2017_2018版高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课件新人教B版选修1_2
缺少任何一种可能，证明都是不全面的.
(2) 反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，
否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法.
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛
盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛
盾必须是明显的.
思考1
本故事中王戎运用了什么论证思想？
答案 运用了反证法思想.
答案
思考2
反证法解题的实质是什么？
答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.
答案
梳理
(1)定义：一般地，由证明p⇒q转向证明綈q⇒r⇒„⇒t，t与假设矛盾，或
与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.
(2)反证法常见的矛盾类型
对任意x不成立
p或q
存在某个x0成立
綈p且綈q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
綈p或綈q
跟踪训练2
已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由 y1＝ax2＋2bx＋c，
y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有
两个不同的交点.
证明
类型三
用反证法证明唯一性命题
1
2
3
4
5
答案
5.用反证法证明：关于x的方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0， 3 2 x ＋2ax－2a＝0，当a≤－ 或a≥－1时，至少有一个方程有实数根. 2
1
2
3
4
5
证明
规律与方法
用反证法证题要把握三点：
(1) 必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，
①与假设矛盾；
②与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；
③与公认的简单事实矛盾.
题型探究
类型一 例1 数列.
用反证法证明否定性命题
设{an}是公比为q的等比数列.设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比
证明
反思与感悟
(1)用反证法证明否定性命题的适用类型： 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定 性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法. (2)用反证法证明数学命题的步骤
证明
当堂训练
1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设
A.三角形中至少有一个直角或钝角
B.三角形中至少有两个直角或钝角 √
C.三角形中没有直角或钝角
D.三角形中三个角都是直角或钝角
1
2
3
4
5
答案
2.用反证法证明 “在三角形中至少有一个内角不小于 60°”，应先假设
这个三角形中
A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60° √
跟踪训练 1 已知三个正数 a， b， c 成等比数列但不成等差数列， 求证： a， b， c不成等差数列.
证明
类型二
用反证法证明“至多、至少”类问题
例2 a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.
证明
引申探究
1 已知a，b，c∈(,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于 . 4
第二章 §2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
学习目标
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点
反证法
王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍 .一天，他们发现路边的一棵树 上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小 朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李 子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而 这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”
证明
反思与感悟
用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明 “ 有且只有一个 ”的问题， 需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只 有 ”“只有一个 ”“ 唯一存在 ” 等形式出现的命题时，可先证 “ 存在 性”，由于假设“ 唯一性” 结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法 证其唯一性.
跟踪训练3
例3 求证：方程2x＝3有且只有一个根. 证明 ∵2x＝3，∴x＝log23. 这说明方程2x＝3有根. 下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的. 假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)， 则 2b1 ＝3, 2b2＝3，两式相除得 2b1 b2＝1， ∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾. ∴假设不成立，从而原命题得证.
若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在
区间[a，b]上至多有一个实根. 证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中 的两个实根. 因为α≠β ，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β). 这与假设f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个 实根.
C.有一个内角大于60°
D.每一个内角都大于60°
1
2
3
4
5
答案
3.“a<b”的反面应是 A.a≠b C.a＝b B.a>b D.a＝b或a>b √
1
2
3
4
5
答案
4.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设
A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于c
C.a⊥b
D.a与b相交 √
本课结束
证明
反思与感悟
应用反证法常见的“结论词”与“反设词” 当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复 杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：
结论词
至少有一个
反设词
一个也没有
结论词
对所有x成立
反设词
存在某个x0不成立
至多有一个
至少有n个
至少有两个
至多有n－1个
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高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课堂探究 新人教B版选修1-2(2021年最新整理)
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—2探究一否定性命题的证明对于问题本身就是否定性命题的证明一般用反证法来证明，并且应注意如下的否定：“是”的反面为“不是”，“都是”的反面为“不都是”，“都不是”的反面为“至少有一个是”．【典型例题1】设{a n｝是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．试问：数列{S n｝是等差数列？为什么？思路分析:本题注意对q分q＝1和q≠1两种情况讨论，并当q≠1时，可考虑用反证法证明．证明：当q＝1时，{S n｝是等差数列．当q≠1时，{S n}不是等差数列．假设q≠1时,{S n｝是等差数列,则S1，S2，S3成等差数列,即2S2＝S1＋S3.∴2a1(1＋q）＝a1＋a1（1＋q＋q2），由于a1≠0,∴2（1＋q）＝2＋q＋q2，q＝q2。
∵q≠1，∴q＝0,与q≠0矛盾．∴当q≠1时，{S n｝不是等差数列．探究二“至多、至少"类命题的证明凡含有“至少"“至多”等词语的命题宜采用反证法证明，应注意如下的否定:“至多有一个”的反面为“至少有两个",“至少有一个”的反面为“一个都没有”．【典型例题2】求证:当m为实数时，关于x的一元二次方程x2－5x＋m＝0与2x2＋x－6－m＝0至少有一个方程有实根．思路分析：从正面证明难以入手，考虑应用反证法证明．证明：假设上述两个方程都无实根,则错误!错误!由①，得m＞错误!。
最新人教版高二数学选修1-2(B版)电子课本课件【全册】
2.1.2 演绎推理
2.2.2 反证法
阅读与欣赏
《原本》与公理化思想
第三章 数引入
3.2.2 复数的乘法和除法
阅读与欣赏
复平面与高斯
4.1 流程图
本章小结
附录 部分中英文词汇对照表
第一章 统计案例
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1.1 独立性检验
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阅读与欣赏
“回归”一
词的由来
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最新人教版高二数学选修1－2(B 版)电子课本课件【全册】目录
0002页 0090页 0178页 0200页 0277页 0329页 0401页 0403页 0454页 0530页 0608页 0610页 0672页 0703页
第一章 统计案例
1.2 回归分析
阅读与欣赏
“回归”一词的由来
第二章 推理与证明
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1.2 回归分析
最新人教版高二数学选修1－2(B版) 电子课本课件【全册】
本章小结
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件 新人教B版选修2-2.pptx
c不成等差数列.
10 证明
反思与感悟
对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时， 可用反证法.通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯 定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达 到证题的目的.
13
跟踪训练1 已知正整数，a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可 能都是奇数. 证明 假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数. 左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾. ∴假设不成立，∴a，b，c不可能都是奇数.
原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有 至少有两个 至多有n－1个
(不存在)
至少有n＋1个
17
跟踪训练2 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c， y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴 有两个不同的交点.
思考1
本故事中王戎运用了什么论证思想？ 答案 运用了反证法思想.
5 答案
思考2
反证法解题的实质是什么？ 答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.
6 答案
梳理
(1)反证法的概念 一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个 真命题 矛盾，从而判定 綈q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法. (2)反证法常见的几种矛盾 ①与假设矛盾； ②与 数学公理 、定理、公式、定义或 已被证明了的结论 矛盾； ③与 公认的简单事实 矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾).
22 证明
当堂训练
23
1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设 A.三角形中至少有一个直角或钝角
10 证明
反思与感悟
对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时， 可用反证法.通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯 定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达 到证题的目的.
13
跟踪训练1 已知正整数，a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可 能都是奇数. 证明 假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数. 左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾. ∴假设不成立，∴a，b，c不可能都是奇数.
原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有 至少有两个 至多有n－1个
(不存在)
至少有n＋1个
17
跟踪训练2 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c， y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴 有两个不同的交点.
思考1
本故事中王戎运用了什么论证思想？ 答案 运用了反证法思想.
5 答案
思考2
反证法解题的实质是什么？ 答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.
6 答案
梳理
(1)反证法的概念 一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个 真命题 矛盾，从而判定 綈q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法. (2)反证法常见的几种矛盾 ①与假设矛盾； ②与 数学公理 、定理、公式、定义或 已被证明了的结论 矛盾； ③与 公认的简单事实 矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾).
22 证明
当堂训练
23
1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设 A.三角形中至少有一个直角或钝角
高中数学选修2-2课件2.2.2《反证法》课件
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
例4 如图2.2 2,AB,CD为圆
的两条相交弦,且不全为直径. A
D
求证 AB,CD不能互相平分.
动画演示.
C
B
证明 假设AB,CD互相平分,
图2.2 2
则ACBD为平行四边形,故ACB ADB,
CAD CBD. 因为ABCD为圆内接四边形,所以
ACB ADB 180 0,CAD CBD 180 0.
指有面额的那面.
上述现 象可以用直 接证明的方 法解释, 但是, 我们这 里采用反证法.
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上. 由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要 翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要
翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被
翻转的次数只能是2 的倍数,即偶数次.这个矛盾
说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
例4 如图2.2 2,AB,CD为圆
的两条相交弦,且不全为直径. A
D
求证 AB,CD不能互相平分.
动画演示.
C
B
证明 假设AB,CD互相平分,
图2.2 2
则ACBD为平行四边形,故ACB ADB,
CAD CBD. 因为ABCD为圆内接四边形,所以
ACB ADB 180 0,CAD CBD 180 0.
指有面额的那面.
上述现 象可以用直 接证明的方 法解释, 但是, 我们这 里采用反证法.
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上. 由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要 翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要
翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被
翻转的次数只能是2 的倍数,即偶数次.这个矛盾
说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不
2.2.2反证法课件人教新课标2
活动与探究
1.反证法证明时常见的矛盾有哪些?
答:(1)与已知条件矛盾;(2)与假设矛盾;(3)与公认的事实矛盾;(4)与
数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾.
2.可用反证法证明的题型有哪些?
答:(1)一些基本命题、基本定理;
(2)易导出与已知矛盾的命题;
(3)“否定性”命题;
(4)“唯一性”命题;
的两个实根.
因为 α≠β,不妨设 α<β,又因为函数 f(x)在[a,b]上是增函数,
所以 f(α)<f(β).
这与假设 f(α)=0=f(β)矛盾,
所以方程 f(x)=0 在区间[a,b]上至多有一个实根.
方法点拨:“至多”“至少”问题,从正面处理,情况多而复杂,若用反
证法从反面处理会简化解决问题的过程.
设 α 和 β 相交于过点 A 的直线 c.
∵a⊥α,c⊂ α,∴a⊥c.
同理可得 b⊥c.
这样在平面 β 内,过点 A 就有两条直线垂直于 c,
这与平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾,故假设
错误,
从而这样的直线 a 是唯一的.
2.2.2
问题导学
反证法
当堂检测
一
二
课前预习导学
课堂合作探索
辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.这个过程包括下面三
个步骤:
(1)反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;
(2)归谬——由“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾;
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.
即反证法的证明过程可以概括为:反设——归谬——存真.
一
二
课前预习导学
1.反证法证明时常见的矛盾有哪些?
答:(1)与已知条件矛盾;(2)与假设矛盾;(3)与公认的事实矛盾;(4)与
数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾.
2.可用反证法证明的题型有哪些?
答:(1)一些基本命题、基本定理;
(2)易导出与已知矛盾的命题;
(3)“否定性”命题;
(4)“唯一性”命题;
的两个实根.
因为 α≠β,不妨设 α<β,又因为函数 f(x)在[a,b]上是增函数,
所以 f(α)<f(β).
这与假设 f(α)=0=f(β)矛盾,
所以方程 f(x)=0 在区间[a,b]上至多有一个实根.
方法点拨:“至多”“至少”问题,从正面处理,情况多而复杂,若用反
证法从反面处理会简化解决问题的过程.
设 α 和 β 相交于过点 A 的直线 c.
∵a⊥α,c⊂ α,∴a⊥c.
同理可得 b⊥c.
这样在平面 β 内,过点 A 就有两条直线垂直于 c,
这与平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾,故假设
错误,
从而这样的直线 a 是唯一的.
2.2.2
问题导学
反证法
当堂检测
一
二
课前预习导学
课堂合作探索
辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.这个过程包括下面三
个步骤:
(1)反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;
(2)归谬——由“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾;
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.
即反证法的证明过程可以概括为:反设——归谬——存真.
一
二
课前预习导学
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件1 a选修22a高二选修22数学课件
2.2.2 反证法
2021/12/8
第一页，共三十六页。
知识点 反证法 提出问题
著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小 朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结 满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎 没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的．
2021/12/8
第二页，共三十六页。
(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论
的反面为真；
(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的
推理，得出矛盾；
2021/12/8
第十二页，共三十六页。
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原 结论成立．
即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬 ——存真．
2021/12/8
么 a，b 至少有 1 个能被 5 整除”，则假设的内容是( )
A．a，b 都能被 5 整除 B．a，b 都不能被 5 整除
C．a 不能被 5 整除
D．a，b 有 1 个不能被 5 整除
2021/12/8
第二十七页，共三十六页。
【解析】用反证法只否定结论即可，而“至少有 一个”的反面是“一个也没有”，故 B 正确. 【答案】B
内容 总结 (nèiróng)
2.2.2 反证法
No
Image
12/8/2021
第三十六页，共三十六页。
2021/12/8
第三十二页，共三十六页。
5．若下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋ a2＝0，x2＋2ax－2a＝0 中至少有一个方程有实根，试求 实数 a 的取值范围．
2021/12/8
第三十三页，共三十六页。
解：若三个方程均无实根，
2021/12/8
第一页，共三十六页。
知识点 反证法 提出问题
著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小 朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结 满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎 没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的．
2021/12/8
第二页，共三十六页。
(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论
的反面为真；
(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的
推理，得出矛盾；
2021/12/8
第十二页，共三十六页。
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原 结论成立．
即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬 ——存真．
2021/12/8
么 a，b 至少有 1 个能被 5 整除”，则假设的内容是( )
A．a，b 都能被 5 整除 B．a，b 都不能被 5 整除
C．a 不能被 5 整除
D．a，b 有 1 个不能被 5 整除
2021/12/8
第二十七页，共三十六页。
【解析】用反证法只否定结论即可，而“至少有 一个”的反面是“一个也没有”，故 B 正确. 【答案】B
内容 总结 (nèiróng)
2.2.2 反证法
No
Image
12/8/2021
第三十六页，共三十六页。
2021/12/8
第三十二页，共三十六页。
5．若下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋ a2＝0，x2＋2ax－2a＝0 中至少有一个方程有实根，试求 实数 a 的取值范围．
2021/12/8
第三十三页，共三十六页。
解：若三个方程均无实根，
《反证法》人教版高中数学选修1-2PPT课件(第2.2.2课时)
知识要点
反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很 少的几种情形.
知识要点
用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.
矛盾
所以 _假__设__不__成__立 ,即求证的命题正确. 命题成立
l3
P
l1
l2
知识要点
反证法的步骤 一、提出假设 假设待证命题不成立，或是命题的反面成立. 二、推理论证 以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论. 三、得出矛盾 这与“......”相矛盾. 四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立.
∴ ∠ 1 =∠ 2 =∠3(两直线平行，同位角相等) ∴ l 3∥ l2（同位角相等，两直线平行 ） 归纳
l1
l１
l2
P 2
l1
3
请同学们自己比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点.
新知探究
结合我们讲过的例子，我们可以得到什么？
思考
由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件 矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
知识要点
宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2.2 反证法课件 a选修22a高二选修22数学课件
第十五页，共三十九页。
(2)证法 1：假设存在 x0<0(x0≠－1)，满足 f(x0)＝0， 则 ax0＝－xx00－＋21，且 0<ax0<1， ∴0<－xx00－ ＋21<1.即12<x0<2，与假设 x0<0 矛盾，故方程 f(x0) ＝0 没有负数根． 证法 2：假设存在 x0<0(x0≠－1)，满足 f(x0)＝0. ①若－1<x0<0，则xx00－ ＋21<－2，ax0<1， ∴f(x0)<－1 与 f(x0)＝0 矛盾．
第三十五页，共三十九页。
4．在△ABC 中，若 AB＝AC，P 是△ABC 内的一点，∠APB> ∠APC，求证：∠BAP<∠CAP.用反证法证明时应分：
假设∠BAP＝∠CAP 和 ∠BAP>∠CAP 两类． 解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP<∠CAP 的 对立面就是∠BAP＝∠CAP 或∠BAP>∠CAP.
第二十九页，共三十九页。
【正解】 假设方程 x2－2x＋5－p2＝0 有实数根，则该方程 的根的判别式 Δ＝4－4(5－p2)≥0，解得 p≥2 或 p≤－2 ①， 而由已知实数 p 满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2<p<－12 ②.
数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关 于 x 的方程 x2－2x＋5－p2＝0 无实数根．
第三十七页，共三十九页。
由②平方得 4b2＝(a＋c)2， 把③代入得 4ac＝(a＋c)2，∴(a－c)2＝0. ∴a＝c. 代入②，得 b＝a，故 a＝b＝c，∴公差为 0. 这与已知矛盾，所以1a，1b，1c不可能成等差数列．
第四页，共三十九页。
(2)证法 1：假设存在 x0<0(x0≠－1)，满足 f(x0)＝0， 则 ax0＝－xx00－＋21，且 0<ax0<1， ∴0<－xx00－ ＋21<1.即12<x0<2，与假设 x0<0 矛盾，故方程 f(x0) ＝0 没有负数根． 证法 2：假设存在 x0<0(x0≠－1)，满足 f(x0)＝0. ①若－1<x0<0，则xx00－ ＋21<－2，ax0<1， ∴f(x0)<－1 与 f(x0)＝0 矛盾．
第三十五页，共三十九页。
4．在△ABC 中，若 AB＝AC，P 是△ABC 内的一点，∠APB> ∠APC，求证：∠BAP<∠CAP.用反证法证明时应分：
假设∠BAP＝∠CAP 和 ∠BAP>∠CAP 两类． 解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP<∠CAP 的 对立面就是∠BAP＝∠CAP 或∠BAP>∠CAP.
第二十九页，共三十九页。
【正解】 假设方程 x2－2x＋5－p2＝0 有实数根，则该方程 的根的判别式 Δ＝4－4(5－p2)≥0，解得 p≥2 或 p≤－2 ①， 而由已知实数 p 满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2<p<－12 ②.
数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关 于 x 的方程 x2－2x＋5－p2＝0 无实数根．
第三十七页，共三十九页。
由②平方得 4b2＝(a＋c)2， 把③代入得 4ac＝(a＋c)2，∴(a－c)2＝0. ∴a＝c. 代入②，得 b＝a，故 a＝b＝c，∴公差为 0. 这与已知矛盾，所以1a，1b，1c不可能成等差数列．
第四页，共三十九页。
(人教A版)数学【选修2-2】2-2-2《反证法》ppt课件
规律技巧 用反证法证明“至多”“至少”型命题，可减 少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什 么，避免出现错误．需仔细体会“至多有一个”“至少有一 个”的含义.
三 用反证法证明否定性命题 【例3】 求证抛物线上任取四点所组成的四边形不可能
是平行四边形．
已知：如图所示，A，B，C，D是抛物线y2＝2px(p>0)上的 任意四点，其坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4， y4)．连接AB，BC，CD，DA.
答案 D
3．求证：如果a>b>0，那么n
n a>
b(n∈N，且n>1)．
证明 假设n a不大于n b，则n a＝n b，或n a<n b.
当n a＝n b时，则有a＝b. 这与a>b>0相矛盾．
当n
n a<
b时，则有a<b，
这也与a>b相矛盾．
所以n
a>
b.
4．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋
求证：四边形ABCD不可能是平行四边形． 【分析】 解答本题的关键在于通过假设，根据平行四边 形对边所在直线的斜率相等，推出结论与已知条件相矛盾，从 而肯定原命题正确．
【证明】 由题意得，直线AB的斜率为 kAB＝xy22－－xy11＝y12＋py2，同理kBC＝y32＋py2， kCD＝y42＋py3，kDA＝y12＋py4. 假设四边形ABCD为平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kDA. 即有yy23＋ ＋yy12＝ ＝yy31＋ ＋yy44， ，① ② 由①－②，得y1－y3＝y3－y1，
π 2
，b＝y2－2z＋
π3，c＝z2－2x＋6π.
2018年高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件1 新人教B版选修2-2
反设——假设命题的结论不成立； 归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理， ````````得出矛盾；
存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。
用反证法证明命题的过程用框图表示为：
肯定条件 否定结论
导致 逻辑矛盾
反设 不成立
结论 成立
例1 求证： 2 是无理数。
例2证明： 1, ,2不）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只 鸽子在同一只鸽笼，对吗？
（2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C 说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎.
由A撒谎, 知B没有撒谎. 这与B撒谎矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎.
2.2直接证明与间接证明
2.2.2反证法
复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 由因导果
分析法 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
例3 求证：过一点与一平面垂直的直 线只有一条。
例4 设a为实数，f(x)=
.
求证：|f(1)|与|f(2)| 中至少有一个
不小于 。
归纳总结：
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件 下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的 证明方法叫做反证法。
理论
把这种不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法，
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件 下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的 证明方法叫做反证法。
存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。
用反证法证明命题的过程用框图表示为：
肯定条件 否定结论
导致 逻辑矛盾
反设 不成立
结论 成立
例1 求证： 2 是无理数。
例2证明： 1, ,2不）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只 鸽子在同一只鸽笼，对吗？
（2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C 说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎.
由A撒谎, 知B没有撒谎. 这与B撒谎矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎.
2.2直接证明与间接证明
2.2.2反证法
复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 由因导果
分析法 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
例3 求证：过一点与一平面垂直的直 线只有一条。
例4 设a为实数，f(x)=
.
求证：|f(1)|与|f(2)| 中至少有一个
不小于 。
归纳总结：
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件 下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的 证明方法叫做反证法。
理论
把这种不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法，
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件 下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的 证明方法叫做反证法。