微积分初步形成性考核册答案

微积分初步形成性考核册答案标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-微积分初步形成性考核作业（一）————函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ．解：020)2ln({>-≠-x x ， 23{>≠x x所以函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是),3()3,2(+∞⋃2．函数xx f -=51)(的定义域是 ．解：05>-x ，5<x 所以函数xx f -=51)(的定义域是)5,(-∞3．函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．解：⎪⎩⎪⎨⎧≥->+≠+04020)2ln(2x x x ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-->-≠2221x x x 所以函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是]2,1()1,2(-⋃--4．函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f．解：72)1(2+-=-x x x f 6)1(61222+-=++-=x x x 所以=)(x f 62+x 5．函数⎩⎨⎧>≤+=0e 02)(2x x x x f x ，则=)0(f ．解：=)0(f 2202=+6．函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．解：x x x f 2)1(2-=-1)1(11222+-=-+-=x x x ，=)(x f 12+x7．函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．解：因为当01=+x ，即1-=x 时函数无意义所以函数1322+--=x x x y 的间断点是1-=x8．=∞→xx x 1sinlim ． 解：=∞→x x x 1sinlim 111sinlim =∞→xx x9．若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．解： 因为24sin 44sin lim 4sin 4sin lim00===→→kkxkx x xk kx x x x 所以2=k 10．若23sin lim 0=→kxxx ，则=k ．解：因为2333lim 33lim 00===→→k x x sim k kx x sim x x所以23=k 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数解：因为y e e e e x y x x x x =+=+=-----22)()( 所以函数2e e xx y +=-是偶函数。

故应选B 2．设函数x x y sin 2=，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 解：因为y x x x x x y -=-=--=-sin )sin()()(22 所以函数x x y sin 2=是奇函数。

故应选A3．函数222)(xx x x f -+=的图形是关于（ ）对称．A ．x y =B ．x 轴C ．y 轴D ．坐标原点解：因为)(222222)()()(x f x x x f x x x x -=+-=+⋅-=----- 所以函数222)(xx x x f -+=是奇函数从而函数222)(xx x x f -+=的图形是关于坐标原点对称的因此应选D4．下列函数中为奇函数是（ ）．A ．x x sinB ．x lnC ．)1ln(2x x ++D ．2x x +解：应选C5．函数)5ln(41+++=x x y 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x 解：⎩⎨⎧>+≠+0504x x ，⎩⎨⎧->-≠54x x ，所以应选D6．函数)1ln(1)(-=x x f 的定义域是（ ）．A ． ),1(+∞B ．),1()1,0(+∞⋃C ．),2()2,0(+∞⋃D ．),2()2,1(+∞⋃解：⎩⎨⎧>-≠-010)1ln(x x ，⎩⎨⎧>≠12x x ， 函数)1ln(1)(-=x x f 的定义域是),2()2,1(+∞⋃，故应选D7．设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 解：1)1(2-=+x x f ]2)1)[(1()1)(1(-++=-+=x x x x)2()(-=x x x f ，故应选C8．下列各函数对中，（）中的两个函数相等．A ．2)()(x x f =，x x g =)(B ．2)(x x f =，x x g =)(C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(=D ．3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= 解：两个函数相等必须满足①定义域相同②函数表达式相同，所以应选D9．当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ ）. A ．x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2xx解：因为0)1ln(lim 0=+→x x ，所以当0→x 时，)1ln(x +为无穷小量，所以应选C10．当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 解：因为1)1(lim )(lim 20=+=→→x x f x x ，k f =)0(若函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则)(lim )0(0x f f x →=，因此1=k 。

故应选B11．当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3解：3)2(lim )(lim )0(0=+===→→x x x e x f f k ，所以应选D12．函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点解：当2,1==x x 时分母为零，因此2,1==x x 是间断点，故应选A三、解答题（每小题7分，共56分）⒈计算极限423lim 222-+-→x x x x ．解：423lim 222-+-→x x x x 4121lim )2)(2()2)(1(lim 22=+-=-+--=→→x x x x x x x x 2．计算极限165lim 221--+→x x x x解：165lim 221--+→x x x x 2716lim )1)(1()6)(1(lim 11=++=-++-=→→x x x x x x x x 3．329lim 223---→x x x x解：329lim 223---→x x x x 234613lim )3)(1()3)(3(lim 33==++=-+-+=→→x x x x x x x x 4．计算极限4586lim 224+-+-→x x x x x解：4586lim 224+-+-→x x x x x 3212lim )4)(1()4)(2(lim 44=--=----=→→x x x x x x x x 5．计算极限6586lim 222+-+-→x x x x x ．解：6586lim 222+-+-→x x x x x 234lim )3)(2()4)(2(lim 22=--=----=→→x x x x x x x x 6．计算极限xx x 11lim--→． 解：x x x 11lim--→)11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x xx x x x x x 21111lim-=+--=→x x7．计算极限xx x 4sin 11lim--→解：x x x 4sin 11lim--→)11(4sin )11)(11(lim 0+-+---=→x x x x x81)11(44sin 1lim 41)11(4sin lim00-=+--=+--=→→x xx x x xx x8．计算极限244sin lim-+→x x x ．解：244sin lim-+→x x x )24)(24()24(4sin lim++-+++=→x x x x x16)24(44[lim 4)24(4sin lim 00=++=++=→→x xxsim x x x x x微积分初步形成性考核作业（二）————导数、微分及应用一、填空题（每小题2分，共20分）1．曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的斜率是 ． 解：xx f 21)(='，斜率21)1(='=f k 2．曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 解：x e x f =')( ，斜率1)0(0=='=e f k所以曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是：1+=x y 3．曲线21-=xy 在点)1,1(处的切线方程是．解：2321--='x y ，斜率21211231-=-='==-=x x xy k所以曲线21-=xy 在点)1,1(处的切线方程是：)1(211--=-x y ，即：032=-+y x4．=')2(x． 解：=')2(xx x xx22ln 22ln 212=⋅5．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0) =．解：6)3)(2)(1()0(-=---='y6．已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '=．解：3ln 33)(2x x x f +='，)3(f '3ln 2727+=7．已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．解：x x f 1)(='，21)(xx f -='' 8．若x x x f -=e )(，则='')0(f．解：x x xe e x f ---=')(，x x x x x xe e xe e e x f -----+-=---=''2)()(， ='')0(f 2- 9．函数y x =-312()的单调增加区间是 ．解：0)1(6≥-='x y ，1≥x ，所以函数y x =-312()的单调增加区间是),1[+∞ 10．函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ．解：02)(≥='ax x f ，而0>x ，所以0≥a 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ） A ．单调增加 B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增2．满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ C ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 3．若x x f x cos e )(-=，则)0(f '=（ C ）． A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 4．设y x =lg2，则d y =（ B ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 5．．设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ D ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '-6．曲线1e 2+=x y 在2=x 处切线的斜率是（ C ）． A ．4e B ．2e C ．42e D ．2 7．若x x x f cos )(=，则='')(x f （ C ）．A ．x x x sin cos +B ．x x x sin cos -C ．x x x cos sin 2--D ．x x x cos sin 2+ 8．若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ C ）． A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos9．下列结论中（ B ）不正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．若)(x f 在[a ，b ]内恒有0)(<'x f ，则在[a ，b ]内函数是单调下降的. 10．若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微11．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）． A ．sin x B ．e x C ．x 2D ．3 - x 12.下列结论正确的有（ A）．A ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0B ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点C ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点三、解答题（每小题7分，共56分） ⒈设xx y 12e =，求y '．解：x x xxe xe xe x xe y 1121212)1(2-=-+='x e x 1)12(-=2．设x x y 3cos 4sin +=，求y '. 解：x x x y sin cos 34cos 42-=' 3．设xy x 1e 1+=+，求y '. 解：211121xex y x -+='+ 4．设x x x y cos ln +=，求y '. 解：x x x x x y tan 23cos sin 23-=-+=' 5．设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边微分：0)(22=+-+xdy ydx ydy xdx xdx ydx xdy ydy 22-=- dx xy xy dy --=226．设)(x y y =是由方程1222=++xy y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边对1222=++xy y x 求导，得：0)(222='++'+y x y y y x 0='++'+y x y y y x ，)()(y x y y x +-='+，1-='y dx dx y dy -='=7．设)(x y y =是由方程4e e 2=++x x y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边微分，得：02=+++xdx dy xe dx e dx e y y xdx x e e dy xe yxy)2(++-=，dx xexe e dy yy x 2++-= 8．设1e )cos(=++y y x ，求y d ． 解：两边对1e )cos(=++y y x 求导，得： 0)sin()1(='++'+-y e y y x y 0)sin()sin(='++'-+-y e y y x y y x )sin()]sin([y x y y x e y +='+- )sin()sin(y x e y x y y+-+=' dx y x e y x dx y dy y )sin()sin(+-+='=微积分初步形成性考核作业（三）———不定积分，极值应用问题一、填空题（每小题2分，共20分）1．若)(x f 的一个原函数为2ln x ，则=)(x f 2ln 2x x x c -+ 。