培优易错试卷平行四边形辅导专题训练及详细答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，对角线AC 平分BAD ∠.

（1）如图1，若120DAB ∠=︒，且90B ∠=︒，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.

（2）如图2，若将（1）中的条件“90B ∠=︒”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.

（3）如图3，若90DAB ∠=︒，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.

【答案】（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB AC +=

.理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD=12AC ，AB=12

AC 即可解决问题； （2）（1）中的结论成立．以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题；

（3）结论：AD +AB ＝2AC ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，只要证明△ACE 是等腰直角三角形，△DAC ≌△BEC 即可解决问题；

试题解析：解：（1）AC=AD+AB ．

理由如下：如图1中，

在四边形ABCD 中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，

∴∠D=90°，

∵∠DAB=120°，AC 平分∠DAB ，

∴∠DAC=∠BAC=60°，

∵∠B=90°，

∴AB＝1

2

AC，同理AD＝

1

2

AC．

∴AC=AD+AB．

（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，

∵∠BAC=60°，

∴△AEC为等边三角形，

∴AC=AE=CE，

∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，

∴∠DCB=60°，

∴∠DCA=∠BCE，

∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，

∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，

∴△DAC≌△BEC，

∴AD=BE，

∴AC=AD+AB．

（3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下：

过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，

∴DCB=90°，

∵∠ACE=90°，

∴∠DCA=∠BCE，

又∵AC平分∠DAB，

∴∠CAB=45°，

∴∠E=45°．

∴AC=CE．

又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，

∴△CDA ≌△CBE ，

∴AD=BE ，

∴AD+AB=AE ．

在Rt △ACE 中，∠CAB=45°，

∴AE ＝245AC AC cos ︒

＝ ∴2AD AB AC +＝.

2．如图1，正方形ABCD 的一边AB 在直尺一边所在直线MN 上，点O 是对角线AC 、BD 的交点，过点O 作OE ⊥MN 于点E ．

（1）如图1，线段AB 与OE 之间的数量关系为 ．（请直接填结论）

（2）保证点A 始终在直线MN 上，正方形ABCD 绕点A 旋转θ（0＜θ＜90°），过点 B 作BF ⊥MN 于点F ．

①如图2，当点O 、B 两点均在直线MN 右侧时，试猜想线段AF 、BF 与OE 之间存在怎样的数量关系？请说明理由．

②如图3，当点O 、B 两点分别在直线MN 两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．

③当正方形ABCD 绕点A 旋转到如图4的位置时，线段AF 、BF 与OE 之间的数量关系为 ．（请直接填结论）

【答案】（1）AB=2OE ；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF ﹣BF=2OE 证明见解析;③BF ﹣AF=2OE ，

【解析】

试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；

（2）①过点B 作BH ⊥OE 于H ，可得四边形BHEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH ，BF=HE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBH 全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE ，OE=BH ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证； ②过点B 作BH ⊥OE 交OE 的延长线于H ，可得四边形BHEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH ，BF=HE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBH 全等，

根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；

③同②的方法可证．

试题解析：（1）∵AC，BD是正方形的对角线，

∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90°，

∵OE⊥AB，

∴OE=1

2 AB，

∴AB=2OE，

（2）①AF+BF=2OE

证明：如图2，过点B作BH⊥OE于点H

∴∠BHE=∠BHO=90°

∵OE⊥MN，BF⊥MN

∴∠BFE=∠OEF=90°

∴四边形EFBH为矩形

∴BF=EH，EF=BH

∵四边形ABCD为正方形

∴OA=OB，∠AOB=90°

∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90°

∴∠AOE=∠OBH

∴△AEO≌△OHB（AAS）

∴AE=OH，OE=BH

∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．

②AF﹣BF=2OE

证明：如图3，延长OE，过点B作BH⊥OE于点H