能被某某数整除的特征
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除是数论中的一个重要概念，它描述了一个整数能够被另一个整数整除，也就是除法运算的结果是整数。
整除有着许多重要的性质和特征，下面将详细介绍。
1.定义：整数a能够被整数b整除，即b是a的因数，记作b，a，当且仅当存在一个整数c，使得a=b·c。
其中，c称为a除以b的商，b称为a的约数，a称为b的倍数。
2.可加性：如果c是a的一个约数，那么c也是a的倍数。
换句话说，如果一个整数能够整除a，那么它也能够整除a的倍数。
3.可乘性：如果b，a且c，a，那么b·c也，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a与b的乘积。
4.整除的传递性：如果b，a且c，b，那么c，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a。
5.算术基本定理：任意一个大于1的整数，都可以表达为多个质数的积。
这意味着，如果一个整数可以整除另一个整数，那么它必然可以整除这个整数的所有质因数。
6. 两个非零整数的最大公约数和最小公倍数：两个非零整数a和b的最大公约数（记作gcd(a,b)）是能够同时整除a和b的最大正整数。
两个非零整数a和b的最小公倍数（记作lcm(a,b)）是能够同时被a和b整除的最小正整数。
于是有gcd(a,b)·lcm(a,b)=a·b。
7.唯一分解定理：任何一个整数都能够唯一地分解为几个质数的乘积。
这个定理也说明了一个数的因数有限，不会无限增多。
8. 整除与除法的关系：一个整数a能够被b整除，相当于a除以b 的余数为0。
对于任意的整数a和b，总能够找到唯一的两个整数商q和余数r，使得a=bq+r，其中r满足0≤r<，b。
9. 整除与模运算的关系：一个整数a能够被b整除，等价于a除以b的余数为0，即a mod b = 0。
在模运算中，a mod b表示a除以b的余数。
10. 除法的消去律：如果一个整数a能够被b整除，那么对于任意的整数c，ac也能够被bc整除。
能被2、3、5、7、11、13、17、19整除的数的特征
【数学】能被2、3、5、7、11、13、17、19整除的数的特征★★能被2整除的数的特征是个位上是偶数，能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍感）能被5整除的数个位上的数为0或5，能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。
—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此,491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
如：判断1284322能不能被13整除。
128432+2×4=12844012844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100所以，1284322能被13整除。
能被17整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
例如：判断1675282能不能被17整除。
167528-2×5=16751816751-8×5=167111671-1×5=1666166-6×5=136到这里如果你仍然观察不出来，就继续……6×5=30，现在个位×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除。
整除规则（原理，性质）
整除规则（原理，性质）各种被整除的数的特征（放在这里以备以后查阅方便）（1）被2整除的数的特征：一个整数的末位是偶数（0、2、4、6、8）的数能被2整除。
（2）被3整除的数的特征：一个整数的数字和能被3整除，则这个数能被3整除。
（3）被4整除的数的特征：一个整数的末尾两位数能被4整除则这个数能被4整除。
可以这样快速判断：最后两位数，要是十位是单数，个位就是2或6，要是十位是双数，个位就是0、4、8。
（4）被5整除的数的特征：一个整数的末位是0或者5的数能被5整除。
（5）被6整除的数的特征：一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（6）被7整除的数的特征：“割减法”。
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，这样，一次次下去，直到能清楚判断为止，如果差是7的倍数（包括0），则这个数能被7整除。
过程为：截尾、倍大、相减、验差。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（7）被8整除的数的特征：一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（8）被9整除的数的特征：一个整数的数字和能被9整除，则这个数能被9整除。
（9）被10整除的数的特征：一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（10）被11整除的数的特征：“奇偶位差法”。
一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差是11的倍数（包括0），则这个数能被11整除。
（隔位和相减）例如，判断491678能不能被11整除的过程如下：奇位数字的和9+6+8=23，偶位数位的和4+1+7=12。
23-12=11。
因此491678能被11整除。
（11）被12整除的数的特征：一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（12）被13整除的数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，这样，一次次下去，直到能清楚判断为止，如果是13的倍数（包括0），则这个数能被13整除。
能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征
能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征能被2整除的数的特征是个位上是偶数，能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍数）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
能被5整除的数个位上的数为0或5，能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
能被9整除的数的特征是所有位数的和是9的倍数能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。
奇位数字的和9+6+8=23偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此,491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
如：判断1284322能不能被13整除。
128432+2×4=12844012844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100所以，1284322能被13整除。
【其它方法：能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
】例1：判断1059282是否是7的倍数？例2：判断3546725能否被13整除？能被17整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除的数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数，百位、十位和个位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！能被12整除的数，若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除能被13整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
能被整除的数的特征
能被整除的数的特征 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征能被2整除的数的特征是个位上是偶数，能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍数）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
能被5整除的数个位上的数为0或5，能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
能被9整除的数的特征是所有位数的和是9的倍数能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。
奇位数字的和9+6+8=23偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此,491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
如：判断1284322能不能被13整除。
128432+2×4=12844012844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100所以，1284322能被13整除。
【其它方法：能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
】例1：判断1059282是否是7的倍数例2：判断3546725能否被13整除能被17整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
数的整除特征特点
数的整除特征特点 It was last revised on January 2, 2021
数的整除特征特点
一、尾数判断法:
(1) 能被 2、 5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除。
(2) 能被4、25 整除的数的特征：末两位能被4或25整除。
(3) 能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除。
二、数字求和法
（1）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
三、奇偶位求差法
（1）能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
四、三位截断法
（1）能被7、11、13整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7或11或13整除。
整除特征：
7：个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
（如果数字太大仍然不能直接观察出来，就重复此过程。
）
13：个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
17：个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
19：个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。
五年级整除的特征
整除的特征一、性质1、如果整数A、B都能被C整除，那么他们的和A+B或差A-B也能被C整除。
例如：8整除64，8整除24，那么8整除64+24或64-242、如果A能被B整除，B能被C整除，那么A能被C整除。
例如：30能被15整除，15能被5整除，那么30能被5整除。
二、数的整除特征能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8。
能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数。
能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。
能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。
能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除。
能被7、11、13整除的数的特征：末三位数与末三位数以前的数所组成的数之差能被7、11、13整除。
一个三位数连续写偶数次，所得的数能被7、11、13整除三、例题与练习例1、判断下面的数是否能整除。
例2、判断下面的数是否能整除。
例题3、四位数2□2□能同时被8、9整除，那么这个四位数是多少？练习1、在3□2□的方框里填入合适的数字，使这个四位数能被15整除，这样的四位数中最大的是多少？例题4、将1、2、3、4这四个数任意排列，可组成若干个四位数，在这些四位数中，能被11整除的数最小是多少？能被4整除的数最小是多少？练习3、由1、2、3这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11整除的数有哪些？练习4、从0、3、5、7这四个数中选择三个数，排成一个三位数，使它能同时被2、3、5整除，这样的三位数最大的是哪个？练习5、在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5整除，这个六位数最小是多少？例5、某个七位数1993口口口能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?**例6、已知数022983298329832983个 n 能被18整除，那么n 的最小值是多少？**例7、三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a 和b ，将它连续重复写99次成为：abab ab ab 5个99555。
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能被特殊数整除的特征
—己巳贡生1、能被2 整除的数的特征。
如果一个数能被2 整除，那么这个数末尾上的数为偶数，“0”、“2”、“4”、“6”、“8”。
2、能被3 整除的数的特征。
如果一个数能被3整除，那么这个数所有数位上数字的和是 3 的倍数。
例如：225能被3 整除，因为2+2+5=9,9 是3 的倍数，所以225 能被3 整除。
3、能被4 整除的数的特征。
如果一个数的末尾两位能被4 整除，这个数就能被4整除。
例如：15692512 能不能被4 整除呢？因为15692512 的末尾两位12，能被4整除，所以15692512 能被4整除。
4、能被5 整除的数的特征。
若一个数的末尾是0 或5，则这个数能被5 整除。
5、能被7 整除的数的特征。
方法一：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2 倍，如果差是
7 的倍数，则原数能被7 整除。
如果差太大或心算不易看出是否是7 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133 是否是7 的倍数的过程如下：13 —3X 2= 7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613 —9X 2= 595 , 59 —5X 2= 49,所以6139是7的倍数，以此类推。
方法二：如果一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差, 是7 的倍数, 那么这个数就能被7 整除。
例如：280678 末三位数是678,末三位以前数字所组成的数是
280,679-280=399,399 能被7 整除,因此280679 也能被7 整除。
方法三：首位缩小法,减少7 的倍数。
例如, 判断452669 能不能被7 整除, 452669-420000=32669 ,只要32669 能被7 整除即可。
可对32669 继续, 32669-28000=4669,4669-4200=469,469-420=49,49 当然被7 整除所以452669 能被7 整除。
6、能被8 整除的数的特征。
若一个整数的未尾三位数能被8 整除,则这个数能被8整除。
7、能被9 整除的数的特征。
若一个数的数位上的数字的和能被9 整除,则这个整数能被9 整除。
例如：111111111 能不能被9整除呢？因为1+1+1+1+1+1+1+1+1=9,9 是9的倍数,所以111111111 能被9整除。
8、能被11 整除的数的特征。
方法一：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和（从右往左数）的差能被11 整除,
则这个数能被11 整除。
例如,判断491678 能不能被11 整除。
奇位数字之和8+6+9=23；偶位数字之和7+1+4=12；23-12=11,11 能被11 整除，所以491678 能被11 整除。
这种方法叫作“奇偶位差法”。
方法二：11 的倍数检验法也可用上述检查7 的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2 而是1！例如：判断491678 能不能被11 整除，49167-8=49159,4915-9=4906 ，490-
6=484,48-4=44 。
44能被11整除，所以得491678能被11整除。
方法三：还可以根据7 的方法二判断。
例如：283679 的末三位数是679，末三位以前数所组成的数是283,679-283=396,396 能被11 整除，因此283679 就一定能被11 整除。
9、能被13 整除的数的特征。
方法一：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4 倍，如果和是13 的倍数，则原数能被13 整除。
如果和太大或心算不易看出是否13 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断1284322 能不能被13 整除。
128432+2 X 4=128440,12844+0 X 4=12844 ,
1284+4 X 4=1300,1300 - 13=100。
所以1284322 能被13 整除。
方法二：前面7的方法二，也适用判定13。
例如：判定1284322能不能被13整除，128432 的末尾三位数是322,末尾以前的数字所组成的数是1284,322-1284=-962。
962十13=74。
所以1284322 能被13整除。
10、能被17 整除的数的特征。
方法一：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5 倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否1 7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断1675282能不能被17整除，167528-2X5=167518,16751-8 X5=16711,1671-1 X5=1666,166-6 X5=136, 136- 17=8，所以1675282 能被17 整除。
方法二：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
例如，判断1675282能不能被17整除，1675282的末三位是282，前面的数是1675，282-1675 X 3=-4743,4743 - 17=279，所以1675282 能被17 整除。
11、能被19 整除的数的特征。
方法一：若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
例如，判断234555能不能被19整除，234555末尾三位数是555 ，前面三位是234，555-234 X 7=-1083,1083 - 19=57,所以234555 能被19 整除。
方法二：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数,则原数能被19整除。
如果和太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程,直到能清楚判断为止。
12、能被23 整除的数的特征。
若一个整数的末四位与前面5 倍的隔出数的差能被23（或29）整除,则这个数能被23 整除。
13、能被25 整除的数的特征。
如果一个数的末尾两位能被25 整除，则这个数能被
14、能被125 整除的数的特征。
如果一个数的末尾三位能被
25 整除。
125 整除，则这个数能被
125 整除。