第六章学习小结

第6章数值积分
--------学习小结
一、本章学习体会
通过学习本章我学会了利用计算机求积分的方法，可以说这一章是第五章的一个应用。

其基本思想是对被奇函数进行拟合，给出数值积分。

这一章有个小小的疑惑:王老师上课说，我们都是在第五章拉格朗日插值法的思想下推出的许多求积分的方法，别的方法不好。

我想假如我们在实际中求某个函数的积分，我们可先求出某些节点的函数值，然后用曲线拟合的方法或别的函数逼近的方法求出函数近似表达式，然后积分，感觉这样也挺好的。

还有一个疑惑就是高斯型求积公式是在拉格朗日插值法的基础上推出的为什么能具有收敛性。

拉格朗日插值中当节点数过多时不是就不准确了吗？
二．本章知识梳理
第六章学的是数值积分。

在实际工程中有很多积分我们是没有办法直接手工算出的，我们必须借助与计算机，而我们这章学的就是如何利用计算机实现积分的近似计算即数值积分法。

我们先介绍了插值型求积公式，这种方法实质是利用拉格朗日插值法近似逼近被插函数，后来我们通过一个例题了解到插值节点的选取对积分的代数精度有很大影响，我们就想到了直接将被积区间等分，就有了Newton-cotes求积公式，实质是等步长的拉格朗日插值近似逼近被插函数。

但Newton-cotes求积公式不具有收敛性和稳定性，
我们常用n=1,2,4的求积公式。

这其实也应了高次拉格朗日插值不可取。

当插值节点多时我们怎么办呢？后来我们又引进了复化求积公式，包括复化梯形公式和复化Simpson 公式，实质是将区间等分，在每个小区间上利用Newton-cotes 求积公式。

这样一来求积公式就具有了收敛性和稳定性。

但复化求积公式要把节点的函数值都求出来，这就增大了计算量而且还不能按我们要求的精确度来选取补偿，基于复化求积的这些缺点我们又想出了用变步长算法即逐次半分法来求解。

但如果我们遇到()()b
a x f x dx ρ⎰这样的积分该怎么做呢？则我们又引进了高斯型求积公式。

这种方法也是基于拉格朗日插值法思想构造的公式高斯型求积公式关键是确定节点。

找一个在(a,b)区间带权()x ρ的正交多项式的零点位置即为节点。

我们可以利用前面学到的四种正交多项式来求解。

高斯型求积公式可以达到插值型求积公式的最高精度。

如果有n 个节点，则其代数精度为2n-1.但高斯型求积公式实际应用是节点和求积系数没有继承性。

所以在实际计算时我们要根据实际情况选择适当的求积公式。

1、求积公式的一般形式：
)()(0
k b
a
n
k k x f dx x f ⎰
∑=≈λ
⎰∑=-=b
a
n
k k k n x f dx x f R 0
)()(λ
代数精度：当)(x f 为次数不高于m 的多项式时带入求积公式左边等于右边，当为m+1次时，左右两边不相等，此时求积公式就为m 次代数精度。

2、插值型求积公式:
)()(0
k b
a
n
k k x f dx x f ⎰
∑=≈λ dx x l b
a
k n k
)()
(⎰=λ
dx
x x n f n
j j b
a
n ])([)!1()(R 0
)1(n ∏⎰
=+-+=ξ
3、Newton-Cotes 求积公式
∑⎰
=-+≈n
k n k b
a
n
a
b k
a f dx x f 0
)()()(λ dt j t f n h R n n j n n n ⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∏+==++00)1(1)()()!1(ξ 当n 为偶数时，1+n 个节点的Cotes Newton -求积公式的代数精度至少是
1+n 。

常用的Newon-Cotes 求积公式
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+++≈∑⎰
-=1
1)(2)()(2)(n k b
a
kh a f b f a f h dx x f
复化梯形公式：
)(12
2
ηf h a b R T ''--
=
4、复化求积
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≈∑∑⎰-==-1
12112)(2)(4)()(3)(m i i m i i b
a
x f x f b f a f h dx x f 复化Simpson 公式
)(180
)4(4ηf h a
b R S --=
区间逐次分半法：将积分区间[]b a ,n 等分，m n 2=，m T 表示将区，间m n 2=等分后所形成的复化梯形值，步长m
m a b h 2)
(-=，
∑-=--++=1
2
1
1))12((21
m i m m m m h i a f h T T ，())(341m m m T T T f I -≈-+
迭代终止的条件：ε<-+m m T T 1
公式：⎰∑=≈b
a n
i k k x f A x f x 1
)
()()(ρ
⎰
='-=b
a
k n
k n k n k dx x g x x x g x A )
,,1,0(,)()()
()( ρ
5、Guass 型求积公式
截断误差： ⎰=b a
n n n n dx x g x n a f R )()()!2()(2
2)2(ρη 若n 个节点的插值型求积公式具有2n-1
次代数精度
Guass 点的选取：求积节点是n 次正交多项)(x g n 的n 个零点
Guass 求积公式的构造：①找高斯点②确定求积系数
三．本章思考题
插值型求积公式有何特点？
答：插值型求积公式主要用于计算定积分的值。

数学推导中用拉格朗日插值函数代替被积函数，其表现形式是有限个函数值的线性组合，
而组合系数恰好是拉格朗日插值基函数的定积分。

(n+1)个结点的插值型求积公式的代数精度一般不超过n 。

用数值求积公式计算定积分可以克服牛顿—莱布尼兹公式的弱点，但是数值计算结果带有误差。

在用数值求积公式设计算法时，一般要考虑到误差估计，还应该使所求的数据结果的误差得到控制。

四．本章测验题
利用n=5的Gauss-Hermite 求积公式计算xdx e x cos 2
⎰∞
∞--
解：
查表知：n=5时，求积节点为
,9585724646.0,9585724646.0,020*******.2,020*******.254321=-==-==x x x x x 求积系数：
9453087205.0,3936193232.0,0199532421.054321=====A A A A A 令x x cos )(=φ
4344130674.0)()(21-==x x φφ 5746888263.0)()(43==x x φφ
1)(5=x φ
解得：
3803900760
.1)(9453087205.0)(3936193232.0)(3936193232.0)
(0199532421.0)(0199532421.0cos 543212
=+⨯+⨯+⨯+⨯=⎰
∞
∞
--x x x x x xdx e x φφφφφ。