人教版数学高一人教B版必修4导学案1.3.3已知三角函数值求角

1.3.3 已知三角函数值求角1.掌握已知三角函数值求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x ，arccos x ，arctan x 表示角.(重点、难点)2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角.[基础·初探]教材整理 已知三角函数值求角的相关概念 阅读教材P 57～P 60内容，完成下列问题. 1.已知正弦值，求角：对于正弦函数y ＝sin x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1])，那么在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上有唯一的x 值和它对应，记为x ＝arcsin_y ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中－1≤y ≤1，－π2≤x ≤π2.2.已知余弦值，求角：对于余弦函数y ＝cos x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x 值和它对应，记为x ＝arccos_y (其中－1≤y ≤1,0≤x ≤π).3.已知正切值，求角：一般地，如果y ＝tan x (y ∈R )且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，那么对每一个正切值y ，在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，有且只有一个角x ，使tan x ＝y ，记为x ＝arctan_y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜π2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，满足条件sin x ＝a (－1≤a ≤1)的x 有1个.( )(2)在区间[0,2π]上，满足条件sin x ＝a (－1≤a ≤1)的x 有2个.( )(3)在区间[0,2π]上，满足条件cos x ＝a (－1≤a ≤1)的x 有2个.( ) (4)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，满足条件tan x ＝a (a ∈R )的x 只有1个.( )【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问5：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]已知正弦值求角已知sin x ＝32.(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，求x 的取值集合；(2)当x ∈[0,2π]时，求x 的取值集合； (3)当x ∈R 时，求x 的取值集合.【精彩点拨】 尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解.【自主解答】 (1)∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，且sin π3＝32，∴x ＝π3，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3是所求集合. (2)∵sin x ＝32＞0，∴x 为第一或第二象限的角.且sin π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝32，∴在[0,2π]上符合条件的角有x ＝π3或x ＝23π， ∴x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，2π3.(3)当x ∈R 时，x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋π3，或x ＝2k π＋2π3，k ∈Z .1.给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用.2.对于已知正弦值求角有如下规律：[再练一题]1.已知sin α＝35，根据所给范围求角α. (1)α为锐角；(2)α∈R .【导学号：72010033】【解】 (1)由于sin α＝35，且α为锐角，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＝arcsin 35.(2)由于sin α＝35，且α∈R ，所以符合条件的所有角为α1＝2k π＋arcsin 35(k ∈Z )，α2＝2k π＋π－arcsin 35(k ∈Z )，即α＝n π＋(－1)n arcsin 35(n ∈Z ).已知余弦值求角已知cos x ＝－13，(1)当x ∈[0，π]时，求值x . (2)当x ∈R 时，求x 的取值集合.【精彩点拨】 解答本题可先求出定义arccos a 的范围的角x ，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x 的集合.【自主解答】 (1)∵cos x ＝－13且x ∈[0，π]， ∴x ＝arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13.(2)当x ∈R 时，先求出x 在[0,2π]上的解. ∵cos x ＝－13，故x 是第二或第三象限角. 由(1)知x ＝arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13是第二象限角，又cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－13，且2π－arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32π， 所以，由余弦函数的周期性知， 当x ＝arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2k π或x ＝2π－arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2k π(k ∈Z )时，cos x ＝－13，即所求x 值的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π±arcco s ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，k ∈Z .cos x ＝a (－1≤a ≤1)，当x ∈[0，π]时，则x ＝arccos a ，当x ∈R 时，可先求得[0,2π]内的所有解，再利用周期性可求得：{x |x ＝2k π±arccos a ，k ∈Z }.[再练一题]2.已知cos x ＝－22且x ∈[0,2π)，求x 的取值集合.【解】 由于余弦函数值是负值且不为－1，所以x 是第二或第三象限的角，由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－cos π4＝－22，所以在区间[0,2π)内符合条件的第二象限的角是x＝π－π4＝3π4.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π＝－cos π4＝－22，所以在区间[0,2π)内符合条件的第三象限的角是x ＝π4＋π＝5π4.故所求角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫3π4，5π4.已知正切值求角已知tan α＝－3.(1)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，求角α；(2)若α∈R ，求角α.【精彩点拨】 尝试由arctan α的范围及给值求角的步骤求解. 【自主解答】 (1)由正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数可知，符合条件tan α＝－3的角只有一个，即α＝arctan(－3).(2)α＝k π＋arctan(－3)(k ∈Z ).1.已知角的正切值求角，可先求出⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的角，再由y ＝tan x 的周期性表示所给范围内的角.2.tan α＝a ，a ∈R 的解集为{α|α＝k π＋arctan a ，k ∈Z }.[再练一题]3.已知tan x ＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x . 【解】 ∵tan x ＝－1＜0， ∴x 是第二或第四象限的角. 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－tan π4＝－1可知，所求符合条件的第四象限角为x ＝－π4.又由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54π＝－tan π4＝－1得所求符合条件的第二象限角为x ＝－54π，∴在[－2π，0]内满足条件的角是－π4与－5π4.[探究共研型]三角方程的求解探究1 么？【提示】 不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个.探究2 怎样求解三角方程？【提示】 明确所求角的范围和个数，结合诱导公式先用arcsin a 或arccos a 或arctan a 表示一个或两个特殊角，然后再根据函数的周期性表示出所有的角.若cos x ＝cos π7，求x 的值.【精彩点拨】 先求出一个周期内的角，然后利用周期性找出所有的角. 【自主解答】 在同一个周期[－π，π]内， 满足cos x ＝cos π7的角有两个：π7和－π7.又y ＝cos x 的周期为2π，所以满足cos x ＝cos π7的x 为2k π±π7(k ∈Z ).已知三角函数值求角的大致步骤 (1)由三角函数值的符号确定角的象限； (2)求出[0,2π)上的角；(3)根据终边相同的角写出所有的角. [再练一题]4.已知sin x ＝22，且x ∈[0,2π]，则x 的取值集合为________.【解析】 ∵x ∈[0,2π]，且sin x ＝22＞0，∴x ∈(0，π)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝sin x 递增且sin π4＝22，∴x ＝π4，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝sin 3π4＝22，∴x ＝3π4也适合题意.∴x的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4，3π4.【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4，3π41.(2016·石景山高一检测)下列说法中错误的是( ) A.arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－π4B.arcsin 0＝0C.arcsin(－1)＝32πD.arcsin 1＝π2【解析】 根据已知正弦值求角的定义知arcsin(－1)＝－π2，故C 错误. 【答案】 C2.若α是三角形内角，且sin α＝12，则α等于( ) A.30° B.30°或150° C.60°D.120°或60°【解析】 ∵α是三角形内角，∴0°<α<180°. ∵sin α＝12，∴α＝30°或150°. 【答案】 B3.已知cos x ＝－22，π＜x ＜2π，则x ＝( ) A.3π2 B.5π4 C.4π3D.7π4【解析】 因为x ∈(π，2π)且cos x ＝－22，∴x ＝5π4. 【答案】 B4.等腰三角形的一个底角为α，且sin α＝35，用含符号arcsin x 的关系式表示顶角β＝________.【导学号：72010034】【解析】 由题意，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 又sin α＝35，所以π6<α<π4，π3<2α<π2，π2<π－2α<2π3， 所以β＝π－arcsin2425. 【答案】 π－arcsin 2425 5.求值：arcsin 32－arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12arctan (－3).【解】 arcsin 32＝π3，arccos ⎝⎛⎭⎪⎫－12＝2π3，arctan(－3)＝－π3， ∴原式＝π3－2π3－π3＝1.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列叙述错误的是( ) A.arctan y 表示一个⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的角B.若x ＝arcsin y ，|y |≤1，则sin x ＝yC.若tan x2＝y ，则x ＝2arctan y D.arcsin y ，arccos y 中的y ∈[－1,1]【解析】 ∵tan π2＝y ，∴x2＝k π＋arctan y ，∴x ＝2k π＋2arctan y ，故C 错. 【答案】 C2.已知sin α＝－13，－π2＜α＜0，则α等于( )A.π－arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13B.π＋arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13C.arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13D.－arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13【解析】 －π2＜α＜0，sin α＝－13，所以α＝ arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13.【答案】 C3.若π2＜x ＜π且cos x ＝－56，则x 等于( ) A.arccos 56 B.－arccos 56 C.π－arccos 56D.π＋arccos 56【解析】 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴x ＝arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＝π－arccos 56.【答案】 C4.(2016·大连高一检测)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝33，则在区间[0,2π]上解的个数为( )A.5B.4C.3D.2【解析】 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝33，∴2x ＋π3＝k π＋π6(k ∈Z ).即x ＝k π2－π12(k ∈Z ).∵x ∈[0,2π]，∴k ＝1,2,3,4时，x 分别为5π12，1112π，17π12，2312π.故选B. 【答案】 B5.直线x ＋2y ＋1＝0的倾斜角为( )【导学号：72010035】A.arctan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12B.－arctan 12 C.arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－55D.arccos ⎝⎛⎭⎪⎫－255【解析】 直线x ＋2y ＋1＝0可化为y ＝－12x －12，∴直线斜率k ＝－12，设直线倾斜角为α，则tan α＝－12，故α为钝角，∴cos α＝－255，∴α＝arccos ⎝⎛⎭⎪⎫－255. 【答案】 D二、填空题6.(2016·威海高一检测)函数y ＝arccos(sin x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤2π3的值域为________. 【解析】 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1，∴0≤arccos(sin x )≤5π6. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6 7.(2016·东营高一检测)若x ＝π3是方程2cos(x ＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则角α＝________.【解析】 由条件可知2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12，∴α＋π3＝2k π±π3(k ∈Z ). ∵α∈(0,2π)，∴α＝4π3.【答案】 4π3 8.(2016·日照高一检测)已知cos α＝13，α∈[0,2π)，则角α＝________.【解析】 因为cos α＝13，所以α是第一或第四象限角.又因为α∈[0,2π)，所以α＝arccos 13或α＝2π－arccos 13.【答案】 arccos 13或2π－arccos 13三、解答题9.已知sin α2＝－32，且α是第二象限的角，求角α.【解】 ∵α是第二象限角，∴α2是第一或第三象限的角.又∵sin α2＝－32＜0，∴α2是第三象限角.又sin 4π3＝－32，∴α2＝2k π＋43π(k ∈Z )，∴α＝4k π＋83π(k ∈Z ).10.(2016·四川高一检测)已知tan α＝－2，根据下列条件求角α.(1)α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2；(2)α∈[0,2π]；(3)α∈R . 【解】 (1)由正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数可知，符合条件tan α＝－2的角只有一个，即α＝arctan(－2).(2)∵tan α＝－2＜0，∴α是第二或第四象限角.又∵α∈[0,2π]，由正切函数在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π、⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2π上是增函数知，符合tan α＝－2的角有两个.∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tan α＝－2，且arctan(－2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2).(3)α＝k π＋arctan(－2)(k ∈Z ).[能力提升]1.给出下列等式：①arcsin π2＝1；②arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝π6； ③arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＝π3；④sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫arcsin 12＝12. 其中正确等式的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】 ①arcsin π2无意义；②③④正确.【答案】 C2.若直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝( ) A.14B.－34C.14或－34D.－14或34【解析】 要使函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4有意义则2x ＋π4≠m π＋π2，m ∈Z ∵直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交， ∴x ＝k π2时正切函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4无意义， 即2×k π2＋π4＝π2＋m π，∴4k ＝4m ＋1.当m ＝0时，k ＝14，满足要求；当m ＝－1时，k ＝－34满足要求；当m ＝1时，k ＝54不满足要求，故满足条件的k ＝14或－34.【答案】 C3.函数y ＝3－2x ＋π－arccos(2x －3)的定义域是________.【解析】 要使函数有意义，需有：⎩⎨⎧3－2x ≥0，－1≤2x －3≤1， 解得：1≤x ≤32.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 4.若f (arcsin x )＝x 2＋4x ，求f (x )的最小值，并求f (x )取得最小值时的x 的值.【解】 令t ＝arcsin x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，即sin t ＝x ， sin t ∈[－1,1]，于是f (t )＝sin 2t ＋4sin t ，即f (x )＝(sin x ＋2)2－4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2. ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝－π2时，f (x )取得最小值(－1＋2)2－4＝－3.。