七年级下册数学期中复习(知识点与例题)

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期中重难点复习之填空题(三阶70题)—2023-2024学年七年级数学下册重难点(北师大版)(解析)

期中重难点复习之解答题分阶练（三阶45题）（基础篇、提高篇、压轴篇）实数基础题型1．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）解方程(1)()2429x −=；(2)()334375x −=−【答案】(1)112x =，272x = (2)=1x −【分析】本题考查利用平方根和立方根的定义解方程．（1）将4移到右边，两边同时开平方求解；（1）将3移到右边，两边同时开立方求解．【详解】（1）解：()2429x −=()2924x −=322x −=± 解得：112x =，272x =（2）解：()334375x −=−()34125x −=−45x −=−=1x −2．（23-24七年级下·广西防城港·阶段练习）计算题 (1)()2332731−+−−−(2)()239643+−−【答案】(1)1(2)4−【分析】（1）根据立方根定义及性质、算术平方根定义及性质化简后计算即可；（2）根据立方根定义及性质和算术平方根的定义及性质化简后计算即可．本题考查立方根定义及性质和算术平方根的定义及性质，熟练掌握相关定义及运算法则是解决问题的关键．【详解】（1）()2332731−+−−−()331=−+−−1=；（2）()239643+−−()343=+−−4=−． 3．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知某数的两个平方根分别为3a −和27a +．(1)求a 的值，并求这个正数．(2)求236a −的立方根．【答案】(1)10−，169(2)4−【分析】本题考查的是平方根、立方根．（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到关于a 的方程，求出a 的值即可得到答案；（2）先求出236a −的值，再根据立方根的定义进行求解即可．【详解】（1）解：由题意，得2730a a ++−=，解得：10a =−∴()331013a −=−−=，∴则这个数是：213169=．（2）由（1）知10a =−，∴2363610064a −=−=−∵3644−=−∴336a −的立方根是4−．4．（23-24七年级下·山东济宁·期中）（1）()2202331251283−+−−+−−−（2）2(2)|21|(21)−+−−+（3）33(4)375x −=−【答案】（1）2−，（2）0；（3）=1x − 【分析】本题考查实数的混合运算，利用立方根定义解方程，熟练掌握算术平方根与立方根是解题的关键．（1）先乘方，开方，并求绝对值，立方根，再计算加减即可；（2）先根据算术平方根化简，并求绝对值，去括号，再计算加减即可；（3）先方程两边同时除以3，再利用立方根定义解方程即可．【详解】解：（1）()2202331251283−+−−+−−−151223=−++−−−2=−；（2）2(2)|21|(21)−+−−+22121=+−−−0=；（3）33(4)375x −=−，∴()34125x −=−，∴45x −=−，解得：=1x −．5．（22-23八年级下·四川成都·期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程．223322333388=+=+①② 验证：()33222222222222333213−+=⨯===+−①； ()33223333333333888318−+=⨯===+−② (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：4415＝；5524＝； (2)通过上述探究你能猜测出：21n n n −＝（0n >），并验证你的结论．【答案】(1)4415+，5524+(2)21nn n +−，见解析【分析】本题考查了算术平方根的规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力．（1）根据所列等式及其验证过程即可求解；（2）根据所列等式及其验证过程即可猜想，进行验证；【详解】（1）解：根据所列等式及其验证过程可猜想4415＝4415+，5524＝5524+ 故答案为：4415+，5524+ （2）解：猜想21n n n −＝21n n n +−，验证如下： ()32322221111n n n n n n n n n n n n =−−+==−⨯−−21nn n =+−相交线平行线基础题型6．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，直线AB CD ，相交于点 O ，OM AB ⊥于点 O ．(1)若 12∠=∠，求证： ON CD ⊥；(2)若 41BOC ∠=∠，求 ,AOC MOD ∠∠的度数．【答案】(1)见详解(2)AOC ∠的度数为60︒，MOD ∠的度数为150︒．【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．（1）根据垂直定义可得，190AOC ∠+∠=︒，结合已知12∠=∠可得90CON ∠=︒，再根据CON ∠与NOD ∠互补，即可解答；（2）根据90AOM ∠=︒，可得901AOC ∠=︒−∠，再根据180AOD AOC ∠+∠=︒，41AOD ∠=∠，从而求出1∠的度数，即可求出AOC ∠和MOD ∠的度数．【详解】（1）解：OM AB ⊥，90AOM ∴∠=︒，190AOC ∴∠+∠=︒， 12∠=∠，290AOC ∴∠+∠=︒，即90NOC ∠=︒，18090NOD NOC ∴∠=︒−∠=︒．NOD ∴∠的度数为90︒；∴ON CD ⊥（2）解：OM AB ⊥，90BOM ∴∠=︒，41BOC ∠=∠，141BOM ∴∠+∠=∠，即90141︒+∠=∠，解得130∠=︒，903060AOC ∴∠=︒−︒=︒，1801150MOD ∠=︒−∠=︒．AOC ∴∠的度数为60︒，MOD ∠的度数为150︒．7．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，已知：AB PQ ∥，12A C ∠+∠=∠+∠．求证：AB CD ∥．【答案】证明见解析【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题关键．由平行线的性质，得到1A ∠=∠，进而得到2C ∠=∠，推出PQ CD ∥，即可证明结论．【详解】证明：AB PQ ∥，1A ∴∠=∠，12A C ∠+∠=∠+∠，2C ∴∠=∠，PQ CD ∴∥，AB CD ∴∥．8．（23-24七年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，AB CD ∥，EF 分别交AB ，CD 于点M ，N ，152∠=︒，MG 平分BMF ∠交CD 于点G ，求2∠的度数．【答案】64︒【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，先求解128BMF ∠=︒，64BMG ∠=︒，再利用平行线的性质可得答案．【详解】解：∵152∠=︒，∴1801128BMF ∠=︒−∠=︒，∵MG 平分BMF ∠， ∴1642BMG BMN ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴264BMG ∠=∠=︒，∴2∠的度数为64︒．9．（20-21七年级下·江苏南京·期末）如图，AD 是ABC 的角平分线，DF AB ，∥D E A C ．(1)求证ADE ADF ∠=∠；(2)若98B C ∠∠+=︒，则EDF ∠= ︒．【答案】(1)证明见解析(2)82【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平角的定义：（1）由角平分线定义，得BAD CAD ∠=∠，由两直线平行内错角相等，得到CAD EDA ∠=∠，BAD ADF ∠=∠，等量代换即可得证；（2）由平行线的性质得到C BDE B CDF ==∠∠，∠∠，再由平角的定义得到180B EDF C ++=︒∠∠∠，据此可得答案．【详解】（1）证明： ∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，∵∥DE A C ， ∴CAD EDA ∠=∠，∵DF AB ，∴BAD ADF ∠=∠，∴ADE ADF ∠=∠．（2）解：∵DF AB ，∥D E A C ，∴,B CDF C BDE ∠=∠∠=∠，∵180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=︒，∴180B EDF C ++=︒∠∠∠，∵98B C ∠∠+=︒，∴82EDF =︒∠，故答案为：82．10．（23-24七年级下·云南·期中）如图，直线,AB CD 相交于点O ，OE 把BOD ∠分成两部分．(1)AOC ∠的对顶角为________，∠BOE 的邻补角为________；(2)若70AOC ∠=︒，且23BOE EOD ∠∠=::，求DOE ∠的度数．【答案】(1)BOD ∠，AOE ∠(2)42︒【分析】（1）根据对顶角，邻补角的定义求解即可；（2）根据对顶角相等，邻补角互补求解即可．【详解】（1）解：由题意得：AOC ∠的对顶角为BOD ∠；∠BOE 的邻补角为AOE ∠，故答案为：BOD ∠，AOE ∠；（2）设2BOE x ∠=，23BOE EOD ∠∠=::，3EOD x ∴∠=，70AOC ∠=︒，70BOD EOD BOE AOC ∴∠=∠+=∠=︒，2370x x ∴+=︒，14x ∴=︒，342DOE x ∴∠==︒．【点睛】本题考查了对顶角，邻补角，解题的关键是掌握对顶角相等，邻补角互补三角形基础题型11．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，点、、A B C 都在格点上．(1)在网格中找到一点D ，点D 在格点上，并使得AD BC ∥且DC BC ⊥，连接AD ；(2)平移ABC ，使点B 平移到点D ，点A 的对应点为点E ，点C 的对应点为点F ，画出平移后的图形EDF ；(3)连接AE ，请直接写出三角形ADE 的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3【分析】本题考查平移作图，借助网格求三角形的面积．解题的关键是掌握平移规则，正确的作图．（1）根据AD BC ∥且DC BC ⊥，得到点D 的位置，连接AD 即可；（2）根据点B 平移到点D ，确定平移规则，画出EDF ，即可；（3）利用三角形的面积公式进行计算即可．【详解】（1）解：如图所示，AD 即为所求；（2）解：如图所示，EDF 即为所求；；（3）解：三角形ADE 的面积为12332⨯⨯=．12．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，AD 为ABC 的中线，BE 为ABD △的中线，过点E 作EF BC ⊥，垂足为点F ．(1)若35ABC ∠=︒，20EBD ∠=︒，45BAD ∠=︒，求DEF ∠的度数；(2)若ABC 的面积为20，2EF =，求CD ．【答案】(1)10DEF ∠=︒(2)5CD =【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理的应用，三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，数形结合．（1）根据三角形外角的性质得出453580EDF BAD ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，根据直角三角形两锐角互余求出结果即可；（2）根据三角形中线的性质得出152BDE ABD S S ==，根据12BDE S BD EF =⨯△，求出5BD =，即可得出答案．【详解】（1）解：∵35ABC ∠=︒，45BAD ∠=︒，∴453580EDF BAD ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵EF BC ⊥，∴90EFD ∠=︒，∴908010DEF ∠=︒−︒=︒；（2）解：∵AD 为ABC 的中线，ABC 的面积为20， ∴1102ABD ABC S S ==，∵BE 为ABD △的中线， ∴152BDE ABD S S ==， ∵12BDE S BD EF =⨯△， ∴1252BD ⨯=，解得：5BD =，∵AD 为ABC 的中线，∴5CD BD ==．13．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AD BC ∥，AB BC =，E 是AB 的中点，CE BD ⊥．(1)求证：BD CE =．(2)求证：AC 是线段ED 的垂直平分线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟记相关结论即可．（1）证BAD CBE ≌即可；（2）证AED △是等腰三角形，再证45EAM DAM ∠=︒=∠即可；【详解】（1）证明：如图所示：90ABC ∠=︒，BD EC ⊥，1390∴∠+∠=︒，2390∠+∠=︒，12∴∠=∠，在BAD 和CBE △中，2190BA CB BAD CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，(ASA)BAD CBE ∴≌△△，BD CE ∴=；（2）证明：E 是AB 中点，EB EA ∴=，BAD CBE ≌，∴AD BE =，AE AD ∴=，∴AED △是等腰三角形AD BC ∥，45DAM ACB ∴∠=∠=︒，=90DAE ∠︒，45EAM DAM ∴∠=︒=∠，∴AC 是线段ED 的垂直平分线．14．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，D 是ABC 的边AB 上一点，CF AB ∥，DF 交AC 于E 点，DE EF =．(1)求证：ADE CFE ≌；(2)若5AB =，4CF =，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)1【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选择合适的判定方法是解题的关键．（1）利用角角边定理判定即可；（2）利用全等三角形对应边相等可得AD 的长，用AB AD −即可得出结论．【详解】（1）证明：∵CF AB ∥，ADF F ∴∠=∠，A ECF ∠=∠．在ADE V 和CFE 中，A ECF ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AAS ADE CFE ∴≌．（2）解：∵ADE CFE ≌，4AD CF ∴==．541BD AB AD ∴=−=−=．15．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在ABC 中，A ABC ∠=∠，直线EF 分别交AB 、AC 和CB 的延长线于点D 、E 、F ，过点B 作BP AC ∥交EF 于点P ．(1)若70A ∠=︒，25F ∠=︒，求BPD ∠的度数．(2)猜想,,F FEC ABP ∠∠∠之间的数量关系并证明．【答案】(1)65︒(2)2F FEC ABP ∠+∠=∠，证明见详解【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．（1）由平行线的性质可得70ABP A ABC ∠=∠=︒=∠，由三角形的外角性质可求解；（2）由三角形内角和定理可得结论．【详解】（1）解：70A ABC ∠=∠=︒，//BP AC ，70ABP A ABC ∴∠=∠=︒=∠，18027040PBF ∴∠=︒−⨯︒=︒，254065BPD F PBF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）180F FEC C ∠+∠=︒−∠，180A ABC C ∠+∠=︒−∠，22F FEC A ABP ∴∠+∠=∠=∠．实数提高题型16．（22-23七年级下·四川德阳·期中）计算： (1)8136+ (2)20224−− (3)()239642−−− (4)318164259−+−+【答案】(1)15(2)2020(3)3− (4)23−【分析】本题考查实数的混合运算：（1）先开方，再进行加法运算即可；（2）先去绝对值，开方运算，再进行减法运算；（3）先进行开方运算，再进行减法运算；（4）先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算．【详解】（1）解：原式9615=+=；（2）原式202222020=−=；（3）原式3423=−−=−；（4）原式1122445241333=−+−+=−++=−． 17．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知2a b +与312b +互为相反数．(1)求23a b −的平方根；(2)解关于x 的方程420ax b +−=．【答案】(1)4±(2)9x =【分析】本题主要考查了非负数的性质，算术平方根的非负性，解一元一次方程，解题关键是根据非负数的性质，求出a 、b 的值．（1）根据非负数的性质求出24a b =⎧⎨=−⎩，再求出2316a b −=，再根据平方根定义求出结果即可；（2）把24a b =⎧⎨=−⎩代入方程，解方程即可．【详解】（1）解：根据题意得：02312b a b ++=+，∴203120a b b +=⎧⎨+=⎩，解得：24a b =⎧⎨=−⎩ ∴()23223441216a b −=⨯−⨯−=+=， ∵16的平方根为4±，∴23a b −的平方根为4±．（2）解：24(4)20x +⨯−−=，21620x −−=，9x =．18．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）计算： (1)3816432−+−；(2)()()281312214−−÷+− 【答案】(1)73−(2)73−【分析】本题主要考查了实数的运算：（1）先计算算术平方根和立方根，再去绝对值，最后计算加减法即可；（2）先计算算术平方根和立方根，再计算除法，最后计算加减法即可．【详解】（1）解：3816432−+−9423=−+−73=−；（2）解：()()281312214−−÷+−33212=−÷+−413=−−73=−．19．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）已知21a −的平方根是3±，31a b +−的算术平方根是4，c 是13的整数部分，求2a b c +−的平方根．【答案】6±【分析】本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义，估算无理数的大小等知识点，根据平方根的定义的219a −=，求出a ，根据算术平方根得出3116a b +−=，求出b ，再根据出13的范围，求出c ，最后求出答案即可．【详解】解：21a −的平方根是3±，219a ∴−=，解得：5a =，31a b +−的算术平方根是4，3116a b ∴+−=，即15116b +−=，解得：2b =，3134<<，c 是13的整数部分，3c ∴=，252236a b c ∴+−=+⨯−=，2a b c ∴+−的平方根是6±．20．（23-24七年级下·重庆渝北·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用21−来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：479<<，即273<<，7∴的整数部分为2，小数部分为()72−．请解答： (1)57的整数部分是，小数部分是．(2)如果13的的整数部分为a ，小数部分为b ，13ab a b m n ++=−，求mn 的平方根；(3)已知：95x y +=+，其中x 是整数，且01y <<，求x y −的相反数．【答案】(1)7，577−(2)6± (3)513-【分析】此题考查了估算无理数的大小，以及实数的运算，平方根的求解，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）估算出57的范围，即可得出答案；（2）分别确定出a 与b 的值，代入原式计算即可求出值；（3）根据题意确定出等式左边的整数部分得到x 的值，进而求出y 的值，即可求出所求．【详解】（1）解：495764<<，即7578<<，57∴的整数部分是7，小数部分是577−，故答案为：7，577−；（2）91316<<∵，即3134<<，13∴的整数部分是3，小数部分是133−，3a ∴=，133b =−，()31333133413913ab a b m n ∴++=−++−=−=−，4m ∴=，9n =，4936mn ∴=⨯=，mn ∴的平方根为366±=±，故答案为：6±；（3）459<<，即2133<<，119512∴<+<，95x y +=+，其中x 是整数，且01y <<，11x ∴=，91511152y =+−=−， ()111521315x y ∴−=−−=−，x y ∴−的相反数为1513−．相交线平行线提高题型21．（23-24七年级下·河南·阶段练习）如图，AB BF ⊥，CD BF ⊥，12∠=∠，360∠=︒．(1)求证：CD EF ∥；(2)若AF 平分BAE ∠，求2∠的度数．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】本题考查了垂直定义、平行线的性质和判定以及角平分线的定义．（1）由垂直定义证明AB CD ，再由12∠=∠，证明AB EF ∥，进而得到CD EF ∥；（2）由AB CD 得到3180EAB ∠+∠=︒，从而得到120EAB ∠=︒，再由AF 平分BAE ∠得到11602EAB ∠=∠=︒，则2∠的度数可求．【详解】（1）证明：∵AB BF ⊥，CD BF ⊥，∴90B CDF ∠=∠=︒，∴AB CD ，∵12∠=∠，∴AB EF ∥,∴CD EF ∥（2）∵AB CD ，∴3180EAB ∠+∠=︒，∵360∠=︒，∴1803120EAB ∠=︒−∠=︒，∵AF 平分BAE ∠， ∴11602EAB ∠=∠=︒，∵12∠=∠，∴260∠=︒．22．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如图，直线AB 和CD 相交于点,O OE 把AOC ∠分成两部分，且:3:5,AOE EOC OF ∠∠=平分∠BOE ．(1)若72BOD ∠=︒，求∠BOE 的度数；(2)若215BOF AOE ∠=∠+︒，求COF ∠的度数．【答案】(1)153︒(2)25︒【分析】本题考查求角度，涉及邻补角、对顶角相等、角平分线定义等知识，根据题中条件，结合图形，数形结合表示出各个角的和差倍分关系是解决问题的关键．（1）由对角线相等及已知条件，求出AOE ∠，再由邻补角定义求解即可得到答案；（2）由角平分线定义及已知条件，得到2430BOE BOF AOE ∠=∠=∠+︒，再由邻补角定义列式代值求解即可解得30AOE ∠=︒，数形结合表示出所要求的角即可得到答案．【详解】（1）解：72,:3:5AOC BOD AOE EOC ∠=∠=︒∠∠=，3278AOE AOC ∴∠=∠⨯=︒，180********BOE AOE ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒；（2）解：OF 平分∠BOE ，2430BOE BOF AOE ∴∠=∠=∠+︒，180BOE AOE ∠+∠=︒，即430180AOE AOE ∠+︒+∠=︒，解得30AOE ∠=︒，50,75EOC EOF BOF ∴∠=︒∠=∠=︒，755025COF ∴∠=︒=︒−︒．23．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图所示，直线,AB CD 相交于点O ，BOD BOE ∠=∠，OF 平分COE ∠．(1)判断OF 与OB 的位置关系，并说明理由；(2)若:1:5AOC AOD ∠∠=，求EOF ∠的度数．【答案】(1)⊥OF OB ，理由见解析(2)60︒【分析】此题主要考查了角平分线，垂线的定义以及邻补角的性质，正确得出各角之间的关系是解题关键．（1）根据题意得到12BOE DOE ∠=∠，12FOE COE ∠=∠，进而利用BOF BOE FOE ∠=∠+∠等量代换求解即可；（2）首先根据:1:5AOC AOD ∠∠=结合180AOC AOD ∠+∠=︒得到1180306AOC ∠=︒⨯=︒，然后根据垂线的性质求解即可．【详解】（1）∵BOD BOE ∠=∠，OF 平分COE ∠ ∴12BOE DOE ∠=∠，12FOE COE ∠=∠ ∴()111111809022222BOF BOE FOE DOE COE DOE COE COD ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠=⨯︒=︒ ∴⊥OF OB ；（2）∵:1:5AOC AOD ∠∠=，且180AOC AOD ∠+∠=︒ ∴1180306AOC ∠=︒⨯=︒∴30BOE DOB AOC ∠=∠=∠=︒∵⊥OF OB∴9060EOF BOE ∠=︒−∠=︒．24．（21-22七年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）（问题）如图（1），若AB CD ，40AEP ∠=︒，120PFD ∠=︒，求EPF ∠的度数．（2）问题迁移∶如图（2），AB CD ，点P 在AB 的上方，问PEA ∠，PFC ∠，EPF ∠之间有何数量关系？请说明理由．（3）联想拓展∶如图（3）所示，在（2）的条件下，已知50EPF ∠=︒，120PFC ∠=︒，PEA ∠的平分线和PFC ∠的平分线交于点G ，直接写出G ∠的度数．【答案】（1）100︒；（2）PFC PEA EPF ∠=∠+∠，理由见解析；（3）25︒【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．（1）根据平行线的性质与判定可求解；（2）过P 点作PN AB ，则PN CD ，可得FPN PEA FPE ∠=∠+∠，进而可得PFC PEA FPE ∠=∠+∠，即可求解；（3）过点G 作AB 的平行线，利用平行线的性质解答即可．【详解】解：（1）如图1，过点P 作PM AB ∥，1AEP ∴∠=∠，40AEP ∠=︒，140∴∠=︒， ∥AB CD ，PM CD ∴，2180PFD ∴∠+∠=︒，120PFD ∠=︒，218012060∴∠=︒−︒=︒，124060100∴∠+∠=︒+︒=︒，即100EPF ∠=︒；（2）PFC PEA EPF ∠=∠+∠，理由如下：如图2，过P 点作PN AB ，则PN CD ，PEA NPE ∴∠=∠，FPN NPE EPF ∠=∠+∠，FPN PEA EPF ∠=∠+∠∴，PN CD ∥，FPN PFC ∴∠=∠，PFC PEA EPF ∠=∠+∠∴；（3）如图3，过点G 作AB 的平行线GH ，GH AB ∥，AB CD ，GH AB CD ∴∥∥，HGE AEG ∴∠=∠，HGF CFG ∠=∠，又PEA ∠的平分线和PFC ∠的平分线交于点G ，12HGE AEG AEP ∴∠=∠=∠，12HGF CFG PFC ∠=∠=∠，由（2）可知，PFC EPF AEP ∠=∠+∠，1()2HGF EPF AEP ∴∠=∠+∠，111()222EGF HGF HGE EPF AEP AEP EPF ∴∠=∠−∠=∠+∠−∠=∠， 50EPF ∠=︒，25EGF ∴∠=︒．25．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，直线,AB CD 被直线,EF MN 所截．(1)若,,1115AB CD EF MN ∠=︒∥∥，试求3∠和4∠的度数；(2)本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果填空：如果一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角________；(3)利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少60︒，求这两个角的度数．【答案】(1)3115∠=︒，465∠=︒(2)相等或互补(3)这两个角的度数为30,30︒︒或60,120︒︒【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用；（1）先根据平行线的性质可得12115∠=∠=︒，再根据平行线的性质求出24180∠+∠=︒，23115∠=∠=︒，然后可得答案；（2）根据13115∠=∠=︒，14180∠+∠=︒可知这两个角相等或互补；（3）设其中一个角的度数为x ，另一个角的度数为360x −︒，根据这两个角相等或互补分情况列方程求解即可．【详解】（1）解：∥AB CD ，∴12115∠=∠=︒，∵EF MN ∥， 24180∴∠+∠=︒，23115∠=∠=︒，∴418011565∠=︒−︒=︒；（2）由（1）可得：13115∠=∠=︒，14180∠+∠=︒，∴如果一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，故答案为：相等或互补；（3）设其中一个角的度数为x ，另一个角的度数为360x −︒，根据题意得：360x x −︒=或360180x x −︒+=︒，解得30x =︒或60︒，当30x =︒时，36030x −︒=︒；当60x =︒时，360120x −︒=︒；所以这两个角的度数为30,30︒︒或60,120︒︒．三角形提高题型26．（22-23七年级下·辽宁锦州·期中）已知AM CN ∥，点B 在直线AM ，CN 之间，AB BC ⊥于点B ．(1)如图1，MAB ∠与NCB ∠之间满足的数量关系为______；(2)如图2，MAB ∠与NCB ∠之间满足怎样的数量关系？说明理由；(3)如图3，AD 平分MAB ∠，CE 平分NCB ∠交AM 于点E ，AD 与CE 交于点F ，请直接写出AFE ∠的度数．【答案】(1)90MAB NCB ∠+∠=︒(2)90NCB MAB ∠−∠=︒，理由见解析(3)45AFE ∠=︒【分析】本题主要考查了垂线的性质，平行线的性质，过点B 作BE AM ∥是解题的关键．（1）过点B 作BE AM ∥，利用平行线的性质即可求得结论；（2）过点B 作BE AM ∥，利用平行线的性质即可求得结论；（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．【详解】（1）解：过点B 作BE AM ∥，如图，BE AM ∥，A ABE ∴∠=∠．BE AM ∥，AM CN ∥，BE CN ∴∥．C CBE ∴∠=∠．AB BC ⊥，90ABC ∴∠=︒．90A C ABE CBE ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒．故答案为：90MAB NCB ∠+∠=︒；（2）MAB ∠与NCB ∠满足：90NCB MAB ∠−∠=︒．理由：过点B 作BE AM ∥，如图，BE AM ∥，A ABE ∴∠=∠．BE AM ∥，AM CN ∥，BE CN ∴∥．180C CBE \Ð+Ð=°．180CBE C ∴∠=︒−∠．AB BC ⊥，90ABC ∴∠=︒．90ABE CBE ∴∠+∠=︒．18090A C ∴∠+︒−∠=︒．90NCB MAB ∴∠−∠=︒．（3）∵AD 平分MAB ∠， ∴12MAD MAB ∠=∠，∵CE 平分NCB ∠， ∴12ECN BCN ∠=∠，∵AM CN ∥，∴180ECN AEF ∠+∠=︒， ∴11801802AEF ECN BCN ∠=︒−∠=︒−∠，∴180AFE MAD AEF ∠=︒−∠−∠ ∴1118018022AFE MAB BCN ⎛⎫∠=︒−∠−︒−∠ ⎪⎝⎭，即()12AFE BCN MAB ∠=∠−∠ 由（2）知：90BCN MAB ∠−∠=︒，∴45AFE ∠=︒．故答案为：45︒．27．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四边形ABCD 中，90,,︒∠=⊥∥ABC AD BC DE AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE AC =．(1)求证：ABC AFE ≌；(2)如图2，连接AG ，若30ACB ∠=︒，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是BEG 面积的2倍．【答案】(1)见详解(2)AEG ACG ACD ADG CDG △,△,△,△,△【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及共高三角形面积比等于底之比，熟练掌握基本知识是解题的关键；（1）用AAS 即可证明ABC AFE ≌；（2）先证明BA BE =，则2AEG BEG S S =△△，再证明AEG ACG △≌△，则2ACG BEG S S =△△，由ACG 与CDG 同底等高，得2GCD BEG S S =△△，再证明ADC AGC △△≌，则2ACD BEG S S =△△，最后ACG 与CDG 同底等高，得ACG GCD S S =△△，所以2GCD BEG S S =△△．【详解】（1）证明：∵DE AC ⊥90AFE ∴∠=︒90ABC ∠=︒∴AFE ABC ∴∠=∠∴在ABC 和AFE △中，ABC AFE BAC FAE AC AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC AFE ≌；（2）∵ABC AFE ≌∴AB AF =，∵AG AG =，∴()Rt Rt HL ABG AFG ≌，∴12∠=∠∵30ACB ∠=︒， ∴11260302∠=∠=⨯︒=︒∵ABC AFE ≌，AE AC =∴30ACB E ∠=︒=∠，∴1E ∠=∠，∴GA GE =，∵90ABC ∠=︒，∴BA BE =，∴2AEG BEG S S =△△∵AG AG = 12∠=∠，AE AC =,∴AEG ACG △≌△，∴2ACG BEG S S =△△∵AD BC ∥∴ACG 与CDG 同底等高，∴ACG GCD S S =△△, ∴2GCD BEGS S =△△ ∵1230∠=∠=︒，∴30DAC ∠=︒，∴230DAC ∠=∠=︒,∴60ADG AGD ∠=∠=︒，∴AD AG =，∵AC AC =，∴ADC AGC △△≌，∴2ACD BEG S S =△△，∵AD BC ∥∴ACD 与DAG 同底等高，∴ACD GAD S S =△△， ∴2AGD BEG S S =△△，∴AEG ACG ACD ADG CDG △,△,△,△,△的面积为BEG 面积的2倍．28．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）【感知】如图①，在ABC 中，BP 、CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线．【应用】（1）若40ABC ∠=︒，80ACB ∠=︒，则BPC ∠=________；（直接写出答案）（2）若80BAC ∠=︒，求出BPC ∠的度数；（3）写出BPC ∠与A ∠之间的关系并证明；【拓展】（4）如图②，在四边形ABCD 中，BP 、CP 分别是ABC ∠和BCD ∠的角平分线，直接写出BPC ∠与A D∠+∠的数量关系．【答案】（1）120︒；（2）130BPC ∠=︒；（3）1902BPC A ∠=︒+∠；证明见解析；（4）2A D BPC ∠+∠=∠【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可；（2）根据角平分线，三角形内角和定理求解；（3）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解；（4）结合（3）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解．【详解】解：（1）∵、BP CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，40ABC ∠=︒，80ACB ∠=︒， ∴11204022PBC ABC PCB ACB ==︒==︒∠∠，∠∠，∴112800BPC PBC PCB ︒=︒∠=−∠−∠．（2）∵、BP CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线， ∴12PBC ABC ∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， ∴()111801801809022BPC PBC PCB BAC BAC ∠=︒−∠−∠=︒−︒−∠=︒+∠， ∵80BAC ∠=︒， ∴1190908013022BPC BAC ∠=︒+∠=︒+⨯︒=︒．（3）1902BPC A ∠=︒+∠；理由如下：∵、BP CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线， ∴12PBC ABC ∠=∠，12PCB ACB ∠=∠，∴180BPC PBC PCB ∠=︒−∠−∠()180PBC PCB =︒−∠+∠ ()11802ABC ACB =︒−∠+∠ ()11801802A =︒−︒−∠1902A =+∠︒；（4）2A D BPC ∠+∠=∠．如图，延长BA CD ，，交于点E ，由（3）知，1902BPC E ∠=︒+∠，∵,BAD E ADE CDA E DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，∴180BAD CDA E E ADE DAE E ∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒+∠，∴180E BAD CDA ∠=∠+∠−︒， ∴1902BPC E ∠=︒+∠()1901802BAD CDA =︒+∠+∠−︒()190902BAD CDA =︒+∠+∠−︒ ()12BAD CDA =∠+∠，即2BAD CDA BPC ∠+∠=∠．29．（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形ABCD 中，120AB AD BAD =∠=︒，，90ABC ADC ∠=∠=︒，且60EAF ∠=︒，求证：EF BE FD =+．（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E F 、分别是BC CD 、上的点，且12EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）结论EF BE FD =+仍然成立；理由见解析【分析】本题主要考查的是三角形的综合题，主要涉及三角形全等的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键．（1）延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，根据SAS 证明ABE ADG △≌△可得AE AG =，再证明AEF AGF ≌，可得EF FG =，即可得出结论；（2）延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，根据SAS 证明ABE ADG △≌△可得AE AG =，再证明AEF AGF ≌，可得EF FG =，即可得出结论．【详解】证明：如图，延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，在ABE 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE ADG ∴≌，AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，60EAF ∠=︒，120BAD ∠=︒，60GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠−∠=︒=∠，GAF EAF ∴∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AEF AGF ∴≌，EF FG ∴=， FG DG DF BE DF =+=+，EF BE DF ∴=+；（2）结论EF BE DF =+仍然成立，理由如下：如图，延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，在ABE 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE ADG ∴≌，AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，12EAF BAD ∠=∠，GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠−∠=∠，GAF EAF ∴∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AEF AGF ∴≌，EF FG ∴=， FG DG DF BE DF =+=+，EF BE DF ∴=+．30．（22-23八年级上·辽宁营口·期中）如图所示，在ABC 中，24cm AB AC ==，18cm BC =，B C ∠=∠，D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上由点B 出发向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上由点C 出发向点A 运动，设运动时间为(s)t ．(1)若点P 与点Q 的速度都是3cm/s ，则经过多长时间BPD △与CQP V 全等？请说明理由．(2)若点P 的速度比点Q 的速度慢3cm/s ，则经过多长时间BPD △与CQP V 全等？请求出此时两点的速度．(3)若点P 、点Q 分别以（2）中的速度同时从点B ，C 出发，都按逆时针方向沿ABC 三边运动，则经过多长时间点P 与点Q 第一次相遇？相遇点在ABC 的哪条边上？请求出相遇点到点B 的距离．【答案】(1)2s ，理由见解答过程(2)经过1s ，点P 的速度是9cm/s ，则点Q 的速度是12cm/s 时，BPD △与CQP V 全等(3)经过16s 点P 与点Q 第一次相遇，在BC 边上相遇，相遇点到点B 的距离为12cm【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用；（1）根据等腰三角形的性质可得出B C ∠=∠，由点P 、Q 同速同时出发可得出BP CQ =，结合全等三角形的判定定理可得出当BD CP =时BPD △与CPQ 全等，进而即可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设点P 的速度为x cm/s ，则点Q 的速度为s (3)cm/x +，由BP CQ ≠、B C ∠=∠结合全等三角形的性质可得出BD CQ =、BP CP =，进而即可得出关于t 、x 的方程组，解之即可得出结论；（3）根据路程=速度⨯时间结合点P 、Q 相遇，即可得出关于t 的一元一次方程，解之可求出t 值，由点P 的路程=点P 的速度⨯运动时间可求出点P 的路程，再结合CA 、AB 、BC 的长度，即可找出点P 、Q 第一次相遇时的位置，此题得解．【详解】（1）点P 与点Q 的速度都是3cm/s ，3BP CQ t ∴==，B C ∠=∠，24AB AC ==，18BC =，∴要使BPD △与CQP V 全等，则需BD CP =，即18312t −=，2t s ∴=，即经过2s 的时间BPD △与CQP V 全等；（2）设点P 的速度是x cm/s ，则点Q 的速度是s (3)cm/x +，BP xt ∴=，(3)CQ x t =+，BP CQ ∴≠，B C ∠=∠，要使BPD △与CQP V 全等，则需BD CQ =，BP CP =，∴(3)1218x t xt xt +=⎧⎨=−⎩，解得：91x t =⎧⎨=⎩，∴经过1s ，点P 的速度是9cm/s ，则点Q 的速度是12cm/s 时，BPD △与CQP V 全等；（3）设经过()t s 点P 与点Q 第一次相遇，则12948t t −=，16()t s ∴=，P ∴的路程916144=⨯=，144(242418)212=++⨯+，∴经过16s 点P 与点Q 第一次相遇，在BC 边上相遇，相遇点到点B 的距离为12cm ．实数压轴题型31．（20-21七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知322x x −+=，且331y −与312x −互为相反数，求x ，y 的值．【答案】3x =，2y =，或者1x =，23y =，或者2x =，43y = 【分析】将等式322x x −+=变型为322x x −=−，再两边同时立方，得到()322x x −=−，再采用因式分解法求出x 的值，再根据相反数的定义求出y 的值，问题随之解得．【详解】322x x −+=，322x x −=−，()322x x −=−， ()()3220x x −−−=，()()22120x x ⎡⎤−−−=⎣⎦，()()()212120x x x −−−+−=()()()3120x x x −−−=，∴30x −=，或者10x −=，或者20x −=，∴3x =，或者1x =，或者2x =， ∵331y −与312x −， ∴3331120y x −+−=， ∴333112y x −=−−， ∴1321x y −=−， ∴23xy =，当3x =时，2y =，当1x =时，23y =，当2x =时，43y =，即3x =，2y =，或者1x =，23y =，或者2x =，43y =．【点睛】本题主要考查了采用因式分解法解方程，相反数的定义，立方根的性质等知识，求出3x =，或者1x =，或者2x =，是解答本题的关键．32．（22-23八年级上·河南周口·期中）如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示2−，设点B 所表示的数为m .(1)m = ______.(2)求11m m ++−的值；(3)在数轴上还有C 、D 两点分别表示实数c 和d ，且有26c +与4d −互为相反数，求23c d +的平方跟.【答案】(1)2+2−(2)2 (3)22±【分析】（1）根据两点间的距离公式计算即可；（2）由（1）可得10m +>、10m −<，再利用绝对值的性质化简绝对值号，最后合并同类项即可解答；（3）根据绝对值和算术平方根的非负性质求出c 、d 的值，再代入23c d +，进而求其平方根即可．【详解】（1）解：∵蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示2−∴点B 表示2+2− ∴2+2m =−．故答案为：2+2−．（2）解：∵2+2m =− ∴1221230m +=−++=−+>，1221210m −=−+−=−+<∴11m m ++−()11m m =+−−11m m =+−+2=．（3）解：∵24c +与4d −互为相反数 ∴2440c d ++−= ∴2+4=0c ，40d −=∴2c =−，=4d∴2+32(2)+348=⨯−⨯=c d ∴2+3822±=±=±c d ，即2+3c d 的平方根是22±．【点睛】本题主要考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等知识点，掌握并灵活运用相关性质是解题的关键．33．（22-23七年级上·广东茂名·期中）观察下面由“※”组成的图案和算式，并解答问题：21324+==，213539++==，21357416+++==，213579525++++==．(1)试猜想13579...37++++++= ( )2 = ；(2)试猜想()1357...21n ++++++= ( )2(用含n 的代数式表示结果）；(3)按上述规律计算101103105...201920212023++++++的值．【答案】(1)19，361(2)1n +(3)1021644【分析】（1）（2）通过观察不难发现，从1开始的连续奇数的和等于首项加尾项的一半的平方，根据此规律列式计算可得答案；（3）根据上述所发现的规律，101103105...201920212023++++++的值等于13...20212023++++减去13...9799++++ ．【详解】（1）13579...37++++++=22137193612+⎛⎫== ⎪⎝⎭ ；故答案为19，361（2）()1357...21n ++++++=()2212112n n ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ；故答案为1n +（3）101103105...201920212023++++++＝（13...20212023++++）− （13...9799++++）＝22221202319910125022++⎛⎫⎛⎫−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1021644=【点睛】本题考查有理数求和的有关规律，关键是仔细观察题干，总结出共性规律．34．（22-23七年级上·广东佛山·期中）定义一种新运算“f ”：()f n 表示n 在运算f 作用下的结果．若()()221f n n n =−−表示n 在运算f 作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：()()2211111f =−−=，()()2222213f =−−=，()()2233315f =−−=， ……根据以上定义完成以下问题：(1)计算()20f 的值；(2)计算()()()()12320f f f f ++++的值； (3)计算()()()()()()()()11111223341920f f f f f f f f ++++⨯⨯⨯⨯的值．【答案】(1)39(2)400(3)1939【分析】（1）根据新运算()()221f n n n =−−，令20n =即可求得()20f 的值；（2）利用新运算()()221f n n n =−−可分别求得()()()()12320f f f f 、、、、的值，代入()()()()12320f f f f ++++即可求解；（3）把()()()()12320f f f f 、、、、的值，代入所求的算式计算即可求解．【详解】（1）解：当20n =时，()()22222020201=2019=39f =−−−；（2）解：∵()()2211111f =−−=， ()()2222213f =−−=，()()2233315f =−−=，……，()()22222020201=2019=39f =−−−∴()()()()12320f f f f ++++ ()()()()2222222211122133120201=−−+−−+−−++−−222222221021322019=−+−+−++− 22020=−+ 400=（3）解：()()()()()()()()11111223341920f f f f f f f f ++++⨯⨯⨯⨯ 11111335573739=++++⨯⨯⨯⨯ 1111111111112323525723739⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−+−++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111112335573739⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−+−++−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111239−=⎛⎫ ⎪⎝⎭138239=⨯ 1939=【点睛】本题考查了新运算的有关计算及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键． 35．（22-23八年级上·四川资阳·阶段练习）阅读材料：如果一个数的平方等于1−，记为21i =−，这个数i 叫做虚数单位，那么形如(a bi a +，b 为实数）的数就叫做复数，a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2)(34)(23)(14)53i i i i ++−=++−=−；2(3)331i i i i i +=+=−．②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如12i +的共轭复数为12i −．根据材料回答：(1)填空：3i =______，4i =________；(2)求(2)(2)i i ++的共轭复数；(3)已知()()13a i b i i ++=+，求222342020()a b i i i i +++⋯+的值．【答案】(1)i −，1(2)34i −(3)4i −或14i −【分析】（1）根据21i =−，则32i i i =g ，422i i i =g ，然后计算；（2）根据完全平方公式计算，出现2i ，化简为1−计算，再根据共轭复数的定义即可求解；（3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得a ，b 的值，再代入计算即可求解．【详解】（1）解：21i =−， 321i i i i i ∴==−=−，4221(1)1i i i ==−⨯−=；故答案为：i −，1．（2）22(2)4414434i i i i i +=++=−++=+，故2(2)+i 的共轭复数是34i −；（3）()()1()13a i b i ab a b i i ++=−++=+，11ab ∴−=，3a b +=，解得1a =，2b =或2a =，1b =，当1a =，2b =时，222342020()14(11111)14a b i i i i i i i i i +++⋯+=+−−++⋯++−−+=−；当2a =，1b =时，222342020()41(11111)4a b i i i i i i i i i +++⋯+=+−−++⋯++−−+=−．故222342020()a b i i i i +++⋯+的值为4i −或者14i −．【点睛】本题考查了实数的运算、完全平方公式，是信息给予题，解题步骤为：（1）阅读理解，发现信息；（2）提炼信息，发现规律；（3）运用规律，联想迁移．相交线平行线压轴题型36．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，AB CD ，点O 为AB 上方一点，E F 、为CD 上两点，连接OE OF 、，分别交AB 于M N 、两点，OE OF ⊥．(1)如图1，求证：90OFD OMN ∠−∠=︒；(2)如图2，点G 为EF 上一点，连接MG ，作NH MG ⊥垂足为H ，NMH NFG ∠=∠，求证：OM NH ∥；(3)如图3，在（2）的条件下，连接GN 并延长GN 到点P ，连接EP ，若:3:5NGF MGF ∠∠=，:2:5OEP OEG ∠∠=，求P ∠的度数．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)54°【分析】本题考查平行线的判定和性质，垂线的定义，角的运算，掌握相关的知识是解题的关键（1）过点O 作OQ AB ∥，根据平行线的判定和性质，结合垂线的定义求证即可；。

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苏教版七年级下数学期中复习复习因式分解和乘法公式1．把下列各式分解因式：（1）（x +1）2﹣；（2）3ax 2+6axy +3ay 2．2．若x +y =3，且（x +2）（y +2）=12．（1）求xy 的值；（2）求x 2+3xy +y 2的值．3．当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a +2b ）（a +b ）=a 2+3ab +2b 2．（1）由图2，可得等式：．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 a +b +c =11，ab +bc +ac =38，求a 2+b 2+c 2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式： 2a 2+5ab +2b 2=（2a +b ）（a +2b ）；（4）小明用2 张边长为a 的正方形，3 张边长为b 的正方形，5 张边长分别为a 、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为．4.若x ，y ，z 满足(x －y)2＋(z －y)2＋2y 2－2(x ＋z)y ＋2xz ＝0，且x ，y ，z 是周长为48的一个三角形的三条边长，求y 的长．5. 若多项式()16322+-+x m x 能够用完全平方公式分解因式，则m 的值为．6、不论x 、y 为何有理数，x 2 +y 2－10x+8y+45的值均为 ( )A ．正数B ．零C ．负数D ．非负数7．现有纸片：4张边长为a 的正方形，3张边长为b 的正方形，8张宽为a 、长为b 的长方形，用这15张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形的长为（） A ．2a ＋3b B ．2a ＋b C ．a ＋3b D ．无法确定 8．若M ＝3a 2－a －1，N ＝－a 2＋3a －2，则M 、N 的大小关系为 ( )A ．M>NB ．M<NC ．M ≤ND ．M ≥N 9、（1）计算：832+83×34+172=________．（2）①a 2－4a+4，②a 2+a+14，③4a 2－a+14，④4a 2+4a+1，以上各式中属于完全平方式的有______ （填序号）10．如果有理数a 、b 同时满足(2a ＋2b ＋3)(2a ＋2b －3)＝55，那么a ＋b 的值为_______． 11．若m ﹣n=6，且mn+a 2+4a+13=0，则（2m+n ）a 等于． 12．若代数式x 2－6x ＋m 可化为（x 一n ）2＋1，则m －n ＝13、若是xy m x 822++一个完全平方式，则m =__________．14、若代数式()(3)x m x ++的展开式中不含x 得一次项，则m 的值为________． 15、已知a 2＋a －3＝0，那么a 2(a ＋4)的值是复习平行线和三角形的相关知识1．如图，矩形纸片按图（1）中的虚线第一次折叠得图（2），折痕与矩形一边的形成的∠1＝65°，再按图（2）中的虚线进行第二折叠得到图（3），则∠2的度数为（） A ．20° B ．25° C ．30° D ．35°2．已知三角形的两边分别为a 和b (a >b )，三角形的第三边x 的范围是 2＜x ＜6，则ba ＝． 3．一个正三角形和一副三角板（分别含30°和45°）摆放成如图所示的位置，且AB ∥CD ．则∠1＋∠2＝． 4.【课本引申】我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？【尝试探究】(1) 如图1，∠DBC 与∠ECB 分别为△ABC 的两个外角，试探究∠A 与∠DBC ＋∠ECB 之间存在怎样的数量关系？为什么？【初步应用】(2) 如图2，在△ABC 纸片中剪去△CED ，得到四边形ABDE ，若∠1+∠2＝230°，则剪掉的∠C ＝_________；(3) 小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC 中，BP 、CP 分别平分外角∠DBC 、图2A BC D E（图1） ABCD E 1 2（图2）ABC D EP （图3）BADC21 （第3题）∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请直接写出答案_．【拓展提升】(4) 如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由)5．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，∠A=30°，∠C=45°△COD固定不动，△AOB绕着O点顺时针旋转α°（0°< α <180°）（1）若△AOB绕着O点旋转图2的位置，若∠BOD=60°，则∠AOC=________；（2）若0°<α<90°，在旋转的过程中∠BOD+∠AOC的值会发生变化吗?若不变化，请求出这个定值；（3）若90°< α <180°，问题（2）中的结论还成立吗?说明理由；（4）将△AOB绕点O逆时针旋转α度（0°< α <180°），问当α为多少度时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直?（请直接写出所有答案）．6. 如图，BC⊥ED于O，∠A＝45°，∠D＝20°，则∠B＝________°.7．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝23度，那么∠2＝度．8．如图，△ABC中，∠A＝35°，沿BE将此三角形对折，又沿BA' 再一次对折，点C落在BE上的C'处，此时∠C'DB＝85°，则原三角形的∠ABC的度数为．9．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积．ABCDE FP（图4）图1ABDC图2BDCAO O第6题第7题第8题10．已知AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿AD 所在直线对折，点C 落在点E 的位置（如图），则∠EBC 等于度．11.如图，AB ＝a ，P 是线段AB 上任意一点（点P 不与A 、B 重合），分别以AP ，BP 为边作正方形APEF 、正方形PBCD ，点E 在边PD 上．设AP ＝x ．（1）求两个正方形的面积之和S ；（2）分别连接AE 、CE 、AC ，计算△AEC 的面积，并在图中找出一对面积相等的三角形（等腰直角三角形除外）．12．（10分）概念学习在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角．如果两个角相加等于360°，那么称这两个角互为组角，简称互组．（1）若∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，则∠2＝ ▲ °理解应用习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形．（2）如图①，在镖形ABCD 中，优角∠BCD 与钝角∠BCD 互为组角，试探索内角∠A 、∠B 、∠D 与钝角∠BCD之间的数量关系，并说明理由．拓展延伸（3）如图②，已知四边形ABCD 中，延长AD 、BC 交于点Q ，延长AB 、DC 交于P ，∠APD 、∠AQB 的平分线交于点M ，∠A ＋∠QCP ＝180°．①写出图中一对互组的角 ▲ （两个平角除外）；②直接运用（2）中的结论，试说明：PM ⊥QM ．C DBA图①PQMDC BA图② （第11题）FE D CPB AG13．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．(1)AB 平行于CD ，如图①，点P 在AB 、CD 外部时，由AB ∥CD ，有∠B ＝∠BOD ，又∠BOD 是△POD 的外角，故∠BOD ＝∠BPD ＋∠D ，得∠BPD ＝∠B －∠D ．如图②，将点P 移到AB 、CD 内部，以上结论是否成立？若不成立，则∠BPD 、∠B 、∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；(2)在图②中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，如图③，则∠BPD 、∠B 、∠D 、∠BQD 之间有何数量关系？（不需证明）(3)根据(2)的结论求图④中∠4＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．14、如图，直线AB 与直线CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为O ，∠EOD=21∠AOC ，则∠BOC=（） A ．150° B ．140° C ．130° D ．120° 第5题15、一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为________. 16．如图，ABCDE 是封闭折线，则∠A 十∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 为_______度．17．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝150°，则∠θ的度数是_______．18．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=54°，点D 为AB 中点，且OD ⊥AB ，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，则∠OEC 为度．19．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，直接写出∠ABO的度数=．20．我们知道，等腰三角形的两个底角相等，即在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C（如图①所示）．请根据上述内容探究下面问题：（1）如图②，已知在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠DAE=90°，动点D在BC 边上运动，试证明CD=BE且CD⊥BE．（2）如图③，在（1）的条件下，若动点D在CB的延长线上运动，则CD与BE垂直吗？请在横线上直接写出结论，不必给出证明，答：．（3）如图④，已知在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠DAE=90°，动点D在△ABC 内运动，试问CD⊥BE还成立吗？若成立，请给出证明过程．（4）如图④，已知在△ABC 和△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，∠CAB=∠DAE=x °（90＜x ＜180），点D 在△ABC 内，请在横线上直接写出直线CD 与直线BE 相交所成的锐角（用x 的代数式表示）．答：直线CD 与直线BE 相交所成的锐角．复习不等式中的几种题型1、若()23280m m x y--++=是关于x ,y 的二元一次方程，=m ________.。

七年级数学下册期中复习资料(1)(含答案)

七年级下册期中复习资料（1）(100分 90分钟)一、选择题：(每题3分,共33分) 1.如图,AB ∥ED,∠B+∠C+∠D=( )A.180°B.360°C.540°D.270° 2.若点A(x,3)与点B(2,y)关于x 轴对称,则( )A.x=-2,y=-3;B.x=2,y=3;C.x=-2,y=3;D.x=2,y=-3 3.三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.无法确定 4.有两边相等的三角形的两边长为3cm,5cm,则它的周长为( ) A.8cm B.11cm C.13cm D.11cm 或13cm 5.若点A(m,n)在第二象限,那么点B(-m,│n │)在( )A.第一象限B.第二象限;C.第三象限D.第四象限6.已知点P 在第三象限,且到x 轴的距离为3,到y 轴的距离为5,则点P 的坐标为( • ) A.(3,5) B.(-5,3) C.(3,-5) D.(-5,-3)7.如图,已知EF ∥BC,EH ∥AC,则图中与∠1互补的角有( )A.3个B.4个C.5个D.6个 8.三角形是( )A.连结任意三点组成的图形B.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形C.由三条线段组成的图形D.以上说法均不对9.三条共点直线都与第四条直线相交,一共有( )对对顶角. A.8 B.24 C.7 D.12 10.△ABC 中,∠A=13∠B=14∠C,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.直角三角形;C.钝角三角形D.都有可能 11.学校的操场上,升旗的旗杆与地面关系属于( )A.直线与直线平行;B.直线与平面平行;C.直线与直线垂直;D.直线与平面垂直二、填空题:(每题3分,共21分) 12.如图,AB ∥CD,直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F,EG 平分∠BEF,若∠1=72°,•则∠2=________度. 13.已知点M(a,-1)和N(2,b)不重合. (1)当点M 、N 关于_______对称时,a=2,b=1(2)当点M 、N 关于原点对称时,a=__________,b=_________. 14.若A(a,b)在第二、四象限的角平分线上,a 与b 的关系是_________.DA ECB1FE D BA G21F EDCBA G15.两根木棒长分别为5和7,要选择第三根木棒将其钉成三角形,•若第三根木棒的长选取偶数时,有_______种选取情况.16.一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为1680°,•那么这个多边形的边数为________. 17.n 边形的对角线的条数是_________.18.如图,甲、乙两岸之间要架一座桥梁,从甲岸测得桥梁的走向是北偏东50•°,如果甲、乙两岸同时开工.要使桥梁准确连接,那么在乙岸施工时,应按β 为_________度的方向动工. 三、解答题:(19-22每题9分,23题10分,共46分)19.如图,△ABC 中,AD ∥BC,AE 平分∠BAC,∠B=20°,∠C=30°,求∠DAE 的度数.E DCBA20.某个图形上各点的横坐标不变,纵坐标变为原来的相反数,•此时图形却未发生任何改变,你认为可能吗?举例说明若横、纵坐标都变为原来的相反数呢?21.平面直角坐标系中,顺次连结(-2,1),(-2,-1),(2,-2),(2,3)各点,你会得到一个什么图形?试求出该图形的面积.北βα北乙甲22.如图,AB ∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC 与∠PAB,∠PCD 的关系,请你从所得的关系中任意选取一个加以说明.(1)PDC BA (2)PD C BA(3)PC BA(4)PDC BA23.已知:如图,△ABC 中,∠ABC=∠C,BD 是∠ABC 的平分线,且∠BDE=∠BED,•∠A=100°,求∠DEC 的度数.E DCA答案:一、1.B 点拨:如答图,连结BD, 则∠ABD+∠BDE=180°.而∠2+•∠CBD+•∠BDC=180°, 所以∠ABC+∠C+∠CDE =∠ABD+∠CBD+∠BDE+∠BDC+∠2 =360°.EDCBA2.D 点拨:关于x 轴对称的两个点,横坐标相等,纵坐标互为相反数.3.B 点拨:因为锐角三角形和直角三角形的任何一个外角都比它相邻的内角大或相等.4.D 点拨:应分两种情况:当3cm 为等边长时, 周长为:3+3+5=11(cm);当5cm 为等边长时,3+5+5=13(cm). 5.A 点拨:因为点A 在第二象限, 所以m<0,n>0,所以-m>0,│n │>0, 因此点B 在第一象限.6.D 点拨:因为在第三象限,所以到x 轴的距离为3,说明纵坐标为-3,到y 的距离为5,说明横坐标为-5,即P 点坐标为(-5,-3). 7.A 点拨:如答图,由AC ∥EH 得∠1=∠4,由EF ∥BC 得∠2+∠4=180°,∠2=∠3,•∠1+∠5=180°,所以有∠2、∠3、∠5,3个与∠1互补的角.35H 421FED CB A G8.B 点拨:三角形的定义.9.D 点拨:应用对顶角的定义. 10.B 点拨:由题意得∠C=4∠A,∠B=3∠A,所以∠A+3∠A+4∠A=180°,• 所以∠A=22.5°,∠C=90°.11.D 点拨:应用点、线、面之间的位置关系.二、12.54 点拨:因为AB∥CD,所以∠1+∠BEF=180°,所以∠BEF=180°-•∠1=180°-72°=108°.而∠2=∠BEG=12∠BEF,所以∠2=54°.13.(1)x轴;(2)-2,1 点拨:两点关于x轴对称时,横坐标相等,•纵坐标互为相反数;关于原点对称时,横纵坐标都是互为相反数.14.互为相反数点拨:二、四象限夹角平分线上的点的横纵坐标绝对值相等,•符号相反.15.4 点拨:因为第三边的取值范围是大于2,小于12,在2～12之间的偶数有4,6,8,10,4个,所以应有4种情况.16.12 点拨:设剩余一个内角度数为x°,(n-2)·180°=1680°+x°,n-2= 1680180x︒+︒︒,•n=2+9+60180x︒+︒︒,所以n应为12.17.(3)2n n-点拨:多边形对角线条数公式.18.北偏西130°三、19.解:因为∠EAC=12∠BAC=12(180°-20°-30°)=65°,而∠ADC=90°,所以∠DAC=60°,所以∠EAD=65°-60°=5°.20.解:可能.因为图形上的点原本就关于x轴对称,这样位置、•形状和大小没有改变.21.解:梯形.因为AB长为2,CD长为5,AB与CD之间的距离为4,所以S梯形ABCD =(25)42+⨯=14.(如图)22.解:①∠BAP+∠APC+∠PCD=360°;②∠APC=∠BAP+∠PCD; ③∠BAP=∠APC+∠PCD; ④∠PCD=∠APC+∠PAB. 如②,可作PE ∥AB,(如图) 因为PE ∥AB ∥CD,所以∠BAP=∠APE,∠EPC=∠PCD. 所以∠APE+∠EPC=∠BAP+∠PCD, 即∠APC=∠PAB+∠PCD.PE DCBA23.解:因为∠A=100°,∠ABC=∠C,所以∠ABC=40°,•而BD•平分∠ABC,• 所以∠DBE=20°. 而∠BDE=∠BED, 所以∠DEB=12(180°-20°)=80°,所以∠DEC=100°.。

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：平方根、立方根和开立方(附答案与全解全析)

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：平方根、立方根和开立方知识网络重难突破知识点一平方根算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作平方根概念：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根或二次方根，即，那么x叫做a 的平方根。

平方根的性质与表示：表示：正数a的平方根用表示，叫做正平方根，也称为算术平方根，叫做a的负平方根。

性质：一个正数有两个平方根：（根指数2省略）且他们互为相反数。

0有一个平方根，为0，记作负数没有平方根平方根与算术平方根的区别与联系：【典型例题】1．（2019·迁安市期末）25的算术平方根是( ) A ．5B ．5±C ．5-D ．252．（2018·( ) A ．±3B ．3C ．9D ．813．（2020·的值在（） A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间4．（2020·沈阳市第七中学初二期末）9的平方根是（） A ．±3B ．3C ．±4.5D ．4.55．（2020·东营市期末）16的平方根是（） A ．±4B ．±2C ．4D ．﹣46．（2020·沭阳县外国语实验学校初二期末）下列说法正确的是（）A ．（﹣3）2的平方根是3B ±4C ．1的平方根是1D ．4的算术平方根是27．（2019·=4，那么x 等于（） A ．2B ．2±C ．4D ．4±8．（2020·河南省实验中学初二期中）已知一个正数的两个平方根分别为35a -和7a -,则这个正数的立方根是( ) A ．4B ．3C ．2D ．19．（2020·宝鸡市期末）一个正数的两个平方根分别是21a -与2a -+，则a 的值为( ) A ．-1B ．1C ．-2D ．210．（2020·南京市期末）面积为13的正方形的边长是（） A ．13的平方根B ．13的算术平方根C ．13开平方的结果D ．13的立方根11．（2019·恩施市期末）已知(x +1)2= 16 ，则 x 的值是（） A ．3B ．7C ．3 或-5D ．7 或-812．（2020·银川市期末）“1625的算术平方根是45”，用式子表示为( )A ．＝±45B ＝±45C ．1625＝45D ．±1625＝4513．（2020·陕西省宝鸡市第一中学初二期中）下列运算中错误的有（） ①164,=②366497=±，③233-=-，④23±＝3 A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个14．（2020·沈阳市第二十三中学初一期中）若x 是9的算术平方根，则x 是（） A ．3B ．－3C ．9D ．8115．（2020·贵港市期末）若a 2＝4，b 2＝9，且ab ＜0，则a ﹣b 的值为（） A ．﹣2B ．±5C ．5D ．﹣5知识点二立方根和开立方立方根概念：如果一个数的立方等于，即那么x 叫做的立方根或三次方根，表示方法：数a 的立方根记作，读作三次根号a立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。

苏科版七年级下数学期中复习知识点整理及练习

七年级下数学期中复习（2013.4.19）第七章平面图形的认识1. 平行线的相关定理（熟记，必考）平行线的性质定理：平行线的判定定理：两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补。

同旁内角互补，两直线平行。

2. 图形平移的画法。

（可能会考）3. 三角形的相关知识：（常见填空、选择）（1）分类：按角度分类：____________________________________________。

按边分类：______________________________________________。

（2）三角形内角和_______度。

（3）三角形的外交等于不相邻的两内角和。

（4）三角形的三边关系：________________________________。

（5）多边形内角和________________，外交和__________。

例题:1.如图1，已知△ ABC 为直角三角形，△ C =90°，若沿图中虚线剪去△ C ，则△ 1+△ 2等于A. 90°B. 135°C. 270°D. 315° （）2.如图2,给出下列条件:①∠1=∠2;②∠3=∠4;③AD ∥BE,且∠D=∠B;④AD ∥BE,且∠BAD=∠BCD.其中,能推出AB ∥DC 的条件为（）A ． ① B. ② C ．②③ D ．②③④3.如图3，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，若156∠=，则FGE ∠应为A ． 068B ．034C ．056 D ．不能确定（）4. 已知三角形三边长分别为a,b,c ，a=5, b=7, 求c 的范围_____________。

5. 用等腰直角三角板画45AOB =∠，并将三角板沿OB 方向平移到如图4所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为______．6. 如图5，将纸片△ ABC 沿DE 折叠，点A 落在△ ABC 的形内，已知∠1+∠2=102°，则∠A 的大小等于________度．7. 如图6，光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜AB 和CD 之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角．若已知∠1=50°，∠2=55°，则∠3=______°．8. 已知多边形内角和是外角和的4倍，则此多边形为______边形。

七年级下册数学期中好题必刷专题04解答题压轴题(人教版)(解析版)

专题04解答题压轴题一、解答题1．已知AM CN ∥,点B 为平面内一点,AB BC ⊥于B ． (1)如图,直接写出A ∠和C ∠之间的数量关系．(2)如图,过点B 作BD AM ⊥于点D ,求证：ABD C ∠=∠．(3)如图,在（2）问的条件下,点E ,F 在DM 上,连接BE ,BF ,CF ,BF 那平分DBC ∠,BE 平分ABD ∠,若180FCB NCF ∠+∠=︒,3BFC DBE ∠=∠,求EBC ∠的度数．【答案】(1)90A C ∠+∠=︒ (2)证明见解析 (3)105︒ 【提示】（1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可；（2）过点B 作//BG DM ,根据同角的余角相等得出ABD CBG ∠=∠,再根据平行线的性质得到C CBG ∠=∠,即可得到ABD C ∠=∠；（3）过点B 作//BG DM ,根据角平分线的定义得出ABF GBF ∠=∠,设DBE α∠=,ABF β∠=,可得3=75αβ+︒,再根据AB BC ⊥,得到290ββα++=︒,解方程得到=15ABE ∠︒,继而得出,1590105EBC ABE ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒． (1) 如图1,∵//AM CN , ∴C AOB ∠=∠, ∵AB BC ⊥, ∴90ABC ∠=︒,∴90A AOB ∠+∠=︒,90A C ∠+∠=︒, 故答案为：90A C ∠+∠=︒； (2)如图2,过点B 作//BG DM ,∵BD AM ⊥, ∴DB BG ⊥, ∴90∠=︒DBG , ∴90ABD ABG ∠+∠=︒, ∵AB BC ⊥,∴90CBG ABG ∠+∠=︒, ∴ABD CBG ∠=∠, ∵//AM BG ,∴C CBG ∠=∠,ABD C ∠=∠． (3)如图3,过点B 作//BG DM ,∵BF 平分DBC ∠,BE 平分ABD ∠, ∴DBF CBF ∠=∠,DBE ABE ∠=∠, 由（2）知ABD CBG ∠=∠,∴ABF GBF ∠=∠,设DBE α∠=,ABF β∠=,则ABE α∠=,2ABD CBG α∠==∠,GBF AFB β∠=∠=,33BFC DBE α∠=∠=,∴3AFC αβ∠=+∵180AFC NCF ∠+∠=︒,180FCB NCF ∠+∠=︒, ∴3FCB AFC αβ∠=∠=+,BCF △中,由180CBF BFC BCF ∠+∠+∠=︒得 233180αβααβ++++=︒,∵AB BC ⊥, ∴290ββα++=︒, ∴15α=︒, ∴15ABE ∠=︒,∴1590105EBC ABE ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识,学会添加辅助线,掌握相关知识是解题关键．2．如图1,已知直线m ∥n ,AB 是一个平面镜,光线从直线m 上的点O 射出,在平面镜AB 上经点P 反射后,到达直线n 上的点Q ．我们称OP 为入射光线,PQ 为反射光线,镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角,即∠OP A=∠QPB ．（1）如图1,若∠OPQ=82°,求∠OP A的度数；（2）如图2,若∠AOP=43°,∠BQP=49°,求∠OP A的度数；（3）如图3,再放置3块平面镜,其中两块平面镜在直线m和n上,另一块在两直线之间,四块平面镜构成四边形ABCD,光线从点O以适当的角度射出后,其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ和∠ORQ的数量关系,并说明理由．【答案】（1）49°,（2）44°,（3）∠OPQ=∠ORQ【提示】（1）根据∠OP A=∠QP B．可求出∠OP A的度数；（2）由∠AOP=43°,∠BQP=49°可求出∠OPQ的度数,转化为（1）来解决问题；（3）由（2）推理可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP,∠ORQ=∠DOR+∠RQC,从而∠OPQ=∠ORQ．【解答】解：（1）∵∠OP A=∠QPB,∠OPQ=82°,∴∠OP A=（180°-∠OPQ）×12=（180°-82°）×12=49°,（2）作PC∥m,∵m∥n,∴m∥PC∥n,∴∠AOP=∠OPC=43°,∠BQP=∠QPC=49°,∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°,∴∠OP A=（180°-∠OPQ）×12=（180°-92°）×1244°,（3）∠OPQ=∠ORQ．理由如下：由（2）可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP,∠ORQ=∠DOR+∠RQC,∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角,∴∠AOP=∠DOR,∠BQP=∠RQC,∴∠OPQ=∠ORQ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定,解决本题的关键是注意问题的设置环环相扣、前为后用的设置目的．3．如图,直线AB∥直线CD,线段EF∥CD,连接BF、CF．（1）求证：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；（2）连接BE、CE、BC,若BE平分∠ABC,BE⊥CE,求证：CE平分∠BCD；（3）在（2）的条件下,G为EF上一点,连接BG,若∠BFC＝∠BCF,∠FBG＝2∠ECF,∠CBG＝70°,求∠FBE的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠FBE＝35°．【提示】（1）根据平行线的性质得出∠ABF＝∠BFE,∠DCF＝∠EFC,进而解答即可；（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；（3）由（1）的结论和三角形的角的关系解答即可．【解答】证明：（1）∵AB∥CD,EF∥CD,∴AB∥EF,∴∠ABF＝∠BFE,∵EF∥CD,∴∠DCF＝∠EFC,∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝∠ABF+∠DCF；（2）∵BE⊥EC,∴∠BEC＝90°,∴∠EBC+∠BCE＝90°,由（1）可得：∠BFC＝∠ABE+∠ECD＝90°,∴∠ABE+∠ECD＝∠EBC+∠BCE,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE＝∠EBC,∴∠ECD＝∠BCE,∴CE平分∠BCD；（3）设∠BCE＝β,∠ECF＝γ,∵CE平分∠BCD,∴∠DCE＝∠BCE＝β,∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ,∴∠EFC＝β﹣γ,∵∠BFC＝∠BCF,∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β,∴∠ABF＝∠BFE＝2γ,∵∠FBG＝2∠ECF,∴∠FBG＝2γ,∴∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝90°,∴∠ABE＝90°﹣β,∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ, ∵BE平分∠ABC,∴∠CBE＝∠ABE＝90°﹣β,∴∠CBG＝∠CBE+∠GBE,∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ,整理得：2γ+β＝55°, ∴∠FBE ＝∠FBG +∠GBE ＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°．【点睛】本题主要考查平行线的性质,解决本题的关键是根据平行线的性质解答． 4．已知AB //CD ．（1）如图1,E 为AB ,CD 之间一点,连接BE ,DE ,得到∠BED ．求证：∠BED ＝∠B +∠D ；（2）如图,连接AD ,BC ,BF 平分∠ABC ,DF 平分∠ADC ,且BF ,DF 所在的直线交于点F ． ①如图2,当点B 在点A 的左侧时,若∠ABC ＝50°,∠ADC ＝60°,求∠BFD 的度数．②如图3,当点B 在点A 的右侧时,设∠ABC ＝α,∠ADC ＝β,请你求出∠BFD 的度数．（用含有α,β的式子表示）【答案】（1）见解析；（2）55°；（3）1118022αβ︒-+【提示】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图2,过点F 作//FE AB ,当点B 在点A 的左侧时,根据50ABC ∠=︒,60ADC ∠=︒,根据平行线的性质及角平分线的定义即可求BFD ∠的度数；②如图3,过点F 作//EF AB ,当点B 在点A 的右侧时,ABC α∠=,ADC β∠=,根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出BFD ∠的度数．【解答】解：（1）如图1,过点E 作//EF AB ,则有BEF B ∠=∠,//AB CD ,//EF CD ∴,FED D ∴∠=∠,BED BEF FED B D ∴∠=∠+∠=∠+∠；（2）①如图2,过点F 作//FE AB ,有BFE FBA ∠=∠．//AB CD ,//EF CD ∴．EFD FDC ∴∠=∠．BFE EFD FBA FDC ∴∠+∠=∠+∠．即BFD FBA FDC ∠=∠+∠, BF 平分ABC ∠,DF 平分ADC ∠,1252FBA ABC ∴∠=∠=︒,1302FDC ADC ∠=∠=︒,55BFD FBA FDC ∴∠=∠+∠=︒．答：BFD ∠的度数为55︒； ②如图3,过点F 作//FE AB ,有180BFE FBA ∠+∠=︒．180BFE FBA ∴∠=︒-∠,//AB CD ,//EF CD ∴．EFD FDC ∴∠=∠．180BFE EFD FBA FDC ∴∠+∠=︒-∠+∠．即180BFD FBA FDC ∠=︒-∠+∠, BF 平分ABC ∠,DF 平分ADC ∠,1122FBA ABC α∴∠=∠=,1122FDC ADC β∠=∠=,1118018022BFD FBA FDC αβ∴∠=︒-∠+∠=︒-+．答：BFD ∠的度数为1118022αβ︒-+．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．5．（1）如图①,若∠B +∠D =∠E ,则直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明（不需要注明理由）．（2）如图②中,AB //CD ,又能得出什么结论？请直接写出结论．（3）如图③,已知AB //CD ,则∠1+∠2+…+∠n -1+∠n 的度数为．【答案】（1）AB //CD ,证明见解析；（2）∠E 1+∠E 2+…∠En =∠B +∠F 1+∠F 2+…∠Fn -1+∠D ；（3）(n -1)•180° 【提示】（1）过点E 作EF //AB ,利用平行线的性质则可得出∠B =∠BEF ,再由已知及平行线的判定即可得出AB ∥CD ；（2）如图,过点E 作EM ∥AB ,过点F 作FN ∥AB ,过点G 作GH ∥AB ,根据探究（1）的证明过程及方法,可推出∠E +∠G =∠B +∠F +∠D ,则可由此得出规律,并得出∠E 1+∠E 2+…∠En =∠B +∠F 1+∠F 2+…∠Fn -1+∠D ；（3）如图,过点M 作EF ∥AB ,过点N 作GH ∥AB,则可由平行线的性质得出∠1+∠2+∠MNG =180°×2,依此即可得出此题结论．【解答】解：（1）过点E 作EF //AB ,∴∠B =∠BEF ． ∵∠BEF +∠FED =∠BED ,∴∠B +∠FED =∠BED ．∵∠B+∠D=∠E（已知）,∴∠FED=∠D．∴CD//EF（内错角相等,两直线平行）．∴AB//CD．（2）过点E作EM∥AB,过点F作FN∥AB,过点G作GH∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥EM∥FN∥GH∥CD,∴∠B=∠BEM,∠MEF=∠EFN,∠NFG=∠FGH,∠HGD=∠D,∴∠BEF+∠FGD=∠BEM+∠MEF+∠FGH+∠HGD=∠B+∠EFN+∠NFG+∠D=∠B+∠EFG+∠D, 即∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．由此可得：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等,∴∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D．故答案为：∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D．（3）如图,过点M作EF∥AB,过点N作GH∥AB,∴∠APM+∠PME=180°,∵EF∥AB,GH∥AB,∴EF∥GH,∴∠EMN+∠MNG=180°,∴∠1+∠2+∠MNG =180°×2,依次类推：∠1+∠2+…+∠n-1+∠n=(n-1)•180°．故答案为：(n-1)•180°．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定,属于基础题,关键是过E 点作AB （或CD ）的平行线,把复杂的图形化归为基本图形．6．已知,AB ∥CD ,点E 为射线FG 上一点．（1）如图1,若∠EAF ＝25°,∠EDG ＝45°,则∠AED = ．（2）如图2,当点E 在FG 延长线上时,此时CD 与AE 交于点H ,则∠AE D 、∠EAF 、∠EDG 之间满足怎样的关系,请说明你的结论；（3）如图3,当点E 在FG 延长线上时,DP 平分∠EDC ,且∠EAP :∠BAP =l : 2,∠AED ＝32°,∠P ＝30°,求∠EKD 的度数．【答案】（1）70°；（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠,证明见解析；（3）122° 【提示】（1）过E 作//EF AB ,根据平行线的性质得到25EAF AEH ∠=∠=︒,45EAG DEH ∠=∠=︒,即可求得AED ∠；（2）过过E 作//EM AB ,根据平行线的性质得到180EAF MEH ∠=︒-∠,180EDG AED MEH ∠+∠=︒-,即EAF AED EDG ∠=∠+∠；（3）设EAI x ∠=,则3BAE x ∠=,通过三角形内角和得到2EDK x ∠=-︒,由角平分线定义及//AB CD 得到33224x x =︒+-︒,求出x 的值再通过三角形内角和求EKD ∠．【解答】解：（1）过E 作//EF AB ,//AB CD ,//EF CD ∴,25EAF AEH ∴∠=∠=︒,45EAG DEH ∠=∠=︒, 70AED AEH DEH ∴∠=∠+∠=︒,故答案为：70︒；（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠．理由如下：过E 作//EM AB ,//AB CD ,//EM CD ∴,180EAF MEH ∴∠+∠=︒,180EDG AED MEH ∠+∠+=︒, 180EAF MEH ∴∠=︒-∠,180EDG AED MEH ∠+∠=︒-,EAF AED EDG ∴∠=∠+∠；（3）:1:2EAP BAP ∠∠=, 设EAP x ∠=,则3BAE x ∠=,32302AED P ∠-∠=︒-︒=︒,DKE AKP ∠=∠,又180EDK DKE DEK ∠+∠+∠=︒,180KAP KPA AKP ∠+∠+∠=︒,22EDK EAP x ∴∠=∠-︒=-︒,DP 平分EDC ∠,224CDE EDK x ∴∠=∠=-︒,//AB CD ,EHC EAF AED EDG ∴∠=∠=∠+∠,即33224x x =︒+-︒,解得28x =︒,28226EDK ∴∠=︒-︒=︒, 1802632122EKD ∴∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定,正确做出辅助线是解决问题的关键．7．（1）（问题）如图1,若//AB CD ,40AEP ∠=︒,130PFD ∠=︒．求EPF ∠的度数；（2）（问题迁移）如图2,//AB CD ,点P 在AB 的上方,问PEA ∠,PFC ∠,EPF ∠之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示,在（2）的条件下,已知EPF α∠=,PEA ∠的平分线和PFC ∠的平分线交于点G ,用含有α的式子表示G ∠的度数．【答案】（1）90°；（2）∠PFC =∠PEA +∠P ；（3）∠G =12α 【提示】（1）根据平行线的性质与判定可求解；（2）过P 点作PN ∥AB ,则PN ∥CD ,可得∠FPN =∠PEA +∠FPE ,进而可得∠PFC =∠PEA +∠FPE ,即可求解；（3）令AB 与PF 交点为O ,连接EF ,根据三角形的内角和定理可得∠GEF +∠GFE ＝12∠PEA +12∠PFC +∠OEF +∠OFE ,由（2）得∠PEA =∠PFC -α,由∠OFE +∠OEF =180°-∠FOE =180°-∠PFC 可求解．【解答】解：（1）如图1,过点P 作PM ∥AB , ∴∠1=∠AEP ．又∠AEP =40°, ∴∠1=40°． ∵AB ∥CD , ∴PM ∥CD , ∴∠2+∠PFD =180°． ∵∠PFD =130°, ∴∠2=180°-130°=50°． ∴∠1+∠2=40°+50°=90°．即∠EPF =90°．（2）∠PFC=∠PEA+∠P．理由：过P点作PN∥AB,则PN∥CD,∴∠PEA=∠NPE,∵∠FPN=∠NPE+∠FPE,∴∠FPN=∠PEA+∠FPE,∵PN∥CD,∴∠FPN=∠PFC,∴∠PFC=∠PEA+∠FPE,即∠PFC=∠PEA+∠P；（3）令AB与PF交点为O,连接EF,如图3．在△GFE中,∠G=180°-（∠GFE+∠GEF）,∵∠GEF＝12∠PEA+∠OEF,∠GFE＝12∠PFC+∠OFE,∴∠GEF+∠GFE＝12∠PEA+12∠PFC+∠OEF+∠OFE,∵由（2）知∠PFC=∠PEA+∠P,∴∠PEA=∠PFC-α,∵∠OFE+∠OEF=180°-∠FOE=180°-∠PFC,∴∠GEF+∠GFE＝12(∠PFC−α)+12∠PFC+180°−∠PFC＝180°−12α,∴∠G＝180°−(∠GEF+∠GFE)＝180°−180°+12α＝12α．【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定,灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．8．已知：如图（1）直线AB、CD被直线MN所截,∠1＝∠2．（1）求证：AB//CD；（2）如图（2）,点E在AB,CD之间的直线MN上,P、Q分别在直线AB、CD上,连接PE、EQ,PF平分∠BPE,QF平分∠EQD,则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系,请直接写出你的结论；（3）如图（3）,在（2）的条件下,过P点作PH//EQ交CD于点H,连接PQ,若PQ平分∠EPH,∠QPF：∠EQF＝1：5,求∠PHQ的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°【提示】（1）首先证明∠1＝∠3,易证得AB//CD；（2）如图2中,∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线的性质即可证明；（3）如图3中,设∠QPF＝y,∠PHQ＝x．∠EPQ＝z,则∠EQF＝∠FQH＝5y,想办法构建方程即可解决问题；【解答】（1）如图1中,∵∠2＝∠3,∠1＝∠2,∴∠1＝∠3,∴AB//CD．（2）结论：如图2中,∠PEQ+2∠PFQ＝360°．理由：作EH//AB．∵AB//CD,EH//AB,∴EH//CD,∴∠1＝∠2,∠3＝∠4,∴∠2+∠3＝∠1+∠4,∴∠PEQ＝∠1+∠4,同法可证：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD,∵∠BPE＝2∠BPF,∠EQD＝2∠FQD,∠1+∠BPE＝180°,∠4+∠EQD＝180°, ∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE＝2×180°,即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°,∴∠PEQ+2∠PFQ＝360°．（3）如图3中,设∠QPF＝y,∠PHQ＝x．∠EPQ＝z,则∠EQF＝∠FQH＝5y,∵EQ//PH,∴∠EQC＝∠PHQ＝x,∴x+10y＝180°,∵AB//CD,∴∠BPH＝∠PHQ＝x,∵PF平分∠BPE,∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPH+∠BPH,∴∠FPH＝y+z﹣x,∵PQ平分∠EPH,∴Z＝y+y+z﹣x,∴x＝2y,∴12y ＝180°, ∴y ＝15°, ∴x ＝30°, ∴∠PHQ ＝30°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,角平分线的定义等知识．（2）中能正确作出辅助线是解题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质,找到角度之间的关系是解题的关键．9．如图,以直角三角形AOC 的直角顶点О为原点,以OC 、OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系,点()0,A a ,(),0C b 满足220a b b -+-=．（1）C 点的坐标为______；A 点的坐标为______．（2）如图1,已知坐标轴上有两动点P 、Q 同时出发,P 点从C 点出发沿x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动,Q 点从O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动,点Q 到达A 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是()1,2,设运动时间为()0t t >．问：是否存在这样的t ,使ODPODQSS=？若存在,请求出t 的值：若不存在,请说明理由．（3）如图2,过O 作//OG AC ,作AOF AOG ∠=∠交AC 于点F ,点E 是线段OA 上一动点,连CE 交OF 于点H ,当点E 在线段OA 上运动的过程中,OHC ACEOEC∠+∠∠的值是否会发生变化？若不变,请求出它的值：若变化,请说明理由．【答案】（1）()2,0C ,()0,4A ；（2）1；（3）不变,值为2 【提示】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性,求得a ,b 的值,再利用中点坐标公式即可得出答案；（2）先得出CP =t ,OP =2-t ,OQ =2t ,AQ =4-2t ,再根据S △ODP =S △ODQ ,列出关于t 的方程,求得t 的值即可；（3）过H 点作AC 的平行线,交x 轴于P ,先判定OG ∥AC ,再根据角的和差关系以及平行线的性质,得出∠PHO =∠GOF =∠1+∠2,∠OHC =∠OHP +∠PHC =∠GOF +∠4=∠1+∠2+∠4,最后代入OHC ACEOEC∠+∠∠进行计算即可．【解答】解：（1）∵2a b -+|b -2|=0, ∴a -2b =0,b -2=0, 解得a =4,b =2, ∴A （0,4）,C （2,0）．（2）存在, 理由：如图1中,D （1,2）,由条件可知：P 点从C 点运动到O 点时间为2秒,Q 点从O 点运动到A 点时间为2秒, ∴0＜t ≤2时,点Q 在线段AO 上, 即 CP =t ,OP =2-t ,OQ =2t ,AQ =4-2t , ∴S △DOP =12•OP •yD =12（2-t ）×2=2-t ,S △DOQ =12•OQ •xD =12×2t ×1=t ,∵S △ODP =S △ODQ , ∴2-t =t , ∴t =1．（3）结论：OHC ACEOEC∠+∠∠的值不变,其值为2．理由如下：如图2中,∵∠2+∠3=90°, 又∵∠1=∠2,∠3=∠FCO , ∴∠GOC +∠ACO =180°, ∴OG ∥AC , ∴∠1=∠CAO ,∴∠OEC =∠CAO +∠4=∠1+∠4,如图,过H 点作AC 的平行线,交x 轴于P ,则∠4=∠PHC ,PH ∥OG , ∴∠PHO =∠GOF =∠1+∠2,∴∠OHC =∠OHP +∠PHC =∠GOF +∠4=∠1+∠2+∠4, ∴124414OHC ACE OEC ∠+∠∠+∠+∠+∠=∠∠+∠=2．【点睛】本题主要考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会用转化的思想思考问题．10．如图,直线//PQ MN ,点C 是PQ 、MN 之间（不在直线PQ ,MN 上）的一个动点．（1）如图1,若1∠与2∠都是锐角,请写出C ∠与1∠,2∠之间的数量关系并说明理由；（2）把直角三角形ABC 如图2摆放,直角顶点C 在两条平行线之间,CB 与PQ 交于点D ,CA 与MN 交于点E ,BA 与PQ 交于点F ,点G 在线段CE 上,连接DG ,有BDF GDF ∠=∠,求AENCDG∠∠的值；（3）如图3,若点D 是MN 下方一点,BC 平分PBD ∠, AM 平分CAD ∠,已知25PBC ∠=︒,求ACB ADB ∠+∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）12；（3）75° 【提示】（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解．（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可．（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可．【解答】解：（1）∠C =∠1+∠2,证明：过C 作l ∥MN ,如下图所示,∵l∥MN,∴∠4=∠2（两直线平行,内错角相等）, ∵l∥MN,PQ∥MN,∴l∥PQ,∴∠3=∠1（两直线平行,内错角相等）, ∴∠3+∠4=∠1+∠2,∴∠C=∠1+∠2；（2）∵∠BDF=∠GDF,∵∠BDF=∠PDC,∴∠GDF=∠PDC,∵∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°,∴∠CDG+2∠PDC=180°,∴∠PDC=90°-12∠CDG,由（1）可得,∠PDC+∠CEM=∠C=90°, ∴∠AEN=∠CEM,∴190(90)90122CDGAEN CEM PDCCDG CDG CDG CDG︒-︒-∠∠∠︒-∠====∠∠∠∠,（3）设BD交MN于J．∵BC平分∠PBD,AM平分∠CAD,∠PBC=25°, ∴∠PBD=2∠PBC=50°,∠CAM=∠MAD,∵PQ∥MN,∴∠BJA=∠PBD=50°,∴∠ADB =∠AJB -∠JAD =50°-∠JAD =50°-∠CAM , 由（1）可得,∠ACB =∠PBC +∠CAM ,∴∠ACB +∠ADB =∠PBC +∠CAM +50°-∠CAM =25°+50°=75°．【点睛】本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质,解题的关键是根据平行找出角度之间的关系． 11．阅读理解：一个多位数,如果根据它的位数,可以从左到右分成左、中、右三个数位相同的整数,其中a 代表这个整数分出来的左边数,b 代表的这个整数分出来的中间数,c 代表这个整数分出来的右边数,其中a ,b ,c 数位相同,若b ﹣a ＝c ﹣b ,我们称这个多位数为等差数．例如：357分成了三个数3,5,7,并且满足：5﹣3＝7﹣5； 413223分成三个数41,32,23,并且满足：32﹣41＝23﹣32；所以：357和413223都是等差数．（1）判断：148 等差数,514335 等差数；（用“是”或“不是”填空）（2）若一个三位数是等差数,试说明它一定能被3整除；（3）若一个三位数T 是等差数,且T 是24的倍数,求该等差数T ．【答案】（1）不是,是；（2）见解析；（3）432或456或840或864或888 【提示】（1）根据等差数的定义判定即可；（2）设这个三位数是M ,10010M a b c =++,根据等差数的定义可知2a cb +=,进而得出()3352M ac =+即可．（3）根据等差数的定义以及24的倍数的数的特征可先求出a 的值,再根据是8的倍数可确定c 的值,又因为2a cb +=,所以可确定a 、c 为偶数时b 才可取整数有意义,排除不符合条件的a 、c 值,再将符合条件的a 、c 代入2a cb +=求出b 的值,即可求解．【解答】解：（1）∵4184-≠- , ∴148不是等差数, ∵435135438-=-=- , ∴514335是等差数；（2）设这个三位数是M ,10010M a b c =++, ∵b a c b -=- ,∴2a cb +=, ∵()10010105633522a cM a c a c a c +=+⨯+=+=+ , ∴这个等差数是3的倍数；（3）由（2）知()3352,2a cT a c b +=+= , ∵T 是24的倍数, ∴352a c + 是8的倍数, ∵2c 是偶数,∴只有当35a 也是偶数时352a c +才有可能是8的倍数, ∴2a =或4或6或8,当2a =时,3570a = ,此时若1c =,则35272a c += ,若5c = ,则35+280a c = ,若9c = ,则35+288a c =,大于70又是8的倍数的最小数是72,之后是80,88当35+296a c =时10c > 不符合题意；当4a =时,35140a =,此时若2c =,则352144a c +=,若6c =,则352152a c +=,（144、152是8的倍数）, 当6a =时,35210a =,此时若3c =,则352216a c +=,若7c =,则352224a c +=, （216、244是8的倍数）,当8a =时,35280a =,此时若0c ,则352280a c +=,若4c =,则352288a c +=, 若8c =,则352296a c +=,（280,288,296是8的倍数）, ∵2a cb +=, ∴若a 是偶数,则c 也是偶数时b 才有意义, ∴2a =和6a =是c 是奇数均不符合题意, 当4,2a c ==时,423,4322b T +=== , 当4,6ac ==时,465,4562b T +===, 当8,0ac ==时,804,8402b T +===, 当8,4ac ==时,846,8642b T +===, 当8,8ac ==时,888,8882b T +===, 综上,T 为432或456或840或864或888．【点睛】本题考查新定义下的实数运算、有理数混合运算,整式的加减运算,能够结合倍数的特点及熟练掌握整数的奇偶性是解题关键．12．阅读下面的文字,解答问题．对于实数a ,我们规定：用符号[a ]表示不大于a 的最大整数；用{a }表示a 减去[a ]所得的差．例如：＝1,[2.2]＝1,{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．（1）仿照以上方法计算：]＝ {5＝；（2）若＝1,写出所有满足题意的整数x 的值：．（3）已知y 0是一个不大于280的非负数,且满足}＝0．我们规定：y 1＝],y 2＝y 3＝],…,以此类推,直到yn 第一次等于1时停止计算．当y 0是符合条件的所有数中的最大数时,此时y 0＝ ,n ＝．【答案】（1）2；32）1、2、3；（3）256,4 【提示】（1）依照定义进行计算即可；（2）由题可知,04x <<,则可得满足题意的整数的x 的值为1、2、3；（3）由0=,可知,0y 是某个整数的平方,又0y 是符合条件的所有数中最大的数,则0256y =,再依次进行计算．【解答】解：（1）由定义可得,2=,[52=,{53∴=故答案为：2；3．（2）[]1x =,2∴<,即04x <<,∴整数x 的值为1、2、3．故答案为：1、2、3．（3）0{}0y =,即0==,∴2t =,且t 是自然数,0y 是符合条件的所有数中的最大数, 0256y ∴=,1[16]16y ∴===,2[4]4y ===,3[2]2y ===,41y ===,即4n =．故答案为：256,4．【点睛】本题属于新定义类问题,主要考查估算无理数大小,无理数的整数部分和小数部分,理解定义内容是解题关键．13．对任意一个三位数n ,如果n 满足各数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“梦幻数”,将一个“梦幻数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三数,把这三个新三位数的和与111的商记为K （n ）,例如123n =,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213321132666++=,6661116÷=,所以()1236K =．（1）计算：()342K 和()658K ；（2）若x 是“梦幻数”,说明：()K x 等于x 的各数位上的数字之和；（3）若x ,y 都是“梦幻数”,且1000x y +=,猜想：()()K x K y +=________,并说明你猜想的正确性．【答案】（1）(342)9,(658)19K K ==;（2）见解析；（3）28 【提示】（1）根据K 的定义,可以直接计算得出；（2）设x abc =,得到新的三个数分别是：acb cba bac ，，,这三个新三位数的和为100()10()()111()a b c a b c a b c a b c ++++++++=++,可以得到：()K x a b c =++；（3）根据（2）中的结论,猜想：()()28K x K y +=．【解答】解：（1）已知342n =,所以新的三个数分别是：324,243,432, 这三个新三位数的和为324243342999++=, (342)9K ∴=；同样658n =,所以新的三个数分别是：685,568,856, 这三个新三位数的和为6855688562109++=, (658)19K ∴=．（2）设x abc =,得到新的三个数分别是：acb cba bac ，，,这三个新三位数的和为100()10()()111()a b c a b c a b c a b c ++++++++=++, 可得到：()K x a b c =++,即()K x 等于x 的各数位上的数字之和．（3）设,x abc y mnp ==,由（2）的结论可以得到： ()()()()K x K y a b c m n P +=+++++, 1000x y +=,100()10()()1000a m b n c p ∴+++++=,根据三位数的特点,可知必然有： 10,9,9c p b n a m +=+=+=,()()()()28K x K y a b c m n p ∴+=+++++=,故答案是：28．【点睛】此题考查了多位数的数字特征,每个数字是10以内的自然数且不为0,解题的关键是：结合新定义,可以计算出问题的解,注意把握每个数字都会出现一次的特点,区别数字与多为数的不同．14．数学中有很多的可逆的推理．如果10b n =,那么利用可逆推理,已知n 可求b 的运算,记为()b f n =,如210100=,则42(100);1010000f ==,则4(10000)f =．①根据定义,填空：(10)f =_________,()310f =__________．②若有如下运算性质：()()(),()()n f mn f m f n f f n f m m⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭．根据运算性质填空,填空：若(2)0.3010f =,则(4)f =__________；(5)f =___________； ③下表中与数x 对应的()f x 有且只有两个是错误的,请直接找出错误并改正．错误的式子是__________,_____________；分别改为__________,_____________．【答案】①1,3；②0.6020；0.6990；③f （1.5）,f （12）；f （1.5）=3a -b +c -1,f （12）=2-b -2c ．【提示】①根据定义可得：f （10b ）=b ,即可求得结论； ②根据运算性质：f （mn ）=f （m ）+f （n ）,f （nm）=f （n ）-f （m ）进行计算；③通过9=32,27=33,可以判断f （3）是否正确,同样依据5=102,假设f （5）正确,可以求得f （2）的值,即可通过f （8）,f （12）作出判断．【解答】解：①根据定义知：f （10b ）=b , ∴f （10）=1, f （103）=3．故答案为：1,3．②根据运算性质,得：f （4）=f （2×2）=f （2）+f （2）=2f （2）=0.3010×2=0.6020, f （5）=f （102）=f （10）-f （2）=1-0.3010=0.6990．故答案为：0.6020；0.6990．③若f （3）≠2a -b ,则f （9）=2f （3）≠4a -2b , f （27）=3f （3）≠6a -3b ,从而表中有三个对应的f （x ）是错误的,与题设矛盾, ∴f （3）=2a -b ；若f （5）≠a +c ,则f （2）=1-f （5）≠1-a -c , ∴f （8）=3f （2）≠3-3a -3c , f （6）=f （3）+f （2）≠1+a -b -c ,表中也有三个对应的f （x ）是错误的,与题设矛盾, ∴f （5）=a +c ,∴表中只有f （1.5）和f （12）的对应值是错误的,应改正为： f （1.5）=f （32）=f （3）-f （2）=（2a -b ）-（1-a -c ）=3a -b +c -1,f （12）=f （663⨯）=2f （6）-f （3）=2（1+a -b -c ）-（2a -b ）=2-b -2c ． ∵9=32,27=33,∴f （9）=2f （3）=2（2a -b ）=4a -2b ,f （27）=3f （3）=3（2a -b ）=6a -3b ．【点睛】本题考查了幂的应用,新定义运算等,解题的关键是深刻理解所给出的定义或规则,将它们转化为我们所熟悉的运算．15．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1,记为2i 1=-①,这个数i 叫做虚数单位,那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数,复数一般表示为i a b +（a ,b 为实数）,a 叫做这个复数的实部,b 叫做这个复数的虚部,它与整式的加法,减法,乘法运算类似．例如：解方程21x =-,解得：1i x =,2i x =-．同2i ==．读完这段文字,请你解答以下问题：（1）填空：3i =______,4i =______,2342021i i i i +++⋅⋅⋅+=______．（2）已知()()i i 13i a b ++=-,写出一个以a ,b 的值为解的一元二次方程．（3）在复数范围内解方程：2480x x -+=．【答案】（1）-i ,1,0；（2）2320x x ++=；（3）122i x =+,222i x =-．【提示】(1)根据题意21i =-,则32i i i =⋅,422()i i =,然后计算即可；(2)利用()()i i 13i a b ++=-,得到11ab -=,2ab =,3a b +=-,即可求解 (3)利用配方法求解即可．【解答】 (1)32i i ii ,4222()(1)1i i ==-=,∵2345110i i i i i i +++=--++=,∴6789423452345()1()100i i i i i i i i i i i i i +++=+++=⨯+++=⨯=, 同理：101112130i i i i +++=, 每四个为一组,和为0, 共有(20211)4505-÷=组, ∴23452021...0i i i i i +++++=, (2)∵()()i i 13i a b ++=-,∴2i i i 13i ab a b +++=-,()1i 13i ab a b -++=-, ∴11ab -=,2ab =,3a b +=-,∴以a ,b 的值为解的一元二次方程可以为：2320x x ++=． (3)2480x x -+=, 2444x x -+=-, 22(2)4x i -=,22x i -=±,∴122i x =+,222i x =-．【点睛】本题考查了实数的运算,解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．16．如图1,把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开,所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________,____________；（2）请你参照上面的方法：①把图3中51⨯的长方形进行剪裁,并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线,并在图4的正方形网a___________．（注：小正方形边长都为1,拼接不重叠格中画出拼成的大正方形,该正方形的边长=也无空隙）a-．（图中标出必要线段②在①的基础上,参照图2的画法,在数轴上分别用点M、N表示数a以及3的长）【答案】（1）222）①图见解析5②见解析【提示】（1）根据图1得到小正方形的对角线长,即可得出数轴上点A和点B表示的数（2）根据长方形的面积得正方形的面积,即可得到正方形的边长,再画出图象即可；（3）从原点开始画一个长是2,高是1的长方形,对角线长即是a,再用圆规以这个长度画弧,交数轴于点M,再把这个长方形向左平移3个单位,用同样的方法得到点N．【解答】（1）由图1知,2∴图2中点A表示的数是2-点B2故答案是：2-2（2）①长方形的面积是5,拼成的正方形的面积也应该是5, ∴正方形的边长是5, 如图所示：故答案是：5； ②如图所示：【点睛】本题考查无理数的表示方法,解题的关键是理解题意,模仿题目中给出的解题方法进行求解． 17．先阅读材料,再解答问题：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根,华罗庚脱口而出,给出了答案,众人十分惊讶,忙问计算的奥妙,你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：（1310001031000000100,那么,请你猜想：59319的立方根是_______位数（2）在自然数1到9这九个数字中,33311,327,5===________,37=________,39=________．猜想：59319的个位数字是9,则59319的立方根的个位数字是________．（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59,而3327=,3464=,由此可确定59319的立方根的十位数字是________,因此59319的立方根是________．（4）现在换一个数103823,你能按这种方法得出它的立方根吗？【答案】（1）两；（2）125,343,729,9；（3）3,39；（4）47 【提示】（1）根据夹逼法和立方根的定义进行解答；（2）先分别求得1至9中奇数的立方,然后根据末位数字是几进行判断即可；（3）先利用（2）中的方法判断出个数数字,然后再利用夹逼法判断出十位数字即可；（4）利用（3）中的方法确定出个位数字和十位数字即可．【解答】（1）∵1000＜59319＜1000000, ∴59319的立方根是两位数；（2）∵3311,327,==35=125,37=343,39=729,∴59319的个位数字是9,则59319的立方根的个位数字是9；（3）∵3327=59<<3464=,且59319的立方根是两位数, ∴59319的立方根的十位数字是3, 又∵59319的立方根的个位数字是9, ∴59319的立方根是39；（4）∵1000＜103823＜1000000, ∴103823的立方根是两位数；∵3311,327,==35=125,37=343,39=729,∴103823的个位数字是3,则103823的立方根的个位数字是7； ∵3464=3195552<<=,且103823的立方根是两位数, ∴103823的立方根的十位数字是4, 又∵103823的立方根的个位数字是7, ∴103823的立方根是47．【点睛】考查了立方根的概念和求法,解题关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．18．阅读材料：求2320192020122222++++++的值．解：设2320192020122222S =++++++①,将等式①的两边同乘以2, 得234202020212222222S =++++++②,用②－①得,2021221S S -=- 即202121S =-．即2320192020202112222221++++++=-．请仿照此法计算：（1）请直接填写231222+++的值为______；（2）求231015555+++++值；（3）请直接写出20212345201920201011010101010101011-+-+-+-+-的值．【答案】（1）15；（2）11514-；（3）111．【提示】（1）先计算乘方,即可求出答案；（2）根据题目中的运算法则进行计算,即可求出答案；（3）根据题目中的运算法则进行计算,即可求出答案；【解答】解：（1）231248125122=++++=++；故答案为：15；（2）设231015555T =+++++①,把等式①两边同时乘以5,得112310555555T =+++++②,由②-①,得：11451T =-, ∴11514T -=,∴31121015551455++=+++-；（3）设234520192020110101010101010M =-+-+-+-+①,把等式①乘以10,得：3456222019020202110101010101010101010M =-+-+-+-++②,把①+②,得：202111110M =+, ∴202110111M +=,∴23245201920002211101010101011001111-+-+-+-++=, ∴20212345201920201011010101010101011-+-+-+-+- 20212021101101111+=-111=．【点睛】本题考查了数字的变化规律,熟练掌握运算法则,熟练运用有理数乘法,以及运用消项的思想是解题的关键．19．观察下列各式,并用所得出的规律解决问题：（11.414≈14.14141.4≈,……0.1732 1.732≈17.32,……由此可见,被开方数的小数点每向右移动______位,其算术平方根的小数点向______移动______位．（2 3.873≈ 1.225≈,≈_____≈______．（31=10=100=,…… 小数点的变化规律是_______________________．（4 2.154≈0.2154≈-,则y =______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位,其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01 【提示】（1）观察已知等式,得到一般性规律,写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律,写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【解答】解：（11.414≈14.14≈141.4,……0.1732 1.732≈17.32,……由此可见,被开方数的小数点每向右移动两位,其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2 3.873≈ 1.225≈,12.250.3873≈；故答案为：12.25；0.3873；（31=10=100=,……小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位,其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4） 2.154≈0.2154≈-,0.2154≈,0.2154-, ∴y=-0.01．【点睛】此题考查了立方根,以及算术平方根,弄清题中的规律是解本题的关键．20．思考与探究：（1）在如图所示的计算程序中,若开始输入的数值是4,则最后输出的结果是___________．（2）在如图所示的计算程序中,若最后输出的结果是58,则开始输入的数值是___________．（3）按下面的程序计算,若开始输入的值x为正数,最后输出的结果为1621,则满足条件的x的不同值最多有多少个？【答案】（1）17；（2）6或－10；（3）6个【提示】（1）根据程序运算图可得算式4×3+5,按运算顺序进行求解即可；（2）设输入的数字为m,根据题意可得关于x的方程,解方程即可求得答案；（3）根据最后输出的结果,可计算出它前面的那个数,依此类推,可将符合题意的正数求出．【解答】（1）由题意得：4×3+5=17,故答案为：17；（2）设输入的数字为m,则有（m+2）2-6=58,解得：m=6或m=-10,故答案为：6或--10；（3）∵最后输出的数为1621,∴4[(x+5)-(-2)2]-3=1621,解得：x=405>0,又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=405,解得：x=101>0,又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=101,解得：x=25>0,又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=25,解得：x=6>0,又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=6,解得：x=54>0,又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=5 4 ,解得：x=116>0,又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=1 16,解得：x=1564-<0,（不符合题意）∴符合题意的正数最多有6个.【点睛】本题考查了程序运算,涉及了一元一次方程,利用平方根的解方程等知识,正确审题,弄清程序运算中的运算顺序,熟练掌握相关和运算法则和解题方法是解此类问题的关键．21．读一读,式子“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长,书写也不方便,为了简便起见,我们可以将“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示为1001n n=∑,这里“∑”是求和符号．例如：1＋3＋5＋7＋9＋…＋99,即从1开始的100以内的连续奇数的和,可表示为501(21)nn =-∑,又知13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103可表示为1031nn=∑．通过对以上材料的阅读,请解答下列问题．（1）2＋4＋6＋8＋10＋…＋100(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符合可表示为_________．（2）1＋12＋13＋…＋110用求和符号可表示为_________．（3）计算6211nn=-∑()＝_________．(填写最后的计算结果)【答案】（1）5012nn =∑；（2）1011nn =∑；（3）50【提示】（1）根据题中的新定义得出结果即可；（2）根据题中的新定义得出结果即可；（3）利用题中的新定义将原式变形,计算即可得到结果．【解答】解：解：（1）根据题意得：2+4+6+8+10+ (100)5012nn =∑；（2）1＋12＋13＋…＋110=1011n n=∑；（3）原式=1-1+4-1+9-1+16-1+25-1+36-1=85．故答案为：（1）5012n n =∑；（2）1011n n=∑；（3）85．【点睛】此题考查了有理数的加法和减法运算,弄清题中的新定义是解本题的关键． 22．如图,已知点()0,0O ,()2,0A ,()1,2B -．（1）求OAB 的面积；（2）点C 是在坐标轴上异于点A 的一点,且OBC 的面积等于OAB 的面积,求满足条件的点C 的坐标；（3）若点D 的坐标为()m,2,且1m <-,连接AD 交OB 于点E ,在x 轴上有一点F ,使BDE 的面积等于BEF 的面积,请直接写出点F 的坐标__________（用含m 的式子表示）．【答案】（1）2；（2）(0,4),(0,4),(2,0)--；（3）1(1,0)F m +或2(1,0)F m -- 【提示】（1）直接利用以OA 为底,进行求面积；（2）OBC 的面积等于OAB 的面积,需要分三种情况进行分类讨论；（3）根据BDEBEFSS=推导出OBDOBFSS=,然后分两种情况进行讨论,即当F 位于x 轴负半轴上时与F 位于x 轴正半轴上时．【解答】解：（1）1122222OABB SOA y =⋅⋅=⨯⨯=．（２）作如下图形,进行分类讨论：。

七年级第二学期数学期中考试知识点总结

七年级第二学期数学期中考试知识点总结七年级第二学期数学期中考试知识点总结总结是事后对某一阶段的学习、工作或其完成情况加以回顾和分析的一种书面材料，它可以使我们更有效率，因此十分有必须要写一份总结哦。

总结怎么写才是正确的呢？下面是小编为大家整理的七年级第二学期数学期中考试知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。

七年级第二学期数学期中考试知识点总结1第一章实数考点一、实数的概念及分类（3分）1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。

正整数又叫自然数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如7,32等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如（3）有特定结构的数，如0.1010010001等；（4）某些三角函数，如sin60o等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值（3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=b，反之亦成立。

2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根（310分）1、平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a的平方根记做“。

a”π+8等；2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。

初一数学下册期中考试试题与复习资料

722-七年级数学下册期中测试卷一、选择题.（每空3分，共18分）1. 如图,直线AB 、CD 相交于点O,若∠1+∠2=100°,则∠BOC 等于 ( ) A.130° B.140° C.150° D.160°2.如图,把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上,如果∠1=20°,那么∠2等于( )A ．30° B.25° C.20° D.15°3.如图,若在中国象棋盘上建立平面直角坐标系,使“帅”位于点（-1，-2），“马”位于点（2，-2），则“兵”位于点（）A ．（-1，1）B ．（-2，-1）C ．（-3，1）D ．（1，-2） 4．下列现象属于平移的是（）A ．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡B 急刹车时汽车在地面上的滑动C ．投篮时的篮球运动D ．随风飘动的树叶在空中的运动 5．下列各数中，是无理数的为（） A ．39B. 3.14C.4D.6.若a 2=9, 3b=-2,则a+b=( )A. -5B. -11C. -5 或 -11D. ±5或±11 二、填空.（每小题3分，共27分）7．把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改成如果……那么形式:_________________________________________________________8.一大门的栏杆如右图所示,BA ⊥AE ，若CD ∥AE ，则∠ABC+∠BCD=____度. 9.如右图,有下列判断:①∠A 与∠1是同位角；②∠A 与∠B 是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角。

其中正确的是_______(填序号).10.在数轴上,-2对应的点为A,点B 与点A 的距离为7,则点B 表示的数为_________.11.绝对值小于7的所有整数有_____________.12.A 、B 两点的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB 平移至A 1B 1，点A 1B 1的坐标分别为（2，a ）、（b ，3），则a+b=____________.13.第二象限内的点P(x,y)，满足｜x ｜=9，y 2=4，则点P 的坐标是______. 14.若x 3m-3-2y n-1=5 是二元一次方程,则M n=__________15.平方根节是数学爱好者的节日,这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的平方根,例如2009年的3月3日,2016年的4月4日,请你写出本世纪内你喜欢的一个平方根节:_______年_____月_____日.(题中所举例子除外) 三、解答题. 16. 解方程组(8分)⎩⎨⎧=-=+152y x y x ⎩⎨⎧=-=+623432y x y x 17.(6分）如右图,先填空后证明. 已知: ∠1+∠2=180°求证：a ∥b证明：∵ ∠1=∠3（），∠1+∠2=180°（）∴ ∠3+∠2=180°（）∴ a ∥b （）请你再写出一种证明方法.18.（7分）在平面直角坐标系中, △ABC 三个顶点的位置如图（每个小正方形的边长均为1）.（1）请画出△ABC 沿x 轴向平移3个单位长度,再沿y 轴向上平移2个单位长度后的△A ′B ′C ′（其中A ′、B ′、C ′分别是A 、B 、C 的对应点，不写画法）（2）直接写出A ′、B ′、C ′三点的坐标： A ′（_____,______）； B ′（_____,______）； C ′（_____,______）。

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七年级下册数学期中复习第五章相交线与平行线5.1 相交线对顶角相等。

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简单说成：垂线段最短）。

过两点有且只有一条直线两点之间线段最短余角：两个角的和为90度，这两个角叫做互为余角。

补角：两个角的和为180度，这两个角叫做互为补角。

对顶角：两个角有一个公共顶点，其中一个角的两边是另一个角两边的反向延长线。

这两个角就是对顶角。

同位角：在“三线八角”中，位置相同的角，就是同位角。

内错角：在“三线八角”中，夹在两直线内，位置错开的角，就是内错角。

同旁内角：在“三线八角”中，夹在两直线内，在第三条直线同旁的角，就是同旁内角。

5.2 平行线经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

直线平行的条件：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。

5.3 平行线的性质同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等过一点有且只有一条直线和已知直线垂直直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

判断一件事情的语句，叫做命题。

第六章实数平方根如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，2是根指数。

a的算术平方根读作“根号a”，a叫做被开方数。

0的算术平方根是0。

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

立方根如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根。

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

实数无限不循环小数又叫做无理数。

有理数和无理数统称实数。

第七章平面直角坐标系本章的主要知识点（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。

1、记作（a ，b）；2、注意：a、b的先后顺序对位置的影响。

3、坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对有序实数对（b a,）一一对应；其中，a为横坐标，b为纵坐标坐标；4、x轴上的点，纵坐标等于0；y轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限；（二）平面直角坐标系平面直角坐标系：我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形；2、构成坐标系的各种名称；水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

3、各种特殊点的坐标特点。

象限：坐标轴上的点不属于任何象限第一象限：x>0，y>0第二象限：x<0，y>0第三象限：x<0，y<0第四象限：x>0，y<0横坐标轴上的点：（x，0）纵坐标轴上的点：（0，y）（三）坐标方法的简单应用1、用坐标表示地理位置；2、用坐标表示平移。

二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点：平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。

a) 在与x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ；b) 在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；三、各象限的角平分线上的点的坐标特点：第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。

c) 若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等；d) 若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点：关于x 轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数关于y 轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数X关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数e) 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；f) 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；g) 点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；关于x 轴对称关于y 轴对称关于原点对称五、特殊位置点的特殊坐标：六、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：• 建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正方向；XXP X-•根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；•在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。

八轴的距离=横坐标的绝对值。

即A(x,y),到x轴的距离=|y|,到y轴的距离=|x|例、若点A到x轴的距离为5，到y轴的距离为4则A的坐标为（）九、对称两点的坐标特征：1、关于x轴对称两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数。

2、关于y轴对称两点：横坐标互为相反数，纵坐标相同。

3、关于原点对称两点：横、纵坐标均互为相反数。

即：若A（a,b) ,B(a,-b), 则A与B关于x轴对称，若A（a,b), B(-a,b),则A 与B关于y轴对称。

若A（a,b),B(-a,-b),则A与B关于原点对称。

第八章二元一次方程组8.1 二元一次方程组方程中含有两个未知数(x和y)，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

87654321DCBA使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

8.2 消元将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想。

第五章相交线与平行线一、选择题1、如图1，如果AB ∥CD ，那么下面说法错误的是（）A ．∠3=∠7；B ．∠2=∠6C 、∠3+∠4+∠5+∠6=1800D 、∠4=∠8 2、如图2，AB DE ∥，65E ∠=，则B C ∠+∠=（）A ．135B ．115C ．36D.653、如图，PO ⊥OR ，OQ ⊥PR ，则点O 到PR 所在直线的距离是线段（）的长A 、POB 、ROC 、OQD 、PQ4、下列语句：①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；②若两条直线被第三条截，则内错角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，真命题有（）个A ．1B ．2C ．3D ．以上结论皆错5、如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ，这个推理的依据是（）A 、等量代换B 、两直线平行，同位角相等C 、平行公理D 、平行于同一直线的两条直线平行6、如图，小明从A 处出发沿北偏东60°方向行走至B 处，又沿北偏西20方向行走至C 处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（）A ．右转80° B ．左转80° C ．右转100° D ．左转100°7、如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30，那么这两个角是（）A ． 42138 、；B ．都是10 ；C ．42138 、或4210 、；D ．以上都不对8、下列语句错误的是（）A ．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离；B ．两条直线平行，同旁内角互补C ．若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于平角，则这两个角为邻补D ．平移变换中，各组对应点连成两线段平行且相等9、如下图，a b ∥，M N ，分别在a b ，上，P 为两平行线间一点，那么123∠+∠+∠=（）A ．180B ．270C ．360D ．54010、已知：如图，AB//CD ，则图中α、β、γ三个角之间的数量关系为（）. A. α+β+γ=360° B. α+β-γ=180° C. α+β+γ=180° D. α-β-γ=90°二、填空题11、把“等角的补角相等”写成“如果…，那么…”形式12、如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，∠CDE ＝150°，则∠C ＝______ABCDEA B 120°α25°C DHG EBA13、如图，把长方形纸片沿EF 折叠，使D ，C 分别落在D '，C '的位置，若65EFB =∠，则AED '∠等于___________14、如图，已知AB CD //，∠α=____________三、解答题 15、推理填空：如图： ① 若∠1=∠2，则_____∥_____（）若∠DAB+∠ABC=1800，则_____∥_____（）②当_____∥_____时，∠ C+∠ABC=180° （）当_____∥_____时，∠3=∠C （）16．已知，如图∠1=∠ABC=∠ADC ，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°．将下列推理过程补充完整：（1）∵∠1=∠ABC （已知）， ∴AD ∥______（2）∵∠3=∠5（已知）， ∴AB ∥______,（_______________________________）（3）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知）， ∴_______∥________,（________________________________）17、已知：如图AB ∥CD ，EF 交AB 于G ，交CD 于F ，FH 平分∠EFD ，交AB 于H ，∠AGE=50°，求：∠BHF 的度数．321DCBAF21GEDCB A18、已知，如图，CD ⊥AB ，GF ⊥AB ，∠B ＝∠ADE ，试说明∠1＝∠2．第六章实数1.1691的算术平方根为（）（A ）131 （B ）－131 （C ）±1312、已知115+的小数部分为m ，115-的小数部分为n ，则=+n m ________3、式子3+x 有意义，x 的取值范围________4、已知：y=5-x +x -5+3,则xy 的值为 ________5、43=-+-b a ，求a+b 的值________6、9的平方根是________7、快速地表示并求出下列各式的平方根⑴1169⑵|－5| ⑶0.81 ⑷（－9）28、如果一个数的平方根是1+a 和72-a ，求这个数？9.用平方根定义解方程⑴16（x+2）²=81 ⑵4x ²-225=010、下列说法正确的是( )A 、16的平方根是4±B 、6-表示6的算术平方根的相反数C 、任何数都有平方根D 、2a -一定没有平方根11、求值：⑴3512.0-=_______ ⑵－3729-=_______⑶33)2(-=_______ ⑷（38）³=_______12、如果32-x 有意义，x 的取值范围为______13.用立方根的定义解方程⑴x ³-27 =0 ⑵2（x+3）³=512已知732.13≈，477.530≈≈300______；（2）≈3.0______；（3）0.03的平方根约为______；（4）若77.54≈x ，则=x ______已知442.133≈，107.3303≈，694.63003≈，求（1）≈33.0______；（2）3000的立方根约为______；（3）07.313≈x ，则=x ______重要公式公式一: ∵22=______23=______24=______2)2(-= ______2)3(-=______2)4(-=______∴2a =______有关练习： 1.2)71(-= ______ 21999=______ 2.如果2)3(-a =a-3，则a 的取值范围是______ ；如果2)3(-a =3-a,则a 的取值范围是______3.数a,b 在数轴上的位置如图：化简：2)(b a -+|c+a|公式二： ∵（4）²=______（9）²=______ （25）²=______∴2)(a = ______ (a ≥0)综合公式一和二，可知，当满足a ______条件时，2a =2)(a公式三： ∵332=______333=______334=______33)2(-= ______ 33)3(-=______33)4(-=_____∴33a =______；随堂练习：化简：当1＜a ＜3时，2)1(a - +33)3(-a公式四： ∵（38）³=____ （327）³=_____（3125）³=_____∴33)(a =______综合公式三和四，可知，当满足a ______条件时，33a =33)(a公式五： 3a -=______知识点五：实数定义及分类无理数的定义：实数的定义：实数与______上的点是一一对应的1、判断下列说法是否正确：（1）实数不是有理数就是无理数（2）无限小数都是无理数。