高等数学-曲面积分试题
Ⅶ 曲线积分与曲面积分（二）
课堂练习题
一、填空题
1．cosα, cosβ, cosγ是光滑闭曲面Σ的外法向量方向余弦，Σ所围空间闭区域为V ，设u (x, y , z )在V 上具有连续二阶偏导数，则用高斯公式化曲面积分为重积分时有(cos cos cos )u u u ds x y z
∂∂∂αβγ∂∂∂∑++⎰⎰Ò= 。
2．分片光滑闭曲面Σ所围成的空间区域Ω的体积为V ，则沿曲面Σ外侧的积分()()()z y dxdy y x dxdz x z dzdy ∑-+-+-⎰⎰Ò= 。
3．设函数),,(z y x p 在空间闭区域V 上有一阶连续偏导数，又Σ是V 的光滑边界曲面的外侧，则由高斯公式有(,,)p x y z dydz ∑
⎰⎰Ò 。
4．设Σ是一片分布着质量的光滑曲面，其面密度为常数μ，则曲面对y 轴的转动惯量I y = 。
5．围成空间闭区域V 的光滑闭曲面Σ外法向量的方向余弦为cos α、cos β、cos γ，设P (x , y , z )、Q (x , y , z )、R (x , y , z )在V 上有连续二阶偏导数，则[()cos ()cos ()cos ]R Q P R Q P ds y z z x x y
∂∂∂∂∂∂αβγ∂∂∂∂∂∑-+-+-∂⎰⎰Ò 。
二、选择题
1．设∑为球面2221x y z ++=，1∑为其上半球面，则 式正确。
A ．12zds zds ∑∑=⎰⎰⎰⎰；
B ．1
2zdxdy zdxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰；
C ．1222z dxdy z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰；
D ．zdxdy ∑
⎰⎰=0。
2．若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面，则ds ∑
⎰⎰等于 。
A
．200d rdr πθ⎰
⎰； B
．200d rdr πθ⎰⎰；
C
．20d rdr πθ⎰； D ．2π。
3．若∑为球面2222x y z R ++=的外侧，则22x y zdxdy ∑
⎰⎰等于 。
A
．2xy D x y ⎰⎰； B ．
22xy
D x y ⎰⎰；
C ．0；
D ．343
R π。
4．曲面积分2z dxdy ∑
⎰⎰在数值上等于 。
A ．向量2z i r 穿过曲面∑的流量；
B ．向量2z j r 穿过曲面∑的流量；
C ．向量2
z k r 穿过曲面∑的流量； D ．面密度为z 2的曲面∑的质量。
5．设∑是球面2222x y z R ++=的外侧，D xy 是xoy 面上的圆域222x y R +≤，下述等式正确的是 。
A ．222xy D x y zds x y ∑=
⎰⎰⎰⎰；
B ．2222()()xy D x y dxdy x y dxdy ∑+=
+⎰⎰⎰⎰；
C ．2xy
D zdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰；
D ．xy D zdxdy zdxdy ∑=
⎰⎰⎰⎰。
三、计算题
1．求⎰⎰∑++zdxdy y ydzdx x xdydz z
222，Σ是z =x 2+y 2、x 2+y 2=1和坐标面在第一卦限所围立
体V 的边界外侧。
2．求⎰⎰∑-++-dxdy z x x xydzdy dydz x )(48)1(22，Σ是旋转抛物面z =x 2+y 2 上介于0≤z ≤4之
间部分的上侧。
3．求222ds x y z ∑++⎰⎰，∑是界于平面z =0及z =h 之间的圆柱面222x y R +=。
4．求曲面z =x 2+y 2含在x 2+y 2=2x 内的那部分面积。
5．求均匀曲面z =的重心的坐标
四、流体流速k zx j yz i xy v ρ
ρρρ++=，求由z =1、x =0、y =0和z 2=x 2+y 2所围立体在第一卦限向外流的流量。
五、设围成空间闭区域V 的曲面Σ为z z y x 4222=++，函数),,(z y x u u =在V 上具有二阶连续偏导数，且1222222=++=∆z u y u x u u ∂∂∂∂∂∂，n u ∂∂是u (x , y , z )在Σ上各点处沿外法线方向的
方向导数，计算⎰⎰∑ds n
u ∂∂。
选做题
1．设Σ是柱面222a y x =+在h z ≤≤0之间的部分，则2x ds ∑
⎰⎰= 。
2
．∑，∑为曲面22(2)(1)15169
z x y ---=+(z ≥0)的上侧。
3．已知曲面2az =x 2-y 2上任意一点P(x , y , z )处的面密度为k |z | (a >0)，求曲面被柱面x 2+y 2=a 2截下的部分质量。
4．Σ是由x o y 面上曲线x =e y (0≤y ≤a )绕x 轴旋转而成的旋转曲面，曲面法向量与x 轴正向夹角大于π/2，计算⎰⎰∑-+-zxdxdy xydzdx dydz x
48)1(22。
5．计算111dydz dzdx dxdy x y z ∑++⎰⎰Ò，Σ是椭球面1222222=++c
z b y a x 外侧。
6．设分布着均匀物质的曲面Σ上半部为球面2221:y x a z --=∑，下半部为柱面:2∑222a y x =+)0(,≤≤-z h ，底面为,:3h z -=∑222a y x ≤+，欲使其重心落在球心处，试求底半径a 和柱面高h 之间的关系。
7．设u (x , y , z )有连续二阶偏导数，Σ是V 的光滑边界曲面，
n u ∂∂是沿Σ外法线的方向导数，222222u u u u x y z ∂∂∂∂∂∂++=∆，证明：⎰⎰⎰⎰⎰
∆=∑V
udxdydz ds n u ∂∂。
8．证明：22xdx ydy
x y ++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数。
9．求向量A xi y j zk =++u r r r r 通过闭区域Ω：0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1的边界曲面流向外侧的通量。
10．流体在空间流动，流体的密度μ处处相同，流速函数222V xz i yx j zy k =++u r r r r
，试求流体在
单位时间内流过曲面222:2x y z z ∑++=的流量（流向外侧）和沿曲线L ：2222x y z z ++=, z =1的环流量（从z 轴正向看取逆时针方向）。
供稿：陈巨龙
Ⅶ 曲线积分与曲面积分（二）
班级 姓名 学号
1．求⎰⎰∑+zdxdy xdydz ，Σ为222a y x
=+在第一卦限被平面0=z 、h z =)0(>h 截下部分的前
侧。
2．求222()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑
-+-+-⎰⎰，其中∑为锥面)z z h =≤≤的外侧；
3．计算⎰⎰∑ds z
2，Σ是柱面422=+y x 介于60≤≤z 之间的部分。
4．求均匀曲面z =222y x a --的重心坐标。
高等数学曲线曲面积分考研题目
P ( x, y ), Q( x, y ) 在全平面上具有连续的偏导数，曲线积分与路径无关，因此
∂Q ∂P = , ∂x ∂y
即 f ( x) 满足方程
0
π
0
π
= π ∫ (e sin x + e −sin x )dx,
0
π
于是
∫ xe
L
sin y
dy − ye − sin x dx = ∫ xe − sin y dy − ye sin x dx .
L
[分析二] 对于第二类曲线积分，常考虑用格林公式转化为二重积分求解，由于 被积函数在全平面上都有连续的偏导数，故可利用格林公式进行求证。 [证二]由格林公式，
意按照投影法确定符号。
[解二]设 D yz , D xy 为 S 在 yoz, xoy 平面上的投影区域，则
∫∫ (2 x + z )dydz + zdxdy = ∫∫ (2
S D yz
z − y 2 + z )(−dydz )
2
+
D yz
∫∫ (−2
D yz
z − y 2 + z )dydz +
D xy
考研试题分析十一（曲线积分与曲面积分）
例 1．(2003 年高数一) 已知平面区域 D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ π }, L 为 D 的正向边界，试证
∫ xe
L
sin y
dy − ye − sin x dx = ∫ xe − sin y dy − ye sin x dx .
高等数学 曲线积分和曲面积分 (10.2.2)--第二类曲线积分和第二类曲面积分
习题10.21. 把下列第二类曲线积分化为第一类曲线积分.(1) 2d d Cx y x x y -⎰, 其中C 为曲线3y x =上从点(1,1)--到点(1,1)的弧段； (2) d d d LP x Q y R z ++⎰, 其中L 为曲线32===t z t y t x ,,上相应于参数t 从0变到1的弧段.2. 计算曲线积分22()d d OAx y x xy y -+⎰，其中O 为坐标原点，点A 的坐标为(1,1)：(1) OA 为直线段x y =； (2) OA 为抛物线段2=x y ； (3) OA 为0=y ,1=x 的折线段. 3. 计算下列第二类曲线积分：(1)d d ||||C x yx y ++⎰，其中C 为1||y x =-上从点(1,0)经点(0,1)到点(1,0)-的折线段；(2) d d C y x x y +⎰, 其中C 为⎩⎨⎧==t a y t a x sin ,cos π:04t ⎛⎫→ ⎪⎝⎭； (3) 222()d 2d d Ly z x yz y x z -+-⎰, 其中L 为⎪⎩⎪⎨⎧===32t z t y t x ,,(:01)t →.(4) ()d ()d ()d L z y x x z y y x z -+-+-⎰, 其中L 为椭圆221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩且从z 轴正向看去, L 取顺时针方向.4. 计算下列变力F 在质点沿指定曲线移动过程中所作的功.(1) ),(2xy y x -=F , 沿平面曲线34()(,)t t t =r 从参数0t =到1t =的点. (2) ),,(22z xy x =F , 沿空间曲线2()(sin ,cos ,)t t t t =r 从参数0t =到π2t =的点. 5. 设变力F 在点(,)M x y 处的大小||||||||k =F r ，方向与r 成2π的角, 其中OM =r (图10-38)，试求当质点沿下列曲线从点)0,(a A 移到点),(a B 0时F 所作的功：(1) 圆周222=+a y x 在第一象限内的弧段； (2) 星形线323232=+a y x 在第一象限内的弧段.6. 在过点(0,0)O 和(π,0)A 的曲线族sin (0)y a x a =>中，求一条曲线C ，使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)d (2)d Cy x x y y +++⎰的值最小.7. 把第二类曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化为第一类曲面积分：(1) ∑为平面x z a +=被柱面222x y a +=所截下的部分, 并取上侧；图 10-38xyOM (x , y )Fr(2) ∑为抛物面222y x z =+被平面2y =所截下的部分, 并取左侧. 8. 计算下列第二类曲面积分：(1) 2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为平面1x y z ++=位于第一卦限部分, 并取上侧；(2) 22d d xy z x y ∑⎰⎰, 其中∑为球面2222=++R z y x 的下半部分, 并取外侧；(3)2e d d e d d d d yxy z y z x xy x y ∑++⎰⎰, 其中∑为抛物面22z x y =+ (01x ≤≤,1≤≤0y ), 并取上侧；(4)222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为球面2221xy z ++=位于第二卦限部分,并取外侧； (5)d d d d d d xy y z yz z x zx x y ∑++⎰⎰, 其中∑为平面0x =, 0y =, 0z =和1x y z ++=所围立体的表面, 并取外侧；(6) 2222d d d d x y z z x y x y z ∑+++⎰⎰, 其中∑为圆柱面222x y R +=与平面z R =和z R =- (0)R >所围立体的表面, 并取外侧；(7)d d (1)d d y z x z x y ∑-++⎰⎰, 其中∑为圆柱面4=+22y x被平面2=+z x 和0=z 所截下的部分, 并取外侧； (8)2d d d d d d y y z x z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为螺旋面cos x u v =，sin y u v =，z v =，(01u ≤≤, 0πv ≤≤), 并取上侧.9. 计算下列流场在单位时间内通过曲面∑流向指定侧的流量：(1) ),(),,(222z y x z y x =v , ∑为球面1=++222z y x 第一卦限部分, 流向上侧； (2) ),,(),,(22y xy x z y x =v , ∑为曲面22+=y x z 和平面1=z 所围立体的表面, 流向外侧.。
第八章 曲线积分和曲面积分题目+简案
的封闭曲线， L 的方向为逆时针方向。
答案：（1）18
（2）16 （3） 2
五、证明： (2x sin y)dx x cos ydy 是某一函数的全微分，并求出一个原函数．
答案：所求原函数为 x2 x sin y C . ( C 为任意常数).
六、⑴在全平面上，证明:曲线积分 y2exdx 2 yexdy 与路径无关，并求 y2exdx 2yexdy L
L
L
P(
x,
y)
2x x2 Q(x, y)(1 x) ds .
十、证明：曲线积分有估计式 P(x, y)dx Q(x, y)dy LM ，其中L 为积分路径的长度， L
M max P2 Q2 . ( x, y)L
答案：证明略.
十一、计算下列曲面积分。
（1）计算曲面积分 dS , 其中 是球面 x2 y2 z2 a2 被平面 z h (0 h a) 截出的
z
顶部．
（2）计算曲面积分 (xz 36x2 9 y2 4z2 )dS, 其中 是 x2 y2 z2 1，其面积为 A.
49
（3）计算 I (x z2 )dydz zdxdy ，其中 是 z 1 (x2 y2 ) 介于平面 z 0 及 z 2
3. 设 为球面 x2 y2 z2 1，则 3x2ds 4 ．
1 4. 设 u ln x2 y2 z2 ，则 div(gradu) x2 y2 z2 ．
5. 设 是有向光滑曲面，则第二型曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy 化为第一型曲面积
(x2 y 2 z )2 3
(完整版)曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B. πC.14π D. 12π 5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰Ñ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。
10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰Ñ，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰Ñ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )yx (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。
高等数学曲线积分与曲面积分试卷及答案解析
一、选择题1. 设有曲线222:r y x C =+，0≥y ，其中0>r 为常数，则对弧长的曲线积分()⎰+Cds y x22的值为（ ）A. 2r π； B. 3r π； C. 4r π； D. 32r π.2. 简单闭曲线L 所围成的区域的面积为S ，L 取逆时针方向，则S 为 （ ） A.⎰-L ydy xdx 21； B. ⎰-L xdx ydy 21； C. ⎰-L xdy ydx 21； D. ⎰-Lydx xdy 21. 3. 设平面曲线C 是从点)1,1(到点)3,2(的直线段，则对坐标的曲线积分()⎰=-+Cdy x y xdx 2（ ）A. 4-；B. 4；C. 2；D. 6.4. 设有平面闭区域},|),{(a y x a x a y x D ≤≤≤≤-=，},0|),{(1a y x a x y x D ≤≤≤≤=，则 =+⎰⎰dxdy y x xy D)sin cos (（ ） A. ydxdy x D sin cos 21⎰⎰； B. xydxdy D 12⎰⎰； C. ydxdy x D sin cos 41⎰⎰；D. 0.5. 设封闭曲线L 由直线0=x ，0=y ，2=x 4=y 所围成，取逆时针方向，则曲线积分()⎰=-+-Ldy xy y dx xy x 2)2(22 （ ）A. 3816+-； B. 31616--； C. 32-； D. 16-. 6. 若L 为由点)0,0(O 到点(,0)B π的曲线弧sin ,y x =则L=ydx xdy +⎰（ ）A. 4ab π；B. 0；C. 3ab π； D. ab π.二、判断题1. 设开区域是D 是一个单连通域，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 内具有一阶连续偏导数，则在D内xQ y P ∂∂=∂∂的充要条件是曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在D 内与路径相关. （ ）2. 在D 上，1),(=y x f ，S 为D 的面积，则S d y x f D=⎰⎰σ),(. （ ）3. 格林公式是斯托克斯公式的推广.（ ）《 高等数学 》 曲线积分与曲面积分测试题14. 当∑是xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分⎰⎰⎰⎰=∑xyD d y x f dS z y x f σ)0,,(),,(.（ ）5. 第一类曲线积分只与曲线的起点和终点有关.（ ）6. 曲线积分cydx xdy -⎰与路径无关。
曲线曲面积分单元测试题
高等数学曲线曲面积分 单元测试题第一部分 本试卷满分100分，其中卷面分10分，后面附有详细的解答过程。
一 单选题（每题 4 分 共12 分）1 下列说法正确的是( ).A 格林公式建立了某些第二类曲线积分与三重积分之间的联系。
B 高斯公式建立了某些第二类曲面积分与二重积分之间的联系。
C 斯托克斯公式建立了某些第二类曲线积分与二重积分之间的联系。
D 以上说法都不对。
2 下列积分是第二类曲线积分的是 ( ).A ⎰10sin xdyB ()⎰+L ds y 12C ()⎰+L dx x 12D ⎰10sin xdx3 设Ω是空间区域(){}()0,,2222>≤++a a z y x z y x ，有向曲面∑是球面2222a z y x =++的外侧，∑在xoy 平面上的投影区域(){},,222a y x y x D xy ≤+=，下列曲面积分等式成立的是( )。
A 、⎰⎰⎰⎰=∑xy D zdxdy y x zdS y x 2222，B 、⎰⎰⎰⎰−−=∑xy D dxdy y x a y x zdxdy y x 2222222，C 、()022=+⎰⎰∑dxdy y x ，D 、()52222333433a dv a dv z y x dxdy z dzdx y dydz x π==++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∑。
二 填空题（每题5分，共计15分）1 已知L 为圆：x y x 222=+的正方向,则曲线积分()()Lx y dx y x dy −+−=⎰________. 2 已知平面区域D 是圆322≤+y x ，L 是D 的边界曲线并取正向，依据格林公式可得()()⎰=+++Ldy x y dx y x sin cos ________. 3 已知平面曲线L 是圆222x y +=，则=⎰Lds _______. 三、解答题（每题7分，共计63分）1 求曲线积分⎰Lxds ，其中L 为抛物线2x y =上从(0,0)到(1,1)的一段。
高等数学 曲线积分和曲面积分 (10.4.2)--高斯公式和司托克斯公式
习题10.41. 利用Gauss 公式, 计算下列第二类曲面积分：(1) 222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为平面0x =, 0y =, 0z =和1x y z ++=所围立体的表面, 并取外侧；(2) ()d d ()d d x y z y z x z x y ∑-+-⎰⎰, 其中∑为圆柱面221x y +=与平面0=z 和3=z 所围立体的表面, 并取外侧；(3) 333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为球面2222x y z R ++=(0R >), 并取内侧； (4) 32()d d 2d d d d x yz y z x y z x z x y ∑--+⎰⎰，其中∑为圆柱面222R y x =+)(1≤≤0z , 并取外侧；(5) (2)d d d d x z y z z x y ∑++⎰⎰，其中∑为定侧曲面22+=y xz )10(≤≤z , 其法向量与z 轴正向夹角为锐角；(6) 24d d 2d d (1)d d xz y z yz z x zx y ∑-+-⎰⎰，其中∑为yOz 平面上的曲线e y z =(0)y a ≤≤绕z 轴旋转所成的曲面, 并取下侧；(7) 33311d d d d d d y y x y z f y z x f z x y z z y z ∑⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰⎰, 其中函数)(u f 具有连续导数, ∑为球面1=++222z y x ，4=++222z y x 与锥面22+=z y x 所围立体的表面, 并取外侧.(8) 2∑0R >), 其中∑为下半球面z =并取下侧.2. 计算曲面积分2cos(,)d ||||S ∑⎰⎰r n r ，其中∑为一封闭光滑曲面，n 为∑上点),,(z y x 处的外法向量，),,(z y x =r . 讨论下列两种情况：(1) 曲面∑不包含原点；(2) 曲面∑包含原点.3. 计算下列向量场通过曲面∑指定侧的通量：(1) (,,)xz xy yz =A , ∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分, 并取上侧； (2) 333(,,)x y z =A , ∑为球面2222x y z R ++=(0R >), 并取外侧.4. 求下列向量场的散度：(1) 2(4,2,)x xy z =-A , 求(1,1,3)div A ；(2) xyz =A r , 其中),,(z y x =r , 求(1,3,2)div A ；(3) 2223(,,2),xz y x y u x yz =-=A , 求div ()u A .(4) r =∇A , 其中r =求div A ；5. 求向量场 32222(2)()()z y z x y x x yz y z x y z x z x yz x y =+-+-+A i j k的散度div A 在点(1,1,2)M 处沿22=+-l i j k 方向的方向导数，并求div A 在点M 的方向导数的最大值.6. 利用Stokes 公式, 计算下列第二类曲线积分：(1) 222()d ()d ()d L xyz x y zx y z xy z -+-+-⎰, 其中L 是任一分段光滑的闭曲线；(2) 22322(e )d (e )d (e )d xy z Lx y z x y z y yz z ++-++⎰, 其中L 是圆周222,0,y z R x ⎧+=⎨=⎩且从x 轴的正向看去，L 取逆时针方向； (3) ()d ()d ()d Lz y x x z y x y z -+-+-⎰, 其中L 是椭圆221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩ 且从z 轴的正向看去, L 取顺时针方向；(4) 222222()d (2)d (3)d Ly z x z x y x y z -+-+-⎰, 其中L 是平面2=++z y x 与柱面||||1x y +=的交线，且从z 轴的正向看去, L 取逆时针方向.7. 试由Stokes 定理推出空间曲线积分与路径无关的条件, 由此验证下列曲线积分与路径无关, 并计算积分值：(1)π3,2,3(0,0,0)(sin )d d cos d y z x x y x z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭+++⎰； (2) (,,)222(0,0,0)(2)d (2)d (2)d x y z x yz x y zx y z xy z -+-+-⎰.8. 求下列向量场A 沿定向闭曲线L 的环量：(1) (,,)y x a =-A (a 为常数), L 为圆周221,,x y z a ⎧+=⎨=⎩ 从z 轴的正向看去, L 取逆时针方向；(2) ),,(2z y x xy +=A , L 为圆周222,1,x y z z ⎧+=-⎨=⎩ 其方向与z 轴的正向符合右手法则.9. 求下列向量场的旋度：(1) (,,)xyz xyz xyz =A , 求(1,3,2)rot A ；(2) 222()y z x =，，A , 求(1,1,1)rot A ；(3) 22(cos ,ln ,)x zy y x z =-A , 求rot A ；(4) 2(3,,2)xz yz x z =-+A , 求rot A .10. 设),,(z y x =r ，||||r =r ，)(r f 具有二阶连续导数，C 为常向量，试证： (1) []()rot ()()f r f r r'=⨯C r C ； (2) []{}div rot ()0f r =C .。
2019年大学高数曲面积分题.doc
第二十章 曲线积分§ 1 第一型曲线积分1.计算下列第一型曲线积分：（ 1） ( x y) ds ，其中 L 是以 O(0,0), A(1,0), B(0,1) 为顶点的三角形；L1 （ 2） ( x2 y 2 ) 2ds ，其中 L 是以原点为圆心， R 为半径的右半圆周；L（ 3） xy d sx 2 y 21在第一象限中的部分；，其中 L 是椭圆22La b（ 4）y d s ，其中 L 是单位圆周 x2y21 ；L（ 5） ( x 2 y 2 z 2)ds ，其中 L 为螺旋线 x a cost , y a sin t, z btL(0 t2 ) 的一段；（ 6）xyzds ，其中 L 是曲线 x t, y2 2t3 , z 1 t 2 ( 0 t 1) 的L3 2一段；（ 7）2 y 2z 2 ds ，其中 L 是 x 2y 2 z 2a 2 与 x y 相交的圆L周 .解 （1）(x y)ds(x y)ds (x y)ds (x y)dsLOAABBO1 11xdx0 2dxydy 12 ；（ 2）右半圆的参数方程为：x Rcos , yRsin .2 2所以1( x 2 y 2 ) 2 ds2R 2 dR 2 ；L2（ 3 ）由于椭圆在第一象限中的部分可表示为y b a 2x 2 ，a232( 0 xa ),从而 ybx, 所以a 2a x 2a bbx 2a 2x 21dxxydsaa 2x 2Lab a ba 4( a 2b 22dx 2ab( a 2 ab b 2 )；2a 2a) x3(a b)（ 4）由于圆的参数方程为：x cos , y sin 02，所以y dssind2sin d4 ；L（ 5） ( x2y2z 2)ds 2a 2b 2t 2 a 2 b 2dtL2 (3a 2 42b 2 ) a 2b 2 ；12 31（ 6）2t3t 2t 2dtxyzds0 t1 2tL3221 92 (1t)dt16 2；3t143（ 7）截线为 2 y 2z 2 a 2 , x y ，所以2 y 2 z 2 dsL a 2ds a 2 a 2 a 2 .L2. 求曲线 xa, yat , z 1 at 2 (0 t 1, a 0) 的质量，设其线密2度为2za .解 曲线质量为M2zds1a 2t 2dtt a 2L aa21 22 a 0 1 t d(1t )(2 2 1).3233x a(t sin t)3. 求摆线a(1 (0 t) 的重心，设其质量分布是均匀ycost )的 .解 设摆线的线密度为，由于dsa 2(1cost )2a 2 sin 2t dt 2asin tdt ，从而其质量为2mds 2asin tdt4a，L2故其重心坐标为1 xm a2L 0 xds1 a( tsin t) 2a sin tdt4a2t sin tdt asin t sintdt 2 22at costa cos tdta cos3tcos t dt4a ；2 024 0223y1 yds 1a(1 cost)2asin tdtm L 4a 02a tacost sin t2sin dt2 dt20 2tasin 3t tdt4a cos42 sin a .2 0 0234. 若曲线以极坐标( )( 12 ) 表示，试给出计算f (x, y)dsL的公式，并用此公式计算下列曲线积分：（ 1）ex 2 y 2ds ，其中 L 为曲线a( 0) 的一段；L4aek（ 2）xds ，其中 L 为对数螺线(k 0) 在圆 ra 内的部分 .L解 因为 L 的参数方程为 x ( )cos , y ( )sin( 12 )2342dy 2且dsdxd2 / 2ddd .所以f (x, y) dsL22/ 2f ( ( ) cos , ( ) sin )d .1（ 1） x 2y 24 a 20 daa；ed se a4eL（ 2） xdsaekcos a 2e 2ka 2k 2e 2k dLa 2 1k 2e 2 kcos d.e 2 k cos d若记I，则e 2 k cos de 2k d sinIe 2k sin 02ksinde 2k2ksin d2k2k d cose 2ke2ke 2k cos 04k 22k4k 2 Ie 2 k cos d于是 I2k ，故 xds2a 2 k 1 k 2.1 4k21 4k 2L5. 证明：若函数 f ( x, y) 在光滑曲线 L : x x(t ), y y(t), t [ , ] 上 连续，则存在点 ( x , y ) L ，使得 f x y )d s f x 0 , y L ，其中L 0 0 L ( , ( 0 )为 L 的弧长 .证 由 于 函 数 f (x, y) 在 光 滑 曲 线 L 上 连续 ， 从 而 曲 线 积 分f ( x, y)ds 存在，且Lf ( x, y)dsf ( x(t), y(t )) x 2 (t) y 2 ( t) dtL235又 f在 L 上连续， L 为光滑曲线，所以f ( x(t), y( t))与x2 (t ) y 2 (t )在 [, ] 上连续，由积分中值定理知：存在t0 [ ,] ，使f ( x(t), y(t ))x 2 (t )y 2 (t) dtf [ x(t0 ), y(t0 )]x 2 (t )y 2 ( t)dt f [ x(t0 ), y(t0 )]L .令 x0x(t0 ), y0 y( t0 ) ，显然点 ( x0 , y0 )L ，且f ( x, y) ds f ( x0 , y0) L.L§2 第二型曲线积分1.计算第二型曲线积分：（ 1）Lxdy ydx ，其中L为本节例 2 中的三种情况；（ 2）(2a y)dx dy ，其中L为摆线x a(t sin t ), y a(1 cost ) L(0 t 2 ) 沿t增加方向的一段；（ 3）xdx ydy，其中 L 为圆周x2y2a2，依逆时针方向；L22x y（ 4）Lydx sin xdy ，其中L为 y sin x0x与 x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；（ 5）x x y y z z，其中L：从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段 .L d d d解（ 1）若积分沿抛物线OB：y2x 2（0x 1 ），则xdy ydx 14x 2 x2 ]dx 2 ；[ xL03若积分沿直线 OB ： y2x （0 x1），则xdy ydx1x 22x dx0.L若积分沿封闭曲线OABO ，在 OA 一段上，y0,0x1；在AB一段上， x 1,0y 2 ；在BO一段上，沿 y2x 从x1到 x 0 .且23612 xdy ydx0dx 0，d d d 2，OA0AB0 xdy ydx xdy ydx0.BO OB因此 xdy ydxOA AB BO 2.L（ 2）由于 x a(t sin t ), y a(1cost ) (0t 2 )，从而( 2 a y) dx dy 2a a cos t ) a(1cost ) a sin t] dt [( 2aLL xdx ydyx2 y2(a2 sin2 t a sin t) dt a2x a cost, y a sin t 02 a2 sint cost a2 sint cost0a2dt.t 2，所以2sin2tdt0 .（4）ydx sin xdyL OA AO(sin x sin x cosx)dx( 0sin x0)dx 2 .（ 5）直线的参数方程为x 1t, y 12t, z13t（ 0 t 1 ）xdx ydy zdz 1t) 2(12t ) 3(13t )]dt [(1L01( 6 14t)dt13 .2.设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比 .若质点由(a,0)沿椭圆移动到(0,b)，求力所作的功 .解椭圆的参数方程为：x a cost, y b sin t 0 t 2 ，而F k x 2y2x,y(kx, ky) (k0) .x2y2x2y 2则力所作的功W kxdx kydyLk2a sin t)bsin t cost]dt[a cost (（ 3）由于圆的参数方程为：0 2237k2( a 2 b2) sintdsin tk (b 2 a 2) .2xy 平面3. 设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到 的 距 离 成 反 比 . 若 质 点 沿 直 线 xat , ybt , z ct (c 0) 从M (a,b,c) 沿椭圆移动到N (2a,2b,2c) ，求力所作的功 .解由于力的方向指向原点，故其方向余弦为cosxyz, cos, cosrrr其中 rx 2 y 2z 2 .所以力的三个分力为 Pk x k yk zz , Qz, Rz.从而力所作的功rrrWkxky dy kzdz2(a 2 b 2 c 2 )tdtdxzrzr kcrtLzr12a 2b 2c2k a2 b2c 2ln 2 .dtkc 21ct a 2 b 2c4. 证明曲线积分的估计式：AB Pdx QdyLM其中 L 为 AB 的弧长， MmaxP 2Q 2 .( x, y ) AB利用上述不等式估计积分I Rydx xdyx 2y 2R 2(x2xy y 2)2.并证明 lim I R 0 .R证 （ 1）因为Pdx QdyP dxQdyds ，且ABABds dsP dxQ dy(P2Q 2)[(dx)2( dy )2 ]P 2Q 2 ，dsdsdsds从而238Pdx QdyP dxQdydsP 2 Q 2 dsMds LMABABds ds ABAB（ 2）因为 max( x 2 x2y24，则由（ 1）得x 2y 2R 2xy y 2 ) 4R 3ydx xdy2 R48x 2y 2R 2( x 2xy y 2 )2R 3 R 280( R ) ，故 lim I0 .则 I R2RRR5. 计算沿空间曲线的第二型曲线积分：（ 1） xyzdz ，其中 L ： x 2 y 2 z 2a 2 与 y z 相交的圆，其方L向按曲线依次经过 1， 2， 7，8 卦限；（ 2 ）( y 2 z 2 )dx ( z 2x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz ， 其 中 L 为 球 面Lx 2 y 2 z 21 在第一卦限部分的边界曲线， 其方向按曲线依次经过xy 平面部分， yz 平面部分和 zx 平面部分 .解 （ 1）曲线的参数方程为xcost, y2sin t, z2sin t) ，且 t 从 022(0 t2 增加到 2时，曲线依次经过 1，2，7，8 卦限，xyzdz2 2 2 . 所以sin 2t cos 2 tdtL416（ 2）球面在第一卦限部分的边界曲线由三部分xcostx 0L 1 : ysin t (0 t2) ；L 2 : y cosu (0 u2) ；z 0 z sinuxsin vL 3 : y0 (0 t2)组成 .zcosv而( y 2 z 2 )dx (z 2x 2 )dy ( x 2y 2 )dzL 12392(sin 3 t cos 3t )dt 4 ，3同理L 2 ( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 ) dy ( x 2y 2 )dz2cos 3u)du4 ， (sin 3u3L 3 ( y 2 z 2 )dx (z 2x 2 ) dy ( x 2y 2 )dz2cos 3v) dv4 .(sin 3v34 4 4所以( y 2 z 2 )dx (z 2x 2 )dy (x 2 y 2 )dz4 .L3 3 3总练习题1. 计算下列曲线积分：（ 1）yd s ，其中 L 是由 y 2x 和 x y2 所围的闭曲线；L（ 2）y ds ，其中 L 为双纽线 ( x 2 y 2 ) 2 a 2 ( x 2 y 2 ) ；L（ 3） zds ，其中 L 为圆锥螺线 xt cos t, y a sin t , z t ，t [0,t 0 ] ；L（ 4）xy 2dy x 2 ydx ， L 为以 a 为半径， 圆心在原点的右半圆周从L最上面一点 A 到最下面一点 B ；（ 5）dydx，L 为抛物线 y x 2 4 ，从 A(0, 4) 到 B(2,0) 的一段；Lx y（ 6）y 2d x z 2 dy x 2 dz ， L 是维维安尼曲线x 2y 2 z 2a 2 ，Lx 2 y 2 ax ( z 0, a 0) ，若从 x 轴正向看去， L 是沿逆时针方向进行的 .解 （1） L 是由 L 1: yx ,0 x 1 与 L 2 : yx,0x 4 及L 3 : y 2x,1 x 4 三部分组成 .故ydsydsydsydsLL 1L 2L 324011)2dx 4x 1 (1) 2dx1x 1 (2 (2 x)dx2 x2 x15 17 32 .(517 )122r 2 a 2 cos2（ 2）由于 L 的极坐标方程为 ， r 0 ，且dsr 2r / 2 dad .cos2利用对称性得y ds4 4 r sinad4a 24sin d4a 2 (12 ) .Lcos22（ 3）由于 ds(cost t sint)2(sin t t cost )2 1dt2 t 2 dt ,zdst 02t 2dt1t 0 2 t 2d ( 2 t 2 )所以t 0L21{( 2 t 0 ) 3 2 2 2}.3（ 4）由于圆的参数方程为：x cost, ysin t(2t )，且 A 点2与对应， B 点与对应 .故22xy 2dyx 2 ydxL2 { a cos t a 2 sin t a cost a 2 cos 2 t a sin t ( asin t)} dt2a 4 2 sin 2 2tdta 4 21 cos 4t dta 4 ；222224dy dx22x 12x1（ 5）2dx 2dx0 xx 21Lx y4( x ) 2 152162ln( xx24)ln 2 .241（ 6）曲线L的参数方程为a a, y a, z a sin， 02x cos sin2222则 y 2dx z2dy x2dzL2a sin )2 (a sin )( a sin )2( a cos )(a a cos )2( a cos )}d{(022******* a3.42.设 f ( x, y) 为连续函数，试就如下曲线：（1）L：连接A( a, a), C(b, a)的直线段；（ 2）L：连接A( a, a),C(b, a), B(b,b)三点的三角形（逆时针方向），计算下列积分： f ( x, y)ds, f ( x, y)dx, f ( x, y)dy .L1L 2L2解（ 1）连接A( a, a),C (b, a)的直线段的方程为y a, a x b ，by则f ( x, y)ds f (x,a)dx ；L1a C(b,b)bf ( x, y)dy 0f ( x, y)dx f (x,a)dx ；.L1a L1B (b,a)（ 2）连接C(b, a), B(b,b)的直线段的方程为A(a,a)x x b,a y b ，则f ( x, y)dsb CB f (b, y)dy ；af ( x, y)dx0， f ( x, y)dy b CB f (b, y) dy .CB a连接 B(b,b), A( a, a) 的直线段的方程为y x,a x b ，则f ( x, y) ds2b BA f ( x, x)dx ；af ( x, y) dx af ( x, x) dxbBA bf ( x, x)dx ，af ( x, y) dy af ( y, y) dybBA bf ( y, y)dy , a242f ( x, y)ds b b2b从而 f ( x,a )dx f (b, y)dy f ( x, x)dx ；L 2a a af ( x, y )d x b bf ( x, a )d x f ( x, x )dx ,L 2a af ( x, y )dy b bf ( y, y)dy .f (b, y) dyL 2a a3.设 f ( x, y) 为定义在平面曲线弧段AB 上的非负连续函数，且在AB 上恒大于零.（ 1）试证明 f ( x, y)ds 0 ;AB（ 2）试问在相同条件下，第二型曲线积分f( ,y) d0 是否成AB立？为什么？证（1）证由题设存在 P0 ( x0 , y0 )AB, 使得 f (P0 )0 ，令f ( P0 ) ，由连续函数的局部保号性知：存在0 ，使得对一切P L1 (L1U (P0,) AB) ，有 f (P).2又由于 f ( x, y) 为定义在平面曲线弧段AB 上的恒大于零的连续函数，因此 f ( x, y) 在 AB 上可积，且f ( x, y)ds f ( x, y)dsAB f ( x, y)ds2L10 .AB L 1L1（其中 L1是 L1的弧长）.（ 2）不成立 .因为第二型曲线积分与平面曲线弧段AB 的方向有关.如 f (x, y)2x ，沿着曲线y x从 A(2,2) 到 B(1,1) ，显然 f ( x, y)为定义在平面曲线弧段AB 上的非负连续函数，且恒大于零.但12 xdx3 .2xdx2AB243。
高等数学练习册第八章习题参考答案(1)
解 令x a cos t, y a sin t,
I
2 0
1 a2
[a 2
(cos
t
sin
t
)(
sin
t
)
(cos
t
sin
t
)
cos
t
]dt
2
0 dt 2 .
p55. 2.计算 ( x2 2xy)dx ( y2 2xy)dy,其中 L
L为抛物线y x2上从点(1,1)到点(1,1)的一段弧.
C
(2)曲线弧C的重心坐标为
xG
1 x( x, y)ds
MC
,yG
1 y( x, y)ds .
MC
p51.2.设光滑曲线L关于x轴对称, L1是L在x轴上方的部分, (1)若f ( x, y)在L上连续,且关于y为奇函数,则Biblioteka f ( x, y)ds 0 ; L
(2)若f ( x, y)在L上连续,且关于y为偶函数,
(1)当p点从点A(a , 0)经位于第一象限的弧段到 B(0,b)时, F所作的功;
(2)当p点经过全椭圆时,F所作的功.
p56. 解 F | F | F 0 x2 y2 ( x , y ) x2 y2 x2 y2
( x, y),
(1) W F d s ( x)dx ( y)dy
0
22
a2
2
| cos
t
| dt
2a 2
2 cos udu 2a2 .
20
2
0
p52. 3.计算 | xy | ds,其中L :圆周x2 y2 a2. L
解法1
I 4
2
a3
sin t
高数下册-曲线积分与曲面积分复习题
24、 选择题
下列结论正确的是( )
A. ∫∫ e x+ydxdy = 4∫∫ e x+ydxdy , D：| x | + | y |≤ 1, D1：x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0；
13、
计算
∫L
(x
+
y)dx x2
− +
(x y2
−
y)dy
，其中
L
为圆周
x2
+
y2
=
a2(按逆时针方
向绕行)；
14、
计算
∫ xydx + ( x − y)dy + x2dz Γ
，其中
Γ
为螺旋线
x = a cos t,
y = a sin t, z = at (0 ≤ t ≤ π ) 上从点 A(a,0,0) 到点 B(−a,0, aπ ) 的一段
∫ e x (cos L
ydx − sin ydy)
17、 计算 ∫Γ xdx + ydy + zdz ，其中曲线 Γ 为从点 A(1,1,1) 到点 B(2,3,4) 的
直线段；
18、 计算 ∫L xy2dy − x2 ydx ，其中 L 为圆周 x2 + y2 = R2 的逆时针方向； 19、 利用格林公式计算 I = ∫L (2xy − x2 )dx + ( x + y2 )dy ，其中 L 是由抛物
线 y = x2和 y2 = x 所围区域的正向边界曲线；
20、
∫ 利用格林公式计算 I = (e x sin y − my)dx + (e x cos y − m)dy ，其中 AnO