七年级数学上册 代数式单元测试与练习(word解析版)
一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）
1．某校要将一块长为a米，宽为b米的长方形空地设计成花园，现有如下两种方案供选择. 方案一：如图1，在空地上横、竖各铺一条宽为4米的石子路，其余空地种植花草.
方案二：如图2，在长方形空地中留一个四分之一圆和一个半圆区域种植花草，其余空地铺筑成石子路.
（1）分别表示这两种方案中石子路（图中阴影部分）的面积（若结果中含有π，则保留）（2）若a＝30，b＝20，该校希望多种植物美化校园，请通过计算选择其中一种方案（π取3.14）.
【答案】（1）解：方案一：∵石子路宽为4，
∴S石子路面积=4a+4b-16，
方案二：设根据图象可知S石子路面积=S长方形-S四分之一圆-S半圆=ab- πb2- π（ b）2=ab- πb2
（2）解：已知a＝30，b＝20，故方案一：S石子路面积=184m2， S植物=600-184=416m2；
方案二：S石子路面积=129m2，则S植物=600-129=471m2.
故答案为：择方案二，植物面积最大为471m2。
【解析】【分析】（1）方案一：由图形可得S石子路=两条石子路面积-中间重合的正方形的面积；
方案二：由题意可得S石子路= S长方形-S四分之一圆-S半圆；
（2）把a、b的值的代入（1）中的两种方案计算即可判断求解.
2．先阅读下面文字，然后按要求解题.
例：1+2+3+…+100=？如果一个一个顺次相加显然太繁，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，可以发现运用加法的运算律，是可以大大简化计算，提高计算速度的.
因为1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果.
解:1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）= =5050.
（1）补全例题解题过程；
（2）计算a+（a+b）+（a+2b）+（a+3b）+…+（a+99b）.
【答案】（1）解：101×50
（2）解：原式=50×（2a+99b）=100a+4950b.
【解析】【分析】（1）根据算式可得共有50个101，据此解答即可.
（2）仿照（1）利用加法的交换律和结合律进行计算即可.
3．解答题：
（1）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为1，求a+b+x2﹣cdx．
（2）10箱苹果，如果每箱以30千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：+2，+1，0，﹣1，﹣1.5，﹣2，+1，﹣1，﹣1，﹣0.5．这10箱苹果的总质量是多少千克？
（3）小亮用50元钱买了10枝钢笔，准备以一定的价格出售，如果每枝钢笔以6元的价格为标准，超过的记作正数，不足的记作负数，记录如下：0.5，0.7，﹣1，﹣1.5，0.8，1，﹣1.5，﹣2.1，9，0.9．
①这10枝钢笔的最高的售价和最低的售价各是几元？
②当小亮卖完钢笔后是盈还是亏？
【答案】（1）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，
∴a+b=0，cd=1，∴a+b+x2﹣cdx=x2﹣x
∵|x|=1，∴x=±1
∴当x=1时，x2﹣x=0；
当x=﹣1时，x2﹣x=2
（2）解：2+1+0﹣1﹣1.5﹣2+1﹣1﹣1﹣0.5=﹣3
30×10+（﹣3）=897
答：这10箱苹果的总质量是897千克．
（3）解：①最高售价为6+9=15元
最低售价为6﹣2.1=3.9元
②6×10+0.5+0.7﹣1﹣1.5+0.8+1﹣1.5﹣2.1+9+0.8﹣50
=16.3元
答：小亮卖完钢笔后盈利16.3元．
【解析】【分析】（1）根据相反数及倒数的性质即可得出a+b=0，cd=1，再根据绝对值的意义，由|x|=1，得x=±1，然后分别将a+b=0，cd=1，x=1与x=-1代入代数式，即可算出答案；
（2）首先列出加法算式，算出10箱苹果，超过的千克数或不足的千克数，然后用10乘以标准质量再加上超过或不足的千克数即可算出答案；
（3）用6元的基准价加上超过基准价的最大值即可得出这10枝钢笔的最高的售价，用6元的基准价加上超过基准价的最小值即可得出这10枝钢笔的最低的售价，用这十支钢笔的
总售价减去进价和为正数则小亮赚钱，和为负数则小亮亏钱。
4．请观察图形，并探究和解决下列问题：
（1）在第n个图形中，每一横行共有________个正方形，每一竖列共有________个正方形；
（2）在铺设第n个图形时，共有________个正方形；
（3）某工人需用黑白两种木板按图铺设地面，如果每块黑板成本为8元，每块白木板成本6元，铺设当n=5的图形时，共需花多少钱购买木板？
【答案】（1）（n+3）；（n+2）
（2）（n+2）（n+3）
（3）解：当n=5时，有白木板5×（5+1）=30块，黑木板7×8-30=26块，
共需花费26×8+30×6=388（元）．
【解析】【解答】⑴第n个图形的木板的每行有（n+3）个，每列有n+2个，
故答案为：（n+3）、（n+2）；
⑵所用木板的总块数（n+2）（n+3），
故答案为：（n+2）（n+3）；
【分析】本题主要考查的是探索图形规律，并根据所找到的规律求值；根据所给图形找出正方形个数的规律是解决问题的关键.
5．如图，在数轴上有两点A、B，点A表示的数是8，点B在点A的左侧，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点B表示的数：________ ；点P表示的数用含t的代数式表示为________ ．
（2）动点Q从点B出发沿数轴向左匀速运动，速度是点P速度的一半，动点P、Q同时出发，问点P运动多少秒后与点Q的距离为2个单位？
（3）若点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点，在点P的运动过程中，线段MN 的长度是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段MN的长．
【答案】（1）解：8-14=-6；因此B点为-6；故答案为:-6
；解：因为时间为t，则点P所移动距离为4t，因此点P为8－4t ;故答案为：8-4t
（2）解：由题意得，Q 的速度为4÷2=2（秒）则点Q为-6-2t，又点P为8-4t；
所以①P在Q的右侧时
8-4t-（-2t-6）=2
解得x=6
②P在Q左侧时
-2t-6-（8-4t）=2
解得x=8
答：动点P、Q同时出发，问点P运动6或8秒后与点Q的距离为2个单位.
故答案为：6或8秒
（3）解：①当P在A,B之间时，线段AP=8-（8-4t）=4t；线段BP=8-4t-（-6）=14-4t
因点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点
所以MP=AP=2t；NP=BP=7-2t
MN=MP+NP=2t+7-2t=7
②当P在P的左边时线段AP=8-（8-4t）=4t；线段BP=（-6）-（8-4t）=4t-14
因点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点
所以MP=AP=2t；NP=BP=2t-7
MN=MP-NP=2t-(2t-7)=7
因此在点P的运动过程中，线段MN的长度不变， MN=7
【解析】【分析】（1）①由数轴上两点之间距离的规律易得B的值为8-14=16；
②因为时间为t，则点P所移动距离为4t，因此易得P为8-4t
（2）由题易得：Q 的速度为4÷2=2（秒）则点Q为-6-2t，又点P为8-4t；分别讨论P在Q 左侧或右侧的情况，由此列方程，易得结果为6或8秒；
（3）结合（1）（2）易得当P在AB间以及P在B左边时的两种情况；当P在A,B之间时，线段AP=8-（8-4t）=4t；线段BP=8-4t-（-6）=14-4t；当P在P的左边时线段AP=8-（8-4t）=4t；线段BP=（-6）-（8-4t）=4t-14；利用中点性质，易得结果不变，为7.
6．已知x1， x2， x3，…x2016都是不等于0的有理数，若y1= ，求y1的值．
当x1＞0时，y1= = =1；当x1＜0时，y1= = =﹣1，所以y1=±1
（1）若y2= + ，求y2的值
（2）若y3= + + ，则y3的值为________；
（3）由以上探究猜想，y2016= + + +…+ 共有________个不同的值，在y2016这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于________．
【答案】（1）解：∵ =±1， =±1，
∴y2= + =±2或0
（2）±1或±3
（3）2017；4032
【解析】【解答】解：（2）∵ =±1， =±1， =±1，
∴y3= + + =±1或±3．
故答案为±1或±3，
（ 3 ）由（1）（2）可知，
y1有两个值，y2有三个值，y3有四个值，…，
由此规律可知，y2016有2017个值，
最大值为2016，最小值为﹣2016，
最大值与最小值的差为4032．
故答案分别为2017，4032．
【分析】（1）根据题意先求出=±1，=±1，就可求出y2的3个值。
（2）根据题意先求出=±1，=±1，=±1，分情况讨论求出y3的4个值。
（3）根据（1）（2）的规律，可知y2016就有2017个不同的值，最大值的和是2016个1相加，最小值的和是2016个-1相加，再求出它们的差即可。
7．已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题：（1）请直接写出a、b、c的值： a=________； b=________； c=________．
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，试计算此时BC—AB的值．
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和x（x>3）个单位长度的速度向右运动，请问：是否存在x，使BC－AB的值随着时间t的变化而不变，若存在求出x；不存在请说明理由．
【答案】（1）-1；1；4
（2）解：BC-AB
=（4-1）-（1+1）
=3-2
=1．
故此时BC-AB的值是1
（3）解：t秒时，点A对应的数为-1-t，点B对应的数为3t+1，点C对应的数为xt+4．
∴BC=（xt+4）-（3t+1）=(x-3)t+3，AB=（3t+1）-（-1-t）=4t+2，
∴BC-AB=(x-3)t+3-（4t+2）=（x-7）t+1，
∴BC-AB的值不随着时间t的变化而改变时，其值为7
【解析】【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，
∴b=1，
∵|c-4|+（a+b）2=0，
∴c-4=0，a+b=0，∴a=-1，c=4
【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；（2）根据两点间的距离公式可求BC、AB的值，进一步得到BC-AB的值；（3）先求出BC=4t+3，AB=4t+2，从而得出BC-AB，从而求解．
8．观察下列等式:
31－30=2×30,
32－31=2×31,
33－32=2×32,
（1）试写出第个等式，并说明第个等式成立的理由;
（2）计算30+31+32+…+32018+32019的值.
【答案】（1）根据题意得第n个等式为3n-3n-1=2×3n-1，
证明如下：3n-3n-1=3×3n-1-3n-1=2×3n-1，所以成立；
（2）31－30=2×30,
32－31=2×31,
33－32=2×32,
…
32019-32018=2×32018
32020-32019=2×32019
将这些等式相加
得(31－30)+(32－31)+(33－32)+…+(32019-32018)+(32020-32019)=2×(30+31+32+…+32018+32019)
故32020-30=2×(30+31+32+…+32018+32019)
∴30+31+32+…+32018+32019=
【解析】【分析】（1）通过观察即可发现：等式的左边是一个减法算式，被减数的底数是3，指数与等式的序号一致，减数的底数也是3，指数比等式的序号小1；等式的右边是一个乘法算式，一个因数是2 ，另一个因数与左边的减数一致，利用发现的规律即可得出通用公式：第n个等式为3n-3n-1=2×3n-1；
（2）利用（1）发现的规律得出 31－30=2×30,32－31=2×31,33－32=2×32,…32019-32018=2×32018，32020-32019=2×32019根据等式的性质，将这些等式直接相加，得出32020-30=2×(30+31+32+…+32018+32019) ，从而根据等式的性质即可得出答案。
9．
（1）已知3x2-5x+1=0，求下列各式的值：①3x+ ；②9x2+ ；
（2）若3x m+1-2x n-1+x n是关于x的二次多项式，试求3（m-n）2-4（n-m）2-（m-n）3+2（n-m）3的值．
【答案】（1）解：①∵3x2﹣5x+1＝0，∴3x﹣5 0，∴3x 5；
②∵3x 5，∴，∴ 25，∴ 19
（2）解：3（m﹣n）2﹣4（n﹣m）2﹣（m﹣n）3+2（n﹣m）3
＝﹣（m﹣n）2+3（n﹣m）3
∵3x m+1﹣2x n﹣1+x n是关于x的二次多项式，∴或或
或，解得：或或或．
①当m＝1，n＝2时，原式＝﹣（1﹣2）2+3（2﹣1）3＝﹣1+3＝2；
②当m＝1，n＝1时，原式＝﹣（1﹣1）2+3（1﹣1）3＝0；
③当m＝0，n＝2时，原式＝﹣（0﹣2）2+3（2﹣0）3＝﹣4+24＝20；
④当m＝﹣1，n＝2时，原式＝﹣（﹣1﹣2）2+3（2+1）3＝﹣9+81＝72．
综上所述：原式的值为2或0或20或72
【解析】【分析】（1）①根据等式的性质，由3x2-5x+1=0 得出3x﹣5 + 0，即3x
+ 5；②将3x+ 5的两边完全平方，再利用完全平方公式展开移项合并同类项即可；
（2）首先将代数式合并同类项化为最简形式；由于多项式中，次数最高的项的次数就是
单项式的次数，根据3x m+1﹣2x n﹣1+x n是关于x的二次多项式，即可列出关于m,n的方程
组：或或或，一一求解即可分别得出m,n的值，再分别代入代数式化简的结果即可算出答案。
10．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算）：
价目表
每月用水量价格
不超过6立方米的部分2元/立方米
超出6立方米，不超出10立方米的部分4元/立方米
超出10立方米的部分8元/立方米
（1）填空：若某户居民2月份用水4立方米，则应收水费________元；
（2）若该户居民3月份用水a立方米（其中6 （3）若该户居民4、5两个月共用水15立方米（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4、5两个月共交水费多少元？（用含x的代数式表示，并化简） 【答案】（1）8 （2）4a-12 （3）解：当0 应收水费为：2x+2×6+4×4+（15-x-10）×8=-6x+68（元）； 当5≤x<6时，则9≤15-x≤10， 应收水费为：2x+2×6+(15-x-6)×4=-2x+48（元）； 当6≤x，则6 应收水费为：2×6+（x-6）×4+2×6+（15-x-6）×4=36（元）。 【解析】【解答】解：（1）4×2=8（元）； 故答案为：8. （2）因为6 所以应收水费为：6×2+（a-6）×4=12+4a-24=4a-12（元） 故答案为：4a-12。 【分析】（1）水量不超过6立方米，故每立方米按2元/立方米；（2）因为6 11．如图（1）是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形． （1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少？ （2）请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积； （3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2， mn． （4）根据第（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7， ab=5，求（a﹣b）2的值．【答案】（1）解：图（2）中的阴影部分的正方形边长是：m-n （2）解：方法（1）：图（2）阴影部分的面积=（m-n）2； 方法（2）：图（2）阴影部分的面积=（m+n）2-4mn; （3）解：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn,或（m-n）2=（m+n）2-4mn，或（m+n）2-（m﹣n）2=4mn。 （4）解：∵（a﹣b）2=（a+b）2-4ab,a+b=7， ab=5， ∴（a﹣b）2=72-4×5=29. 【解析】【分析】（1）通过图形观察即可得出：图（2）中的阴影部分的正方形边长是：m-n； （2）方法（1）利用正方形的面积等于边长的平方可以直接得出；方法（2）利用大正方形的面积减去4个小矩形的面积可以算出； （3）根据用两种不同的方法表示同一个图形的面积，其结果应该相等即可得出；再根据等式的性质即可得出其它积中情况； （4）利用（3）的关系式，整体代入即可得出答案。 12．小明拿扑克牌若干张变魔术，将这些扑克牌平均分成三份，分别放在左边，中间，右边，第一次从左边一堆中拿出两张放在中间一堆中，第二次从右边一堆中拿出一张放在中间一堆中，第三次从中间一堆中拿出一些放在左边一堆中，使左边的扑克牌张数是最初的2倍． （1）如一开始每份放的牌都是8张，按这个规则魔术，你认为最后中间一堆剩________张牌？ （2）此时，小慧立即对小明说：“你不要再变这个魔术了，只要一开始每份放任意相同张数的牌（每堆牌不少于两张），我就知道最后中间一堆剩几张牌了，我想到了其中的奥秘！”请你帮小慧揭开这个奥秘．（要求：用所学的知识写出揭秘的过程） 【答案】（1）1 （2）解：不论一开始每堆有几张相同的扑克牌数，按这样的游戏规则，最后中间一堆只剩1张扑克牌．理由是：设一开始每堆扑克牌都是x张，按这样的游戏规则：第一次：左边，中间，右边的扑克牌分别是（x-2）张，（x+2）张，x张；第二次：左边，中间，右边的扑克牌分别是（x-2）张，（x+3）张，（x-1）张，第三次：若中间一堆中拿y张扑克牌到左边，此时左边有（x-2）+y=2x张；即：y=2x-（x-2）=（x+2）张，所以，这时中间一堆剩（x+3）-y=（x+3）-（x+2）=1张扑克牌，所以，最后中间一堆只剩1张扑克牌．【解析】【解答】解：（1）设每份x张，第三次从中间一堆中拿出y张放进左边一堆中，由题意列等式的x-2+y=2x， 解得y=x+2， 即y是x的一次函数， 当x=8时，y=10， 把x=8，y=10代入x+2-y+1=1． 最后中间一堆剩1张牌， 故答案为：1； 【分析】（1）设每份x张，第三次从中间一堆中拿出y张放进左边一堆中，第一次从左边一堆中拿出两张放在中间一堆中左边一堆剩x-2张，第二次左边的牌的数量没有发生变 化，第三次从中间一堆中拿出y张放在左边一堆中，左边一堆中共有（x-2+y）张，又第三次后左边的扑克牌张数是最初的2倍．从而列出方程，然后举哀那个x=8代入即可算出y 的值，进而即可得出答案； （2）不论一开始每堆有几张相同的扑克牌数，按这样的游戏规则，最后中间一堆只剩1张扑克牌．理由是：设一开始每堆扑克牌都是x张，分别写出第一次，第二次，第三次左边、中间、右边的牌的数量，然后根据题意列出方程，求解即可。