九年级数学二次函数与圆知识点总结_(2)

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二次函数与圆知识点总结1

二次函数与圆知识点总结1二次函数与圆知识点总结1一、二次函数的概念及性质：1. 二次函数的定义：若函数f(x)可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，其中a、b、c为常数，且a为二次项的系数，b为一次项的系数，c为常数项，那么f(x)就是一个二次函数。

2.二次函数的图像：二次函数的图像是抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，对称轴方程为x=-b/2a。

3.二次函数的性质：（1）零点和方程：若二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)的零点为x1和x2，则该二次函数与方程ax^2+bx+c=0有x1和x2为根的特征。

（2）最值和顶点：当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。

（3）图像的开口方向：二次函数的开口方向由二次项的系数a的正负决定，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

（4）对称轴：二次函数的对称轴方程为x=-b/2a，对称轴与抛物线图像呈现对称关系。

二、圆的概念及性质：1.圆的定义：圆是平面上到一个固定点距离相等的点的集合，这个固定点叫做圆心，到圆心距离相等的距离叫做半径。

2.圆的元素：圆由圆心和半径确定。

圆心用字母O表示，半径用字母r表示。

3.圆的性质：（1）半径的性质：圆心到圆上任一点的距离等于半径的长度。

（2）直径的性质：过圆心的任意直径将圆分成两个等半弧，并且直径的长度是半径的两倍。

（3）弧的性质：圆周上的任意两点所对应的弧长相等，且圆周上所有弧的总长度是360度或2π弧度。

（4）切线的性质：切线与半径的垂直线相交成直角，且切线的斜率等于切点所对应半径的斜率的相反数。

三、二次函数与圆的应用：1.二次函数的应用：（1）抛物线的形状：二次函数可以用来描述抛物线的形状，常用于物理学、几何学等领域的计算和分析。

九年级二次函数全部知识点

九年级二次函数全部知识点二次函数是数学中的一种重要的函数类型，它在实际生活中有着广泛的应用。

九年级是初中阶段的最后一年，二次函数是九年级数学的重要内容之一。

本文将介绍九年级二次函数的全部知识点，包括定义、图像、性质、解析式等，希望能够帮助同学们更好地掌握这一知识。

一、二次函数的定义二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，并且a ≠ 0。

二次函数中的自变量x是实数，函数值f(x)也是实数。

二次函数的定义域是所有实数集合。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线，对称轴是垂直于x轴的一条直线。

当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。

三、二次函数的顶点及最值二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，其坐标为（h，k），其中h是对称轴的横坐标，k是对称轴与抛物线的交点的纵坐标。

当a > 0时，k为函数的最小值；当a < 0时，k为函数的最大值。

四、二次函数的对称性二次函数的图像关于对称轴是对称的，即对称轴两侧的点关于对称轴上的点有对应关系。

这个对称性质使得我们可以通过观察对称轴两侧的点来了解抛物线的整体形态。

五、二次函数的零点二次函数的零点就是使得函数值等于零的横坐标。

要求二次函数的零点，可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法。

六、二次函数和一次函数的关系一次函数是二次函数的特例，当a = 0时，二次函数就变成一次函数。

因此，可以说二次函数是一次函数的推广，二次函数的图像也可以视为一次函数图像的变形。

七、二次函数的解析式二次函数的一般形式是f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数。

根据二次函数的性质，可以通过零点、顶点等信息来确定二次函数的解析式。

八、二次函数的平移和压缩二次函数的平移可以通过改变解析式中的常数来实现，例如改变c可以实现平移，改变a和b可以实现压缩或拉伸。

九年级二次函数知识点

九年级二次函数知识点一、二次函数的定义和表示方式二次函数是指具有以下形式的函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。

一般常用的表示方式有标准形式、顶点形式和描点法。

标准形式：y = ax^2 + bx + c，常用于确定二次函数的参数和特征。

顶点形式：y = a(x - h)^2 + k，其中(h,k)为函数的顶点坐标。

描点法：通过确定函数的一些特定点求得二次函数的表达式。

二、二次函数的图像特征1. 开口方向：- 当a>0时，二次函数开口向上；- 当a<0时，二次函数开口向下。

2. 对称轴：对称轴是二次函数图像的镜像轴，其方程为x = -b/(2a)。

3. 零点：零点是指使二次函数取值为0的x的值，即方程ax^2 + bx + c = 0的解。

4. 最值：- 当a>0时，二次函数有最小值，最小值为函数的顶点值；- 当a<0时，二次函数有最大值，最大值为函数的顶点值。

三、二次函数的性质1. 函数增减性：- 当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；- 当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。

2. 函数的最值：- 当a>0时，函数的最小值为顶点值；- 当a<0时，函数的最大值为顶点值。

3. 零点与因式分解：二次函数的零点可以通过因式分解或求根公式求得，形式为(x - x1)(x - x2) = 0。

4. 判别式：判别式Δ = b^2 - 4ac可用于判断二次函数的零点个数和开口方向。

- 当Δ > 0时，有两个不相等的实根，函数图像与x轴相交于两点；- 当Δ = 0时，有两个相等的实根，函数图像与x轴相切于一个点；- 当Δ < 0时，无实根，函数图像与x轴无交点。

四、二次函数的应用1. 抛物线运动：二次函数可以用来描述抛物线运动的轨迹，如抛体自由落体运动的轨迹等。

2. 最值问题：对于一些实际问题，二次函数可以用来求解最值问题，例如求解最大面积、最小花费等。

九年级二次函数知识点总结

九年级二次函数知识点总结一、二次函数的基本形式二次函数一般写为y=ax^2+bx+c（a≠0），其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。

其中a决定了抛物线开口的方向，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。

二、二次函数的图像1. 抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 抛物线的顶点：抛物线的顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)），其中f(x)=ax^2+bx+c。

3. 抛物线的对称轴：抛物线的对称轴方程为x=-b/2a。

4. 抛物线的焦点：抛物线没有焦点。

5. 抛物线的焦距：抛物线没有焦距。

三、二次函数的性质1. 零点：二次函数的零点即为其实根，求零点的方法可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来得到。

2. 正负性：当a>0时，抛物线上方为正区间，下方为负区间；当a<0时，抛物线上方为负区间，下方为正区间。

3. 单调性：当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调递减。

4. 极值：当a>0时，抛物线的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，抛物线的最大值为f(-b/2a)。

四、二次函数的相关应用1. 最值问题：通过求解二次函数的极值来解决相关的最值问题，如求解最大值、最小值等。

2. 零点问题：通过求解二次函数的零点来解决相关的方程问题，如求解方程ax^2+bx+c=0的解。

3. 切线问题：通过求解二次函数的导数来得到其切线的斜率，从而解决相关的切线问题。

4. 抛物线运动问题：通过二次函数的图像特点，解决相关的抛物线运动问题，如抛体的运动轨迹、最大高度、飞行时间等。

五、二次函数的解题方法1. 求解零点：通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来得到函数的零点。

2. 求解极值：通过求解函数的导数来得到函数的极值点，并求解其极值。

九年级数学二次函数与圆知识点

九年级数学二次函数与圆知识点九年级数学：探索二次函数与圆数学是一门抽象而又精确的学科，而在九年级数学中，学生将开始探索一些更加复杂的数学概念和知识点，例如二次函数和圆。

这些知识点不仅有助于学生提高数学思维能力，还可以为他们将来的学习打下坚实的基础。

本文将深入介绍九年级数学中关于二次函数与圆的知识点。

一、二次函数1. 基本概念二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数, 其中a、b和c为实数，且a不等于零。

在一般形式中，a代表抛物线的开口方向（正负），b代表抛物线的位置（平移），c则是抛物线的顶点或者是与x轴交点的y轴坐标。

2. 抛物线的性质在讨论二次函数时，我们也必须了解抛物线的性质。

对于标准形式的二次函数，当a大于零时，抛物线开口朝上，并且a的绝对值越大，抛物线越窄。

当a小于零时，抛物线开口朝下，并且同样的原则适用于抛物线的宽度。

另外，抛物线的顶点是一个非常重要的概念，它代表着抛物线的最高或者最低点。

3. 二次函数的图像和方程在研究二次函数时，图像和方程是两个关键的方面。

通过观察图像我们可以更好地理解函数的特点，而通过方程我们可以解决很多数学问题。

对于二次函数，我们可以通过方程的解，求得抛物线与x轴的交点，这是解决实际问题中一个常见的应用。

二、圆的知识1. 基本定义圆是平面上所有到一个点（圆心）的距离都相等的点的集合。

其中，半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，而直径则是通过圆心的两个点的线段的长度之二倍。

另外，圆的周长是圆上所有点到圆心的距离之和，而面积则是圆内所有点的集合。

2. 弧长和扇形面积将圆上的一部分切割下来，我们可以得到一个弧。

弧长是弧所代表的一段圆的长度。

通过圆心和弧上两个点的连线，可以绘制出一个扇形，而扇形的面积则是圆面积的一部分。

3. 圆与直线的关系通过点和线的关系，我们可以了解到圆与直线之间的一些关系。

首先，在平面上，如果一条直线与圆相交于两个点，则这条直线被称为切线。

圆与二次函数知识点

圆和二次函数知识点《圆》一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：图4图5①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

数学九年级下册圆的知识点

数学九年级下册圆的知识点圆是数学几何中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。

在九年级的数学学习中，我们将更加深入地学习圆的相关知识。

本文将围绕圆的定义、性质、公式和应用等方面展开详细介绍。

一、圆的定义在数学中，圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的图形。

其中，距离固定点最远的点称为圆的半径，固定点称为圆心。

圆心与圆上任意一点之间的线段称为半径。

二、圆的性质1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点间的线段都是半径，且长度相等。

2. 圆的直径性质：圆的直径是圆上任意两点的连线，且长度是半径的两倍。

3. 圆的弦性质：圆上的弦分为等弦和不等弦两种。

等弦对应的弦长相等，而不等弦对应的弦长不相等。

4. 圆的切线性质：过圆上一点可以作无数条切线，这些切线与以该点为顶点的两条切线相等，且相互垂直。

三、圆的公式1. 圆的周长公式：圆的周长称为圆周长，通常用C表示，公式为C = 2πr，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。

2. 圆的面积公式：圆的面积称为圆面积，通常用A表示，公式为A = πr²，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。

四、圆的应用1. 圆的运动学应用：在物理学中，圆的运动学应用非常广泛，例如机械运动中的回转运动、行星围绕太阳的椭圆轨道等。

2. 圆的建筑应用：在建筑学中，圆被广泛应用于设计和构建中，例如建筑物中的圆形窗户、圆形拱门等。

3. 圆的电子应用：在电子工程中，圆被广泛应用于电路板设计、天线设计等领域。

4. 圆的地理应用：在地理学中，圆被用于表示地球的形状，地球是近似于一个球体。

总结：在数学九年级下册中，我们系统学习了圆的定义、性质、公式和应用等知识点。

掌握了这些知识，我们能够更好地理解圆的特性，应用于各种实际问题中。

通过灵活运用圆的相关知识，我们可以提高解决问题的能力和思维能力，为今后的数学学习打下坚实的基础。

九年级二次函数知识点汇总

九年级二次函数知识点汇总二次函数是初中数学中的一种重要的函数形式，它的形式为f(x)=ax^2+bx+c。

在九年级，学生需要掌握二次函数的基本概念、图像、性质以及与实际问题的应用。

下面将对九年级二次函数的知识点进行汇总和总结。

1. 二次函数的基本概念二次函数是一个以x为自变量、以ax^2+bx+c为因变量的函数。

其中，a、b、c是常数，且a不等于0。

a决定了二次函数的开口方向和图像的形态。

当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

2. 二次函数的图像二次函数的图像一般为抛物线，其形状和位置与a、b、c的取值有关。

当a>0时，图像在y轴上方有一个最低点，称为顶点；当a<0时，图像在y轴下方有一个最高点，也称为顶点。

顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

3. 二次函数的性质(1) 零点：二次函数与x轴相交的点称为零点。

根据二次函数的图像性质，当抛物线与x轴相切时，有且只有一个零点；当抛物线与x轴有两个交点时，有两个零点；当抛物线与x轴没有交点时，没有零点。

(2) 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。

对称轴的方程为x=-b/2a。

(3) 最值：对于开口向上的二次函数，最小值等于顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，最大值等于顶点的纵坐标。

(4) 单调性：由于二次函数的图像呈现抛物线的形状，所以二次函数在对称轴两侧的增减性是不同的。

即在对称轴的左侧，二次函数单调递减；在对称轴的右侧，二次函数单调递增。

4. 二次函数的变形九年级数学中，我们还学习了二次函数的变形，包括平移、伸缩和翻折等操作。

这些操作可以通过对a、b、c的取值进行调整来实现。

(1) 平移：当二次函数的形式为f(x)=a(x-h)^2+k时，其中(h,k)为平移的向量，分别表示横坐标和纵坐标的平移量。

平移后的二次函数的图像相对于原图像在平面上左右或上下移动了h个单位和k个单位。

二次函数与圆知识点总结

初三数学二次函数和圆的知识点总结1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2ax y =当0>a 时开口向上当0<a 时开口向下0=x （y 轴）（0,0） k ax y +=20=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x =(h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-= (ab ac a b 4422--，) 11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a ac b a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=4442221221221211.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.几何表达式举例： ∵ CD 过圆心∵CD ⊥AB2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.几何表达式举例：3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”； “等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； “等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.几何表达式举例：(1) ∵∠AOB=∠COD∴ AB = CD(2) ∵ AB = CD∴∠AOB=∠COD4．圆周角定理及推论:（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)（1）（2）（3）（4）几何表达式举例：（1） ∵∠ACB=21∠AOB ∴ …………… （2） ∵ AB 是直径∴ ∠ACB=90° （3） ∵ ∠ACB=90°∴ AB 是直径（4） ∵ CD=AD=BD∴ ΔABC 是Rt Δ5．圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 几何表达式举例： ∵ ABCD 是圆内接四边形 ∴ ∠CDE =∠ABC∠C+∠A =180° 6．切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理.（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.几何表达式举例：（1） ∵OC 是半径∵OC ⊥AB ∴AB 是切线（2） ∵OC 是半径∵AB 是切线 ∴OC ⊥AB （3） ……………ABCD OABCDE O 平分优弧过圆心垂直于弦平分弦平分劣弧∴ AC BC AD BD==AE=BEABC DEFOABCOABCDEA B COABCD∵ ∴ ∥=AB CD ACBDA BCO是半径垂直是切线7．切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何表达式举例：∵ PA 、PB 是切线 ∴ PA=PB∵PO 过圆心 ∴∠APO =∠BPO 8．弦切角定理及其推论:（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）几何表达式举例：（1）∵BD 是切线，BC 是弦∴∠CBD =∠CAB （2）∵ ED ，BC 是切线∴ ∠CBA =∠DEF9．相交弦定理及其推论:（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.几何表达式举例：（1） ∵PA ·PB=PC ·PD∴……… （2） ∵AB 是直径∵PC ⊥AB∴PC 2=PA ·PB10．切割线定理及其推论:（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何表达式举例：（1） ∵PC 是切线，PB 是割线 ∴PC 2=PA ·PB （2） ∵PB 、PD 是割线∴PA·PB=PC ·PD11．关于两圆的性质定理:（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.（1）（2）几何表达式举例：（1） ∵O 1，O 2是圆心∴O 1O 2垂直平分AB （2） ∵⊙1 、⊙2相切∴O 1 、A 、O 2三点一线 12．正多边形的有关计算:（1）中心角αn ，半径R N ，边心距r n ，边长a n ，内角βn ，边数n ；（2）有关计算在Rt ΔAOC 中进行. 公式举例：(1) αn =n 360︒； (2) n1802n ︒=αABCDABCDEF PABOABCPABCDPAB O1O2AO1O2αnβnABCDEOa r n nnR ABCDP ABCPO ∵ EF AB=ABO几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角. 二定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180R n π；（3）圆的面积S=πR 2. （4）扇形面积S 扇形 =LR 21360R n 2=π；（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形. 2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心 ⇔ 两边中垂线的交点 ⇔ 三角形的外接圆的圆心；三角形的内心 ⇔ 两内角平分线的交点 ⇔ 三角形的内切圆的圆心.4．直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交 ⇔ d ＜r ；直线与圆相切 ⇔ d=r ；直线与圆相离 ⇔ d ＞r.5．圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r ）两圆外离 ⇔ d ＞R+r ；两圆外切 ⇔ d=R+r ；两圆相交 ⇔ R-r ＜d ＜R+r ；两圆内切 ⇔ d=R-r ；两圆内含 ⇔ d ＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.7．关于圆的常见辅助线：OCAB已知弦构造弦心距.OA BC已知弦构造Rt Δ.OABC已知直径构造直角.OAB已知切线连半径，出垂直.O BC AD P圆外角转化为圆周角.OACD BP圆内角转化为圆周角.ODC PAB构造垂径定理.OACDPB构造相似形.M01ANO2两圆内切，构造外公切线与垂直.01CN O2DEABM两圆内切，构造外公切线与平行.NAM02O1 两圆外切，构造内公切线与垂直.CBMNADEO 102两圆外切，构造内公切线与平行.CE A DB O两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB.A CBO102两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线. BAC OPPA 、PB 是切线，构造双垂图形和全等.OABCDE相交弦出相似.OP ABC一切一割出相似, 并且构造弦切角.OBCEADP两割出相似,并且构造圆周角.OABCP双垂出相似,并且构造直角.B ACD EF规则图形折叠出一对全等，一对相似.FEDBAC OGH圆的外切四边形对边和相等.ABOCD若AD ∥BC都是切线，连结OA、OB可证∠AOB=180°，即A、O、B三点一线.EACBOD等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心和切点,并构造相似形.EFCDBAORtΔABC的内切圆半径：r=2cba-+.O补全半圆.ABCo1o2AB=2221)rR(OO--.CABo1o2AB=2221)rR(OO+-.AC D PO BPC过圆心，PA是切线，构造双垂、RtΔ.BCDOAPO是圆心，等弧出平行和相似.D EMAB CFNG作AN⊥BC，可证出:ANAMBCGF=.。

九年级上册数学圆章节知识点总结

九年级上册数学圆章节知识点总结What is a classic? It takes about 100 years to become a classic.与圆相关的基本知识和计算一、知识梳理：一：圆及圆的有关概念1.圆：到顶点的距离等于定长的点的集合叫做圆；2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的叫做劣弧；3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径,它是圆的最长的弦；4.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆；等弧：在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧；5.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角；二圆的有关性质：1.对称性：圆是中心对称图形,其对称中心是圆心；圆是轴对称图形,其对称轴是直径所在的直线；2.垂径定理及其推论：1、垂径定理：垂直弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧；2、推论：平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧；3.圆心角、弧、弦之间的关系1定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等；2推论：在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等、所对的弦相等.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等、所对的弧相等.4.圆周角与圆心角的关系1在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半；2推论：半圆或直径所对的圆周角是直角,090的圆周角所对的弦是直径；5.圆内接四边形对角互补.（三）点与圆的位置关系1、点和圆的位置关系如果圆的半径为r,已知点到圆心的距离为d,则可用数量关系表示位置关系．1d＞r点在圆外；2d=r点在圆上；3d＜r点在圆内．2、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（四）直线与圆的位置关系1、1直线与圆的位置关系有关概念①相交与割线：直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线．②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,惟一的公共点叫做切点．③相离,当直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离．2用数量关系判断直线与圆的位置关系如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么：1直线l和⊙O相交d＜r如图1所示；2直线l和⊙O相切d=r如图2所示；3直线l和⊙O相离d＞r如图3所示．2、切线1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．3切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．4切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．五三角形的外接圆和内切圆1、三角形的外接圆1定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆．三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形．2三角形外心的性质：①三角形的外心是外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相等．②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是惟一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合．2、三角形的内切圆与三角形的内心①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点,三角形的内心到三边的距离相等．六：圆的有关计算一正多边形与圆1、正多边形的定义：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.2、任何正多边形都有一个外接圆和内切圆,这两个圆是同心圆,正多边形都是轴对称图形,一个正n 边形共有n 条对称轴,每条对称轴都通过正n 边形的中心；如果一个正n 边形有偶数条边,那么它又是中心对称图形,其中心就是对称中心；3、边数相同的正多边形相似,它们的周长的比等于它们的相似比,面积的比等于它们相似比的平方；4、正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形；正n 边形的中心角等于外角等于n3600；二弧长与扇形面积1、在半径为R 的圆中,0n 圆心角所对的弧长l=180n ℜπ;2、在半径为R 的圆中,圆心角为0n 的扇形面积扇形S =360n 2R π；半径为R,弧长为l 的扇形面积为扇形S =R l 21;3、侧面积：设圆锥的母线长为l,底面积的半径为r,那么圆的侧面积展开得到的扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr,因此圆锥的侧面积为πrl,圆锥的全面积为πrl+πr 2.。

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初三数学知识点总结
1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2
+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ；其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.
3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2
+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2
-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .a
c
x x a
b
x x )2(a 2ac 4b b x )
1(212122
,1=
-=+-±-=，
； ※ 5．当ax 2
+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：
(以下等价关系要求会用公式 a
c x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2
-4ac 分析，不要求背记)
（1）两根互为相反数 ⇔ a b
-= 0且Δ≥0 ⇔ b = 0且Δ≥0；
（2）两根互为倒数 ⇔ a c
=1且Δ≥0 ⇔ a = c 且Δ≥0；
（3）只有一个零根 ⇔ a
c = 0且a b
-≠0 ⇔ c = 0且b ≠0；
（4）有两个零根 ⇔ a
c = 0且a b
-= 0 ⇔ c = 0且b=0；
（5）至少有一个零根 ⇔ a
c
=0 ⇔ c=0；
（6）两根异号 ⇔ a
c
＜0 ⇔ a 、c 异号；
（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值⇔ a
c ＜0且a b
-＞0⇔ a 、c 异号且a 、b 异号；
（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值⇔ a
c ＜0且a b
-＜0⇔ a 、c 异号且a 、b 同号；
（9）有两个正根 ⇔ a
c ＞0，a b
-＞0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；
（10）有两个负根 ⇔ a
c ＞0，a b
-＜0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.
6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.
ax 2
+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2
+bx+c=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
----⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+--a 2ac 4b b x a 2ac 4b b x a 22.
7．求一元二次方程的公式：
x 2
-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.
8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2
.
（2）常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和. 9．分式方程的解法： .
0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母
两边同乘最简
去分母法
.0.
2≠分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，
换元法
）（
10. 二元二次方程组的解法：
.0)3(0
)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0
)2)(1()3(;
02;1⎩
⎨
⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩
⎨
⎧===------分组为应注意：的方程）（）
（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（
※11．几个常见转化：
；
；
或；；；⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+
-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1
x (x
1
x 2)x 1x (x
1
x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212
12
21221212
122122121222
2
2
2
21221221212212221
⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-⇒=-4x x .22
x x 2x x .12x x )
2(2
21212121）两边平方为（和分类为； ⎪⎩
⎪
⎨⎧
-==⇒==.
,)2(34x x 34x x )1()916x x (3
4
x x )
3(21212221
21因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；
.
0x ,0x :.
1x x B sin A cos ,1A cos A sin ,90B A B sin x ,
A sin x )4(21222
12221>>=+==+︒=∠+∠==注意隐含条件可推出由公式时且如.
0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121>>注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长
.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某
比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直
.
,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个
《圆》。