抽象代数期末考试试卷及答案教学提纲

抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。

A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。

A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,≤）B、（Z,≥）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),⊆)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则()[]=-aff1----------。

3、区间[1，2]上的运算},{min baba=ο的单位元是-------。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z8的零因子有 -----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。

9、设群G中元素a的阶为m，如果ea n=，那么m与n存在整除关系为--------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。

S 1+S 2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ。

1．求στ和στ-1；2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M 为含幺半群，证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e 。

近世代数模拟试题三 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、C ；2、C ；3、D ；4、D ；5、A ；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、唯一、唯一；2、a ；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、n m ；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。

用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。

2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2：因为S1，S2是A 的子环，故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ，因而a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。

S1+S2不一定是子环。

在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-；2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想，那么a 0≠∈μ，由理想的定义μ∈=-11a a ，因而R 的任意元μ∈•=1b b这就是说μ=R ，证毕。

2、证 必要性：将b 代入即可得。

充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以b=a-1。

——————————————————————————————————————一．判断题(每小题2分,共20分)1. 实数集R 关于数的乘法成群. （ ）2. 若H 是群G 的一个非空有限子集，且,a b H ∀∈都有ab H ∈成立，则H 是G 的一个子群. （ ）3. 循环群一定是交换群. （ ）4. 素数阶循环群是单群. （ ）5. 设G 是有限群，a G ∈，n 是a 的阶，若k a e =，则|n k . （ ）6. 设f 是群G 到群G 的同态映射，H 是G 的子群，则()f H 是G 的子群. （ ）7. 交换群的子群是正规子群. （ ）8. 设G 是有限群，H 是G 的子群，则||||G G H H =. （ ） 9. 有限域的特征是合数. （ ）10. 整数环Z 的全部理想为形如nZ 的理想. （ ）二．选择题(每小题3分,共15分)11. 下面的代数系统(),G *中，（ ）不是群.A. G 为整数集合，*为加法；B. G 为偶数集合，*为加法；C. G 为有理数集合，*为加法；D. G 为整数集合，*为乘法.12. 设H 是G 的子群，且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH . 如果H 的阶为6，那么G 的阶G =（ ）A. 6；B.24；C.10；D.12.13. 设()()()()()(){}31,12,13,23,123,132,S =，则3S 中与元()123不能交换的元的个数是A. 1；B. 2；C. 3；D.4. 14. 从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（ ）A. G=（a ）与G 的子群；B. 整数加法群与模n 的剩余类的加法群；C. 变换群与置换群；D. 有理数加法群与模n 的剩余类的加法群.15. 整数环Z 中，可逆元的个数是( )。

A.1个B.2个C.4个D.无限个三．填空题(每小题3分,共15分)16. 如果G 是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 .17. n 次对称群n S 的阶是____________.18. 整数加法群Z 关于子群nZ 的陪集为 .19. 设N 是G 的正规子群，商群N G 中的单位元是 。

20. 若R 是交换环, a R ∈则主理想()a =____________.四．计算题(第21小题8分, 第22小题12分，共20分)21. 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123456654321ρ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=465132654321σ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=453126654321τ，计算1,ρσσ-.22. 设)}132(),123(),1{(=H 是3次对称群3S 的子群，求H 的所有左陪集和右陪集，并说明H 是否是3S 的正规子群.五．证明题(每题10分,共30分)23. 设G 是群，H 是G 的子群，证明：a G ∈，则1aHa -也是子群24. 设G 是群，H 是G 的正规子群. G 关于H 的陪集的集合为 {|}G gH g G H =∈，证明：/G H 对于陪集的乘法成为一个群，称为G 对H 的商群.25. 证明：域F 上全体n n ⨯矩阵的集合()n M F 在矩阵的加法和乘法下成为环.一．判断题(每小题2分,共20分)1-10 ××√√√ √√√×√二．选择题(每小题3分,共15分)11. D ；12. B ；13. C ；14. B ；15. B.三．填空题(每小题3分,共15分)16. 1； 17. !n ；18. (){},1,,1nZ nZ nZ n ++-L ；19. N ；20. aR .四．计算下列各题(第21小题8分, 第22小题12分，共20分)21. 解：123456546213ρσ⎛⎫= ⎪⎝⎭，L L L L L L L L L L L L L L L 4分1123456312645σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭. L L L L L L L L L L L L L L L L L L 8分 22. 解：H 的所有左陪集为)}132(),123(),1{(=H ，()12{(12),(13),(23)}H =；L L L L L L L L L L L L L L L 4分H 的所有右陪集为)}132(),123(),1{(=H ，()12{(12),(13),(23)}H =.对3S σ∀∈，有H H σσ=，即H 是正规子群. L L L L L L L L L 12分五．证明题(每题10分,共30分)23. 证明：因为H 是G 的子群，对任意,x y H ∈，有1xy H -∈. L L L 4分由题意，对任意,x y H ∈，有1111,axa ay a aHa ----∈，从而()()111111axa ay a axy a aHa ------=∈，即1aHa -也是子群. L L L L L L 10分24. 证明：首先G H对于上述乘法是封闭的，且乘法满足结合律. L L L 3分 陪集H eH =是它的单位元，,eHgH egH gH g H ==∀∈. L L L 7分 又任意gH ，有11g HgH eH gHg H --==，即1g H -是gH 的逆元. L L L 10分25. 证明：()n M F 关于加法是封闭的，且满足结合律， L L L L L L 3分零元是0n n ⨯，对任意()n n n A M F ⨯∈，有()0n n n n n n A A ⨯⨯⨯+-=，即n n A ⨯的负元是n n A ⨯-. ()n M F 关于乘法是封闭的，且满足结合律，单位元是n n E ⨯.L L L L L L 8分 乘法关于加法的分配律成立. L L L L L L L L L L L L L L L 10分。