【配套K12】九年级数学上册第二十二章22.3实际问题与二次函数22.3.1实际问题与二次函数一备课
人教版九年级上册数学22.3实际问题与二次函数(教案)
1.教学重点
-二次函数在实际问题中的应用：本节课的核心是让学生掌握如何将实际问题转化为二次函数模型，从而利用数学工具解决具体问题。例如，通过分析物体的抛物线运动，建立速度与时间的关系，进而求解物体的最大高度或最远距离。
-二次函数的性质及其图像：重点讲解二次函数的开口方向、顶点、对称轴等性质，并通过图像加深理解，使学生能够熟练运用这些性质解决实际问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，它能够描述许多抛物线形状的现象。它在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一个物体以抛物线轨迹运动，我们要计算它的最大高度和飞行距离。这个案例将展示二次函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了实际问题与二次函数的关联，尝试将抽象的数学概念应用到具体的生活实例中。我注意到，在理论介绍环节，学生对二次函数的基本概念掌握得还算扎实，但在案例分析时，一些学生在构建数学模型上遇到了困难。这让我意识到，将实际问题转化为数学语言，对他们来说是一个不小的挑战。
在实践活动和小组讨论中，学生们的参与度很高，大家积极讨论、动手实践，课堂氛围相当活跃。我特别高兴看到他们在讨论中互相启发，共同解决问题。然而，我也发现有些小组在分析问题时，还是局限于表面的理解，未能深入挖掘问题背后的数学原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数(1)学案
桑水—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————22．3实际问题与二次函数（1）学习目标：掌握二次函数与价格调整和利润最大问题一、温故知新：(1)、利润=每件的利润×数量 (2)、根据函数图像和性质求最大值。
1.求下列函数的最大值或最小值．(1) y=—x 2—3x+4 (2) y=2x 2-3x-52.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.已知商品的进价为每件40元，那么一周的利润是多少？二、探索新知：例1、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件；已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析问题：1、如何确定函数关系式？ 2.变量x 有范围要求吗？3.利润＝销售额－进货额 销售额＝销售单价×销售量 进货额＝进货单价×进货量（1）涨价的情况： （2）降价的情况：由（1）（21.实际问题转化为数学问题，建立数学模型；2.利用函数的性质或图象求解最大值（注意变量x 的取值范围）；3.这时的最大值就为最大利润.三、课堂练习:1、我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x（元∕件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示关系．（1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量；（2）①试求出y与x之间的函数关系式；②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价－成本总价）。
2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？3.国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售桑水价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1=170-2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系.（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；（2）求月产量x的范围；（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？桑水。
数学人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数 PPT课件
时, 二次函数 y = ax2 + bx + c 有最小（大） 值 y 4ac b2 ． 4a
3．类比引入, 探究问题
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地, 矩形面积 S
随矩形一边长ห้องสมุดไป่ตู้l 的变化而变化．当 l 是多少米时, 场地
的面积 S 最大?
解:
S
（60 2
l）l
,
整理后得 S l2 30l（0＜l＜30）．
2．探究二次函数利润问题
问题4 在降价情况下, 最大利润是多少? 请你参考上述的讨 论, 自己得出答案．
由上面的讨论及现在的销售情况, 你知道应如何定价 能使利润最大了吗?
三．探究3“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥, 当拱顶离水面 2 m时, 水面宽 4 m . 水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
（1） 题目中有几种调整价格的方法? （2） 当每件涨 1 元时, 售价是多少? 每星期销量是 多少? 成本是多少? 销售额是多少? 利润呢? （3） 最多能涨多少钱呢? （4） 当每件涨 x 元时, 售价是多少? 每星期销量是 多少? 成本是多少? 销售额是多少? 利润 y 呢?
2．探究二次函数利润问题
九年级 上册
22.3 实际问题与二次函数
一．探究一 1.创设情境, 引出问题
从地面竖直向上抛出一小球, 小球的高度 h（单位: m）与小球的运动时间 t（单位: s）之间的关系式是
h= 30t - 5t2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时, 小
球最高? 小球运动中的最大高度是多少?
t
b 2a
y=（300-10x）（60+x）-40（300-10x ）
y 10x2 100x 6 000（0≤x≤30）．
人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数(1)》说课稿
人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数（1）》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数（1）》这一节主要讲述了二次函数在实际问题中的应用。
教材通过引入生活中的实例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的数学应用能力。
教材内容安排合理，由浅入深，通过具体的实例引导学生掌握二次函数解决实际问题的方法。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题，因此在教学过程中，需要引导学生将实际问题与二次函数知识相结合。
三. 说教学目标1.让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的数学应用意识。
2.引导学生学会将实际问题转化为二次函数问题，提高学生的数学思维能力。
3.通过解决实际问题，巩固学生对二次函数图像和性质的理解。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数在实际问题中的应用，如何将实际问题转化为二次函数问题。
2.教学难点：引导学生理解实际问题与二次函数之间的联系，以及如何运用二次函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索二次函数在实际问题中的应用。
2.利用多媒体课件，直观展示二次函数的图像，帮助学生更好地理解二次函数的性质。
3.通过小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 说教学过程1.引入新课：通过生活中的实例，引导学生了解二次函数在实际问题中的应用。
2.讲解实例：分析实例中的问题，将其转化为二次函数问题，讲解如何运用二次函数解决实际问题。
3.巩固知识：通过练习题，让学生巩固对二次函数解决实际问题的方法。
4.小组讨论：让学生分组讨论如何将实际问题转化为二次函数问题，并分享讨论成果。
5.总结提升：总结本节课的重点内容，强调二次函数在实际问题中的应用。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出本节课的重点内容。
九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数(第2课时)教案
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题第2课时 实际问题与二次函数（2）※教学目标※【知识与技能】将生活实际问题转化为数学问题，进一步体验二次函数在生活中的应用.【过程与方法】通过对生活中实际问题的探究,体会数学在生活实际中的广泛应用，发展数学思维.【情感态度】感受数学在生活中的应用，激发学生学习热情，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神.【教学重点】利用二次函数解决有关拱桥问题.【教学难点】建立二次函数的数学模型.※教学过程※一、问题导入问题 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？答案 解：（1）由题意，得()7002045201600y x x =--=-+.（2）P =()()()22402016002024006400020608000x x x x x --+=-+-=--+，∵x ≥45，a =-20＜0，∴当x =60时，P 最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元.（3）由题意，得()2206080006000x --+=.解得150x =，270x =．∵抛物线()220608000P x =--+的开口向下，∴当50≤x ≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元.又x ≤58，∴50≤x ≤58.∵在201600y x =-+中，20k =-＜0，∴y 随x 的增大而减小.∴当x =58时，y 最小值=-20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒.二、探索新知探究 图中是抛物线形拱桥，当拱桥离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少？提问（1）石拱桥桥拱的形状可以近似地看成是抛物线吗？（2）将本体转化为二次函数问题，需要求出二次函数解析式，根据题中条件，求二次函数解析式的前提是什么？（3）题中“水面下降1m 的含义是什么？”水面下降的同时水面宽度有什么变化？如何求宽度增加多少？解决问题：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立坐标系.设这条抛物线表示的二次函数为2y ax =.由抛物线经过点（2，-2），可得222a -=⨯，12a =-.这条抛物线表示的二次函数为212y x =. 当水面下降1m 时，水面的纵坐标为-3.请你根据上面的函数解析式求出这时的水面宽度.水面下降1m 三、巩固练习1.如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端拴于立柱与铁结合处，绳子自然下垂呈抛物线状态，一身高0.7米的小女孩站在离立柱0.4米处，其头刚好触上绳子，则绳子最低点到地面的距离为多少米？2.如图，一位篮球运动员甲在距篮球筐下4米处跳起投篮，球的运行线路为抛物线，当球运行到水平距离为2.5米时达到最高高度为3.5米，然后准确地落入篮筐，已知篮圈中心到地面的高度为3.05米，该运动员的身高为1.8米．（1）在这次投篮中，球在该运动员的头顶上方0.25米处出手，则当球出手时，该运动员离地面的高度为多少米？（2）运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3米运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？答案：1.如图所示，以O 为坐标原点，水平方向为x 轴，垂直方向为y 轴，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为()20y ax a =≠.设A ，B ，D三点坐标依次为（A x ，A y ），（B x ，B y ），（D x ，D y ）.由题意，得AB =1.6，∴0.8A x =-，0.8B x =，又可得1 1.60.42D x ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭=-0.4.∴当0.8x =-时，A y =()2•0.80.64a a -=,当0.4x =-时，()2•0.40.16y D a a =-=.∵2.20.7 1.5A D y y -=-=，∴0.640.16 1.5a a -=.∴258a =.∴抛物线的解析式为2258y x =.当0.4x =-时，()2250.40.58D y =⨯-=，∴0.70.50.2-=（m ）. 2.（1）设抛物线的解析式为2 3.5y ax =+.∵（1.5，3.05）在抛物线上，∴3.05 1.52 3.5a =⨯+.解得0.2a=-.∴20.2 3.5y x =-+.当 2.5x =-时， 2.25y =， ∴运动员离地面的高度为2.250.25 1.80.2--=（m ）.（2）由题意,得 3.3y =，则23.30.2 3.5x =-+.解得11x =，21x =-.∴413-=（m ）.∴乙在运动员甲与篮板之间的距离甲3米范围内能在空中截住球.四、归纳小结1.运用二次函数解决实际问题的一般步骤：审题；建立数学模型；求抛物线解析式；解决实际问题.2.数形结合思想的运用.※布置作业※从教材习题22.3中选取.※教学反思※本课时的教学应注意建立正确的直角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时，教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生互相交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线的解析式，在这一过程中让学生体验探究发现的乐趣，体会数学的最优化思想.。
九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第2课时实际问题与二次函数2课件 新人教版
∴当水面下降1m时,水面宽度增加( 2 了6 4 )m
7
解法二: 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x 轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示的 二次函数的解析式为: y ax2 2
8
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
o （0，0）x
5
解法一: 如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴， 建立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为: 当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
2 a 22
a 0.5
∴这条抛物线所表示的二次函
数为:
y 0.5 x2
y ax2
6
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时 有3: 0.5 x2 x 6
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元） 之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元） 最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每 盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元 的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
2
3
轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面
直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示
的二次函数的解析式为:
y a( x 2 )2 2
∵抛物线过点(0,0)
0 a ( 2 )2 2
a 0.5
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
y 0.5( x 2 )2 2
将一根绳子的两端拴于立
九年级数学上册第二十二章22.3实际问题与二次函数22.3.2实际问题与二次函数(二)备课资料教案
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第二十二章 22.3.2实际问题与二次函数（二）知识点:用二次函数解决抛物线建筑的有关问题抛物线在实际生活中有着广泛的应用，如修建石拱桥和拱形的隧道,公园里的喷泉中水柱运行的轨迹以及我们打篮球投篮时,篮球运行的轨迹等.解决这类问题的关键是进行二次函数的建模——把实际问题转化为数学问题，再用二次函数的有关知识来解决问题.考点1：实际问题中二次函数与其他函数问题的综合运用【例1】如图,三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同。
建立如图所示的直角坐标系,正常水位时，大孔水面宽度AB=20 m，顶点M距水面6 m(即MO=6 m）,小孔顶点N距水面4。
5 m（NC=4.5 m).当水位上涨刚好淹没小孔时，求大孔的水面宽度EF.解:设大孔对应的抛物线所对应的函数解析式为y=ax2+6。
依题意，得B（10，0）.∴a×102+6=0.解得a=—0。
06，即y=—0.06x2+6.当y=4。
5时，—0.06x2+6=4.5，解得x=±5.∴DF=5 m,∴EF=10 m。
九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数教学课件上册数学课件
怎样确定x的 取值范围
(0≤x≤30) 当x=5时，y的最大值是6250.
12/8/2021
第七页，共十八页。
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
解:设每件降价(jiànɡ jià)x元时的总利润为y元.
怎样确定x的
y=(60-40-x)(300+20x)
取值范围
=(20-x)(300+20x)
=-20x2+100x+6000
所以，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大．
12/8/2021
第五页，共十八页。
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
例2 某商品的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映 ：如调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星 期要多卖出20件.已知商品进价为每件40元，如何定价才能使利润最大 ？
问题1.已知某商品的售价是每件60元，每星期可卖出300件.市场 (shìchǎng)调查反映：如调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10 件.已知商品进价为每件40元，该商品应定价为多少元时，商场能获 得最大利润？
问题2.已知某商品的售价是每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反 映：如调整价格 ，每降价1元，每星期要多卖出20件.已知商品进价为 每件40元，该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？
第八页，共十八页。
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
例3 图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面
2m，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度(kuāndù)增加多少？
2 l
4 分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就 可以求出这条抛物线表示的二次函数，为解题简便，以抛物线的顶点 为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．
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小初高试卷教案类
K12小学初中高中
第二十二章 22.3.1实际问题与二次函数（一）
知识点1:利润最大问题
1.在现实生活中常常遇到一类求最大(小)值的问题.如在产品的营销过程中何时获得最大利润;
在生产中如何获得最大的产值以及怎样获得最好的效果等.这些问题都可以转化为二次函数问题,利
用二次函数的性质加以解决.
2.解销售中最大利润问题的步骤:
(1)利用应用题中的已知条件和学过的有关数学公式列出等量关系;
(2)把等量关系转化为二次函数的解析式;
(3)求二次函数的最大值或最小值.
知识点2:面积最大问题
1.几何图形中的二次函数问题常见的有:几何图形中面积的最值、用料的最佳方案等.
2.利用平面几何图形的有关条件和性质建立关于几何图形面积的二次函数解析式,并利用二次
函数的图象和性质确定最大或最小面积.
3.求几何图形面积的常见方法有:利用几何图形的面积公式求出几何图形的面积;利用几何图形
面积的和或差求几何图形的面积;利用相似比求几何图形的面积等.
4.解决面积问题的一般步骤:
(1)利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出等量关系;
(2)把等量关系转化为二次函数的解析式;
(3)求二次函数的最大值或最小值.
拓展提高：在处理复杂图形面积时常用的方法是:把复杂的几何图形进行分割求和.
考点1：利用二次函数求最大利润问题
小初高试卷教案类
K12小学初中高中
【例1】 李经理按市场价格10元/千克在某地收购了2 000千克香菇存放入冷库中.据预测,
香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元
,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.
(1)若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y元,试写出y与x之间
的函数解析式;
(2)李经理想获得利润22 500元,需将这批香菇存放多少天后出售?(利润=销售总金额-收购成本
-各种费用)
(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少?
解:(1)由题意得y与x之间的函数解析式为:
y=(10+0.5x)(2 000-6x)=-3x2+940x+20 000(1≤x≤110,且为整数).
(2)由题意得:-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=22 500,
解方程得:x1=50,x2=150(不合题意,舍去).
答:李经理想获得利润22 500元,需将这批香菇存放50天后出售.
(3)设最大利润为W元,由题意得
W=-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=-3(x-100)2+30 000.
∵0<100<110,∴当x=100时,W取得最大值,其最大值为30 000.
答:存放100天后,出售这批香菇可获得最大利润,最大利润是30 000元.
点拨：(1)存放x天后,香菇的市场价格为(10+0.5x)元/千克,此时香菇损坏6x千克,还可出售的
香菇有(2 000-6x)千克,因此y=(10+0.5x)(2 000-6x).(2)销售总金额为(10+0.5x)(2 000-6x)元,收
购成本为(10×2 000)元,各种费用为340x元,由利润=销售总金额-收购成本-各种费用,可得方程
-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=22 500.(3)由二次函数的最大值可得结果.
考点2：利用二次函数求面积的最大值
【例2】 星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙,另外三边用
长为30 m的篱笆围成.已知墙长为18 m,如图所示,设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m.
(1)若平行于墙的一边的长为y m,直接写出y与x之间的函数解析式及其自变量x的取值范围;
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大?并求出这个最大值;
小初高试卷教案类
K12小学初中高中
(3)当这个苗圃园的面积不小于88 m2时,试结合函数图象,直接写出x的取值范围.
解:(1)y=30-2x(6≤x<15).
(2)设矩形苗圃园的面积为S m2,则S=xy=x(30-2x)=-2x2+30x.∴S=-2(x-7.5)2+112.5.由(1)知,6
≤x<15,∴当x=7.5时,S取得最大值,S最大值=112.5.即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5 m时,
这个苗圃园的面积最大,最大值为112.5.
(3)函数S=-2(x-7.5)2+112.5(6≤x<15)的图象如图所示,结合图象,当这个苗圃园的面积不小于
88 m2时,x的取值范围是6≤x≤11.
点拨：因为0
m2时,x的取值范围是6≤x≤11.