高中数学专题讲义-数学归纳法

题型一：数学归纳法基础【例1】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111111112()2341242n n n n-+-++=+++-++时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立【例2】已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）A.n=k+1时命题成立B. n=k+2时命题成立C. n=2k+2时命题成立D. n=2（k+2）时命题成立【例3】某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）A ．当n=6时该命题不成立B ．当n=6时该命题成立C ．当n=8时该命题不成立D ．当n=8时该命题成立【例4】利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 132++k k【例5】用数学归纳法证明),1(11122*+∈≠--=++++N n a aa a a a n n，在验证n=1时，典例分析板块三.数学归纳法左边计算所得的式子是（ ）A. 1B.a +1C.21a a ++D. 421a a a +++【例6】用数学归纳法证明n n n n n 2)()2)(1(=+++ ))(12(31*∈+⋅⋅⋅⋅N n n ，从“k到k+1”左端需乘的代数式是（ ） A.2k+1 B.)12(2+k C.112++k k D.132++k k【例7】用数学归纳法证明：1+21+31+)1,(,121>∈<-+*n N n n n 时，在第二步证明从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ） A.k 2 B.12-k C.12-k D.12+k【例8】设)1()2()1()(-++++=n f f f n n f ，用数学归纳法证明“)()1()2()1(n nf n f f f n =-++++ ”时，第一步要证的等式是【例9】用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n ”（+∈N n ）时，从 “n k =到1n k =+”时，左边应增添的式子是__ __。

【例10】用数学归纳法证明不等式241312111>++++++n n n n 的过程中，由k 推导到k+1时，不等式左边增加的式子是【例11】是否存在常数c b a ,,是等式22222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-=++对一切)*N n ∈成立？证明你的结论。

题型二：证明整除问题【例12】若存在正整数m ，使得)(93)72()(*∈+-=N n n n f n 能被m 整除，则m =【例13】证明：)(,)3(1*∈+-N n x n 能被2+x 整除【例14】已知数列{}n a 满足1201a a ==，，当*n ∈N 时，21n n n a a a ++=+．求证：数列{}n a 的第41(*)m m +∈N 项能被3整除．【例15】 用数学归纳法证明：731(*)n n n +-∈N 能被9整除．【例16】设n 是任意正整数，求证：35n n +能被6整除．【例17】用数学归纳法证明：对于一切正整数n ，227433n n --能被264整除．【例18】2n (n ≥4且n ∈N *)个正数排成一个n 行n 列的数阵：第1列第2列第3列 …… 第n 列第1行 11a 12a 13a …… 1n a 第2行 21a 22a 23a…… 2n a…… …… …… …… …… …… 第n 行 1n a 2n a 3n a …… nn a 其中ik a (1≤i ≤n ，1≤k ≤n ，且i ，k ∈N )表示该数阵中位于第i 行第k 列的数.已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且23a =8，34a =20. (Ⅰ)求11a 和ik a ；(Ⅱ)设12(1)3(2)1n n n n n A a a a a --=++++，证明：当n 为3的倍数时，(n A n +)能被21整除.题型三：证明恒等式与不等式【例19】证明不等式111123212n n++++>-……（n N *∈）【例20】用数学归纳法证明：*n N ∈，22211131 (2321)nn n ++++≥+.【例21】证明：*n ∈N ，111111111......234212122n n n n n-+-++-=+++-++.【例22】用数学归纳法证明：221111tan tan tan cot cot (*)22222222n n n n m m n αααααα+++=-≠∈∈Z N π，，．【例23】是否存在常数a 、b 、c ，使等式)(12)1()1(32212222c bn an n n n n +++=+++⋅+⋅ 对一切正整数n 都成立？证明你的结论【例24】在数列}{n a 中，nnn a a a x a -+==+11,tan 11， （1）写出,,21a a 3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式【例25】用数学归纳法证明：222111arctanarctan arctanarctan (*)212221nn n n +++=∈⋅⋅⋅+N【例26】用数学归纳法证明：（Ⅰ）)12(2)1()12)(12(532311222++=+-++⋅+⋅n n n n n n ； （Ⅱ） n n ≤-+++++1214131211 ；【例27】对于2n ≥的自然数，证明：21n >+【例28】已知01a <<，求证：对任意大于1的自然数n ，21()1nna a n a a->-．题型四：数列中的数学归纳法【例29】设12,,...n a a a 均为正数，且12...1n a a a +++=，求证：当n ≥2的时候，22212...n a a a +++≥1n【例30】已知数列{}n a 中，11,02n n n na S a a =+->，求数列{}n a 的通项公式.【例31】在数列{}(*)n a n ∈N 中，11a =，n S 是它的前n 项和，当2n ≥时，12n n n a S S -，，成等比数列，求数列的通项公式．【例32】设整数数列{}n a 满足11a =，212a =，320a =，且32122n n n n a a a a +++=+-．证明：任意正整数n ， 114n n a a ++是一个整数的平方．【例33】由正实数组成的数列{}n a 满足：2112n n n a a a n +-=≤，，，．证明：对任意*n ∈N ，都有1n a n<．【例34】实数数列{}n a 定义如下114(1)12n n n a t a a a n t +==-=∈R ，，，，，已知20090a = ⑴证明：对任意*n ∈N ，01n a ≤≤；⑵问有多少个不同的t ，使得20090a =．【例35】两个实数数列{}n x 、{}n y 满足：11tan 3x y π==，1112n n n x y y n ++==+=，，证明：1n >时，23n n x y <<．【例36】在数列{}n a 中，若它的前n 项和1(*)n n S na n =-∈N ． ⑴计算1234a a a a ，，，的值；⑵猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．【例37】已知函数3()(1)1x f x x x +=≠-+，设数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=，数列{}n b 满足n n b a =-，n *∈N．用数学归纳法证明n b【例38】设数列1a ，2a ，…n a …中的每一项都不为0．证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=．题型五：其他类型题【例39】已知函数))((*N n n f ∈，满足条件：①2)2(=f ；② )()()(y f x f y x f ⋅=⋅；③ *)(N n f ∈；④当y x >时，有)()(y f x f >. (1) 求)1(f ，)3(f 的值；(2) 由)1(f ，)2(f ，)3(f 的值，猜想)(n f 的解析式； (3) 证明你猜想的)(n f 的解析式的正确性.【例40】数列{}n a ，2111,23()n n a a a n n n N *+==-+∈（Ⅰ）是否存在常数λ，μ使得数列{}2n a n n λμ++是等比数列，若存在求μλ、 的值，若不存在，说明理由。

（Ⅱ）设 112n n n b a n -=+-，123n n S b b b b =++++求证：2n ≥时，65(1)(21)3n n S n n <<++【例41】已知数列{}n a 满足：10a =，21221,12,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，2,3,4,n =．（Ⅰ）求567,,a a a 的值； （Ⅱ）设212n n na b -=，试求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）对于任意的正整数n ，试讨论n a 与1n a +的大小关系．。