲线C 可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 直线l 方程为：x a ＋yb＝1，即：bx ＋ay －ab＝0， ∵圆与直线l 相切．∴|a ＋b －ab |a 2＋b 2＝1， 化简整理得：(a －2)(b －2)＝2．（2）∵(a －2)(b －2)＝2，∴ab ＝2(a ＋b )－2＝2[(a －2)＋(b －2)]＋6， S △AOB ＝21ab ＝(a －2)＋(b －2)＋3≥2 (a －2) (b －2)＋3＝2 2＋3， ∴当且仅当a ＝b ＝2＋ 2时，S △AOB 最小＝22＋3． 3. [π12，5π12]．4. 解：曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1，为圆心(1,0)，半径为1的圆． 曲线C 2：y ＝0或y －mx －m ＝0，其中直线y －mx －m ＝0恒过点(－1,0)， 即C 2为x 轴所在直线和恒过点(－1,0)的两条直线． 作图分析：k 1＝tan30°＝33，k 2＝－tan30°＝－33，又直线l 1（或直线l 2）、x 轴与圆共有四个不同 的交点，结合图形可知m ＝k ∈(－33,0)∪(0, 33)．5. 解法一：设O 到直线AC 、BD 的距离分别为d 1、d 2（d 1，d 2≥0），则d 12＋d 22＝OM 2＝3．于是AC ＝2\s\up 6(24－d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom，BD ＝2\s\up 6(24－d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom．所以AC ＋BD ＝2\s\up 6(24－d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom＋2\s\up 6(24－d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom．则(AC ＋BD )2＝4(4－d 12＋4－d 22＋2\s\up 6(24－d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom\s\up 6(24－dan" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom )＝4(5＋2d 1216－4(d 错误!) ＝4(5＋2\s\up 6(24＋d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom)．因为2d 1d 2≤d 12＋d 22＝3，所以d 12d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝32时取等号， 所以\s\up 6(24＋d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom≤52．所以(AC ＋BD )2≤4×(5＋2×52)＝40，所以AC ＋BD ≤210，O xy11 1ll即AC ＋BD 的最大值为210．（另解2\s\up 6(24－d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom \s\up 6(24－d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom≤(4－d 12)＋(4－d 22)＝8－(d 12＋d 22)＝8－3＝5，当且仅当d 1＝d 2＝32时取等号．所以(AC ＋BD )2＝4(4－d 12＋4－d 22＋2\s\up 6(24－d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom\s\up 6(24－d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom)≤4(5＋5)＝40，所以AC ＋BD ≤210，即AC ＋BD 的最大值为210．）解法二：当AC 、BD 有一条经过点O 时，AC 、BD 有一条为4，另一条为2， AC ＋BD ＝6．当AC 、BD 均不过点O 时，O 在AC 、BD 的射影与O 及M 构成一矩形． 所以可设d 1＝3sin β，d 2＝3cos β．则AC ＝24－3sin 2β，BD ＝24－3cos 2β． 所以AC ＋BD ＝24－3sin 2β＋24－3cos 2β． 以下参照解法一．解法三：当AC 的斜率为0或不存在时，可求得AC ＋BD ＝2(2＋3)． 当AC 斜率存在且不为0时，设直线AC 的方程为y －2＝k (x －1)，直线BD 的方程为y －2＝－1k (x －1)． 根据弦长公式l ＝2r 2－d 2，可得AC ＝23k 2＋22k ＋2k 2＋1，BD ＝22k 2－22k ＋3k 2＋1．因为AC 2＋BD 2＝4(3k 2＋22k ＋2k 2＋1＋2k 2－22k ＋3k 2＋1)＝20，所以(AC ＋BD )2＝AC 2＋BD 2＋2AC ×BD ≤2(AC 2＋BD 2)＝40． 故AC ＋BD ≤210，即AC ＋BD 的最大值为210．6. 分析：若直线x ＋y ＝k 与圆(x －2)2＋y 2＝m 2相切，则|k －2|2＝m ， 所以k ＝2±2m ，所以与圆有公共点的直线满足{(x ,y )|2－2m ≤ x ＋y ≤ 2＋2m ，x ,y ∈R }． 因为与{(x ,y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ,y ∈R }有交集，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥2－2m 2m ≤2＋2m，又因为m 2≤m 2，解得12≤m ≤2＋2.。
高考数学一轮复习精选试题：直线与圆(选择与填空) Word版含答案
直线与圆01一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．两直线与平行，则它们之间的距离为( )A ．B C D【答案】D2．圆：和圆：交于两点，则直线的的方程是( )A ．B ．C ．D ． 【答案】A3．已知三点A （－2,－1）、B （x ，2）、C （1，0）共线，则x 为( )A ．7B ．-5C ．3D ．-1 【答案】A4．“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B5．过点（1，2）且与原点的距离最大的直线方程是( )A ．2x+y-4=0B ． x+2y-5=0C ．x+3y-7=0D ．3x+y-5=0 【答案】B330x y +-=610x my ++=421313513267102006422=+-+y x y x 0622=-+x y x ,A B AB 30x y +=3+0x y =30x y -=350y x -=216．已知直线与直线相互垂直，则实数的值为( )A ．9B ．—9C ．4D ．—4【答案】D7．若表示圆，则的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．R【答案】C8．如果两条直线l 1:与l 2:平行，那么 a 等于( )A ．1B ．-1C ．2D ． 【答案】B9．直线与直线之间的距离是( )A ．B ．2C ．D ． 【答案】C10．已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为( )A ．+=1B ．+=1C ．+=1D ．+=1 【答案】B1:2310l x y +-=2:650l x my ++=m 22(1)20x y x y λλλ++-++=λ(0)+，∞114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1(1)()5+-，∞∞，260ax y ++=(1)30x a y +-+=233470x y +-=6830x y ++=5417101751C 2(1)x +2(1)y -2C 1C 10x y --=2C 2(2)x +2(2)y -2(2)x -2(2)y +2(2)x +2(2)y +2(2)x -2(2)y -11．曲线|x ―1|+|y ―1|=1所围成的图形的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．【答案】B12．设直线过点，且与圆相切，则的斜率是( ) A ． B ． C ． D ．【答案】A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．点分别在直线上，则线段长度的最小值是 .【答案】14．已知曲线y ＝3x2＋2x 在点(1，5)处的切线与直线2ax －y －6＝0平行，则a ＝ ．【答案】415．已知圆交于A 、B 两点，则AB 所在的直线方程是 。
《直线与圆》高三数学一轮复习单元训练(北京邮电大学附中)
否存在 m 的值，使得
？若存在，试求出 m 的值；若不存在，请说明理由．
21．已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线 4x+3y﹣29＝0 相 切． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）设直线 ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于 A，B 两点，求实数 a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数 a，使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P（﹣2，4）， 若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由．
A．（﹣ ， ） B．[﹣13，13]
C．[﹣ ， ] D．（﹣13，13）
2．（5 分）过直线 x+y﹣2＝0 和直线 x﹣2y+1＝0 的交点，且垂直于第二条直线的直线方程
为（ ）
A．+2y﹣3＝0
B．2x+y﹣3＝0
C．x+y﹣2＝0
D．2x+y+2＝0
3．（5 分）过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程Biblioteka （ ）第 2页（共 15页）
18．已知圆 C 经过 A（3，2）、B（4，3）两点，且圆心在直线 y＝2x 上． （1）求圆 C 的方程； （2）若直线 l 经过点 P（﹣1，3）且与圆 C 相切，求直线 l 的方程．
19．在平面直角坐标系 xOy 中，记二次函数 f（x）＝x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交 点．经过三个交点的圆记为 C． （1）求实数 b 的取值范围； （2）求圆 C 的方程； （3）问圆 C 是否经过定点（其坐标与 b 的无关）？请证明你的结论．
22．已知点 P（2，0）及圆 C：x2+y2﹣6x+4y+4＝0． （Ⅰ）若直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1，求直线 l 的方程； （Ⅱ）设过 P 直线 l1 与圆 C 交于 M、N 两点，当|MN|＝4 时，求以 MN 为直径的圆的方 程； （Ⅲ）设直线 ax﹣y+1＝0 与圆 C 交于 A，B 两点，是否存在实数 a，使得过点 P（2，0） 的直线 l2 垂直平分弦 AB？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由．
高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 word版含答案
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． (3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．知识点一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d >rd ＝rd <r易误提醒 对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形．必备方法 求圆的弦长的常用方法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式． |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．[自测练习]1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．与m 的取值有关解析：圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m 2＋1＝|m |m 2＋1<1＝r ，故选A.答案：A2．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. 答案：D3．过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________．解析：设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，又直线x ＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝0 知识点二 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|) 相离外切相交内切内含图形量的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|易误提醒 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[自测练习]4．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析：圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距d ＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．答案：B考点一 直线与圆的位置关系|1．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2<3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交，故选C.答案：C2．(2015·皖南八校联考)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A.12，－4 B ．－12，4C.12，4 D ．－12，－4解析：因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，所以直线y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，2×2＋0＋b ＝0，解得k ＝12，b ＝－4.答案：A3．若直线x －my ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则m 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．±3D. 3解析：由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m 2＝1，解得m ＝±3. 答案：C判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．考点二 切线、弦长问题|(1)(2015·高考重庆卷)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210(2)(2016·太原一模)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215[解析] (1)由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.(2)将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r ＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，|BD |＝2r 2－|EF |2＝23，∴S 四边形ABCD＝12|AC |×|BD |＝215. [答案] (1)C (2)D处理切线、弦长问题的策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．1．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0解析：设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)，所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0，故选C.答案：C2．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为________．解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线P A ，连接OA (图略)，易知此时|P A |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|P A |＝|OP |2－|OA |2＝2.答案：2考点三 圆与圆的位置关系|1．(2016·惠州调研)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．答案：B2．若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．答案：C3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a >0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a ＝1.答案：1求解两圆位置关系问题的两种方法(1)两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．19.直线与圆的位置关系中的易错问题【典例】对于任意实数m，直线l：y＝m(x－1)＋b恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，则a，b满足的条件是________．[易错点析]对直线l方程分析不彻底，盲目利用Δ法或几何法无法判断导致失误．[解析]由题意知，①直线l经过定点M(1，b)．又直线l恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，所以，②点M在圆的内部，所以，12＋b2<a2，即a2－b2>1.[答案]a2－b2>1[方法点评]点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[跟踪练习](2016·大连双基)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得k∈(－3，3)．法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d>1，即2k2＋1>1，解得k∈(－3，3)．答案：(－3，3)A组考点能力演练1．(2016·洛阳二练)已知圆C：x2＋y2＝4，若点P(x0，y0)在圆C外，则直线l：x0x＋y0y ＝4与圆C的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．不能确定解析：由题意：圆C的圆心到直线l的距离d＝4x20＋y20，∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4外，∴x20＋y20>4，∴d＝4x20＋y20<2，∴直线l与圆相交．答案：C2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，所以它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：B3．(2015·长春二模)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)B ．(－∞，－22]∪[22，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：由直线与圆相切可知 |m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2， 整理得mn ＝m ＋n ＋1，由mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22可知m ＋n ＋1≤14(m ＋n )2，解得m ＋n ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)，故选A. 答案：A4．过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：本题考查直线与圆的位置关系．由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1，2)，过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－(－1)＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0，故选A.答案：A5．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝5上的任意一点，点Q (2a ，a ＋2)，其中a ∈R ，则线段PQ 长度的最小值为( )A.55B. 5C.355D.655解析：设点Q (x ，y )，则x ＝2a ，y ＝a ＋2，∴x －2y ＋4＝0，∴点Q 在直线x －2y ＋4＝0上．由于圆心(2,0)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|2－0＋4|1＋4＝655，所以PQ 长度的最小值为d －5＝655－5＝55，故选A.答案：A6．圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为________． 解析：公共弦的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－(5)2＝4 5.答案：4 57．(2016·泰安调研)已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________．解析：因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两平行直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.答案：25π8．(2016·福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A 、B 两点，则CA →·CB →的值为________．解析：依题意得，点C 的坐标为(3,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，(x －3)2＋(y －3)2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3， 可令A (3,5)，B (1,3)，∴CA →＝(0,2)，CB →＝(－2,0)， ∴CA →·CB →＝0. 答案：09.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：k AN ＋k BN 为定值．解：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)，则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋⎝⎛⎭⎫322＝254，解得m ＝52，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋(y －2)2＝254. (2)由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN＝0.当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2＋y 2－4＝0，并整理得，(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1，则k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝y 1ty 1－3＋y 2ty 2－3＝2ty 1y 2－3(y 1＋y 2)(ty 1－3)(ty 2－3)＝－6t t 2＋1＋6tt 2＋1(ty 1－3)(ty 2－3)＝0.综上可知，k AN ＋k BN 为定值．10．已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 截得的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方．(1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．解：(1)设圆心M (a,0)，由已知得点M 到直线l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝⎛⎭⎫322＝12，∴|8a －3|82＋62＝12.又点M 在直线l 的下方，∴8a －3>0，∴8a －3＝5，a ＝1，∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设直线AC 的斜率为k 1，直线BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6，解得C 点的横坐标为6k 1－k 2.∵|AB |＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12×⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18|k 1－k 2|.∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ；同理，k 2＝1－(t ＋6)22(t ＋6).∴k 1－k 2＝3(t 2＋6t ＋1)t 2＋6t，∴S ＝6(t 2＋6t )t 2＋6t ＋1＝6⎝⎛⎭⎫1－1t 2＋6t ＋1，∵－5≤t ≤－2，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4， ∴S max ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋18＝274. B 组 高考题型专练1．(2014·高考浙江卷)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫422得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.答案：B2．(2014·高考重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：易知△ABC 是边长为2的等边三角形，故圆心C (1，a )到直线AB 的距离为3，即|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15.经检验均符合题意，则a ＝4±15.答案：4±153．(2014·高考山东卷)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝44．(2015·高考山东卷)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.解析：在平面直角坐标系xOy 中作出圆x 2＋y 2＝1及其切线P A ，PB ，如图所示．连接OA ，OP ，由图可得|OA |＝|OB |＝1，|OP |＝2，|P A →|＝|PB →|＝3，∠APO ＝∠BPO ＝π6，则P A →，PB →的夹角为π3，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos π3＝32. 答案：325．(2015·高考重庆卷)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．解析：由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝0。
高三一轮复习 直线与圆全章 练习(3套)+易错题+答案
第十章直线与圆第1节直线及直线方程一、选择题1.直线l:xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是( A )(A) (B) (C)- (D)-解析:设直线l的斜率为k,则k=-=.2.在等腰三角形AOB中,|AO|=|AB|,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为( D )(A)y-1=3(x-3) (B)y-1=-3(x-3)(C)y-3=3(x-1) (D)y-3=-3(x-1)解析:因为|AO|=|AB|,所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数,所以k AB=-k OA=-3,所以直线AB的方程为y-3=-3(x-1).3.已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是( D )(A)[,+∞) (B)(-∞,-2](C)(-∞,-2]∪[,+∞) (D)[-2,]解析:易知直线l恒过定点P(2,1),如图所示.若l与线段AB相交,则k PA≤k≤k PB,因为k PA=-2,k PB=,所以-2≤k≤.故选D.4.平面直角坐标系中,与直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线方程是( D )(A)y=2x-1 (B)y=-2x+1(C)y=-2x+3 (D)y=2x-3解析:在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则点A关于点(1,1)对称的点为(2,1),点B关于点(1,1)对称的点为(1,-1),所以所求对称直线的方程为y=2x-3.5.已知直线ax+y-1=0与直线x+ay-1=0互相垂直,则a等于( D )(A)1或-1 (B)1 (C)-1 (D)0解析:因为直线ax+y-1=0与直线x+ay-1=0互相垂直,所以a×1+a×1=0⇒a=0,故选D.6.若直线l 1:x-2y+m=0(m>0)与直线l2:x+ny-3=0之间的距离是,则m+n等于( A )(A)0 (B)1 (C)-1 (D)2解析:因为直线l1:x-2y+m=0(m>0)与直线l2:x+ny-3=0之间的距离为,所以所以n=-2,m=2或m=-8(舍去).故m+n=0.二、填空题7.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为.解析:根据A(a,0),B(0,b)确定的直线的方程为+=1,又C(-2,-2)在该直线上,故+=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,所以a<0,b<0,所以ab=-2(a+b)≥4,可得≤0(舍去)或≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时取等号.故ab的最小值为16.答案:168.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上截距相等,则l的方程为;(2)若l不经过第二象限,则实数a的取值范围为.解析:(1)当直线经过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距均为零,此时a=2,直线l的方程为3x+y=0;当直线不经过原点时,即a≠2,截距存在且均不为0,所以=a-2,即a+1=1,所以a=0,直线l的方程为x+y+2=0.综上,l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.(2)l的方程可化为y=-(a+1)x+a-2,由题意得所以a≤-1. 答案:(1)3x+y=0或x+y+2=0 (2)(-∞,-1]9.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线的方程为.解析:由题易知所求直线与OA垂直,因为k OA=2,所以所求直线方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.答案:x+2y-5=010.已知两直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8,若l1∥l2,则m= ;若l1⊥l2,则m= .解析:若l1∥l2,则=≠,即m=-7或m=-1(舍去),所以m=-7.若l1⊥l2,则(3+m)×2+4(5+m)=0,即m=-.答案:-7 -11.若实数x,y满足x+y-4≥0,则z=x2+y2+6x-2y+10的最小值为.解析:因为z=x2+y2+6x-2y+10=(x+3)2+(y-1)2表示的几何意义是区域内的点(x,y)到(-3,1)的距离的平方,所以所求最小值为(-3,1)到直线x+y-4=0的距离的平方,即为()2=18.答案:1812.与直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程为.解析:由解得直线l1与l的交点坐标为(-2,-1).又易知直线l2的斜率存在,故可设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l上任取一点(1,2),由题可知点(1,2)到直线l1,l2的距离相等,所以由点到直线的距离公式得=,解得k=(k=2舍去),故直线l2的方程为x-2y=0.答案:x-2y=0三、解答题13.设直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)若a>-1,直线l与x,y轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求△OMN 面积取最小值时,直线l的方程.解:(1)当直线l经过坐标原点时,该直线在两坐标轴上的截距都为0,此时a+2=0,解得a=-2,此时直线l的方程为-x+y=0,即x-y=0.当直线l不经过坐标原点,即a≠-2时,若a≠-1.则由直线在两坐标轴上的截距相等可得=2+a,解得a=0,此时直线l的方程为x+y-2=0;若a=-1,则y=1,不符合条件.所以直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.(2)由直线方程可得M(,0),N(0,a+2).因为a>-1,所以S△OMN=××(2+a)=×=[(a+1)++2]≥×[2+2]=2,当且仅当a+1=,即a=0时,等号成立.故当△OMN面积最小时,直线l的方程为x+y-2=0.14.已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4).点P为直线l上一点.(1)求使|PA|+|PB|最小的点P的坐标;(2)求使||PB|-|PA||最大的点P的坐标.解:(1)设A关于直线l对称的点为A′(m,n),则解得故A′(-2,8).P为直线l上的一点,则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|,当且仅当B,P,A′三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值|A′B|,故点P即为直线A′B与直线l的交点,解得故所求点P的坐标为(-2,3).(2)易知A,B两点在直线l的同侧,且P是直线l上的一点,则||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,||PB|-|PA||取得最大值|AB|,故点P即为直线AB与直线l的交点.又直线AB的方程为y=x-2,由得故所求点P的坐标为(12,10).15.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点P.(1)点A(5,0)到直线l的距离为3,求直线l的方程;(2)求点A(5,0)到直线l的距离的最大值.解:(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,所以=3,解得λ=或λ=2.所以直线l的方程为x=2或4x-3y-5=0.(2)由解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线l,设d为点A到直线l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).所以d max=|PA|=.第2节圆的方程一、选择题1.已知圆M的方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中不正确的是( C )(A)圆M的圆心为(4,-3)(B)x轴被圆M截得的弦长为8(C)圆M的半径为25(D)y轴被圆M截得的弦长为6解析:圆M的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25,圆心坐标为(4,-3),半径为5.显然选项C不正确.2.已知圆x2+y2-2x+my-4=0上两点M,N关于直线2x+y=0对称,则圆的半径为( B )(A)9 (B)3 (C)2(D)2解析:根据圆的几何特征,可知直线2x+y=0经过圆的圆心(1,-).将圆心坐标代入直线方程解得m=4,即圆的方程为x2+y2-2x+4y-4=0,配方得(x-1)2+(y+2)2=32,故圆的半径为3.3.若a为实数,则圆(x-a)2+(y+2a)2=1的圆心所在的直线方程为( A )(A)2x+y=0 (B)x+2y=0(C)x-2y=0 (D)2x-y=0解析:圆的圆心坐标为(a,-2a),由消去参数a得2x+y=0. 4.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的和是( C )(A)30 (B)18(C)10(D)5解析:由圆x2+y2-4x-4y-10=0知圆心坐标为(2,2),半径为3,圆心(2,2)到直线x+y-14=0的距离d==5>3,直线和圆相离,则圆上的点到直线x+y-14=0的最大距离为d+3=8,最小距离为d-3=2,故最大距离与最小距离的和为10.5.直线x+y-2=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交于A,B两点,则弦|AB|等于( D )(A) (B) (C) (D)解析:因为圆心(1,2)到直线x+y-2=0的距离d=,所以|AB|=2=.6.已知A,B,C是圆O:x2+y2=1上不同的三个点,且·=0,若存在实数λ,μ满足=λ+μ,则点(λ,μ)与圆O的位置关系是( B )(A)在圆O外 (B)在圆O上(C)在圆O内 (D)无法确定解析:因为点A,B,C在单位圆上,所以||=1,于是有||2=1,即(λ+μ)2=1,展开得λ2+μ2=1,所以点(λ,μ)在圆x2+y2=1上.二、填空题7.已知圆C过点A(1,0)和B(3,0),且圆心在直线y=x上,则圆C的标准方程为.解析:由题意可设圆心坐标为(a,a),半径为r,则圆的标准方程为(x- a)2+(y-a)2=r2,所以解得故圆C的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=5.答案:(x-2)2+(y-2)2=58.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC面积的最小值是.解析:直线AB的方程为x-y+2=0,圆心(1,0)到直线AB的距离d=. 因为该圆的半径为1,所以AB边上的高的最小值为-1.因为|AB|=2,所以△ABC面积的最小值是×2×(-1)=3-.答案:3-9.点P(1,2)到圆C:x2+y2+2kx+2y+k2=0上的点的距离的最小值是.解析:圆C的标准方程为(x+k)2+(y+1)2=1,所以圆心C(-k,-1),半径r=1.易知点P(1,2)在圆外,所以点P到圆心C的距离|PC|==≥3,所以|PC|min=3,所以点P到圆C上点的最小距离d min=|PC|min-r=3-1=2.答案:210.已知点A(0,2)为圆M:x2+y2-2ax-2ay=0(a>0)外一点,圆M上存在点T使得∠MAT=45°,则实数a的取值范围是.解析:圆M的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=2a2,圆心M(a,a),半径r=a, 所以|AM|=,|TM|= a.设AS与圆切于S,因为AM,TM长度固定,所以当点T与点S重合时,∠MAT最大.由题意知圆M上存在点T使得∠MAT=45°,所以sin∠MAS==≥sin∠MAT=sin 45°=,整理得a2+2a-2≥0,由于a>0,解得a≥-1.又因为=≤1,所以a≤1,又点A(0,2)为圆M外一点,所以02+22-4a>0,解得a<1,综上可得-1≤a<1.答案:[-1,1)11.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.解析:圆C的圆心为(0,1),半径为1,标准方程为x2+(y-1)2=1.答案:x2+(y-1)2=1三、解答题12.已知圆C的圆心C在第一象限,且在直线3x-y=0上,该圆与x轴相切,且被直线x-y=0截得的弦长为2,直线l:kx-y-2k+5=0与圆C 相交.(1)求圆C的标准方程;(2)求出直线l所过的定点,以及当直线l被圆C所截得的弦长最短时,直线l的方程及最短的弦长.解:(1)设圆心C(a,b)(a>0,b>0),半径为r,则由题可知b=3a,r=3a.圆心C到直线x-y=0的距离d==a,则(a)2+()2=(3a)2,解得a2=1,因为a>0,所以a=1,圆心C(1,3),半径为3.故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=9.(2)易知直线l过定点M(2,5),因为点M在圆C内,且k CM=2,所以弦长最短时,直线l的斜率k=-,所以直线l的方程为x+2y-12=0.因为|CM|=,所以最短弦长为4.13.已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上.(1)求圆M的方程;(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB的面积的最小值.解:(1)因为CD的垂直平分线方程为y=x,联立解得所以圆心坐标为(1,1),圆的半径r==2,所以所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.(2)因为四边形PAMB的面积S=S△PAM+S△PBM=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|, 且|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,又|PA|==,所以S=2.因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小.因为|PM|min==3,所以四边形PAMB的面积的最小值S min=2=2=2.14.已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且y轴被圆C截得的弦长为4,半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程;(2)若直线l∥PQ,且l与圆C交于点A,B,且以线段AB为直径的圆经过坐标原点,求直线l的方程.解:(1)易得直线PQ的方程为x+y-2=0.设圆心C(a,b),半径为r.由于线段PQ的垂直平分线的方程是y-=x-,即y=x-1,且圆心C在该条直线上,所以b=a-1.①又因为y轴被圆C所截得的弦长为4,所以r2=(a+1)2+(b-3)2=12+a2.②由①②得a=1,b=0或a=5,b=4.当a=1,b=0时,r2=13,满足题意;当a=5,b=4时,r2=37,不满足题意.故圆C的方程为(x-1)2+y2=13.(2)设直线l的方程为y=-x+m,A(x1,m-x1),B(x2,m-x2).由题意可知OA⊥OB,即·=0,所以x1x2+(m-x1)(m-x2)=0,整理得m2-m(x1+x2)+2x1x2=0.将y=-x+m代入(x-1)2+y2=13,可得2x2-2(m+1)x+m2-12=0,所以x1+x2=1+m,x1x2=,Δ=-4(m2-2m-25),所以m2-m·(1+m)+m2-12=0,解得m=4或m=-3,经验证均满足Δ>0,所以直线l的方程为y=-x+4或y=-x-3.第3节直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为( B )(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离解析:两圆的圆心距为,因为1<<5,即|r1-r2|<d<r1+r2,因此两圆相交.2.已知圆C:x2+y2-2x=1,直线l:y=k(x-1)+1,则l与C的位置关系是( C )(A)一定相离(B)一定相切(C)相交且一定不过圆心(D)相交且可能过圆心解析:因为直线恒过点(1,1),且该点在圆的内部,所以直线与圆相交,又因为圆的圆心坐标为(1,0),且直线的斜率存在,所以直线不过圆心.3.若直线x-y=2被圆(x-1)2+(y+a)2=4所截得的弦长为2,则实数a 的值为( D )(A)-2或6 (B)0或4(C)-1或(D)-1或3解析:圆心(1,-a)到直线x-y=2的距离d=,由垂径定理得()2+()2=4,解得a=-1或a=3.4.若直线y=x+b与曲线x=有且仅有一个公共点,则b的取值范围是( B )(A){b|b=±}(B){b|-1<b≤1或b=-}(C){b|-1≤b≤}(D){b|-<b<1}解析:y=x+b是斜率为1的直线,曲线x=是以原点为圆心、1为半径的右半圆,如图所示.由图可以看出,直线与曲线有且仅有一个公共点有两种情况:当直线与曲线相切时,b=-;当-1<b≤1时,直线与曲线相交且有唯一公共点.5.已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2- 2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为( D )(A)3 (B)(C)2 (D)2解析:因为圆的方程为x2+(y-1)2=1,所以圆心为(0,1),半径r=1,四边形PACB的面积S=2S△PBC,所以若四边形PACB的最小面积是2,则S△PBC的最小值为1,而S△PBC=r|PB|,所以|PB|的最小值为2,|PC|的最小值为,所以圆心到直线的距离d==,即k2=4,因为k>0,所以k=2.6.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则实数k的取值范围是( C )(A)[-,0] (B)[0,)(C)[0,] (D)(0,)解析:将圆C的方程整理为标准方程得(x-4)2+y2=1,所以圆心C(4,0),半径r=1.因为直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,所以只需圆C′:(x-4)2+y2=4与y=kx-2有公共点,所以圆心(4,0)到直线y=kx-2的距离d=≤2,解得0≤k≤.二、填空题7.直线ax-y+4=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相切,则a的值为. 解析:由题意得圆心(1,2)到直线的距离d==2,解得a=0或a=.答案:0或8.已知集合A={(x,y)|x-y+m≥0},集合B={(x,y)|x2+y2≤1}.若A∩B= ,则实数m的取值范围是.解析:如图所示,A={(x,y)|x-y+m≥0}表示直线x-y+m=0及其右下方区域,B={(x,y)|x2+y2≤1}表示圆x2+y2=1及其内部.要使A∩B= ,则直线x-y+m=0在圆x2+y2=1的下方,且圆心(0,0)到直线的距离d=>1,故m<-.答案:m<-9.过点P(3,1)作圆C:(x-2)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为 .解析:圆(x-2)2+y2=1的圆心为C(2,0),半径为1,以线段PC为直径的圆的方程为(x-2.5)2+(y-0.5)2=0.5,将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程x+y-3=0.答案:x+y-3=010.已知f(x)=x3+ax-2b,如果f(x)的图象在切点P(1,-2)处的切线与圆(x-2)2+(y+4)2=5相切,那么3a+2b= .解析:由题意得f(1)=-2⇒a-2b=-3,又因为f′(x)=3x2+a,所以f(x)的图象在点(1,-2)处的切线方程为y+2=(3+a)(x-1),即(3+a)x-y- a-5=0,所以=⇒a=-,所以b=,所以3a+2b=-7.答案:-711.过直线x+y-2=0上的点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是.解析:因为点P在直线x+y-2=0上,所以可设点P(x 0,-x0+2),且其中一个切点为M.因为两条切线的夹角为60°,所以∠OPM=30°.故在Rt△OPM中,有|OP|=2|OM|=2.由两点间的距离公式得|OP|==2,解得x 0=.故点P的坐标是(,).答案:(,)三、解答题12.已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点M的圆的切线方程;(2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;(3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为2,求a的值.解:(1)由题意知,圆心的坐标为(1,2),半径r=2.当过点M的切线的斜率不存在时,切线方程为x=3.当过点M的切线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1- 3k=0.由题意知=2,解得k=,所以切线方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.故过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.(2)由题意有=2,解得a=0或a=.(3)因为圆心(1,2)到直线ax-y+4=0的距离为,()2+()2=4,解得a=-.13.已知圆M:x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,B 两点.(1)若Q(1,0),求切线QA,QB的方程;(2)求四边形QAMB面积的最小值;(3)若|AB|=,求直线MQ的方程.解:(1)设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1,因为圆心M(0,2)到切线的距离为1,所以=1,所以m=-或m=0,所以所求的切线方程为3x+4y-3=0和x=1.(2)因为MA⊥AQ,所以S四边形MAQB=2××|MA|·|QA|=|QA|==≥=,所以四边形QAMB面积的最小值为.(3)设Q(x,0).设AB与MQ交于P,则MP⊥AB,MB⊥BQ,所以|MP|==.在Rt△MBQ中,|MB|2=|MP||MQ|,即1=|MQ|,所以|MQ|=3,所以x2+22=9,所以x=±,所以Q(±,0),所以直线MQ的方程为2x+y-2=0或2x-y+2=0.14.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和C2:(x- 4)2+(y-5)2=16.(1)若直线l过点A(6,0),且被圆C 2截得的弦长为4,求直线l的方程;(2)在平面内是否存在一点P,使得过点P有无穷多对互相垂直的直线l1和l2(l1,l2与坐标轴不垂直),它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长的2倍与直线l2被圆C2截得的弦长相等?若存在,求出所有满足条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)若直线l的斜率不存在,则其方程为x=6,此时圆心C2(4,5)到直线x=6的距离为2,l被圆C 2截得的弦长为2=4,所以直线x=6满足题意.若直线l的斜率存在,可设直线l的方程为y=k(x-6),即kx-y-6k=0,此时圆心C2到直线l的距离d==,又直线l被圆C2截得的弦长为4,圆C 2的半径为4,所以圆心C2到直线l的距离为=,解得k=-.因此直线l的方程为x=6或y=-(x-6),即x=6或21x+20y-126=0.(2)设P点坐标为(m,n),直线l1的斜率为k(依题意k≠0),则直线l1的方程为y-n=k(x-m),即kx-y+n-km=0,直线l2的方程为y-n=-(x-m),即x+ky-kn-m=0.因为直线l1被圆C1截得的弦长的2倍与直线l2被圆C2截得的弦长相等,且圆C2的半径是圆C1的半径的2倍,所以圆心C1到直线l1的距离的2倍与圆心C2到直线l2的距离相等,故=,化简得(2m+n+1)k+(m-2n-2)=0或(2m-n+11)k+(6-2n-m)=0.由于关于k的方程有无穷多解,所以或解得或所以所有满足条件的P点坐标为(0,-1)或(-,).。
江苏省高三数学一轮复习专题突破训练：直线与圆Word版含答案
一、填空题1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，以点（1,0）为圆心且与直线210mx y m ---=()m R ∈相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_________________。
2、（2014年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，直线032x =-+y 被圆4)1(2x 22=++-y ）（截得的弦长为 ▲ ．3、（南京市2016届高三三模）在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为▲________．4、（南通、扬州、泰州三市2016届高三二模）在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P -的直线与圆221x y +=相切于点T ，与圆()(223x a y -+-=相交于点,R S ，且P T R S =，则正数a 的值为 ▲ ．5、（南通市2016届高三一模）在平面直角坐标系xOy 中，点)0,4(),0,1(B A .若直线0=+-m y x 上存在点P ，使得PB PA 21=,则实数m 的取值范围是 6、（苏锡常镇四市2016届高三一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为 7、（苏锡常镇四市市2016届高三二模）若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．8、（镇江市2016届高三一模）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ， x >0，12－⎪⎪⎪⎪12＋x ， x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为________．9、（常州市2016届高三上期末）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆O ：222211,:(4)4x y O x y +=-+=，动点P 在直线0x b +-=上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为AB ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是10、（南京、盐城市2016届高三上期末）过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 ▲11、（苏州市2016届高三上期末）若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段弧，则22a b +＝ ▲12、（泰州市2016届高三第一次模拟）已知直线(0)y kx k =>与圆22:(2)1C x y -+=相交于,A B两点，若AB =，则k = ▲ 13、（扬州市2016届高三上期末）已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 ▲ .二、解答题1、（2013年江苏高考）本小题满分14分。
高考数学高三一轮复习直线和圆经典小题汇总
1．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．2. 一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 的正半轴上，则该圆的标准方程为_______． 3．在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．44．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．25．一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34- 6．平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y +=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y -=7．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =A ．26B ．8C ．46D ．108．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝A ．2B ．C ．6D ．9．设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．⎡⎣D ．⎡⎢⎣⎦ 10．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．412．若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =A ．21B ．19C ．9D ．11-13．过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是 A ．]60π，（ B ．]30π，（ C ．]60[π， D ．]30[π， 14．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－815．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．16．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π17．过点(3，1)作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=18．已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A ．4B 1C ．6- D19．已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定20．已知过点P (2，2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切， 且与直线10ax y -+=垂直， 则a =A ．12-B ．1C ．2D ．1221．则“2-=m ”是“直线1l ：0422=+-+m my x 与直线2l ：022=+-+m y mx 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件22．已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．123．若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(3-，3)B ．(-0)(0，3)C ．[3-，3]D ．(-∞，3-) (3，+∞)24．若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y += 相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y +=B ．22(5x y +=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++=25．已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________． 26．直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________．27．圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为 ．28．若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为____． 29．已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．30．已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=(π02θ<<)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .34.与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x －2)2＋(y －2)2＝235.若曲线y ＝1＋4－x 2与直线kx －y －2k ＋4＝0有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，512B.⎝⎛⎦⎤13，34C.⎝⎛⎦⎤512，34D.⎝⎛⎭⎫512，＋∞ 36.已知P 是过三点O (0,0)，A (1,1)，B (4,2)的圆M 上一点，圆M 与x 轴、y 轴的交点(非原点)分别为S ，T ，则|PS |·|PT |的最大值为( )A ．25B ．50C ．75D ．10037.若过点P (2,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －7＝0相交于两点A ，B ，且∠ACB ＝60°(其中C 为圆心)，则直线l 的方程是( )A ．4x －3y －5＝0B ．x ＝2或4x －3y －5＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．x ＝2或4x －3y ＋5＝038.已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)39.已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13 40.在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．41.直线x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__.。
【福建省】2016届高考数学(理科)-直线和圆的方程-专题练习及答案解析
A ．123k k k << 2．方程22x y ax ++)2(,)3+∞30x y +-=45，则x 二、填空题：本大题共4小题，每小题6分．7．点2(4,)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是________．8．过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30()mx y m m --+=∈R 交于点,()P x y ，则||||PA PB 的最大值是________．9．已知直线l 过点()3,4P 且与点2()2,A -，2(4,)B -等距离，则直线l 的方程为________．10．已知平面区域0,0,240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩恰好被面积最小的圆C ：222()()x a y b r -+-=及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．（本小题满分10分） 求适合下列条件的圆的方程：（Ⅰ）圆心在直线4y x =-上，且与直线l ：10x y +-=相切于点2(3,)P -； （Ⅱ）过三点()1,12A ，()7,10B ，2()9,C -． 12．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线l ：24y x =-．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （Ⅰ）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （Ⅱ）若圆C 上存在点M ，使|2|||MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 13．（本小题满分15分）已知三条直线：l 1：00)2(x y a a -+=>；l 2：4210x y -++=；l 3：10x y +-=，且l 1与l 2． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的1；三、解答题．11．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）法一：设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，则有2224,(3)(2),,b a a b r r ⎧⎪=-⎪⎪-+--=⎨⎪=解得1a =，4b =-，r =∴圆的方程为22()(14)8x y -++=．法二：过切点且与10x y +-=垂直的直线为23y x +=-，与4y x =-联立可求得圆心为(1,)4-．∴半径r == ∴所求圆的方程为22()(14)8x y -++=．（Ⅱ）法一：设圆的一般方程为2222(4)00x y Dx Ey F D E F ++++=+->，则1144120,491007100,814920.D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪+-++=⎩解得2D =-，4E =-，95F =-． ∴所求圆的方程为2224950x y x y +---=．法二：由()1,12A ，()7,10B ，AB 的中点坐标为(4,11)，13AB k =-， 则AB 的垂分线方程为310x y --=．AC 的垂分线方程为30x y +-=．联立310,30x y x y --=⎧⎨+-=⎩得圆心为(1,2)，半径10r =所求圆的方程为221210()(0)x y -+-=． 12．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题设，圆心C 是直线24y x =-和1y x =-的交点，解得点()3,2C ，于是切线的斜率必存在． 设过()0,3A 的圆C 的切线方程为3y kx =+，1=，解得0k =或34-，故所求切线方程为3y =或34120x y +-=． （Ⅱ）因为圆心在直线24y x =-上，所以圆C 的方程为222()[(2)1]x a y a -+--=． 设点,()M x y ，因为|2|||MA MO =，化简得22230x y y ++-=，即22()14x y ++=， 所以点M 在以1(0,)D -为圆心，2为半径的圆上．由题意，点,()M x y 在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|211||2|CD -≤≤+，即13≤．整理得285120a a -≤-≤． 由251280a a -+≥，得a ∈R ；由25120a a -≤，得1205a ≤≤． 所以点C 的横坐标a 的取值范围是12[0,]5． 13．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）直线l 2：1202x y --=，所以l 1与l 2间的距离为1|()|a d --==， 即17||22a ++，又0a >，解得3a =． （Ⅱ）假设存在00(),P x y 满足条件②，则P 在与l 1，l 2平行线l '：20x y c -+=1||c +=即132c =或116， 所以0013202x y -+=或0011206x y -+=；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，=，0000231||||x y x y =-++-，即00240x y -+=或0320x +=；由于点P 在第一象限，所以0320x +=不可能．联立方程0013202x y -+=和00240x y -+=，解得003,12x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩；（舍去）联立方程001120x y -+=和00240x y -+=，福建省2016届高考数学（理科）-专题练习直线和圆的方程答 案一、选择题．1．解析 直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<0<k3<k2，答案 D2． 解析方程为⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋(y ＋a)2＝1－a －3a24表示圆，则1－a －3a24＞0，－2＜a ＜23． 答案 D 3． 解析把3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0，则两平行线间的距离d ＝|1－（－6）|62＋22＝72010． 答案 D4．解析 两圆圆心之间的距离为|O1O2|＝5，由1＜5＜2＋1＝3，所以两圆相交，答案 C5．解析设圆心⎝⎛⎭⎫t ，2t ．由题意|OC|2＝t2＋4t2，圆C 的方程为(x －t)2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t2＋4t2．令x ＝0，得y1＝0，y2＝4t ，B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，4t ；令y ＝0，得x1＝0，x2＝2t ，A 点的坐标为(2t ，0)，∴S △OAB＝12|OA|·|OB|＝12×|4t|×|2t|＝4，答案 C 6．解析过O 作OP ⊥MN ，P 为垂足，OP ＝OM·sin 45°≤1，OM≤1sin 45°，∴OM2≤2，∴x20＋1≤2，∴x20≤1，∴－1≤x0≤1． 答案B ．二、填空题．7． 解析 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ 的中点为M(x ，y)，则⎩⎨⎧x ＝4＋x02，y ＝－2＋y02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2x －4，y0＝2y ＋2.即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1．8．解析 易知A(0，0)，B(1，3)且两直线互相垂直， 即△APB 为直角三角形，∴|PA|·|PB|≤|PA|2＋|PB|22＝|AB|22＝102＝5． 答案 5 9．解析 设所求直线方程为y －4＝k(x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0， 由已知，得|－2k －2＋4－3k|1＋k2＝|4k ＋2＋4－3k|1＋k2，∴k ＝2或k ＝－23．答案 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝010.解析 平面区域表示以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)构成的三角形及其内部，覆盖它且面积最小圆是其外接圆，△OPQ 为直角三角形，故其圆心为PQ 中点(2，1)，半径为|PQ|2＝5，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y－1)2＝5．三、解答题．11~13．略。
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江苏省2016年高考一轮复习突破训练直线与圆一、填空题1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，以点（1,0）为圆心且与直线210mx y m ---= ()m R ∈相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____22(1)2x y -+=_____________。
2、（2014年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，直线032x =-+y 被圆4)1(2x 22=++-y ）（截得的弦长为 ▲ ．3、（2015届南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知⊙Ｃ：5)1(22=-+y x ，Ａ为⊙Ｃ与x 负半轴的交点，过A 作⊙Ｃ的弦AB ，记线段AB 的中点为M.则直线AB 的斜率为 。
4、（南通、扬州、连云港2015届高三第二次调研（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA AB =，则半径r 的取值范围是 ▲ ．5、（苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研（一））在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 ．6、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试）已知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线()2350x b y +-+=互相平行，则23a b +的最小值为 ▲7、（南京市、盐城市2015届高三第一次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ▲ .8、（苏州市2015届高三2月调研测试）已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ，使得60BAC ∠=︒，则点A的横坐标的取值范围是9、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知圆22:24200C x y x y +---=，直线l 过点P （3，1），则当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，直线l 的方程为 ▲10、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为 ▲11、（南京市2014届高三第三次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60︒，则圆M 的方程为 12、（2014江苏百校联考一）已知圆22:(2)1C x y -+=，点P 在直线:10l x y ++=上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标0x 的取值范围是 ．13、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ 14、（无锡市2015届高三上学期期末）已知点()0,2A 位圆()22:2200M x y ax ay a +--=>外一点，圆M 上存在点T 使得45MAT?o ，则实数a 的取值范围是 .15、（宿迁市2015届高三11月摸底考试）已知光线通过点()3,4M -，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线通过点()2,6N ， 则反射光线所在直线的方程是 ▲二、解答题1、（2013年江苏高考）本小题满分14分。
如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上。
（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围。
2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,4)A -，(9,0)B ，若C ,D 分别为线段OA ,OB 上的动点，且满足AC BD =．(1) 若4AC =，求直线CD 的方程；(2)证明：△OCD 的外接圆恒过定点（异于原点O ）．3、（泰州市2015届高三第二次模拟考试）如图，某市有一条东西走向的公路l ，现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m ．在施工过程中发现在O 处的正北1百米的A 处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l 、m ，欲再新建一条公路PQ ，点P 、Q 分别在公路l 、m 上，且要求PQ 与圆A 相切．（1）当P 距O 处2百米时，求OQ 的长；（2）当公路PQ 长最短时，求OQ 的长．4、（溧阳市2015届高三上学期期中教学情况调研）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），B （0，4），圆C 以线段AB 为直径 （1）求圆C 的方程；（2）设点P 是圆C 上与点A 不重合的一点，且OP=OA ，求直线PA 的方程和POA ∆的面积。
5、（江苏省诚贤中学2014届高三12月月考）已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=,点O 是坐标原点.直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点.(Ⅰ)求k 的取值范围;(Ⅱ)设(,)Q m n 是线段MN 上的点,且222211||||||OQ OM ON =+.请将n 表示为m 的函数6、（江苏省张家港市后塍高中2014届高三12月月考）已知圆()22:21C x y -+=（1） 求：过点()3,P m 与圆C 相切的切线方程；（2） 若点Q 是直线60x y +-=上的动点，过点Q 作圆C 的切线,QA QB ，其中,A B为切点，求：四边形QACB 面积的最小值及此时点Q 的坐标．7、已知圆O 的方程为），，过点直线03(,1122A l y x =+且与圆O 相切。
（1）求直线1l 的方程；（2）设圆O 与x 轴交与P,Q 两点，M 是圆O 上异于P,Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为2l ，直线PM 交直线2l 于点'P ，直线QM 交直线2l 于点'Q 。
求证：以''Q P 为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标。
8、如图，在平面直角坐标系xOy 中，(,0)A a (0)a >，(0,)B a ，(4,0)C -，(0,4)D ，设A O B ∆的外接圆圆心为E ．（1）若⊙E 与直线CD 相切，求实数a 的值；（2）设点P 在圆E 上，使PCD ∆的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的⊙E 是否存在，若存在，求出⊙E9、（通州高级中学等五校2015届高三12月第一次联考）已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为圆H ．（１）求圆H 的方程；（２）若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（３）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围．参考答案一、填空题 1、r =，即222(1)21211m r m m m+==+≤++，所以所求的圆标准方程为：22(1)2x y -+=2、55523、24、[]5 55， 5、 6、25 78、[1,5] 9、250x y --= 1 0、211、(x －1)2＋y 2＝1 12、[1,2]- 13、1或7231411a ≤< 15、660x y --=二、解答题 1、（1）解：由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为（3,2），∵圆C 的半径为1∴圆C 的方程为：1)2()3(22=-+-y x显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ，即03=+-y kx∴113232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k∴所求圆C 的切线方程为：3=y 或者343+-=x y 即3=y 或者01243=-+y x （2）解：∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上，所以，设圆心C 为（a,2a-4） 则圆C 的方程为：[]1)42()(22=--+-a y a x又∵MO MA 2=∴设M 为（x,y ）则22222)3(y x y x +=-+整理得：4)1(22=++y x 设为圆D∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即：圆C 和圆D 有交点 ∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a由08852≥+-a a 得R x ∈ 由01252≤-a a 得5120≤≤x 终上所述，a 的取值范围为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0 2、(1) 因为(3,4)A -，所以5OA ==，…………………………………1分又因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55C -，…………………………………3分由4BD =，得(5,0)D ，所以直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， …………………5分所以直线CD 的方程为1(5)7y x =--，即750x y +-=．…………………………6分 (2)设(3,4)(01)C m m m -<≤，则5OC m =．…………………………………………7分则55AC OA OC m =-=-，因为AC BD =，所以5+4OD OB BD m =-=， 所以D 点的坐标为(5+4,0)m ， ……………………………………………………8分 又设△OCD 的外接圆的方程为22+0x y Dx Ey F +++=，则有()()2220,916340,54540.F m m mD mE F m m D F ⎧=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩……………………………………………10分解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--，所以△OCD 的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=，………12分 整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，令2243=0,+2=0x y x y x y ⎧+--⎨⎩，所以0,0.x y =⎧⎨=⎩（舍）或2,1.x y =⎧⎨=-⎩ 所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-．…………………………………………14分3、解：以O 为原点，直线l 、m 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系． 设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1百米为单位长度，则圆A 的方程为22(1)1x y +-=，(1)由题意可设直线PQ 的方程为12x yq+=，即220qx y q +-=，(2)q > ，∵PQ 与圆A1=，解得83q = ，故当P 距O 处2百米时，OQ 的长为83百米． ……………5分 （2）设直线PQ 的方程为1x yp q+=，即0qx py pq +-= ，(1,2)p q >>， ∵PQ 与圆A 相切，1=，化简得22q p q =-，则22222qP Q p q q q =+=+-，……8分令2()(2)2q f q q q q =+>-，∴22222(1)(31)()2(2)(2)q q q f q q q q --+'=-=-- (2)q >，当2q <<()0f q '<，即()f q在上单调递减；当32q +>()0f q '>，即()f q在3()2++∞上单调递增， ∴()f q在32q +=PQ 长最短时，OQ的长为32+百米． 答：（1)当P 距O 处2百米时， OQ 的长为83百米；（2）当公路PQ 长最短时， OQ 的长为32+百米． ……………14分 4、解：（1）设圆C 的圆心C （),b a ，半径为r ，则3,1==b a ---------2分2)32()12(22=-+-==AC r --------------------------------------------4分∴圆C 的方程为2)3()1(22=-+-y x ----------------------------------------6分 （2）∵OP=OA ，CP=CA ，∴OC 是线段PA 的垂直平分线---------------8分 又OC 的斜率为3，∴PA 的斜率为31-------------------------------------------9分 ∴直线PA 的方程为)2(312--=-x y ，即083=-+y x -----------------10分 ∵点O 到直线PA 的距离51043180022=+-+=d -------------------------------11分 OA=222222=+…………………………………………………………..12分 ∴5104)5104(822222=-=-=d OA PA ……………………………13分 ∴POA ∆的面积516510451042121=⨯⨯=⋅=d PA ……………………14分5、解:(Ⅰ)将x k y =代入22(4)4x y +-=得 则 0128)1(22=+-+x k x k ,(*) 由012)1(4)8(22>⨯+--=∆k k 得 32>k . 所以k 的取值范围是),3()3,(+∞--∞(Ⅱ)因为M 、N 在直线l 上,可设点M 、N 的坐标分别为),(11kx x ,),(22kx x ,则2122)1(x k OM +=,2222)1(x k ON +=,又22222)1(m k n m OQ +=+=,由222112ONOMOQ+=得,22221222)1(1)1(1)1(2x k x k m k +++=+,所以222121221222122)(112x x x x x x x x m -+=+= 由(*)知 22118k kx x +=+,221112k x x +=, 所以 353622-=k m ,因为点Q 在直线l 上,所以mnk =,代入353622-=k m 可得363522=-m n ,由353622-=k m 及32>k 得 302<<m ,即 )3,0()0,3( -∈m .依题意,点Q 在圆C 内,则0>n ,所以 518015533622+=+=m m n , 于是, n 与m 的函数关系为 5180152+=m n ()3,0()0,3( -∈m )6、⑴ ①当0m =时 切线方程为3x = ―――――2分 ②当0m ≠时 设切线方程为()3y m k x -=-112mk m-=∴=切线方程为 3x =或()2132m y m x m--=- ―――――――8分⑵2QACB QAC S S AC AQ ∆==⋅= 故CQ 最小时四边形面积最小，min CQ == QA CS此时:2CQ y x =- ()4,2Q ∴ ――――――16分 7、解：（1）∵直线1l 过点(3,0)A ，且与圆C ：221x y +=相切，设直线1l 的方程为(3)y k x =-，即30kx y k --=， …………………………2分 则圆心(0,0)O 到直线1l的距离为1d ==，解得42±=k ， ∴直线1l的方程为3)y x =-，即3)y x =-． …… …………………4分 （2）对于圆方程122=+y x ,令0y =，得1x =±,即(1,0),(1,0)P Q -．又直线2l 过点A 且与x 轴垂直，∴直线2l 方程为3x =，设(,)M s t ，则直线PM 方程为).1(1++=x s ty解方程组3,(1)1x ty x s =⎧⎪⎨=+⎪+⎩,得).14,3('+s t P 同理可得,).12,3('-s t Q ……………… 10分 ∴以P Q ''为直径的圆C '的方程为0)12)(14()3)(3(=--+-+--s ty s t y x x ， 又122=+t s ，∴整理得2262(61)0s x y x y t-+-++=，……………………… 12分 若圆C '经过定点，只需令0y =，从而有2610x x -+=，解得3x =±， ∴圆C '总经过定点坐标为(3±． …………………………………………… 14分8、解：（1）直线CD 方程为4y x =+，圆心(,)22a a E，半径r =.|4|2a a a -+=，解得4a =.…………………………………………6分 （2）∵||CD ==∴当PCD ∆面积为12时，点P 到直线CD的距离为又圆心E 到直线CD距离为定值)，要使PCD ∆的面积等于12的点P 有且只有三个，只须圆E=10a =， 此时，⊙E 的标准方程为22(5)(5)50x y -+-=．……………………………………14分 9、解：(1)22(3)10x y +-= ……………4分(2)3x =或4360x y --= ………10分（缺少一个方程扣3分） (3)02CP r r <-≤，即3r CP r <≤恒成立，minmax 3r CP r CP CH ⎧<⎪∴⎨⎪≥==⎩r ≤< …16分 注：多等号扣2分，其它方法类似.。