自适应控制习题(系统辨识)
(优选)自适应控制理论与系统辨识
上式的物理意义是：随机变量X (k1) 和 X (k2 )同时在区间 [x(k1), x(k1) x(k1)] , [x(k2 ), x(k2 ) x(k2 )] 之中取值的概
均值 E[x(k)] x(k)P[x(k), k] k
2.均方值： E[x2 (k)] x2 (k)P[x(k), k] k
3.方差： E[{x(k) E[x(k)]}2 ]
4.相关系数（coefficient of correlation）
(k1, k2 ) E[x(k1)x(k2 )]
表明二阶联合概率密度只和 k2 k1 n 有关。
(n) E[x(k1)x(k2)]
x(k1)x(k2 )P[x(k1),k1; x(k2 ),k2 ]
k1 k2
x(k1 n)x(k2 n)P[x(k1 n),k1 n; x(k2 n),k2 n]
k1 k2
相关系数只是n的函数
（优选）自适应控制理论与系 统辨识
统计特性 1.某一时刻 k ，随机变量 x(k)的概率用一阶概率密度函数表
示 P[x(k),k] （它只给出了任一时刻 k, x(k) 出现的概率， 但它没有给出不同时刻随机变量之间的依赖关系） 2. 不同时刻， x( k1 ),x( k2 ) 随机变量之间的依赖关系，应当用 二阶联合概率密度表示 P[ x( k1 ),k1; x( k2 ),k2 ]
由上式可知：独立随机过程的一阶概率密度函数包含着过 程的全部统计信息。
独立随机过程在物理上是存在的，例如在数字控制系统 种，只要采样周期足够长，各时刻的采样值不互相关， 因此可以看成是一个独立随机过程。
中南大学系统辨识及自适应控制试卷3份及答案
2009级本科生 系统辨识及自适应控制 考试题一、 概述系统辨识与自适应控制的关系，以及自适应控制的研究对象和系统辨识的定义?（10分）关系：PPT 1.4图及说明。
自适应控制的研究对象：是具有一定程度不确定性的系统。
系统辨识：就是按规定准则在一类模型中选择一个与数据拟合得最好的模型。
二、描述随机过程统计特性的确定性时间函数有哪些？什么是白噪声，它有哪些特性，有何用途？在系统参数辨识实验中为什么常用M 序列或逆M 序列作为被辨识对象的输入信号？（20分）确定性时间函数有：均值函数、方差函数、均方值函数、相关函数等白噪声：一种均值为零，谱密度为非零常数的平衡随机过程白噪声特性：（1）是一种随机过程信号（2）没有记忆性，任意两时刻之间的值不相关（3）均值为零，方差为常数（4）功率谱密度函数为常数用途：（1）作为系统输入时，为系统的单位脉冲响应（2）作为被辨识系统输入时，可以激发系统的所有模态，可对系统充分激励（3）作为被辨识系统输入时，可防止数据病态，保证辨识精度（4）产生有色噪声原因：白噪声是一种理想的随机过程，若做为系统辨识的输入信号，则过程的辨识精度将大大提高，但是白噪声在工程上难以实现，因为工业设备无法按白噪声的变化特性运行。
M 序列与白噪声性质相近，保留了其优点，工业上可以接受。
但是M 序列含有直流成分，将造成对辨识系统的“净扰动”，而逆M 序列将克服这一缺点，是一种比M 序列更为理想的伪随机码序列。
三、简述在下列参数辨识公式中：111111ˆˆˆ[(1)()]()[()()]1[()]T N N N N T N N N T N N N K y N N K P N N P N P I K N P θθϕθϕλϕϕϕλ++-+++⎧⎪=++-⎪=+⎨⎪⎪=-⎩（1）系数λ的作用（10分）；（2）初始值P0如何设定？说明理由（10分）。
（1）加权系数，削弱旧数据产生的误差，对新数据的误差乘以大的加权，其值愈小，跟随时变参数的能力就愈强，但参数估计精度愈低。
自适应作业1--系统辨识
Adaptive ControlAssignment 1System Identification姓名: ****学号: *************班级: ***********Answers ：1. a) Obtain the system model equation and write it in linear regression form.The system model equation:1111()*()*()10.810.8q y k u k e k q q ---=+--It ’s auto regressive form:()0.8(1)(1)()y k y k u k e k =-+-+b) Simulate the system by generating 1000 data points. Plot u(t) and y(t).Th e in pu t s u (k )时刻-k输入信号-u （k ）时刻-k输出信号-y （k ）c) Obtain the least squares estimator for this system.The least squares estimator for the parameter vector is:The estimated value of system parameters are:2.a) Generate any input and get the response. Plot u(t) and y(t). Ignore the system noiseThe ARX models ：11()()()()(k A q y k B q u k e --=+）It ’s auto regressive form:() 1.5363(1)0.8607(2)0.0416(1)0.0395(2)()y k y k y k u k u k e k =---+-+-+When input is a step function, the output is:t h e mo d el r es po n s e t o a s t ep in pu t时刻-k输出响应-y （k ）When input is a sin wave, the output is:t h e mo d el r es po n s e t o s in wav e时刻-k输入信号-s i n (k *0.0628) 输出响应-y （k ）b) Write a recursive least squares program to identify this model and test your program.The least squares estimatecan be obtained from ：The estimated value of system parameters are:Test my recursive least squares program ：时刻-k模型输出z （k ） 系统输出-y （k ）Clearly, the response with the least squares estimate is almost as same as the original system response.c) Test the response and the recursive least squares program if a white noise is added.时刻-k模型输出z （k ） 系统输出-y （k ）Obviously, the response with the least squares estimate is almost as same as the original system response. So I think it is predicting the correct system parameters.d) Comment on how different types of inputs, initial LN, and length of dataaffect the final estimation.Conclusion：1）The error of parameter estimation will be smaller with bigger initial LN. So the system identification will be more accurate.2) Different types of inputs can affect the final estimation, in this case, a Step function signal is better then A sin wave signal.Case two: recursive least squares with a forgetting factorConclusion：1）when c is smaller, the estimated values are more precise, but the smaller c could make System Identification instability. For sinusoidal signals, when c <0 .5, the estimated values become the divergence. Therefore, the general range of c is 0.95 to 0.98.2）For this system，RLS- with a forgetting factor is more accurate then recursive least squares. 3）The error of parameter estimation will be smaller with bigger initial LN. So the system identification will be more accurate.e) Show how the system parameters in the θ track towards the true values A and B as each new iteration occurs.Case one: RLS,without interruptt h e t r ac k o f t h e a1-s t ep f u c t io n时刻-k系统参数-a 1t h e t r ac k o f t h e a1-s in wav e时刻-k系统参数-A 1t h e t r ac k o f t h e a1-r an d m时刻-k系统参数-a 1Case two:RLS- withinterruptt h e t r ac k o f t h e a1-s t ep f u c t io n时刻-k系统参数-a1t h e t r ac k o f t h e a1-s in wav e时刻-k系统参数-a1t h e t r ac k o f t h e a1-r an d m时刻-k系统参数-a 1Conclusion ：1. when the input is the random signal, the speed of identification is the fastest.2.The speed of identification is faster and more accurate when there isn ’t interrupt.3. Find the order of the following input signals:• To obtain estimates of a parametric model, the input signal has to be “rich” enough to excite all modes of the system.• An input signal is said to be persistently exciting (P.E.) of order n if the following limit exists:11()lim ()()tt i c k u i u i k t →∞==-∑and the matrix is positive semi-definite (non-singular).(0)(1)...(1)(1)(0)...(2).1lim ..(1)(2)...(0)TN t c c c n c c c n C t c n c n c φφ→∞-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦• The signal u with the property c(k) is persistently exciting of order n if and only if()211lim ()()0tt k U A q u k t →∞==>∑a) A step function signal;Let u(t)=1 for t>0 and zero otherwise. It follows that10(1)()00t q u t t =⎧-=⎨≠⎩A step can be thus at most be PE of order 1. Since11(k)lim ()()tt i c u i u i k t →∞==-∑1l i m ()()1l i m 1*1l i m 1tt i k tt i kt u i u i k t t t k t →∞=→∞=→∞=-=-==∑∑So:123[(0)]1(0)(1)110(1)(0)11(0)(1)(2)111(1)(0)(1)1110(2)(1)(0)111...C c c c C c c c c c C c c c c c c ==⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(0)(1)...(1)(1)(0)...(2)...(1(2)...(0)n c c c n c c c n C c n c n c -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦） 11...111...1.0..11...1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦It follows that it is PE of order 1.b) A pulse function signal;It follows from Eq()211lim ()()0tt k U A q u k t →∞==>∑that Cn →0 for all n if u is a pulse. A pulse thus is not PE for any n.c) A sinusoid function signal;Let u(t)=sin wt. It follows that2(2cos 1)()0q q w u t -+=A sinusoid can thus at most be PE of order 2. Since 21cos 1cos 12w C w⎛⎫= ⎪⎝⎭ it follows that a sinusoid is actually PE of order 2.d) A random signal.Consider the stochastic processU(t)=H(q)e(t)Where e(t) is white noise and H(q) is a pulse transfer function. It follows from the definition of white noise that Eq()211lim ()()0t t k U A q u k t →∞==>∑ is satisfied for the signal e for any nonzero polynomial A(q). This property also holds for the signal u. So the signal u is thus PE of any order.Appendix：。
工业机器人自适应控制考核试卷
5.为了提高工业机器人自适应控制的性能，可以采用______和______等技术。
6.在自适应控制系统中，______和______是两个重要的性能评价指标。
7.工业机器人自适应控制的研究内容包括______设计、______、外部干扰抑制等。
A.控制器设计
B.系统辨识
C.干扰观测器设计
D.控制目标设定
14.在自适应控制中，以下哪个概念表示系统对控制目标的变化具有适应性（）
A.参数自适应
B.结构自适应
C.输出自适应
D.输入自适应
15.以下哪项不是工业机器人自适应控制的研究内容（）
A.控制器设计
B.系统辨识
C.外部干扰抑制
D.机器人编程
16.工业机器人自适应控制中，以下哪个指标主要用于衡量系统性能（）
1.工业机器人自适应控制能够提高以下哪些方面的性能？（）
A.系统稳定性
B.系统响应速度
C.系统精确性
D.系统的易用性
2.自适应控制系统的设计过程中，以下哪些因素需要考虑？（）
A.控制对象的不确定性
B.控制环境的变换
C.控制器参数的固定性
D.控制目标的多样性
3.自适应控制通常包括以下哪些基本组成部分？（）
8.自适应控制系统的鲁棒性可以通过______控制、______控制等方法增强。
9.工业机器人的自适应控制在______和______等领域有着广泛的应用。
10.提高工业机器人自适应控制系统的实时性，需要考虑控制算法的______和执行机构的______。
四、判断题（本题共10小题，每题1分，共10分，正确的请在答题括号中画√，错误的画×）
系统辨识与自适应控制论文作业
1.采用M 语言或Simulink 环境编写递推最小二乘算法，辨识模型参数)2()1()2()1()(2121-+-=-+-+k u b k u b k y a k y a k y ，其中5.11-=a ，7.02=a ，0.11=b ，5.02=b 。
写出设计程序(M 语言加注释，Simulink 环境写出设计思路)。
解: 给定一个系统模型:)2()1()2()1()(2121-+-=-+-+k u b k u b k y a k y a k y其中: 5.11-=a ,7.02=a ,0.11=b ,5.02=b设计M 语言程序如下：m = 3;N=100;uk=rand(1,N); %生成0~1的一行N 列的随机矩阵for i=1:Nuk(i)=uk(i)*(-1)^(i-1);endyk=zeros(1,N); %生成一行N 列的零矩阵for k=3:Nyk(k)=1.5*yk(k-1)-0.7*yk(k-2)+uk(k-1)+0.5*uk(k-2);endtheta=[0;0;0;0];pn=10^6*eye(4);for t=3:N %该for 循环为递推最小二乘法的程序ps=([yk(t-1);yk(t-2);uk(t-1);uk(t-2)]);pn=pn-pn*ps*ps'*pn*(inv(1+ps'*pn*ps));theta=theta+pn*ps*(yk(t)-ps'*theta);thet=theta';a1=thet(1);a2=thet(2);b1=thet(3);b2=thet(4);enda1t(t)=a1;a2t(t)=a2;b1t(t)=b1;b2t(t)=b2;t=1:N; %显示曲线plot(t,-a1t(t),t,-a2t(t),t,b1t(t),t,b2t(t));text(20,-1.4,'a1'); %在曲线旁边显示字符text(20,0.65,'a2');text(20,0.94,'b1');text(20,0.45,'b2');仿真结果为：图1 参数变化曲线图通过曲线可以看出，大约在第10步递推过程时，参数趋于稳定，5003.11-=a ，7006.02=a ，9987.01=b ，4997.02=b 。
系统辨识作业及答案
一． 问答题1. 介绍系统辨识的步骤。
答：（1）先验知识和建模目的的依据；（2）实验设计；（3）结构辨识；（4）参数估计；（5）模型适用性检验。
2. 考虑单输入单输出随机系统，状态空间模型[])()(11)()(11)(0201)1(k v k x k y k u k x k x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+ 转换成ARMA 模型。
答：ARMA 模型的特点是u(k)=0,[])()(11)()(0201)1(k v k x k y k x k x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+3. 设有一个五级移位寄存器，反馈取自第2级和第3级输出的模2加法和。
试说明：（1） 其输出序列是什么？ （2） 是否是M 序列？（3） 它与反馈取自第4级与第3级输出模2加法和所得的序列有何不同？ （4） 其逆M 序列是什么？ 答：（1）设设输入序列1 1 1 1 1111018110107101006010015100114001113011112111111）（）（）（）（）（）（）（）（()()()()()()()01110161110115110101410100)13(010011210011110011110011109()()()()()()()001112401110)23(111012211010211010020010011910011180011117()()()()()()()()10011320011131011103000111291101028101002701001261001125 其输出序列为：1 1 1 1 1 0 0 1 0 1⑵不是M 序列⑶第4级与第3级模2相加结果100108001007010006100015000114001113011112111111）（）（）（）（）（）（）（）（()()()()()()()11110161110115110101410101)13(010111210110110110010110019()()()()()()()110012410010)23(001002201000211000120000111900111180111117()()()()()()()()01111321111031111013011010291010128010112710110260110025 不同点：第2级和第3级模二相加产生的序列，是从第4时刻开始，每隔7个时刻重复一次；第4级与第3级模2相加产生的,序列，是从第2时刻开始每隔15个时刻重复一次。
工业自动化中的自适应控制系统考核试卷
C.优化控制器设计
D.监测系统性能
4.自校正自适应控制方法的优势有哪些？（）
A.不需要精确的数学模型
B.能够在线调整控制器参数
C.适用于非线性系统
D.适用于时变系统
5.以下哪些因素可能导致工业自动化系统的不确定性？（）
A.环境变化
B.设备老化
C.参数变化
D.外部干扰
6.自适应控制器设计时，需要考虑哪些要素？（）
A.线性系统
B.非线性系统
C.稳定系统
D.确定性系统
13.在自适应控制系统中，哪个环节负责调整控制器参数？（）
A.控制器
B.参数估计器
C.传感器
D.状态观测器
14.以下哪种方法主要用于解决非线性系统的自适应控制问题？（）
A.模型参考自适应控制
B.自校正自适应控制
C.最优自适应控制
D.反馈线性化
15.在自适应控制系统中，以下哪个参数对系统性能影响较大？（）
A.控制器
B.参数估计器
C.传感器
D.执行器
18.以下哪些自适应控制方法适用于时变系统？（）
A.模型参考自适应控制
B.自校正自适应控制
C.最优自适应控制
D.预测控制
19.自适应控制系统的设计过程中，以下哪些步骤是必要的？（）
A.确定控制目标
B.建立数学模型
C.设计控制器
D.实施和测试
20.以下哪些技术可以用于自适应控制系统的故障检测和诊断？（）
4.在自适应控制系统中，哪个环节负责对系统参数进行实时调整？（）
A.控制器
B.被控对象
C.传感器
D.参考模型
5.以下哪个概念不属于自适应控制？（）
系统辨识与自适应控制作业
一、系统辨识部分1、SISO 系统作为仿真对象)()2(5.0)1()2(7.0)1(5.1)(k e k U k U k Z k Z k Z +-+-=-+--二阶的离散的，其中{e(k)}为服从N(0,1)分布的白噪声序列；输入信号)(k U 采用四阶逆重复m 序列，其中幅值为1，数据信噪比β=14.3% 选择的辨识模型为：)()2(5.0)1()2()1()(2121k k U b k U b k Z a k Z a k Z ε+-+-=-+--用最小二乘估计的一次性完成算法和LS 递推算法分别估计参数，选取数据长度480=l ，选取的初始值⎩⎨⎧==⨯226010p 001.0Q I （遗忘因子μ=0.995）。
解：最小二乘估计的一次性完成算法程序代码：clear clc%-----产生M 序列输入信号--------------------- l=480;y1=1;y2=1;y3=1;y4=0; for i=1:l;x1=xor(y3,y4);x2=y1;x3=y2;x4=y3;y(i)=y4; if y(i)>0.143,u(i)=-1; else u(i)=1; endy1=x1;y2=x2;y3=x3;y4=x4; endfigure(1);stem(u) grid ontitle('输入信号')%-----产生白噪声信号------- A=19;x0=12;M=500; for k=1:l x=A*x0;x1=mod(x,M); v(k)=x1/512; x0=x1; endfigure(2);stem(v) title('白噪声信号')z=zeros(479,1);z(2)=0;z(1)=0;w=0.995;l=477;for k=3:479;z(k)=1.5*z(k-1)-0.7*z(k-2)+u(k-1)+0.5*u(k-2)+v(k);zstar(k)=z(k)*w^(l-k+2);endH=zeros(477,4);for k=1:477H(k,1)=-z(k+1)*w^(l-k);H(k,2)=-z(k)*w^(l-k);H(k,3)=-u(k+1)*w^(l-k);H(k,4)=-u(k)*w^(l-k);endestimate=inv(H'*H)*H'*(zstar(3:479))'辨识结果：estimate =-1.53760.6938-0.9780-0.4565最小二乘估计的递推算法的程序元代码：clearclc%-----产生M序列输入信号---------------------l=480;y1=1;y2=1;y3=1;y4=0;for i=1:l;x1=xor(y3,y4);x2=y1;x3=y2;x4=y3;y(i)=y4;if y(i)>0.143,u(i)=-1;else u(i)=1;endy1=x1;y2=x2;y3=x3;y4=x4;endfigure(1);stem(u)grid ontitle('输入信号')%-----产生白噪声信号-------A=19;x0=12;M=500;for k=1:lx1=mod(x,M);v(k)=x1/512;x0=x1;endfigure(2);stem(v)title('白噪声信号')z=zeros(479,1);z(2)=0;z(1)=0;for k=3:479;z(k)=1.5*z(k-1)-0.7*z(k-2)+u(k-1)+0.5*u(k-2)+v(k); endP=10^6*eye(4,4);e=zeros(4,478);e(:,1)=[P(1,1),P(2,2),P(3,3),P(4,4)];c=zeros(4,478);c(:,1)=[0.001 0.001 0.001 0.001]';K=[10;10;10;10];w=0.995;for k=3:479;h=[-z(k-1),-z(k-2),u(k-1),u(k-2)]';K=P*h*inv(h'*P*h+w);c(:,k-1)=c(:,k-2)+K*(z(k)-h'*c(:,k-2));P=(eye(4)-K*h')*P/w;e(:,k-1)=[P(1,1),P(2,2),P(3,3),P(4,4)];enda1=c(1,:);a2=c(2,:);b1=c(3,:);b2=c(4,:);ea1=e(1,:);ea2=e(2,:);eb1=e(3,:);eb2=e(4,:);figure(3);i=1:478;plot(i,a1,'r',i,a2,'y:',i,b1,'g',i,b2,':')title('最小二乘递推算法辨识曲线')axis([0,500,-2,2])figure(4);i=1:478;plot(i,ea1,'r',i,ea2,':',i,eb1,'g',i,eb2,':')title('最小二乘递推算法辨识误差曲线')axis([0,500,0,10])-2-1.5-1-0.500.511.52最小二乘递推算法辨识曲线012345678910二、自适应控制部分1、设有二阶系统，1)(122++=s a s a s D ，1)(=s N 。
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自适应控制习题
(徐湘元，自适应控制理论与应用，电子工业出版社，
2007)
【2-1】
设某物理量丫与XI 、X2、X3的关系如下：丫=0 1X1 + 0 2X2+0 3X3
由试验获得的数据如下表。
试用最小二乘法确定模型参数 0 1、0 2和0 3
X1:0.620.4
0.420.820.660.720.380.520.450.690.550.36
X2:12.014.214.612.110.88.2013.010.58.8017.014.212.8 X3:5.206.100.328.305.107.904.208.003.905.503.806.20 Y: 51.649.948.550.649.748.842.645.937.864.853.445.3
【2-3】
考虑如下模型
其中w(t)为零均值、方差为1的白噪声。
根据模型生成的输入/输出数据u(k)和y(k), 分别采用批处理最小二乘法、具有遗忘因子的最小二乘法(入 =0.95)和递推最小二乘法 估计模型参数(限定数据长度 N 为某一数值，如N=150或其它数值)，并将结果加以比 较。
【2-4】 对于如下模型
(1 _0.8z 1
0.15z 2
)y(k) 一(z 2
0.5z 3
)u(k) - (1 - 0.65z 1
- 0.1z 2
)w(k)
其中w(k)为零均值、方差为1的白噪声。
根据模型生成的输入/输出数据u(k)和y(k), 分别采用增广最小二乘法和随机逼近法进行模型参数估计，并比较结果。
(提示：w(t)可以用MATLAB^的函数“ randn ”产生)。
【3-1】 设有不稳定系统: (1z 1)y(k)
- z ^(10.9z 1)u(k)
期望传递函数的分母多项式为
Amz z m
r
且无稳态误差。
试按照极点配置方法设计控制系统，并写出控制表达式。
【3-2} 设有被控过程：一 -
_
(1 1.7z 1 0.6z 2)y(k)z 2(11.2z 1
)u(k) 一 ~
- 一
-
-1.3z
0.5z u(t)w(t)
I 0.3z 2
1 - - T ()(10.5
)，期望输出y 跟踪参考输入y ,
y(t)
给定期望传递函数的分母多项式为
(
1
)(1 0.6
1 0.08 2
)，试按照极点配置方 A m z
z
z
法设计控制系统，使期望输出无稳态误差，并写出控制表达式 u(k)。
【4-1】
设有一受控对象
z 2(1 - 0.5z 1)
1 0.65Z -1 0.1z -2
1
2
厂
y(t) 11.3z 一啡0.4z- u(t) J1.3z -什 0.4z w(t)
其中w(t)为零均值、方差为0.1的白噪声。
试按照最小方差控制方案设计控制器，并 计算其输出方差。
【4-3】 対于受控对象 A(z 1
)y(k)
z d
B(z 1
)u(k)C(z 1
)w(t)
-
-
若采用变形后的最小方差控制器
()()d (
1)
( ) (
1
)()，试画出最小
F z
uk z C z
y r k G z
yk
方差控制系统方框图。
并推导出y(k)的表达式。
一 皿
二=十 '一
•牛一 Q 朋 ~
【4-5】设受控对象的模型为：
(1 1.3z 1
0.35z 2
)y(k)z 2
(11.2z 1
)u(k)(10.9z 1
0.2z 2
)w(k)
其中w(t)为零均值、方差为0.1的白噪声。
试设计一个广义最小方差自校正控制器， 并进行数字仿真，观察参数收敛及输出变化过程。
戸
{
儿
-
十』
性能指标函数为：
2
[(2) ( )] 2 ( )} 【4-2】 设有一受控对象的ARMA 模型为: (1 1.2z 1
0.35z 2
)y(k)
-z 2
(0.5 0.8z 1
)u(k)
(1 0.95z 1
)w(k)
JE y k
y r k u k
试确定使系统稳定的加权系数 入的范围，并设计最小方差控制器。