第四章能带理论

i k a 对于 k : λα = e α
对于 k ′ = k + G n
:
i k a α
λα = e
'
i k ′a α
=e
e
i G n a α
=e
i k a α
= λα
α=1, 2, 3
波矢量 k 和 k ′ = k + G n 所描述的电子在晶体中 的运动状态相同 与讨论晶格振动的情况相似, 取在由各 与讨论晶格振动的情况相似,通常将 k 取在由各 个倒格矢的垂直平分面所围成的包含原点在内的最小封 个倒格矢的垂直平分面所围成的包含原点在内的最小封 闭体积, 闭体积,即简约区或第一布里渊区中
ψ r + Nα a α = TαNαψ r = λαNαψ r = ψ r
(
)
()
()
(
()
)
()
λα = 1 = e
Nα
i 2π hα
hα=整数, α=1, 2, 3 整数,
2π hα ∴ λα = exp i Nα
h1 h2 h3 k= b1 + b2 + b3 N1 N2 N3
引入矢量
§4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
一,近自由电子模型 在周期场中,若电子的势能随位置的变化(起伏) 在周期场中,若电子的势能随位置的变化(起伏) 比较小,而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多, 比较小,而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多, 这样,电子的运动几乎是自由的.因此, 这样,电子的运动几乎是自由的.因此,我们可以把自 由电子看成是它的零级近似,而将周期场的影响看成小 由电子看成是它的零级近似, 的微扰 二,运动方程与微扰计算
2 2 2m + U r ψ r = Eψ r
() ()
()
为周期性势场, U r = U r + R 为周期性势场,
()
(
)
R = 1 a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 为格矢
方程的解为: 方程的解为:
ψ k r = e uk r
uk r = uk r + R 是以格矢 R 为周期的周期函数
N va V ρ k = = N 3= 3 b 8π 8π
()
va b = 8π 3
V = Nva
在简约区中, 在简约区中,波矢 k 的取值总数为
ρ k b = N =
2. Bloch函数的性质 函数的性质 Bloch函数 函数: 函数
()
晶体的原胞数
ψ k r = e i k r u k r
H 0ψ k(0) = Ek(0)ψ k(0) H 0ψ k(1) + H ′ψ k(0) = Ek(0)ψ k(1) + Ek(1)ψ k(0)
H 0ψ k(2) + H ′ψ k(1) = Ek(0)ψ k(2) + Ek(1)ψ k(1) + Ek(2)ψ k(0)
—— 零级近似 —— 微扰项
分别对电子能量E(k)和波函数ψ(k)展开 和波函数 分别对电子能量 展开
E ( k ) = Ek(0) + Ek(1) + Ek(2) +
ψk =ψ
(0) k
+ψ
(1) k
+ψ
(2) k
+
将以上各展开式代入Schrdinger方程中,得 方程中, 将以上各展开式代入 方程中
i k r
(
∴ψ r + R = ei k R ψ r
k
ik r + R
() ψ (r ) 定义一个新函数: 定义一个新函数: u ( r ) = e u ( r + R ) = e ( )ψ ( r + R )
k
k
(
)
(
()
)
) ()
()
k
=e
i k r i k R
e
=e
i k r
hα ∈ Z
λα = e
i k a α
a α b β = 2πδαβ
ψ r + R = ψ r + 1 a 1 + 2 a 2 + 3 a 3
(
)
= T11T2 2 T3 3ψ r = λ11 λ2 2 λ3 3ψ r
= exp i k 1 a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 ψ r
()
()
()
Bloch函数中,行进波因子 e i kr 描述晶体中电子 函数中, 函数中 的共有化运动,即电子可以在整个晶体中运动; 的共有化运动,即电子可以在整个晶体中运动;而周期 描述电子的原子内运动, 函数因子 uk r 描述电子的原子内运动,取决于原子 内电子的势场. 内电子的势场.
()
如果电子只有原子内运动(孤立原子情况),电子 如果电子只有原子内运动(孤立原子情况),电子 ), 的能量取分立的能级 若电子只有共有化运动(自由电子情况),电子的能 若电子只有共有化运动(自由电子情况),电子的能 ), 量连续取值 晶体中的电子既有共有化运动也有原子内运动,电子 晶体中的电子既有共有化运动也有原子内运动, 的能量取值就表现为由能量的允带和禁带相间组成的 能带结构
1 L U 0 = ∫ U ( x ) dx —— 势能平均值 L 0 1 L 2π nx U n = ∫ U ( x ) exp i dx L 0 a
根据近自由电子模型, 根据近自由电子模型,Un为微小量 电子势能为实数, 电子势能为实数,U(x)=U*(x)
L = Na
Un*=U-n
1. 非简并微扰
i k r k
() () ψ ( r ) = Ae ψ ( r ) = Cu ( r )
A = const.
C = const.
在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立 原子之间, 原子之间,是两者的组合 如果晶体中电子的运动完全自由, uk r = A = const. 如果晶体中电子的运动完全自由, 若电子完全被束缚在某个原子周围, 若电子完全被束缚在某个原子周围, e i kr = C = const . 由于晶体中的电子既不是完全自由的, 由于晶体中的电子既不是完全自由的,也不是完全被 束缚在某个原子周围,因此, 束缚在某个原子周围,因此,其波函数就具有 e i kr uk r 的形式. 的形式.周期函数 uk r 反映了电子与晶格相互作用的 强弱
Hψ r = Eψ r
α
α
α
平移算符T λα:平移算符 α的本征值 引入周期性边界条件: 引入周期性边界条件: 设Nα是晶体沿基矢 a α(α=1,2,3)方向的原胞数, , , )方向的原胞数, 晶体的总原胞数: = 晶体的总原胞数:N=N1N2N3
周期性边界条件: 周期性边界条件:
ψ r = ψ r + Nα a α
需要指出的是,在固体物理中,能带论是从周期性 需要指出的是,在固体物理中, 势场中推导出来的.但是, 势场中推导出来的.但是,周期性势场并不是电子具有 能带结构的必要条件,在非晶固体中, 能带结构的必要条件,在非晶固体中,电子同样有能带 结构 电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时, 电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时, 原子之间存在相互作用的结果, 原子之间存在相互作用的结果,而并不取决于原子聚集 在一起是晶态还是非晶态, 在一起是晶态还是非晶态,即原子的排列是否具有平移 对称性并不是形成能带的必要条件
Hψ k = E ( k )ψ k
2 d 2 + U ( x) H = 2 2m dx 2 d 2 2π nx = + U 0 + ∑U n exp i = H0 + H ′ 2 2m dx a n ≠0
2 d 2 H0 = + U0 2 2m dx
2π nx H ′ = ∑U n exp i a n ≠0
证明: 证明: 定义一个平移算符T 定义一个平移算符 α,使得对于任意函数 f r 有
()
()
(
i k r
)
()
—— Bloch函数 函数
Tα f r = f r + a α
()
(
)
()
) a α ( α=1, 2, 3) :晶格的三个基矢
Tα Tβ f r = Tα f r + a β = f r + a β + a α
h1 h2 h3 k= b1 + b2 + b3 N1 N2 N3
简约波矢: 简约波矢: k 限制在简约区中取值 广延波矢: 广延波矢: k 在整个 k 空间中取值 空间中所占的体积: 每一个量子态 k 在 k 空间中所占的体积
1 1 1 b b1 b2 × b3 = N1 N2 N3 N
空间中, 的分布密度: 在 k 空间中,波矢 k 的分布密度:
§4.1 Bloch定理 定理
一,周期场模型 周期场模型:在理想完整晶体中, 周期场模型:在理想完整晶体中,所有原子实都周期 性地静止排列在其平衡位置上; 性地静止排列在其平衡位置上;每一个 电子都处在除其自身外其他电子的平均 势场和原子实所组成的周期场中运动 定理( 二,Bloch定理(1928年) 定理 年 在周期场中,描述电子运动的 在周期场中,描述电子运动的Schrdinger方程为 方程为
()
()
行进波因子 波的形式
e i kr 表明电子可以在整个晶体中运动
的,称为共有化电子,它的运动具有类似行进平面 称为共有化电子, 周期函数 uk r 的作用则是对这个波的振幅进行 调制, 调制,使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振 荡,但这并不影响态函数具有行进波的特性
()
晶体中电子: 晶体中电子: ψ k r = e i kr uk r 自由电子: 自由电子: 孤立原子: 孤立原子: