判断函数增减性
函数的增减性
单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调．
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法: 用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点
二、 确定下列函数的单调区间：
10 1、 y ； 3 2 4x 9x 6x 2 2、 y 3 ( 2 x a )(a x ) 3、 y x sin 2 x .
a 0 )； (
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三、 证明下列不等式： 1、 当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2 ； 2、 当 x 4时， 2 x x 2 ； 1 3 3、 若 x 0，则 sin x x x . 6 四、 方程 ln x ax (a 0) 有几个实根.
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当1 x 2时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
f ( 0 ) 0, 在[0,)上单调增加；
当x 0时，x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
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二、小结
单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的 重要应用.
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证
x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得 ( x1 x2 )
增函数和减函数的判定
增函数和减函数的判定增函数和减函数是数学中常用的概念，用于描述函数的增减性质。
在数学中，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的规则。
增函数和减函数是函数的一种特殊性质，它们描述了函数图像随着自变量增加而变化的趋势。
严格说来，增函数是指在定义域上，随着自变量的增加，函数值也随之增加；减函数则是指在定义域上，随着自变量的增加，函数值反而减小。
本文将详细介绍增函数和减函数的定义、判定方法和一些实际应用。
首先，我们来看增函数的定义。
一个函数f(x)被称为在定义域上的增函数，当且仅当对于任意的x1和x2，如果x1<x2，则f(x1)<f(x2)。
也就是说，当自变量的值增加时，函数值也随之增加。
接下来我们来看减函数的定义。
一个函数f(x)被称为在定义域上的减函数，当且仅当对于任意的x1和x2，如果x1<x2，则f(x1)>f(x2)。
也就是说，当自变量的值增加时，函数值反而减小。
基于这些定义，我们可以通过以下方法来判定一个函数是增函数还是减函数：1.寻找函数的导数函数的导数可以帮助我们理解函数的变化率。
如果函数在定义域上的导数始终大于零，则该函数是一个增函数；如果导数始终小于零，则该函数是一个减函数。
如果导数既大于零又小于零，则该函数不是增函数也不是减函数。
2.比较函数在不同点上的值通过比较函数在不同点上的值，我们可以判断函数是增函数还是减函数。
如果函数在自变量值较小的点上的函数值比自变量值较大的点上的函数值小，则该函数是一个增函数。
反之，如果函数在自变量值较小的点上的函数值比自变量值较大的点上的函数值大，则该函数是一个减函数。
3.判断函数的变化性通过观察函数的图像和变化趋势，可以直观地判断函数是增函数还是减函数。
如果函数的图像从左向右逐渐上升，则该函数是一个增函数。
如果函数的图像从左向右逐渐下降，则该函数是一个减函数。
除了上述判定方法，增函数和减函数在实际应用中也具有一些特殊性质：1.增函数和减函数的性质-增函数的复合函数仍然是增函数，即如果f(x)是增函数，g(x)是任意函数，则复合函数f(g(x))也是增函数。
判断函数单调性的常见方法
判断函数单调性的常见方法一、函数单调性的定义：一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I∈A，如对于区间内任意两个值X1、X2，1）、当X1<X2时，都有f(X1)<f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为函数的单调增区间；2）、当X1>X2时，都有f(X1)>f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为函数的单调减区间。
二、常见方法：Ⅰ、定义法：定义域判断函数单调性的步骤①取值：在函数定义域的某一子区间I内任取两个不等变量X1、X2，可设X1<X2;②作差（或商）变形：作差f(X1)-f(X2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形；③定号：确定差f(X1)-f(X2)的符号；④判断：根据定义得出结论。
例：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明解：任取x1、x2∈(-∞，+∞)，x1<x2,则f﹙x1﹚-f﹙x2﹚=(x13+x1)- (x23+x2)=(x1-x2)+(x13-x23)=(x1-x2)(x12+x22+x1x2+1)=(x1-x2)[﹙x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22]∵x1、x2∈(-∞，+∞)，x1<x2,∴x1-x2<0,（x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22>0故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)∴f(x)在(-∞，+∞)上单调递增Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）：①函数y=-f(x)的单调性相反②函数y=f(x)恒为正或恒为负时，函数y=f(x)的单调性相反③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数例：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性解：设y1=-x+1,y2=1/x,∵y1在（0，+∞）上↓，y2在（0，+∞）上↓,∴y=-x+1+1/x在（0，+∞）内↓Ⅲ、图像法：说明：⑴单调区间是定义域的子集⑵定义x1、x2的任意性⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数自变量与函数相对→单调减函数Ⅳ、分析法：复合函数单调性判断：例：判断y=1/(-2x-3)的单调性解：令u=-2x-3,∵y=1/u在（0,+∞）↓,在（-∞，0）↑，u(x)在(-∞,+∞)↓∴y=1/(-2x-3)在（0,+∞）↑，在（-∞，0）↓这种方法概括为“同减异增”判断函数单调性的常见方法有定义法、直接判断法、图像法、分析法……做题时要结合具体题意，找出适当的方法解题。
判断函数单调性的方法
判断函数单调性的方法判断函数的单调性是数学中常见的问题，对于函数的单调性，我们需要通过一定的方法进行判断，以便更好地理解和应用函数的性质。
下面，我们将介绍几种常用的方法来判断函数的单调性。
一、导数法。
判断函数的单调性最常用的方法之一就是利用导数。
对于函数f(x)，如果在定义域内f'(x)≥0，那么函数f(x)在该区间上是单调不减的；如果在定义域内f'(x)≤0，那么函数f(x)在该区间上是单调不增的。
如果在定义域内f'(x)恒大于0（或恒小于0），那么函数f(x)在该区间上是严格单调不减的（或严格单调不增的）。
二、一阶导数和二阶导数法。
除了利用导数的正负来判断函数的单调性外，我们还可以通过一阶导数和二阶导数的关系来判断函数的单调性。
如果在定义域内f'(x)≥0且f''(x)≥0，那么函数f(x)在该区间上是单调不减的；如果在定义域内f'(x)≤0且f''(x)≥0，那么函数f(x)在该区间上是单调不增的。
三、零点法。
利用函数的零点也可以帮助我们判断函数的单调性。
对于函数f(x)，如果在定义域内f'(x)在某一点x=a处为零，那么可以通过判断f'(x)在x=a点的左右性质来确定函数f(x)在该区间上的单调性。
四、拐点法。
函数的拐点也可以帮助我们判断函数的单调性。
如果在定义域内f''(x)在某一点x=a处为零，那么可以通过判断f''(x)在x=a点的左右性质来确定函数f(x)在该区间上的单调性。
五、特殊点法。
对于一些特殊的函数，我们也可以通过一些特殊点来判断函数的单调性。
比如对于一些周期函数，我们可以通过周期点来判断函数的单调性。
六、综合运用。
在实际应用中，我们往往需要综合运用以上方法来判断函数的单调性。
通过分析函数的导数、零点、拐点、特殊点等信息，结合函数图像，可以更准确地判断函数的单调性。
证明函数单调性的方法总结归纳
证明函数单调性的方法总结归纳1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D 内为增函数；如果f′(x)注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．搜集整理，仅供参考学习，请按需要编辑修改。
函数的增减性
函数的增减性
增函数与减函数的概念是减函数减增函数是减函数，减函数是指在定义域内，函数值随自变量的增大而减小，随自变量减小而增大的函数。
在定义域内函数y的值随着x的增大而增大，是增函数，函数y的值随着x的减小而减小，是减函数。
图像上看沿着x轴正向图像上升就是增函数，图像上看沿着x轴正向图像上升就是增函数
函数增减性。
主要有图像法，导数法，定义法三种。
图像法：如果函数图像在定义域内一直上升，则说明函数是增函数，如果图像在定义域内一直下降，则为减函数，否则就是非增非减函数。
定义法：设函数f（x）在定义域内存在任意的x1，x2，且x1\uex2，然后用发f（x1）-f（x2），判断f（x1）-f（x2）与零的大小，若f（x1）-f（x2）\ue0，则函数f（x）为增函数，若f（x1）-f（x2）0，则f（x）为增函数，若f（x）’\uc0，f（x）为减函数。
增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；增函数-减函数=增函数；减函数-增函数=减函数。
增函数：一般地,设函数f(x)的定义域为d,如果对于定义域d内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1\ucx2时,都有f(x1)\uc f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
此区间就叫做函数f(x)的单调增区间。
也就是在某个区间，y随x的增大而增大减函数：一般地,设函数f(x)的定义域为d,如果对于定义域d内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1 f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。
此区间叫做函数f(x)的单调减区间。
也就是在某个区间，y随x的增大而减小。
判断函数单调性的方法
判断函数单调性的⽅法
函数单调性的判断⽅法有导数法、定义法、性质法和复合函数同增异减法。
⾸先对函数进⾏求导，令导函数等于零，得X值，判断X与导函数的关系，当导函数⼤于零时是增函数，⼩于零是减函数。
判断函数单调性的⽅法步骤
利⽤定义证明函数单调性的步骤
①任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2
②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配⽅、有理化等⽅法将差式向有利于判断差的符号的⽅向变形
③判断定号：确定f(x1)－f(x2)的符号
④得出结论：根据定义作出结论（若差0，则为增函数；若差0，则为减函数）
即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”。
证明函数单调性的方法
证明函数单调性的方法在数学中，证明函数的单调性是一个非常重要的问题。
函数的单调性指的是函数在定义域内的增减性质，即函数的取值随自变量的增减而增加或减少。
证明函数的单调性有多种方法，下面我们将介绍几种常见的方法。
一、导数法。
证明函数单调性的常用方法之一是利用导数。
对于给定的函数，我们可以求出其导数，并通过导数的正负性来判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上就是单调递增（或单调递减）的。
以求证函数f(x)在区间(a, b)上单调递增为例，我们可以先求出函数f(x)在该区间上的导数f'(x)，然后证明f'(x)恒大于零。
如果能够证明f'(x)>0，那么就可以得出函数f(x)在区间(a, b)上单调递增的结论。
二、一阶导数和二阶导数法。
除了利用导数的正负性来证明函数的单调性外，我们还可以利用一阶导数和二阶导数的关系来进行证明。
具体来说，如果函数在某个区间上的一阶导数恒大于零，而二阶导数恒大于或恒小于零，那么函数在该区间上就是单调递增的。
同理，如果一阶导数恒小于零，而二阶导数恒大于或恒小于零，那么函数在该区间上就是单调递减的。
三、零点法。
另一种证明函数单调性的方法是利用函数的零点。
具体来说，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上就是单调递增（或单调递减）的。
而函数的导数恒大于零（或恒小于零）又可以通过证明函数的导数在该区间上没有零点来得到。
因此，我们可以通过证明函数的导数在某个区间上没有零点来证明函数在该区间上的单调性。
四、其他方法。
除了上述方法外，还有一些其他方法可以用来证明函数的单调性，比如利用函数的图像、利用函数的定义等。
在具体问题中，我们可以根据函数的性质和给定条件选择合适的方法来进行证明。
总结。
综上所述，证明函数的单调性有多种方法，包括导数法、一阶导数和二阶导数法、零点法以及其他方法。
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判断函数增减性
组合函数
增+增得增 减+减得减 增-减得增 减-增得减
复合函数
定义
一般地，对于两个函数()u f y =和()x g u =，当函数()x g u =的值域Rg (∅≠Rg )是()u f y =的定义域Df 的子集时，通过变量u ,y 可以表示成x 的函数()[]x g f y =，那么称这个函数为函数()u f y =和()x g u =的复合函数，其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量。
生成条件 ∅≠⊂Rg Df Rg ,
定义域
若函数()u f y =的定义域是Df ,()x g u =的定义域是Dg,则复合函数()[]x g f y =的定义域()Dg Df Dy ⋂= ,即取两个函数定义域的交集。
备注：
分段函数的定义域是各段函数定义域的并集。
周期性
设函数()u f y =的最小正周期为1T ,()x g u =的最小正周期为2T ,则复合函数()[]x g f y =的最小正周期为21*T T ,任一周期可表示为()+∈R
k T T k 21**。
增减性
根据()u f y =，()x g u =的单调性决定。
即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”
推导：
令()x g t =，则()t f y = ()x g 是增函数，x 越大，()x g 越大，即t 越大
若()t f 是增函数，则()t f 越大，即y 越大 （同增）
若()t f 是减函数，则()t f 越小，即y 越小 （异减）
判断复合函数的单调性的步骤如下：
(1)求复合函数定义域；
(2)将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指数、对数函数）；
(3)判断每个常见函数的单调性；
(4)将复合函数的定义域分段（每个常见函数在每段定义域上具有单调性）；
(5)根据“通增异减”求出复合函数的单调性。
例如：
讨论函数3428.0+-=x x y 的单调性。
解：函数定义域为R
令342+-=x x u 则u
y 8.0=
指数函数u y 8.0=在定义域R 上是减函数 二次函数342
+-=x x u 在(]2，∞-上是减函数，[)∞+，2上是增函数 因此，函数3428.0+-=x x
y 在(]2，
∞-上是增函数，[)∞+，2上是减函数
求导 复合函数()[]x g f y =的导数和函数()u f y =和()x g u =的导数间的关系为 '⋅'='x u x u y y。