实系数一元二次方程
实系数一元二次方程
实系数一元二次方程
实系数一元二次方程
一元二次方程（又称“二次多项式方程”）是指一个等式的次数较高，且只包含一个未知数的方程。
在一元二次方程中，自变量有且只有一个，称为一元二次函数，即 y=ax2+bx+c（a≠ 0）。
解一元二次方程的方法主要有三种：
1、因式分解法
因式分解法是一种常用方法，只要把方程改为一种可以分解的形式，便可以得到解。
步骤：
（1）首先，将一元二次方程化为相当于 0 的形式。
（2）把一元二次方程转换为包含两个未知数的多项式形式：
ax2+bx+c=d。
（3）用因数分解的方法把 d 分解成两个实数的乘积：d=e·f。
（4）将 ae 和 bf 分别作为新的因式，并同时入方程，即：
ax2+bx+c=ae+bf，再把此多项式撤分，可得 x 的解。
2、求根公式法
求根公式法是通过特定的公式来求解方程的一种方法，只有在一元二次方程系数为实数时才适用，其求根公式为：
x1= -b+√(b2-4ac) /2a
x2= -b-√(b2-4ac) /2a
3、图解法
图解法也是一个求一元二次方程解的方法，也是利用函数图像来分析一元二次方程解的方法，即将方程图像化，通过图像中的拐点、凹点及相关函数曲线的性质来分析、计算方程的解。
12.3 △＜0的实系数一元二次方程的根
由上面的分析，我们发现：当△＜0 时，实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)在复数集内有虚根，并且它的虚根共扼成对 出现． 当△＜0 时，实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有一对共扼
z
_ b 4ac b 2 i b 4ac b 2 i z 2a 2a ，
(z b 2 4ac b 2 ) . 2a 4a 2
（6）
利用复数相等的定义容易看出，满足（6）式的复数 z 只有两个． 因此，当△＜0 时，实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 有且只有一
南京市劳动局职业技术培训处编印
教
对共扼虚根，它们由（4）式给出． 三、例题精讲
2 例 1：解方程 x x 2 0.
z b 4ac b 2 i 2a
_
虚根
（3）
是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根． 猜想的结论是靠不住的，需要证明． 我们把（3）式代入方程来验证：
a[ z 2 b b b z ( )2 ( )2 ] c a 2a 2a
az2+bz+c=
a( z
பைடு நூலகம்
= =
b 2 4ac b 2 ) 2a 4a
10’
南京市劳动局职业技术培训处编印
教
z
案
纸
第 5 页
_ b 4ac b 2 i b 4ac b 2 i z 2a 2a ，
3.实系数一元二次方程的根与系数的关系在判别式时仍然成立，
_ b zz , a 即： _ c zz . a
六、布置作业： P295 A 组 1、2
高二数学实系数一元二次方程1
上海市新中高级中学 陶志诚
一、复习 1、一元二次方程ax2 bx c 0(a、b、c R且a 0)
的求根公式 当 b2 4ac 0时，方程有两个实数根：x b b2 4ac
2a 2a
2、-1的平方根是: i
设问①：一元二次方程 x2 1 0在复数范围内有没有解？
x2 ax 4 0(a R)
例2、已知一元二次方程x2 mx n 0(m、n R)，
试确定一组m、n 的值，使该方程分别有两个
不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚
数根，并解方程.
例3、在复数集中分解因式：
（1）x2 x 2； （2）2x2 4x 5
.
2、实系数一元二次方程中根与系数的关系：
设问②：在复数范围内如何解一元二次方程x2 x 1 0？
二、新课
1、实系数一元二次方程在复数集C中解的情况：
设一元二次方程 ax2 bx c 0(a、b、c R且a 0)
原方程可变形为
x2
b a
x
c a
即
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
（1）当 b2 4acBiblioteka 0时，原方程有两个不相等的实数根
实系数一元二次方程ax2 bx c 0(a、b、c R且a 0)
根与系数的关系： x1 x2
b a
，x1 x2
c a
例4、已知3i 2是关于x的方程 2x2 px q 0 的一个根，求实数p、q的值.
三、课堂练习 见课本P91练习13.6（1）； P92练习13.6（2）T1.2.3.
四、课堂小结
五、课后作业 1.书面作业：练习册P55 习题13．6 A组 T1.2.3.4.5.
复数的乘法与除法第2课时复数的除法及实系数一元二次方程在复数范围内的解集课件
提示：(1)复数代数形式的除法是复数代数形式的乘法的逆 运算．
(2)复数除法的运算法则不必死记，在实际运算时，只需把 商ac＋＋dbii看作分数，分子、分母同乘以分母的共轭复数 c－di，把 分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果．
知识点二 实系数一元二次方程
解析：本题考查复数的乘法与除法． 31＋0ii＝31＋0ii3－3－ii＝10＋1030i＝1＋3i. ∴复数31＋0ii对应的点的坐标为(1,3)．
3．复数 z 满足(z－i)(2－i)＝5，则 z＝( D )
A．－2－2i
B．－2＋2i
C．2－2i
D．2＋2i
解析：由题意可得，z－i＝2－5 i＝2－52i＋2＋i i＝2＋i， 所以 z＝2＋2i.
于是 ω－u2＝2(x＋1)＋1＋2 x－3≥2 2x＋1·1＋2 x－3＝1. 当且仅当 2(x＋1)＝1＋2 x，即 x＝0 时等号成立． ∴ω－u2 的最小值为 1，此时 z＝±i.
该题涉及复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识. 只要概念清楚，运算熟练，按常规思路顺其自然不难求解.注意： 解决后面的问题时，可以使用前面已经得到的结论.
[变式训练 3] 设 z2＝8＋6i，求 z3－16z－10z0.
解：z3－16z－10z0＝z4－16zz2－100＝z2－8z2－164
＝6i2－z 164＝－20z0＝－z2·0z0
z
200 z ＝－ |z|2
.
∵|z|2＝|z2|＝|8＋6i|＝10，
又由 z2＝8＋6i，得 z＝±(3＋i)，∴ z ＝±(3－i)，
类型三 复数运算的综合应用
[例 3] 设 z 是虚数，ω＝z＋1z是实数，且－1<ω<2. (1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围； (2)设 u＝11－ ＋zz，求证：u 为纯虚数； (3)求 ω－u2 的最小值． [分析] (1)ω 是实数可得到哪些结论？(ω 的虚部为 0 或 ω＝ ω )(2)u 为纯虚数可得到哪些结论？(u 的实部为 0 且虚部不为 0， 或 u＝－ u )
实系数一元二次方程
实系数一元二次方程知识点：1.实系数一元二次方程虚根求根公式；2.实系数一元二次方程虚根与系数的关系；3.12ω=-+的应用；4.实系数一元高次方程的求解；5.综合应用；教学过程：1.实系数一元二次方程求根公式：设一元二次方程20(0,,,)ax bx c a a b c R ++=≠∈2.设方程31x =的一个虚根为122ω=-+，则有：3.实系数一元n 次方程的解的规律：例1.解下列方程：（1）2230x +=；（2）23320x x -+-=；（3）210x x ++=；例2.设32i +是方程220,,x bx c b c R ++=∈的一个根，求,b c 的值；例3.设,αβ是方程2230x x -+=的两个根，则：22αβ+= ；11αβ+= ；βααβ+= ； 33αβ+= ；||αβ-= ；例4.设m R ∈，一元二次方程20x x m ++=的两个根为,αβ，且||3αβ-=。
（1）若x R ∈，求实数m 的值；（2）若x C ∈，求实数m 的值；例5.已知关于x 的实系数方程2230x kx k k ++-=有一个模为1的复数根，求实数k 的值。
例6.设2i +是方程4322250x x ax bx -+++=的一个根，求实数,a b 的值，及方程的其它根。
例7.已知,αβ是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个虚根，且，求αβ的值；作业：1.在复数集中因式分解：（1）2243x x -+；（2）21x x -+-；（3）322x x -+；2.（1）设两个数的和为4，积为6，求这两个数；（2）设两个数的差为4，积为6，求这两个数；3.设m R ∈，一元二次方程2236(1)10x m x m --++=的两个根为,αβ，且。
求m 的值；4.已知关于x 的方程2(21)20,x a x a a R -+++=∈有虚数根，是否存在实数a 使得虚数根的立方是实数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。
上海高二数学下册--02—复数的方根与实系数一元二次方程
高二数学春季班（教师版）一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根设复数12ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=，③212ωω==-． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-±；复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．三、常见几何图形的复数表达式复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（112112(1)22i i i ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028)i +-++⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记12ω=-，求1ωω+，221ωω+． 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）．（1）求,x y 的值； （2）试求使1230n z z z z ++++=的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z 的值．【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．例题解析【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ． （2）151512(1)(1)(1)i -+=-+ ．【难度】★ 【答案】（1）12-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】22232x x x x ⎛++=-⎝⎭⎝⎭11222x x ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得，21102z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ． 【难度】★★ 【答案】332．，，求的值.【难度】★★【答案】12ω=-时，原式=15-；12ω=-时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解． 【难度】★【答案】920m ∆=- 当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =； 当0∆<时，即920m >时，32i x =．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 1≠ω13=ω32302ωωω+++【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值． 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-， （1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-； （2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值． 【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=； （2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===．【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=． 令12z t z =，则141t t+=，∴240t t -+=，∴122t =±，即12122z i z =±．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值． 【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=； （2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值． 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=． ①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤．当根为2时，440a a -+=．得43a =． 当根为2-时，440a a ++=．得45a =-．②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根；（2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12cx x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根． 【难度】★★ 【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且，求20092009()(x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值． 【难度】★★【答案】53m =-或2m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+， （1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值． 【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞；022=++y xy x当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=， 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++，试求0362016a a a a ++++的值。
高中数学-学生-实系数一元二次方程
教学内容
知识精要
1．复数的平方根与立方根：
和实数一样，复数 和 ,若满足 ，则称 是 的平方根。因为 ，所以 的平方根是 两个数。
（1）求法：利用复数相等求复数的平方根
（2）1的立方根：
的常用结论： ； ；
思考：当 时， 取何值？
2．实系数一元二次方程 在复数集中恒有解．当判别式 时，方程有两个实数解 ；当判别式 时，方程有两个虚根，且互为共轭 ．
（1）在复数集中，实系数一元二次方程的根的性质：实系数一元二次方程在复数集中一定有两个根，它们是两个实根或者是一对共轭虚根。此性质可推广到实系数一元n次方程在复数集中的情况也成立。
（2）实系数一元二次方程 在复数范是一元二次方程 的根，则
2.在复数范围内分解因式 ________
7.设等比数列 其中 ：
（1）求 的值；
（2）试求使 的最小自然数
（3）对于（2）中的 ，求 的值。
例4.求与自身的平方共轭的复数
例5.已知复数 是 的平方根，求 的值。
例6.设方程 的两根为 ，且 ，求实数m的值。
例7.已知 为实系数一元二次方程 的两个根， 为虚数，且 ,求 的值。
例8.若关于 的方程 至少有一个模为1的根，求实数 的值。
例9. 是方程 的两个根，其中 求 的值。
备选例题
1.对任意非零复数 ，定义集合 ，设 是方程
3.已知复数 满足 且 ，则 ________
4.方程 的解集是________
5.方程 的两根为__________
6.已知 是实系数方程 的根，则 ______
7.复数 的平方根是（）
8.下列命题在复数集中是否正确？为什么？
实系数一元二次方程“虚根成双”的运用问题
解：x1 2 3i是方程的一个虚根
方程2 x px q 0的另一虚根是 x2 2 3i p x1 x 2 2 4 p8 q x1 x 2 13 q 26 2
2
韦达定理依然成立
四、课堂练习
ex1、在复数集中解方程： 2 (1) x 2 0 2 (2) x x 1 0 2 (3) x 2ix 2 0 ex2、在复数集中分解因式 ： 2 (1) x 6 ( x 6i )( x 6i ) (2) x 4 16 ( x 2i )( x 2i )( x 2)( x 2)
ax bx c一定可以因式分解为 a( x x1 )( xx ) 有根x1 ,x 2 ,则ax 2 bx c可因式分解为 a( x x1 )( x2 x 2 )
x1 ,x2为实系数一元二次方程 ax 2 bx c 0的两个根
三、例题举隅
例1、在复数集中解方程： 6 2 2 x 4 x 5 0 x 1, 2 1 i 2 变式1、在复数集中因式分解：
2
的一个根，求 a及另一个根.
解：x 2 x a 0的另一虚根是 x2 1 i
2
x1 x2 a 2
四、课堂小结
1、实系数一元二次方程在复数集中的解
0，方程有两个不相等的 实数根 0，方程有两个相等的实 数根 0，方程有一对共轭虚根
能否推广到 复数集？
6 6 2( x 1 i )( x 1 i) 2 2
有根x1、x 2 ,则ax 2 bx c可因式分解为 a( x x1 )( x x 2 )
二次项系 数a一定 在复数集内，二次三项 式 2 在复数集内， 若实系数一元二次方程 ax bx要提出！ c 0 2
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高三总复习——实系数一元二次方程（共4页）
1 实系数一元二次方程的解
【要点整理】
会在复数集内解实系数一元二次方程，会对简单的含实数字母系数的一元二次方程的解的情况进行讨论。
会利用复数相等把复数问题转化为实数问题。
【例题分析】
例1．在复数范围内解下列方程：
（1）2210x +=； （2）23650x x ++=．
例2．在复数范围内分解因式：32x x x -+＝_________________________
例3．已知方程20x px q ++=的一个根是1i +，求方程的另一个根以及,p q 的值。
例4．关于x 的方程240()x x m m R ++=∈的两个复数根为,αβ
（1）若2αβ-=，求m 的值。
（2）若2αβ+=，求m 的值。
高三总复习——实系数一元二次方程（共4页）
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例5．设关于x 的方程22230()x ax a a a R ++-=∈至少有一个模为1的根，求a 的值。
例6．已知关于x 的方程0212=+++i zx x 有实数根，求复数z 的模的最小值。
例7．在复数范围内解方程i
i i z z z
+-=++23)(2（i 为虚数单位）。
*例8．已知βα,是实系数一元二次方程02
=++c bx ax 的两根，且α为虚数，R ∈βα2
，求
β
α的值。
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练习 姓名____________
1．在复数范围内：方程2220()x ax a a R ++=∈的解是__________。
2．实系数方程20x ax b ++=的一个根是2i
，则a =_________，b =_________ 3．若12,x x 是一元二次方程270x x -+=的根，则()212x x -=_________
4．若,αβ是一元二次方程2250x x -+=的根，则αβ-＝_________
5．关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠在复数集内有两个根,αβ，则下列结论恒成立的是________
（1）,αβ互为共轭复数；（2）a c a b =⋅-
=+βαβα,；（3）042≥-=∆ac b ； （4）
αβ-= 6．关于x 的方程),0(02C x t t x ∈>=+的解集是_____________________。
7．已知方程0422=+-z z 的两根1z 与2z 在坐标平面上的对应点分别是A 与B ，点O 是坐标的原点，则AOB ∆的面积是______________。
8．方程2
0z z -=在复数范围内解的个数是（ ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）1个或2个 （D ）无穷多个
*9．二次方程2250x ix --=的根的情况是（ ）
（A ）有两个不相等的实根 ( B)有1个实根，1个虚根
（C ）有1对共轭复根 （D ）有2个虚根 10．设复数),0(,,)c o s 21()s i n
2(2
πθθθ∈∈++-=R a i a z 。
已知z 是方程0522=+-x x 的一个根，且z 在复平面内的对应点位于第一象限，求θ与a 的值。
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4 11．设虚数12,z z 满足2
12z z =，且12,z z 又是一个实系数一元二次方程的两个根，求12,z z 。
12．若,αβ是实系数一元二次方程20x x m ++=的两个虚根，且αβ-＝3，求m 的值。
13．已知βα,是方程)(022R a a x x ∈=++的两根，求βα+的值。
14．已知关于x 的实系数方程0322=-++k k kx x 有一个模为1的虚根，求实数k 的值。
15．证明：在复数范围内，方程i i z i z i z
+-=+--+255)1()1(2（i 为虚数单位）无解。
16．已知α是实系数一元二次方程20(0)ax bx c abc ++=≠的一个虚根，且3
R α∈，求证：,,a b c 成等比数列。