考研数学思维导图例题解析
考研数学 知识结构思维导图(数二)
1.分离变量，物以类聚人以群分 2.y'在等式左侧，右侧应写成乘积形式
一阶微分方程的求解
齐次型
y'=f(y/x)
对x求导
1/y'=f(x/y)
对y求导
换元后分离变量，交换x和y的地位
一阶线性型（或可换元为它）
y'+p(x)y=q(x) 伯努利方程
y'+p(x)y=q(x)的特殊形式
伯努利方程可理解为一 阶线性方程的普遍形式
符号函数 抽象函数
复合函数
偏导函数
换元法
一元函数积分换元法 二元函数积分换元法
应用
面积
1.积分变化口诀：后积先定限，限内画直 线，先交先下限，后交写上限；
2.注意对称性得0的应用可以极大地化简计 算
微分方程
可分离变量
y'=f(x).g(y)
分离变量
y'=f(ax+by+c)
换元后再分离变量
一般一层积分不易处理，化成两层积分，在交换 积分次序
分部积分法
换序型
反常积分的计算
研究对象
常规题型取绝对值时取值范围
曲线平移时相关符号不同取值范围所对应的面积
切线综合
函数列综合
题型总结
在平面极坐标系中，如果极径ρ随极角θ的 增加而成比例增加（或减少），这样的动
点所形成的轨迹叫做螺线。
阿基米德螺旋线
数列极限
定义
定义及使用
唯一性 有界性
使用
保号性
为常数
收敛充要条件
归结原则的使用（变量连续化）
直接计算法
定义法（先暂后奏）
张宇考研数学基础30讲线性代数分册
内容摘要
本书介绍了二次型的定义、性质和标准型，以及二次型的配方法和正定性。同时，还讲解了二次 型与对称矩阵的关系，以及如何利用二次型解决实际问题。 内容全面：本书涵盖了考研数学线性代数所需的所有知识点，从基本概念到解题技巧都有详细的 讲解。 实用性强：本书不仅注重知识点的讲解，还提供了大量的例题和练习题，便于学生理解和掌握。 难度适中：本书的难度适中，既不过于简单也不过于复杂，适合大多数学生的需求。 语言简洁易懂：本书的语言简洁易懂，易于理解和学习。
阅读感受
《张宇考研数学基础30讲线性代数分册》读后感
作为一名数学爱好者，我一直对张宇老师的数学课程抱有极高的兴趣。最近， 我阅读了张宇老师的《张宇考研数学基础30讲线性代数分册》，这本书给我留下 了深刻的印象，让我对线性代数有了更深入的理解。
这本书的内容非常丰富，涵盖了线性代数的各个方面，包括矩阵、向量、行 列式、特征值、空间等。每个主题都从基础概念讲起，逐步引入复杂的理论和应 用。同时，书中还配有很多实例和练习题，这些题目非常有代表性，有助于读者 加深对知识的理解和应用。
张宇考研数学基础30讲线性 代数分册
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
本书关键字分析思维导图
讲解
向量
分册
数学
介绍
线性
包括
数学
基础
矩阵 方程组
定义
张宇
利用
二次型
考研
对角
性质
知识
内容摘要
内容摘要
《张宇考研数学基础30讲线性代数分册》是一本专门针对考研数学线性代数部分的辅导教材。本 书涵盖了考研数学线性代数所需的所有知识点，包括行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值 与特征向量、矩阵的对角化、二次型等。 本书首先介绍了行列式的定义、性质和计算方法，包括展开式和递推式等。同时，还讲解了克拉 默法则，以及如何利用行列式解线性方程组。 矩阵是线性代数的核心概念之一。本书详细介绍了矩阵的定义、性质和操作，包括矩阵的加法、 减法、乘法、转置等。还讲解了逆矩阵的概念和计算方法，以及如何利用矩阵解线性方程组。 向量是线性代数的基本对象之一。本书介绍了向量的定义、性质和操作，包括向量的加法、数乘、 内积和外积等。同时，还讲解了向量组的线性相关性和向量组的秩，以及如何利用向量解线性方 程组。
考研数学这十年
这是《考研数学这十年》的读书笔记，暂无该书作者的介绍。
谢谢观看
这本书的编者王志超先生显然对考研数学有着深入的研究。他精心挑选了 2013年至2022年的考研数学数学数学三的全部真题，同时加入了1987年至2012年 的精选真题。这些题目不仅仅是单纯的题目，而是对于考研数学的细致入微的解 读和剖析。每一个题目都伴随着详细的解答过程，这使得读者不仅能够理解答案 的表面，更能够深入理解解题的思路和方法。
在阅读过程中，我深深被书中对于数学题目的解析所吸引。编者并不是简单 地给出答案，而是通过对于题目的分析，让我们看到了解这个题目的背后逻辑和 思考过程。这对于我们这些学习者来说，无疑是一种极大的帮助。它不仅让我们 知道答案是什么，更让我们理解为什么答案是如此，进而能够举一反三，解决更 多类似的问题。
《考研数学这十年》是一本非常实用的书籍，它不仅提供了大量的解题技巧 和方法，还总结了考试中容易出错的地方和需要注意的问题。通过阅读这本书并 认真实践其中的方法，相信可以帮助考生在考研数学中取得优异的成绩。
阅读感受
数学，这个看似寻常的学科，在考研的舞台上却有着举足轻重的地位。无论 是理工科还是经济管理类专业，数学都是必考科目。而对于那些备考研究生入学 考试的人来说，一本详尽且深入的数学参考书是必不可少的。《考研数学这十年》 就是这样一本书，它为我们提供了近十年来考研数学的真题和详解，更在此基础 上加入了对于考研数学的深度解析和预测。
这本书不仅仅是对考研数学的回顾和总结，更是对未来考试的预测和展望。 通过对于历年真题的深入解析，编者试图为我们揭示出考研数学的出题规律和未 来的可能趋势。这使得我们在备考过程中，能够更加精准地定位自己的学习方向 和方法，做到有的放矢。
我特别欣赏这本书对于"新题型"的特别。随着时间的推移，考研数学的题型 也在不断地变化和更新。这种变化不仅仅体现在题目的形式上，更体现在题目的 内容和难度上。这本书通过对于新题型的解析和训练，帮助我们适应这种变化， 更好地应对未来的考试。
李永乐《考研数学复习全书基础篇》
再次，这本书的目录还注重前后和知识整合。在每个部分的开头部分，都会 有一个总体的知识框架图，帮助学生了解该部分所有知识点之间的关系。同时， 在每个章节的后面，都会设置一定数量的习题，帮助学生检验自己对本章知识的 掌握程度。这些习题不仅涵盖了各种题型，而且难度适中，既有对基础知识的考 察，也有对综合能力的考察，使得学生能够在复习过程中得到全面的锻炼。
这本书的目录还强调应用和实践。每个部分的最后都会设置一个或多个实际 应用案例，这些案例不仅涉及到各个章节的知识点，而且与实际生活密切相关。 例如在概率论与数理统计部分的设置了一个关于数据分析和预测的案例，这个案 例需要学生运用所学的概率论、随机变量和统计估计等知识进行分析和解答。这 样的目录设置不仅帮助学生巩固所学知识，而且提高了学生运用数学知识解决实 际问题的能力。
对于求解多元函数最值的方法，作者们总结出了极值点附近函数值的变化趋 势、无条件极值和条件极值等各种情况的方法和技巧，使考生们能够全面掌握求 解最值问题的能力。
在概率统计部分，作者们详细讲解了各种概率分布的性质、计算概率的方法 以及统计量的分布等知识。其中，对于古典概型、几何概型、条件概率、独立性 等概念的讲解非常透彻，并且例题丰富，非常有利于考生掌握概率统计知识。
内容摘要
在线性代数部分，本书从矩阵、行列式、向量、线性方程组等方面进行了详细的讲解，通过具体 的例题和练习题帮助考生理解和掌握线性代数的核心概念和方法。同时，本书还对线性代数的应 用进行了详细的介绍，如线性变换、特征向量、矩阵的对角化等。 在概率论与数理统计部分，本书详细讲解了随机事件、随机变量、概率分布、数理期望、方差、 协方差等基本概念和理论。通过大量的例题和练习题，帮助考生理解和掌握概率论与数理统计的 基本方法和应用。 《李永乐《考研数学复习全书基础篇》》是一本非常实用的数学参考书，对于准备考研的考生来 说是一本必备的参考书。这本书不仅全面系统地讲解了考研数学的基础知识，还通过大量的例题 和练习题帮助考生理解和掌握这些知识。如果大家正在准备考研数学，那么这本书是必读的。
考研数学一思维导图
数学一（By 风吟）高等数学线性代数概率论与数理统计函数、极限、连续一元函数微分学一元函数积分学向量代数和空间解析几何多元函数微分学多元函数积分学无穷级数常微分方程行列式矩阵向量线性方程组矩阵的特征值和特征向量二次型随机事件和概率随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律和中心极限定理数理统计的基本概念参数估计假设检验函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数一阶微分形式的不变性 微分中值定理洛必达（L’Hospital ）法则 函数单调性的判别 函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和向量积 向量的混合积两向量垂直、平行的条件 两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程 直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件 点到平面和点到直线的距离球面 柱面 旋转曲面常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程多元函数的概念二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 方向导数和梯度 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线 二元函数的二阶泰勒公式 多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用 二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用 两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲线积分的关系 格林（Green ）公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算 两类曲面积分的关系 高斯（Gauss ）公式 斯托克斯（Stokes ）公式 散度、旋度的概念及计算 曲线积分和曲面积分的应用 常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p 级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶（Fourier ）系数与傅里叶级数 狄利克雷（Dirichlet ）定理常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（Bernoulli ）方程 全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler ）方程 微分方程的简单应用行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理矩阵的概念 矩阵的线性运算矩阵的乘法 方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵 矩阵的初等变换初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算向量的概念向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组 向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念n 维空间向量的基变换和坐标变换过渡矩阵 向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基 正交矩阵及其性质线性方程组的克拉默（Cramer ）法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵二次型的秩 惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性随机事件与样本空间 事件的关系与运算完备事件组 概率的概念 概率的基本性质古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验 随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布 多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质切比雪夫（Chebyshev ）不等式切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli ）大数定律 辛钦（Khinchine ）大数定律棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace ）定理列维-林德伯格（Levy-Lindberg ）定理总体 个体简单随机样本统计量 样本均值样本方差和样本矩X2分布t 分布 T 分布 分位数正态总体的常用抽样分布随机变量函数的分布点估计的概念 估计量与估计值矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念单个正态总体的均值和方差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计显著性检验假设检验的两类错误单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。
第2讲 位置讲义-五年级上册数学讲义(思维导图+知识梳理+ 例题精讲+易错专练)人教版(含答案)
第2讲位置（思维导图+学问梳理+典型精讲+易错专练）一、思维导图二、学问点梳理学问点一：用数对表示具体情境中物体的位置。
1、列和行的意义：竖排为列，横排为行；2、确定列和行的方法：确定列数从左往右数，确定行数从前往后数；3、用数对表示物体的位置：先数列数，再数行数，把两个数写在括号里，用逗号隔开，表示为（列数，行数）。
三、典型精讲考点一：用数对表示物体位置【典型一】（2020春•高邑县期中）如图，一个正方形的四个顶点分别是A、B、C、D，假如A点的位置是（1，1），B点的位置是（5，1），C点的位置是（5，5），那么D点的位置是（）A．（5，1）B．（1，5）C．（5，0）D．（0，5）【分析】依据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列，其次个数字表示行，A点的位置是（1，1），可得点A在第1列第1行，C点的位置是（5，5），可得点C在第5列第5行，所以点D在第1列第5行，那么D点的位置是（1，5），据此得解．【解答】依据分析可知：D点的位置是（1，5）．故选：B．【典型二】我会确定位置。
（1）民生学校所在位置用数对表示为（8，5），请在图中方格里标出来。
（2）李刚同学家在（2，3），每天上学先向北面走2格，再向东面走6格就到学校了。
【分析】（1）依据数对的表示位置的方法，在图中标出民生学校的位置即可。
（2）依据地图上的方向和格数进行求解。
（答案不唯一）【解答】解：（1）（2）李刚同学家在（2，3），每天上学先向北面走2格，再向东面走6格就到学校了。
故答案为：北，2，东，6。
考点二：在方格纸上用数对确定物体位置【典型一】如图，假如有一个D点，顺次连接A、B、C、D、A能得到一个平行四边形．那么请你画出D点，并用数对表示．再按挨次连出这个平行四边形．【分析】依据平行四边形的特征，平行四边形对边平行且相等，因此，点D与点A在同一行，由于点A在点B的左边一列，点D也在点C的左一列，即点D在第7列，第2行，依据依据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，其次个数字表示行数，即可用数对表示点D的位置．【解答】解：假如有一个D点，顺次连接A、B、C、D、A能得到一个平行四边形．那么请你画出D点，并用数对表示．再按挨次连出这个平行四边形（下图）：点D用数对表示是：（7，2）．【典型二】如图是绿苑动物园平面图的一部分．①熊猫馆在大门的正北方向200米处．②假如用（9，1）表示大门的位置，请你用数对表示出其它景点的位置．熊猫馆（9，3）；鸟林（1，8）；虎园（5，5）；孔雀巢（2，4）；猴山（12，7）③请你在图中标出这两个景点的位置．海底世界（4，7）狮子馆在大门东400m处．【分析】（1）依据给出的方向标，明确上北、下南、左西、右东，推断方位，在正北方，1格表示100米，向北2格即200米；（2）依据供应的数对，明确数对的表示方法即：先写列，再写行；进而得出；（3）依据给出的条件，画图即可；【解答】解：①熊猫馆在大门的正北方向200米处．②熊猫馆（9.3）；鸟林（1，8）；虎园（5，5）；孔雀巢（2，4）；猴山（12，7）．③如图，故答案为：正北，200，（9，3），（1，8），（5，5），（2，4），（12，7）．四、易错专练一、选择题（满分16分）1．王刚的座位用数对（3，5）表示，如图，他后面同学的座位用数对表示是（）。
2024年考研数学复分析题型详解及答案讲解
2024年考研数学复分析题型详解及答案讲解在2024年的考研中，数学科目一直是各大考生关注的焦点，而复分析题型更是其中的难点之一。
本文将围绕2024年考研数学复分析题型进行详解，并提供相应的答案讲解，希望对考生有所帮助。
一、函数的解析性质在复分析中，函数的解析性质一直是研究的重点。
主要包括函数的解析性、全纯性和调和性等概念。
在考试中，我们经常会遇到与函数解析性质相关的选择题。
例如，考题可能会给出一个函数的定义式，要求判断其在某个区域内是否解析。
对于这类题目，我们一般需要利用函数的柯西—黎曼条件来进行判断。
如果柯西—黎曼条件在给定的区域内成立，则函数是解析的。
二、级数展开与积分计算级数展开和积分计算是复分析中常见的计算方法。
在考试中，我们可能会遇到需要对函数进行级数展开的题目，或者需要计算某个函数的积分值。
对于级数展开，我们可以利用泰勒级数或洛朗级数进行展开。
对于给定的函数，我们可以根据定义进行级数展开，然后利用展开式计算问题中要求的值。
对于积分计算，我们可以利用留数定理或者围道定理等方法进行求解。
对于给定的积分，我们可以通过找到合适的路径，将积分化简为简单的形式，然后利用定义或现有的公式进行计算。
三、解析函数的应用解析函数在实际问题求解中有着广泛的应用。
在考试中，我们可能会遇到需要利用解析函数进行问题求解的题目。
例如，题目可能给出一个实际问题，要求我们利用解析函数的性质进行求解。
在此类问题中，我们需要将实际问题转化为解析函数的形式，然后运用解析函数的性质进行计算。
四、常见题型详解及答案讲解1. 判断函数的解析性质题目描述：给定函数$f(z)=\frac{e^z}{z^3-z}$，判断其在区域$D=\{z|\frac{1}{2}<|z|<1\}$内是否解析。
答案讲解：为了判断函数的解析性质，我们需要验证柯西—黎曼条件是否成立。
柯西—黎曼条件要求函数的实部和虚部满足一定的偏导数关系。
首先，我们计算函数$f(z)$的实部和虚部：实部：$u(x,y)=\mathrm{Re}(f(z))=\frac{e^x\cos y}{x^3-x}-\frac{e^x\sin y}{x^3-x}$虚部：$v(x,y)=\mathrm{Im}(f(z))=\frac{e^x\sin y}{x^3-x}+\frac{e^x\cos y}{x^3-x}$然后，计算实部和虚部的偏导数：$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{3e^x\sin y}{x^3-x}-\frac{3e^x\cos y}{(x^3-x)^2}$$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{e^x\cos y}{x^3-x}-\frac{e^x\sin y}{x^3-x}$$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{3e^x\cos y}{x^3-x}+\frac{3e^x\sin y}{(x^3-x)^2}$$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{e^x\sin y}{x^3-x}+\frac{e^x\cos y}{x^3-x}$根据柯西—黎曼条件，我们有：$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$通过计算可以发现，这两个偏导数关系在区域$D$内成立。
考研数学张宇强化36讲
编写风格独特：本书的编写风格简洁明了，语言通俗易懂，让考生能够轻松理解和掌握数学知识。 同时，书中的插图和表格也使得内容更加生动形象，便于考生记忆和理解。
《考研数学张宇强化36讲》是一本非常优秀的考研数学辅导书籍。通过阅读 这本书，我不仅掌握了数学知识，还提高了自己的数学思维能力和解题能力。我 相信这本书对其他考生也一定会有很大的帮助和启示作用。
目录分析
《考研数学张宇强化36讲》是考研数学领域的重要参考书籍，其深入浅出的 讲解方式，深受广大考研学生的喜爱。以下是对这本书目录的详细分析。
全书共分为六大部分，分别是：极限与连续、微分中值定理与导数应用、积 分与微分、多元函数微分与积分、常微分方程和线性代数初步。这六大部分基本 涵盖了考研数学的主要知识点，按照难度的递增进行排列，符合学生的学习习惯。
每一部分又细分成六个模块，共三十六个讲。例如在积分与微分部分，包括 了原函数与不定积分、定积分及其性质、多重积分、微分方程初步、无穷级数和 特殊函数这六个模块。每个模块都以一个具体的例子或者问题为起点，引导学生 思考并掌握相关的数学理论和应用。
阅读感受
《考研数学张宇强化36讲》是一本备受推崇的考研数学辅导书籍，被广大考 生视为必备的数学复习资料之一。通过阅读这本书，我感受到了张宇老师的深厚 教学经验和扎实的数学知识。
这本书的内容非常丰富，涵盖了考研数学所涉及的所有知识点。每个知识点 都讲解得非常详细，而且每个章节都由浅入深地分为三个层次，让读者能够逐步 深入地理解和掌握数学知识。书中还提供了大量的例题和练习题，这些题目质量 很高，能够帮助读者巩固所学知识。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
目录
数列极限专题............................................................................................................................ 1 导数（定义及高阶）专题........................................................................................................ 5 中值定理证明方法专题............................................................................................................ 9 多元函数极值与最值专题...................................................................................................... 18 一元函数积分学专题.............................................................................................................. 22 方程组的同解公共解专题...................................................................................................... 24 求和函数专题.......................................................................................................................... 28 相似矩阵专题.......................................................................................................................... 34
|
|⋯
2√2 1 4
|
|
当 → ∞时， √ 8.【解析】 由于 0，所以
→ 0 ，故lim →
，即lim →
√2 1
1
根据拉格朗日中值定理，存在 ∈ 0, ，使得 1
所以 假设0
，故
，0
，则
1
0
2
公众号：空卡空卡空空卡
所以
，0
故 是单调减少的数列，且有下界，从而 收敛
设lim → 令
，得 1，则 ′
有 → ∞时 → ∞，且
1
1
1
1
1⇒
1 1
1
1
于是
1 1
1 1
⋯
1 1
1 1 1 1⋯1
1
1
故
lim
→
1 1
1 1
⋯
1 1
11 3
7.【解析】
无上界，只能 1
记 √2 1,
，则
|
|
1 2
1 2
1 2
|
|
1 2
|
|∙|
|
由
1 2
,
1 2
√2
1
√2
1 2
故
|
|
1 2
√2
1 2
∙|
|
2√2 4
1|
|
2√2 1 4
→
11.【解析】 （1）因
lim
→
又当 → 0 时，
lim
∙ lim
→
→
，所以不等式0
（2）由（1）知，当 充分大时，有
1
1
√
故
1
1
lim
→
1
∙
0
2 lim
→
3
成立
1
2 3
lim
→
1
1
1
11
2 3
1
而
11
1
1
于是
lim
1
lim 1
1
→
→
1
1 1
2
由夹逼准则知lim →
2
4
公众号：空卡空卡空空卡
导数（定义及高阶）专题
1.【解析】A
0
0
0 lim
→
0 lim
→
0 lim
→
0 lim
→
0
||
0
0
0
||
0
0
因为 在 0处可导，所以 0
0 ，于是 0 0
2.【解析】-2
因0 0 0
0 ，故 在 0处连续
2 1
0
1，易知 。
0为其解。下证其唯一性
当 0时， ′
0，函数 在 0, ∞ 上单调增加
所以 0是方程 9.【解析】
1在 0, ∞ 上的唯一解，故lim →
0
（1）令
2 ln 1 , 0则
令
0，得 1，是唯一驻点，
1
2 1
1 1
且当0
1时，
0；当 1时，
0，又
如图所示，所以
0 0, 1 1 2 2 0
lim
（1）令
,∈ ,
,
因
0
lim
→
故存在 ∈ ,
，使得
0
两边取极限，有 2 ln 1 ，由（1）可知
1,2,3, ⋯ ,
的图像如图所示
∞0
由零点定理，存在 ∈ , ⊂ ,
，使得
0
（2）当 → ∞时，由于 ∈ , 知
，则lim →
∞，且
，有界，又由（1）
1
∙
3
1
∙
公众号：空卡空卡空空卡
故
lim
→
从而 lim
I
公众号：空卡空卡空空卡
数列极限专题
1.【解析】D
设lim →
，则lim →
0
因
是单调递增的，故存在唯一零点即 0，因此 0
2.【解析】D
由lim →
0可知
有界，即存在实数 , ，使得
又知 单调减少， 单调增加，从而有
,
即 单调减少有下界， 单调增加有上界，从而有lim →
0，知lim →
lim →
记lim →
，根据递推式，得 ln 1 ，解得 0，于是lim →
0
（2）
lim
→
lim
→
ln 1 ln 1
归结原则
6.【解析】
lim
→
ln 1 ln 1
lim
→
1
2
2
已知
1
，故 单调增加，若其有上界，则lim → 存在，记为 。
1
公众号：空卡空卡空空卡
于是有
,
0，得 0，又由题设，知
3，则 3 0，矛盾，故
2 ln 1
→
∞0
在 0,1 内无零点，在 1, ∞ 内有唯一零点 ，故原方程在 0, ∞ 内有唯一实根 。
（2）由
,
0，即 2 ln 1
，且 2 ln 1 ，又 2 ln 1 单
调增加，于是有
假设
成立，则有 2 ln 1
，即
，于是 单调减少且有下界
故lim → 存在，记为 ，在 10.【解析】
2 ln 1
和lim →
3.【解析】C
均存在，且lim →
lim →
1 0，由极限的保号性，知∃ 0，当
时，
0，于是自某项起（
起），
同号
4.【解析】D
由极限存在的充要条件，即
lim
→
5.【解析】
⇔ lim
lim
→
→
⇔ lim
lim
lim
→
→
→
（1）用数学归纳法证有界
由 0，设
0，则
1
0，故 有下界
当 0时，
1
于是 单调减少，由单调有界准则，lim → 存在