概率计算方法

--- 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念?计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下:

?公式法

例1 （07河北）图1中每一个标有数字的方块均

是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为 ______________ .

解析：本题考查用公式法求概率，在随机翻动木牌过程中，一共有6种可能的翻牌结果，其中有 2种为中奖，所以P （中奖）=2 3

说明：本题采用了一种较为有趣的试题背景，重在考查学生对概率模型的理解、以及对随机事件发生概率值的计算?

:.面积法

P （随机事件）= 随机事件可能出现的结果数

随机事件所有可能出现的结果数

其中P （必然事

件）=1,P （不可能事

件）事件）<1.

=0； 0

图i

例2如图2是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是 ______________ ? 解析：因为四块地板的面积各不相同，故应分别求出阴影部

分的面积为2 X 1+2 X 3=8,总面积为:

2X1+2X2+2X3+1X5=17,面积之比即为所求概

评注:几何概型也就是概率的大小与面积大小有关，事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图形的面积.

三?树形图法例3不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有 2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为* .

（1）试求袋中蓝球的个数.

（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再

率. 所以P （随意停留在阴影部分）二 8

。

图

摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都是白球的概率.

解析：⑴设蓝球个数为x 个. 由题意得答：蓝球有1个

说明：解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的.本题是考查用树状图来求概率的方法这种方法比较直观，把所有可能的结果都—罗列出来,便于计算结果.

二 x=1

(2)树状图如下：

两次摸到都是白球的概率

zK A\

白1黄蓝白1白2监白1

白2

黄

白2黄蓝

四.列表法

例4 （07山西）如图3, 有四张编号为1, 2, 3, 4的卡片，卡片的背面完全相同?现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上.

张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少?

（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴

在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法

正确的概率.

1）从中随图机抽

取一

1 2图33

解析:⑴所求概率是彳2.

⑵解法一(树形图):

第一次抽取12 3 4

共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4),

(2.1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4.1), (4,2), (4,3). 其中只有两种结果(1,2)

和(2,1)是符合条件的，所以贴法正确的概率是

2 1

12 6'

解法二(列表法)：

共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4),

(2.1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4.1), (4,2), (4,3). 其中只有两种结果(1,2)

和(2,1)是符合条件的，所以贴法正确的概率是

2 1

12 6'

评注：本题考查学生对用树状图或列表法求概率

的掌握情况，用树状图法或列表法列举出的结果

一目了然，当事件要经过多次步骤(三步以上) 完成时,用这两种方法求事件的概率很有效?

概率计算

如果截去所有的顶角,它将成为多少面体？共有多少个顶点？共有多少条棱？

4面体将由4面变成8面；由4个顶点变成12个顶点；由6条棱变成18条棱。

6面体将由6面变成14面；由8个顶点变成32个顶点；由12条棱变成36条棱。

面：20+12=32 顶点12变12X 3=36

棱：30 变12X 3+30=66

上面的计算方法不对吧，参考以下计算:

面

体

顶点条棱

2* (4

2) =4 3* (4 2) =6

5 2* (5- 3* (5-

一个20面体,每个面都是等边三角形

2) =6

2) =9

2* (6 2) =8

3* (6 2) =12 7

2* (7

2) =10 3* (7

2) =15 8

2* (&

2) =12 3* (8

2) =18 n

2* (n- 2)

3* (n-

2 0

2* (20 -2) =3 6

3* (20 -2 ) =5 4

每截去一个顶角（顶角数量增加一个面；

一个20面体截去所有顶角点数量），即增加 36个面；

面］

顶点

条棱体

丨1

=顶点数量），（顶角数量=顶

20+

36=

全概率公式

即例已如某事件A是有B,C,D三种因素造成的，求这一事件发生的概率

p(A)=p(A/B)p(B)+p(A/C)p(C)+p(A/D)p(D)

其中p(A/B)叫条件概率，即：在B发生的情况下，A发生的概率

柏努力公式

是用以求某事件已经发生，求其是哪种因

素的概率造成的

好以上例中已知A事件发生了，用柏努力公式可以求得是B因素造成的概率是多大，C 因素，D 因素同样也求.

古典概型P (A) =A包含的基本事件数/ 基本事件总数

几何概型P(A)=A面积/总的面积

条件概率

P(A|B)=Nab/Nb=P(AB)/P(B)=AB 包含的基本事件数/B 包含的基本事件数

相对独立事件P(A*B)=P(A)*P(B) 事件A

发生与事件B的发生没有关系

独立重复事件P=C( n,k)P(k 次

方)(1-p)(n-k 次方)

【本讲教育信息】

一.教学内容：

概率计算

二.重点、难点：

3』、满足条件卫的可能

?P迂[Qi] 1.古典概型丄丁厂丫

2.A、B互斥，则1； '

3.A的对立事件，—7、

4.A、B独立，则'''■ -l：l

【典型例题】

［例1］从5双不同的鞋中任取四只，求至少配成一双的概率。

［例2］ 4封不同的信，随机投入3个信箱，试求三个信箱均不空的概率。

扌9

［例3］某袋中有大小相同的红球2个，白球4 个。

（1）甲每次取一个不放回，恰在第k次取得红球的概率。

4 $ 3

（2）甲一次取两个同色的概率。

c； 15

（3）甲每次取一个不放回，在第三次首次取到红球的概率。

J=<^

［例4］从52张扑克牌中任取5张

(1)

5张同花的概率; (2) 5张顺子的概率; (3) 5张同花顺的概率； ⑷5张中有四张点数相同的概率; (5) 5张中有花色齐全的概率。

[例5] ( 1)掷一枚骰子三次之和为10的概率

解：有序，所有可能

满足条件■' ■ 4 x -:-:

■--一…： .--+■ - — ■ ■ -■ ■■

(2)掷三枚骰子，三枚骰子之和为10的概率

解： (1) (2) (3) (4)

(5)

27 1

F =

同上

[例6] 10个外表相同的小球，其中8个为a 克， 2个为b 克―，现从10球中取3个放在一端，再从余下的7个中取3个放在另一端，则天平平衡的

概率是多少？解：总数" 平衡：①匸二

②

[例7]有三个电器件「、T 2、T S 正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，将其中某两个并联后再与第

三个串联，求使电路不发生故障的概率最大值。

A. T 1T 2 并联

B. T 2T 3并联

C. T I T S

并联

.-门；-” m. ■■: - ■

? ?

F(5) = [l-F(7；^].^) = 0.686 F(CD=[1-F(7；^)]^(7i)= 0.776

???T 1T 2并联，再与T S 串联，不发生故障概率

最大。

［例8］某射击手，射击一次击中目标的概率为 0.8，他连续射击三次。

◎=

10U 7

（1）全部击中的概率

（2）击中目标的概率

（3）恰有一次击中目标的概率

解：三次射击击中的事件依次为A、A、A

（1）& .耳）二二o.阳二

（2）应均不击中

咂=巫）』（瓦）展）=023

尸（目）=1-吃）=0 992

（3）三尸（4瓦忑）+尸（瓦&瓦）+戸（瓦石&）二習0 8 （0纣二0 096

［例9］如图所示，为某电路图方框内数字表示该处元件烧断的概率，假设各元件正常工作，相互独立，求接入电路后，电路导通的概率。

——— 2 1 5

=}-[P{AB) P{C)] = 1-——=-

3 4 6

—— 1 1 29

P(D u 5) = 1- P(E) = 1一——二一

/ 、5 6 30

C) ■=—

6 30 36

［例10］设甲、乙、丙三人射击目标击中的概率

分别为0.7 , 0.6 , 0.5 ,三人各向目标射击一次（1）至少有1人命中的概率;

（2）恰有2人命中的概率。

解：

F = 1 - ^(A)= 1 - (1 - 0.7)0 - C-QO- 0.5) = 0.94

(1)

P = F(A)巩B)? F(O) + F(卫)-P(B) ? P(C)

+ F(*) = (1- 07)-0 6 05+0.7 (1-0 6) 0 5 + 0.7

O6?(1-0.5)

=0.09 + 0.14 + 0.21 = 0/W

［例11］一汽车前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为「，遇到红灯的概

丄

率为-，假定汽车只有遇到红灯或到达目的地才停止。求停车时最多已通过3个路口的概率。

解: ' 「一「；）.?；一 -

丿异丄+H丄+2空丄十由

4 4 4444 4 4 4 4 4

［例12］现有「个可靠度为P - 1）的电子元件其接入方式如图

试判断哪一种更可靠

解: g二心少4応回介览）

二"/凡）十户（§场A列）

?P（A^A曳）

二严+肝一尸為=尸气2 —0）

耳7)二+ 也)?+ 场M S +A)

= [F(A+J1)]1

十⑷+ F3J-F僅禺F

=(2F-F3)1

尸(〃)-尸(/)工F"2-Ff -F气2-0) =叭(2_巧製 +严-2]

PW-PW

P- K1T +0-0

???方式二更可靠

【模拟试题】

1.从数字1,2,3, 4, 5中随机抽取3个数（允许

重复）组成一个三位数，其各位数字之和为9 的概率是（）

13 16

A.远

B.话

18 19

125 D.

2.从1 ,2,……9过九个数中，随机抽取3个

不同的数，则这3个数和为偶数的概率是

( )

A.忑

B. §

1110

21 D.龙1

3. 某校高三年级举行次演讲赛共有10位同

学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连）,而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（）

1 1

A.帀

1 1

To D.面

4.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取

一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的