特殊化与一般思想第二篇_集合中的特殊化思想_俞新龙
数学中的“特殊与一般”思想方法
ABCD 数学中的“特殊与一般”思想方法在数学学习的过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来的，经过证明后，成为一般性结论，又使用它们来解决相关的数学问题。
在数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想的集中体现。
由特殊到一般、由一般到特殊的过程是认识事物的基本过程，数学也不例外。
所谓特殊与一般的思想包括两个方面：通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，再逐渐形成对这类事物的总体认识，发现特点，掌握规律，形成公式，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，从实践到理论，这种认识事物的过程就是由特殊到一般的认识过程；在理论指导下，用已有的规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程就是由一般到特殊的认识过程。
由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程。
在数学高考中，对特殊与一般思想的考查方式主要有，利用一般的归纳法进行猜想；通过构造特殊函数、特殊数列、寻求特殊点、特殊位置关系；利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确定的问题，等等。
高考特别注重利用选择题、填空题的特点，重点考查由特殊到一般的思想；利用解答题的严密性，重点考查由一般到特殊的思想，或综合考查特殊与一般的思想。
一．利用特殊情形判断一般性结论是否成立辩证法告诉我们：矛盾的一般性寓于特殊性之中。
相对于一般情形而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知。
解题时若能注意到问题的特殊性，进而分析考虑有无可能把待解决问题化归为某个特殊问题或极端情形，不仅是可行的，也是必要的。
例1．（2005年北京春季高考题）若不等式nnn a 1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A ),2[23-B ),2(23-C ),3[23-D ),3(23-解析：当n 为正奇数时，不等式为n a 12+<-，又221>+n，所以要使不等式对任意正奇数n 恒成立，应有2≤-a ，即2-≥a ；当n 为正偶数时，不等式为n a 12-<，又2312112,≥-≤nn ，所以要使不等式对任意正偶数n 恒成立，应有23<a 。
全国初中数学竞赛辅导 第四十讲《特殊化与一般化》 北师大版
第四十讲特殊化与一般化特殊化的方法就是在求解一般数学命题的解答时,从考虑一组给定的对象转向考虑其中的部分对象或仅仅一个对象．也就是为了解答一般问题,先求解特例,然后应用特殊的方法或结论再来求解一般问题．另外,特殊化、一般化和类比联想结合起来,更可以由此及彼地发现新命题、开拓新天地．1．特殊化、一般化和类比推广命题1在△ABC中,∠C=90°,CD是斜边上的高(图2-102),则有CD2=AD·BD．这是大家所熟知的直角三角形射影定理．类比命题1,如果CD是斜边上的中线,将怎样？由此得到命题2．命题2在△ABC中,∠C=90°, CD是斜边上的中线(图2-103),则有CD=AD=BD．这便是大家已经学过的直角三角形中的斜边中点定理(在此定理中仍保持CD2=AD·BD)．再类比,如果CD是∠C的平分线,将怎样？于是得到命题3．命题3在△ABC中,∠C=90°,CD是∠C的平分线(图2-104),则有这是一个新命题,证明如下.引DE⊥BC于E,DF⊥AC于F．因为所以我们把命题1、命题2、命题3一般化,考虑D点是AB上任一点,便产生了以下两个命题．命题4在△ABC中,∠C=90°,D是斜边AB上的任一内分点(图2-105),则有证引DF⊥AC于F,DE⊥BC于E．因为CD2-BD2＝CE2-BE2=(CE-BE)BC,而所以所以即命题5在△ABC中,∠C=90°,D是斜边AB上的任一外分点(图2—106),则有证只要令命题4之结论中AD为-AD,则有我们再把命题4和命题5特殊化,令D点与A点重合(即│AD│=0),那么无论是①式或②式都有AB2=BC2+AC2.这就是我们熟知的勾股定理．命题4或命题5与通常形式下的广勾股定理是等效的,因此,它们也可称作广勾股定理．下面用命题4或命题5来证明以下定理．定理在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,a在c上的射影为n,时,取“-”号,∠B为钝角时,取“＋”号)．证我们仅利用命题4证图2-107中的情况(∠B＜90°)．为此,我们作图2-109,其中∠DBA=90°,CD=x,CE⊥DB于E,并设CE=n．由命题4,立得得所以b2=a2+c2-2cn．同理可证图2-108(∠B＞90°)的相应结论．2．特殊化、一般化在解题中的应用例1设x,y,z,w为四个互不相等的实数,并且求证:x2y2z2w2=1分析与解我们先考虑一个特例,只取两个不同实数,简化原来命(1)求证这个特殊化的辅助问题就容易多了．事实上,因为又因为到原命题,由容易想到变形去分母变形为①×②×③×④,并约去(x-y)(y-z)(z-w)(w-x)(利用x,y,z,w互不相等)就得到x2y2z2w2=1.例2设凸四边形O1O2O3O4的周长为l,以顶点O1,O2,O3,O4为圆心作四个半径为R 的圆轮．如果带动四个圆轮转动的皮带长为s,求s的长度(图2-110)．解(1)先解一个特例(图2-111)．设只有两个圆轮⊙O1,⊙O2,2│O1O2│=l＇．显然,带动两轮转动的皮带长度为s=l＇+2πR．(2)再回到原题,我们猜想:s=l＋2πR．以下证实这个猜想是正确的．为此,设皮带s与各圆轮接触的四个弧为由于它们是等圆上的弧,因此,只要证出这四条弧恰好组成一个圆即可．事实上,引O1A＇3∥O2A3,由于O1A1∥O2A2,所以∠A1O1A＇O1为圆心,以R为半径的圆．因此,四圆弧之长为2πR．又因为O1O2=A1A2,O2O3=A3A4,O3O4=A5A6,O1O4=A7A8,所以l＝A1A2＋A3A4＋A5A6＋A7A8．所以,所求皮带长为s=l＋2πR．例3设a1,a2,…,a n都是正数．试证:证欲证①成立,先考虑最简单的情形,设n=3,即证把②变形为即证由于④中左边有(a1-a2),(a2-a3),(a3-a1),其和为零,因此,我们猜想:若④式左边相加,其和不小于(a1-a2),(a2-a3),(a3-a1)之和即可．为此,我们证更简单的事实．设a,b是任意正整数,则有事实上,由(a-b)2≥0有a2-ab≥ab-b2,根据⑤,④显然成立,因为≥(a1-a2)+(a2-a3)+(a3-a1)≥0,从而③式成立,②式成立．剩下来的工作是把②式推到一般情形①,这是很容易的．因为根据⑤,①式必然成立,因为练习十九1．如图2-112．已知由平行四边形ABCD各顶点向形外一条直线l作垂线,设垂足分别为A＇,B＇,C＇,D＇．求证:＇A＋B＇B=C＇C＋D＇D．2．在上题中,如果移动直线l,使它与四边形ABCD的位置关系相对变动得更特殊一些(如l过A,或l交AB,BC等),那么,相应地结论会有什么变化？试作出你的猜想和证明．3．在题1中,如果考虑直线l和平行四边形更一般的关系(如平行四边形变成圆,或某一中心对称图形,垂线AA＇,BB＇,CC＇,DD＇只保持平行等),那么又有什么结论,试作出你的猜想和证明．4．如果△ABC的周长为40米(m),以A,B,C三点为圆心,作三个半径为1米的圆轮,带动圆轮转动的皮带长为l,试求l的长度．。
高考数学复习：思想方法之4(特殊与一般)
因为①f(x)=p·qx是单调函数；
②f(x)=px2+qx+1的图象不具有先升再降后升特征；
③f(x)=x(x－q)2+p中, 令f′(x)=0，得x=q, x= 区间和一个递减区间.
f′(,qx3)f(=x3)有x2－两4个qx零+q点2, .可以出现两个递增
专题四 特殊与一般的思想方法
(Ⅱ)由f(0)=4, f(2)=6得：
猜想：f(n)=n2(n∈N*)，下面用数学归纳法证明： 当n=1时，显然成立. 假设n=k (k∈N*)时成立，则有f(k)=k2 当n=k+1时， f(k+1)=f(k)+f(1)+2k= k2+1+2k= (k+1)2，结论也成立. 故f(n)=n2 (n∈N*)成立
专题四 特殊与一般的思想方法
考)2
p,
解之得
p 4, q 3, (其中q=1舍去).
∴函数f(x)=x(x－3)2+4，即f(x)=x3－6x2 + 9x + 4（0≤x≤5） （Ⅲ）由f′(x)＜0，解得1＜x＜3 ,
∴函数f(x)=x3－6x2 + 9x + 4在区间（1，3）上单调递减， ∴这种果品在5月，6月份价格下跌.
2. a= －1［解析］解法1：因为函数f(x)=sin2x+acos2x的图
象关于直线x=－
π 8
对称，
则f(x)=f(－
π 4
－
x)即
sin2x+acos2x＝sin2
π x 4
+acos2
π 4
x
得sin2x+acos2x＝－cos2x－asin2x恒成立 所以（1＋a）(sin2x+cos2x)=0恒成立， 则必有1＋a＝0，所以a＝－1.
高中数学 “一般问题特殊化思想”专题(教师用)素材
用“一般问题特殊化思想方法”指导解题什么叫一般问题特殊化法？ 选取符合题意的特殊值、特殊向量、特殊数列、特殊方程、不等式或函数、特殊点和特殊图形，代入或者对比选项来确定答案。
这种方法叫做一般问题特殊化法，或叫特值代验法，是一种使用频率很高的方法。
下面就几类题型来说明它的独到之处。
（1）特殊值1.在∆ABC 中，角A ．B ．C 所对的边分别为a ．b ．c ，如果a ．b ．c 成等差数列，则=++CA CA cos cos 1cos cos。
解法一：取特殊值a ＝3, b ＝4, c ＝5 ,则cosA ＝,54cosC ＝0, =++C A C A cos cos 1cos cos 45． 解法二：取特殊角A ＝B ＝C ＝600cosA ＝cosC ＝21,=++C A C A cos cos 1cos cos 45．2.求值=++++)240(cos )120(cos cos 222a a a 。
分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令 0=a ，得结果为23。
（2）特殊向量3.（2011年东城一模4）已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足→→→→=++0PC PB PA ， 且AB AC mAP +=，那么实数m 的值为（ B ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 注：提供三种方法给大家。
解法1：（向量加法的几何意义）→→→→→→→→→=-+=+++=+P 3)A (P 2)PC P ()PB P (C B A P A A A A A 故m =3.解法2：（特殊化思想方法）画图以P 为坐标原点，建立平面直角坐标系，并令)0,1(A =→P ，)1,0(PB =→，故)1,1(PC --=→。
然后求出→→+C B A A 的坐标（-3，0）及→P A 的坐标（-1，0）。
解法3：画三个向量，相互间的夹角为120度。
4．（2010年西城二模理）设,,a b c 为单位向量，,a b 的夹角为60，则()++⋅a b c c 的最大值为___ __.1。
特殊化与一般思想第五篇_三角中的特殊化思想_俞新龙
2
，
00 00 00 P P 0B · 0C = P0B
2
00 00 则 由 00 OP ＝ λ 1 O B +λ 2 O C 得
（x ，x-3 ） = （2λ2，2λ1）， 从 而
2
， 不符合 ； 对于选
A x
00 00 00 00 项 B ， 如例 3 图 -2 ， 则 P B· P C ＝ 00 PB · P C cos∠BPC=- P B 00 00 00 00 00 PA ， P0 B ·P0C =- P P0 A =-3 ， 当 点 P 为 AB 中 点 时 ， 0B 00 00 00 00 00 00 PB · PC =-4 ， P B· P C＜P P 0 B· 0 C ， 不符合 ； 对于选项 C ， 如例 00 00 00 PB · P C= P 3 图 -3 ， 假 设 ∠BAC=120° ， 则 AD=2 ， 00 B ·P C 00 00 00 00 00 ， · · ， 当点 落在 P B P C P B P D cos∠BPC=- 00 ==-5 P PB PD 0 0 0 0 00 00 00 00 00 00 PC =-8， PB· PC ＜ P0B· P0C ， 不符合． 故选 D． A 点时 ， PB·
符 号 上 直 接 给 出 答 案 B ， 因 为 π ＜x ＜ 3 π ， 所 以 tanx =m ＞0 ，
=10． C P A D B E C P B x 例 4 图 -2 A y A D C P D
例 4 图 -3
2
sinx＜0， 而 m
只有 -m
姨
1 ＞0， ±m 1+m2
姨
1 不小于 0， 1+m2
积 ， λ1= S△PBC ， λ2= S△PCA ， λ3= S△PAB ， 定义 f（P）＝ （λ1， λ2， λ3），
第五讲 特殊与一般的思想
第五讲 特殊与一般的思想1、由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一. 数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程就是数学研究中特殊与一般的思想.2、由特殊到一般的思想的运用水平，能反映出考生的数学素养和一般能力，所以考查特殊与一般的思想在高考中占有重要位置. 在高考中，有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的试题，突出体现了特殊化方法的意义与作用. 如通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊位置，利用特殊值、特殊方程等方法解决一般问题、抽象问题、运动变化问题、不确定问题等等. 一、取特殊数值例1、若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R ∈有()()()12121f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是（ ）A.()f x 为奇函数B.()f x 为偶函数C.()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数例2、若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是 A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．12例3、已知)(x f 对一切实数y x ,都有()()()f x y f x f y +=+，且当x ＞0时，)(x f ＜0（1）证明)(x f 为奇函数且是R 上的减函数；（2）若关于x 的不等式22[cos ()][sin ()]()66f x f x f m ππ+-+<对一切0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求m 的取值范围；（3）如果(1)1f =-，()n a f n =-，记数列{}1n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和的前n 项和分别为T n n S 和，求证2n nn S T > (1)n >二、取特殊函数例4、定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)1f =，则(3)f -等于（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9例5、如果函数y ＝sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =8π-。
一般化和特殊化思想在新课程教学中的应用
课程 教育 研究
一
２ ０ １ ３ 年 １ 月 下旬 刊
要从 教 材上 深 挖 新 的 课程 标 准 给 校 本 教研 留下 了 比较 大 的空 间 ，如 果 学 科 教 学 仍 然满 足于 对 现 成 教 材 的使 用 ，则 不 能 适 结 合 ， 贴 近 工 作 实 际 开 展 教 育科 研 ， 这 是校本教育研究的最基本的特点。尽管现在各学校都设有教 科 室这 样 的机 构 ， 但 它 只是 一 个 职 能 机 构 和 服 务 机 构 ， 而 不 是 研究机构 。 所以中学教育科研的主力军 ， 只能是承担着学科教 育 教 学 任 务 的一 线 教 师 。要 求 中学 的 教 师 脱 离 自己 的 学科 教 学 工 作 去 开展 教 育 教 学科 研 ， 这 是不 切 合 实 际 的 ， 也 是 没有 意
义的。
目前 学校 的校 本 教 研 的几 个 误 区 ： 热 衷 于所 谓理 念研 究 。有 些 学 校 办 学理 念既 时髦 又 好 听， 如 果 仅 仅 看 口号 ， 各个学校几乎没有什么 差别 ， 但 如 果 要 他 们 拿 出能 具 体 体 现那 些 理 念 的 学 科 教 学 特点 和班 级 管 理 的 具 体 做法 。 就会 让 人 很 失 望 。倘 若 走 进 课 堂 去 实 地 考 察 ， 则 更 难 找 到那 些 写 在 纸 上 、 挂 在 嘴边 的概 念 和 名词 。 原 因 是这 些 所 谓 的理 念 ， 只 是 来 自于 现 成 的 概 念 ， 也 只 是 停 留于 概 念 ， 是 借 助现成 的概念来 “ 装潢” 学校， 而不是真正 的要把先进的理念 在 教 育 教 学 中加 以体 现 。 口号 是 最 响 亮 的 ， 理念是最先进的 ， 教 学 思 想 和 方 法是 落 后 的 。 这 样 的 学 校 只是 外 表 好 看 ， 没 有 实 质 内容 ， 是 没 有 生命 力 的 。 迟 早会 被 淘 汰 。 二、 热 衷 于所 谓模 式 研 究。有 些学 校 千 方 百 计地 要 总 结 出 套不 同予其他学校的什么模式 。几个 “ 性” 、 几个“ 化” 、 几个 “ 式” ， 有 的还 总结出一篇 又一篇的经验 ， 真是 一套一套 的， 但 仔 细看 看 。 这 些 只是 停 留 于架 空 的 “ 理论” ， 在 各 个 学科 的教 学 行为中没有任何体现。 如果走进课 堂检验 。 你就 自然而然发现 支 撑 这 些模 式 的理 论 和 数据 有 多 么 的虚 假 性 。 每个 学校 都有 各 自的 特 点 ， 同 一所 学 校 还 有 班 级 的不 同 ， 同一 班 级 中还 有 个 体 的差异 ， 教学中倡导某种方式可以 ， 但模式怎么可以千篇一 律地套用？若是这样 ， 还怎样去谈发展学 生的个性？作为教师 应 该 根 据 自己 的学 科 特 点 、 施教 对象 。研 究 出 自己 的一 套 方 法， 使双边都得到发展 ， 实现“ 共赢” ， 在成就学生的同时 ， 也成 就 着 自己 。 三、 热衷 于 课题 研 究 和 实 验 研 究 。现 在 不 论 是 评 奖 、 还 是 评职称 ， 都必须有课题 ， 好像课题级别 越高 ， 就说明越有水平 。 但我觉得 ，形式主义 和虚假课题是 目前教 育教 学科研 中的最 大 问题 。许 多 课 题 的研 究 只有 两 头 ， 没有过程 ， 把 大 多 的 工夫 花 在 课 题 的立 项 和 最 后 的结 题 上 ， 中间 最 重 要 的 过 程被 疏忽 了。 没有 实 实 在 在 的学 科 教 学 研 究 ， 使 得 学校 的校 本 教 研 彻底 地 被 架 空 了 。这 样 闭 门造 车所 谓 的研 究 成 果 对 学科 教 学 还能 有 指 导 意义 吗 ？所 以说 ， 课 题 研究 和实 验 研 究 。 如 果 不 在具 体 的学 科 教 学 中体 现 ， 那 必 然 是 虚 假 的 ！但 话 说 回来 ， 并 不 是说 不 要 课 题 研 究 和 实验 研 究 。只是 不 主张 一 窝 蜂 地 进 行 课 题 研 究 和实验研究 ， 尤其不需要虚假的课题研究和实验研究 。 因为 浮 躁和 急 功 近 利 。 对 教育 教 学 是 有 害 的 。 真 正 的 教育 科 研 应 当 而 且必 须 为 教 学 实践 服 务 ， 能 切 实 解 决 实 际 问题 。 而 不 是 有 没 有课 题 ， 或者 课 题 立 项 为 哪一 个 级 别 。 校 本 教 研 中 应 怎样 开 展 学 科研 究
特殊与一般的思想
、特殊与一般的思想和其它方法对比解析1．什么是特殊化思想对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.2．什么是一般化思想当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想.【例1】设三棱柱111ABC A B C -的体积为,,V P Q 分别是侧棱11,AA CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积为 （Ａ）16V （Ｂ）14V （Ｃ）13V （Ｄ）12V【分析及解】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算.方法一 常规方法如图2-18,因为1PA QC =，所以PQ 将三棱柱的侧面11AAC C 分成面积相等的两个梯形，从而11B APQC B PA C Q V V --=.又1111133B A B C V V V -==柱体，且三棱柱111ABC A B C -被分成两个四棱锥B APQC -与11B PA C Q -以及三棱锥111B A B C -三部分，所以13B APQC V V -=. 方法二 特殊化的方法. 仔细分析题目的已知条件会发现，三棱柱的形态没给出具体限制，是一般的三棱柱；侧棱11,AA CC 上的两点,P Q 只有1PA QC =的要求，而没有具体位置的限制.从选项来看，所求四棱锥的体积是确定的.由此可以断定，用特殊化方法求解本题可以体现出快捷的特点.首先可以把三棱柱特殊化为直三棱柱，其次还可以将点,P Q 分别为11,AA CC 的中点；也可以使点P 趋近于点A ，点Q 趋近于点1C ，即使10PA QC =→，使四棱锥特殊化为三棱锥，实际上，这种处理方法也包含有极限的思想.经过特殊化处理后，再求解几何体的体积就要简单得多.除常规方法外的这两种特殊化方法所体现的正是特殊与一般的思想，用特殊的方法来解决一般的问题.A B C A 1B 1C 1P Q【例2】已知函数1()lg 1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -= （Ａ）b （Ｂ）b - （Ｃ）1b （Ｄ）1b- 【分析及解】为了说明本题所体现的出来的数学思想方法，我们先来看解决本题的三种方法. 方法一 常规方法本题所研究的函数是确定的，其函数解析式已知且不含有参数.如果把,a b 看成是两个用字母表示的数，则它们也是确定的，已知的.于是由()f a b =，得1lg 1a b a-=+.又1()lg1a f a a+-=-，那么为求得()f a -的值，实际上就是求1lg 1a a +-怎样用关于b 的解析式来表示，就是求1lg 1a a +-与1lg 1a a-+的关系.到此，不难发现，有1111lg lg()lg 111a a a a a a -+--==--++，于是()f a b -=-. 方法二 一般化方法如果我们探究()f a 与()f a -的关系，产生猜想：如果()f x 是奇函数或偶函数，那么由()f a 的值求()f a -的值就会变得相当简单.()f x 具有奇偶性吗()f x 的定义域为{11}x x -<<，关于原点对称.在定义域内任取x 和x -有1111()()lg lg lg()lg101111x x x x f x f x x x x x-+-++-=+=⋅==+-+-. 所以()f x 是定义域()1,1-内的奇函数，于是()()f a f a b -=-=-.方法三 特殊化方法考虑到是选择题，,a b 是用字母表示的数，那么不妨取特殊值来进行研究.令12a =，则11112()lg lg lg312312fb -===-=+，那么1112()lg lg31212f b +-===--.比较四个选项后，便可得出，只有（Ｂ）成立.对于这样一个求函数值的常规问题，其解法中蕴涵着特殊与一般的思维方法.如果将方法一与方法二相比较，方法一是对具体函数、具体函数值的研究，可以认为是对特殊问题的特殊研究.而方法二则是研究这个具体函数的一个一般性质，只要函数()f x 是奇函数，无论其解析式是否为1lg 1a a-+，都有()()f a f a b -=-=-.这种研究问题的方法体现出的恰是由特殊到一般的思维方法.由特殊函数，研究它的一个性质，再由一般函数的性质，得出一般的结论.不过最终还要回到这个特殊函数上来，得出所求结果，又由一般回到了特殊.这种特殊 —— 一般 —— 特殊的研究过程是特殊与一般思想方法的一种思维模式.如果将方法一与方法三相比较，由于方法一中含有字母已知数，而方法三中则是将字母具体化、特殊化，研究它的一咱特殊情况.这种研究问题的方法体现出的恰是由一般到特殊的思维方法.将用字母表示的一般函数值的研究，转化为某个特殊数值的特殊函数值的研究.不过最终还要回到一般上来，利用“特殊情况下命题不成立，那么在含有这个特殊情况的一般情况下这个命题必定不成立”得出一般结论.这种一般 —— 特殊 —— 一般的研究过程是特殊与一般思想方法的又一种思维模式.可以认为，本例是体现特殊与一般思想方法的一个典型范例.二、特殊与一般的思想应用举例【例3】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若9535=a a ，则=59S S （A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）21 分析：确定一个等差数列需要两个独立条件，而题设中只给出了一个条件，因此不能确定这个等差数列，也就不能求出它的各项，自然也就求不出95,S S 的值.可以另辟蹊径，构造一个符合条件的特殊数列解此问题.解：由已知条件9535=a a ，令9,535==a a ，得公差23595-=--=d ， 13)2(291=-⨯-=a ，求出45,4595==S S ，所以159=S S ，选（A ）. 评析：符合条件的等差数列有无穷多个，虽然95,S S 的值不确定，但是由选择项可知，59S S 的值是确定的，即不因95,S S 的变化而变化，因此可以通过构造符合条件的特殊数列得出结果，也就是一般性结果，体现了由特殊到一般的“先退后进”的数学思想.【例4】定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．5（提示：取()sin f x x =）【例5】在△OAB 中，O 为坐标原点，),1,(sin ),cos ,1(θθB A ]2,0(πθ∈，则当△OAB 的面积达到最大值时，=θ（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π 分析：由已知，1sin 0,1cos 0≤<<≤θθ， 可以把△OAB 放在平面直角坐标系中边长为1的 一个正方形的内部（如图），即构造一个特殊的正 方形，使它与△OAB 之间建立关于面积大小的一种关系，在此思路下寻求题目中所求的θ值.解：在正方形ODEC 中，得)1,1(),0,1(),1,0(E D C ，所以AEB ODA OBC OAB S S S S ∆∆∆∆---=1θ2sin 4121-=， 由]2,0(πθ∈可知， 当θ2sin 取最小值0时，OAB S ∆取最大值21，此时2πθ=，选（D ）. 评析：本题解法的特殊化思想体现了特殊情境的构造，即通过条件，把△OAB 放在一个正方形的内部，在新的特殊情境之中发现解题思路并求出问题的解.【例6】若π02x <<，则下列命题正确的是（ ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3sin πx x > （提示：取4x π=，可排除A 、D ；取6x π=，可排除C ） 【例7】已知⎩⎨⎧+-=,log ,4)13()(x a x a x f a .1,1≥<x x 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （A ）)1,0( （B ）)31,0( （C ）)31,71[ （D ）)1,71[分析：已知函数)(x f 是一个分段函数，从形的方面看，)(x f 的图象由一条直线的一部分和对数曲线的一部分组成，由条件，图象从左到右应呈下降趋势，若采用由特殊到一般的思想求解，可以对a 赋特殊值，并检验是否符合题意. 解：取31=a ，得⎪⎩⎪⎨⎧=,log ,34)(31x x f .1,1≥<x x 如图， 显然，)(x f 在),(+∞-∞上不是减函数，可排除选项（A ），（D ）； D B Ayx C o E1 o y x再取91=a ，得⎪⎩⎪⎨⎧+-=,log ,9432)(91x x x f .1,1≥<x x 如图， 0)1()32(==f f ，即)(x f 在),(+∞-∞上不是减函数，可排除选项（B ），综上，选（C ）. 评析：求参数取值范围的选择题一般可考虑用特殊值方法求解，根据选择项对参数赋予适当的特殊值，再根据题设条件进行检验.究竟对参数赋予哪些特殊值，通常要结合参数所在的数学式中的位置及相应的数学概念等来考虑，这种特殊化的思想在解此类问题时往往是行之有效的.【例8】在数列{}n a 中，2,121==a a ，且n n n a a )1(12-+=-+，*)(N n ∈，则=100S _____________.分析：可以考虑先求n S 或n S 2，再求100S ，这里采用先求n S 2的方法.解：由n n n a a )1(12-+=-+，得111)1(1--+-+=-n n n a a )2(≥n ，两式相加得2)()(121=+-+-++n n n n a a a a )2(≥n ，而2,121==a a ，得)()()(21243212n n n a a a a a a S ++++++=-)2(2)]12(3[)12(53+=++=++++=n n n n n ， 所以，26005250100=⨯=S . 评析：本题的解法采用的是一般化的思想，即把待求的100S 这一特殊值放在一般的n S 2中加以研究，正是因为一般性中蕴涵着特殊性，能使我们从该数列的本质特征入手，“先进后退”的解决了问题.【例9】．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1…… ………………………………………【例10】若对任意x ∈R ，不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）1 o yxA ．1a <-B ．1a ≤C ．1a <D ．1a ≥（提示：取1a =±）【例11】两个相同的正四棱锥组成如图（1）所示的几何体，可放入棱长为1的正方体图（2）内，使正四棱锥的底面与正方体的某一个面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个分析：由已知，图（1）所示的几何体体积由正四棱锥的底面正方形的面积决定，根据该底面与正方体的位置关系，可考虑用一个特殊的平面衬托该底面，以此分析它与正方体的面的关系及该底面的面积情况.解：把图（1）所示的几何体放入棱长为1的正方体图（2）内，沿正四棱锥的底面所在平面将正方体切开，截面如图（3）所示，由平面几何知识可知，一个正方形有无穷多个边长各不相等的内接小正方形，设其面积为S ，则图（1）所示的几何体体积等于S 31，选（D ）. 评析：本题解法的特殊化思想体现在选取一个特殊的位置，即特殊的截面，使正四棱锥的底面和正方体的面可以依托在此截面内，从而将空间问题转化为易于研究的平面问题，这里的特殊化起到了寻找转化途径的作用.【例12】在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数 Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数 【分析及解】由条件知()f x 是以2为周期的周期函数，取()cos f x x π=，求单调区间.令22k x k ππππ-≤≤，解得增函数区间为[]21,2k k -，取2k =，得增区间[34]，； 令22k x k ππππ≤≤+，解得减函数区间为[]2,21k k +，取1k =-，得减区间[21]--，；从而选C.图（3）图（2） 图（1）【例13】（07上海）．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111p q n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ）A ．0B ．1C ．p qD ．11p q -- 【分析及解】取1,2p q ==，得从而选C.【例14】（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、… 堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f __________ ；=)(n f __________（答案用n 表示）.…分析：通过观察与计算，得出 )4(),3(),2(),1(f f f f ，然后归纳探求其内在的变化规律，猜想出结论的一般形式，并给出证明.解：1)1(=f ，654310)2(6)3(,64324)1(3)2(⨯⨯==+=⨯⨯==+=f f f f ， 665420)3(10)4(⨯⨯==+=f f ，下一堆球的个数等于其第一层球的个数与上一堆球的个数之和，而各堆第一层球的个数分别是 ,10,6,3,1，2)1(+n n ，于是可得676535)4(265)5(⨯⨯==+⨯=f f ，… ，)1(2)1()(-++=n f n n n f ， 猜想：6)2)(1()(++=n n n n f ，此命题可用数学归纳法证明（略）. 评析：归纳是通过对某类事物中的若干特殊情形分析得出一般结论的思维方法，本题的核心就是由特殊的)4(),3(),2(),1(f f f f 得到一般的6)2)(1()(++=n n n n f ，其主要意义是它的猜测发现，其重要作用是启发解决问题的思路.【例15】（2006年浙江卷）如图，正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________________.分析：为了解决此问题，可考虑平面几何中与此类同的问题：求边长为1的正三角形上的所α D C B A有点在一条直线上的射影构成的线段长的取值范围.从解决平面问题的方法中得到解决立体问题的思路.解：在上述平面几何问题中，让正三角形绕其一个顶点旋转，如图，当正三角形的一条边平行于直线a 时，在直线a 上的射影为正三角形的边，是最大射影长为1；当正三角形的一条边垂直于直线a 时（图中b a ⊥），在直线a 上的射影为正三角形的高，是 最小射影长为23（证明略），得射影的取值范围是]1,23[. 有了平面几何问题的结论和已知棱AB ∥平面α，可类比得到立体几何问题的结论：当正四面体ABCD 的棱CD ∥α时，可得正四面体在α内的射影最大面积，是对角线长为1（正四面体的棱长）的正方形的面积等于21，当α⊥CD 时，可得正四面体在α内的射影最小面积，是底边长为1（正四面体的棱长）且对应高为22（对棱CD AB ,间的距离）的三角形的面积等于42，由此可得所求射影图形面积的取值范围是]21,42[（射影图及证明略）. 评析：本题的解法采用了由特殊（平面）到一般（空间）的类比方法，关键是从联想的角度先考虑平面几何中的类似问题（相对容易一些），从中挖掘出立体几何中相关问题的突破点，也为充分发挥空间想象能力提供重要线索.四、复习建议1．明确特殊化思想的特点特殊情形相对一般情形而言是比较简单、直观和具体的，因而常常易于找出特殊情形的解答，而且普遍性存在于特殊性之中，一些特殊情形的解答过程常常蕴含着一般问题的解法途径或思路，因此，特殊化思想是探索一般性问题的解题途径的重要思想之一.2．明确一般化思想的特点从一般性问题入手，可以使我们的视野更为广阔，避免在枝节问题上纠缠，容易触及问题的本质.同时，由于限制条件减少，涉及范围增大，更容易引起联想，发现各种条件与结论之间的内在联系.因此，从一般到特殊，是人们认识事物的另一个重要侧面，它与从特殊到一般是相辅相成、和谐统一的两个方面.3．注意与其他数学思想方法的联合运用在同一道题中，有时需要运用多种数学思想方法，因此复习时要全面复习高中阶段的重要数学思想方法，不能重此轻彼，复习时要注意这一点.4．能适时正确的选用 1a b要清楚特殊与一般的数学思想方法的适用条件，如特殊化处理的可行性，有时虽然能用特殊化思想解答，但是比起其他方法未必是最佳解法.另外在解答题中，由于需要写出解答过程，因此对于一般性的结论，要防止用特殊代替一般的解答等.。
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特殊情形的方法或结果应用或推广到一般问题之中， 从而获得
一般性问题的解决的思想．显而易见， 相对于 “一般” 而言，
“特殊” 往往显得简单、 直观和具体， 且容易解决．
二、 特殊化思想解题的一些思路
在解答数学问题时， 特殊化方法常常表现为将一般问题
特殊化处理或从特殊出发探索解题方向， 以获得问题的解决，
集合 M∩N＝（ ）
A． x＝1，y＝-1 B． （1,-1） C． {1,-1} D． {（1,-1）}
∩ ∩ 2x-y＝3，
x＝1，
解析： 通过联立方程组
解得
所以集合
x+y＝0，
y＝-1，
M∩N＝{（1,-1）}．
但实际上， 我们可以从判断 A、 B、 C、 D 四个选择项的
形式上直接给出答案 D， 因为所求结果必须是一个点坐标为
假 设 存 在 等 差 数 列{bn}使 等 式 an=b1C1n +b2C2n +…+bnCnn 对 一 切 正 整 数 n 成 立 ， 则 当 n=1 时 得 1=b1C11 ， 所 以 b1=1； 当 n=2 时 得 4= b1C12+b2C22 ， 所 以 b2=2； 当 n=3 时 得 12=b1C13 +b2C23 +b3C33 ， 所 以 b3=3．如果由此就给出结论存在 等 差 数 列{bn=n}满 足 题 意 ， 我 们 认 为 是 不 完 备 的．因 为 在 之 前 的 解 答 中 仅 证 明 了 n=1，2，3 是 成
必要条件解题， 但因为在选择题和填空题中又是充分的， 所
以， 在客观题中用这种思想解题是等价的， 即是充分必要条
件关系， 但如果是解答题， 则这种做法是不完备的， 犯了
“以部分代替全体， 特殊代替一般” 的错误， 有时甚至是错误
的．例 如 ， 我 们 知 道 数 列 an=（n2-5n+5）2 并 不 是 常 数 列 {1}， 但 有 的 同 学 在 计 算 了 a1=1，a2=1，a3=1，a4=1 后 就 得 出 结 论 an=1，
的概念来解决它们．
“特殊化思想” 是中学数学里很重要的一种思想方法， 在各
级各类试题里有许多能够利用特殊化思想解决的问题．那么什么
是特殊化思想？ 它是指在解题时采用特殊的判断、 特殊的数值、
特殊的几何图形等来解题的策略， 并且在客观题中所求得的结
果就是问题的结果； 或者先解决数学问题的特殊情形或从解决
元素的集合， 而题中只有 D 是这种形式的．
第三篇： 函数与导数中的特殊化思想
函数与导数是高中数学的重点内容之一， 题型复杂， 难
广东教育·高中 2015 年第 2 期 61
立的， 而 n=4，5，6， …更多的时候还没有证明．因此接下去需证明
等式 n·2n-1=1C1n+2C2n+…+nCnn 是否成立？ 若成立， 则问题解决．
第二篇： 集合中的特殊化思想
集合问题虽说大多简单， 但如果能用好特殊化思想也能
节省不少解题的时间．
例 1． 已知集合 M={（x，y）│2x-y＝3}，N={（x，y）│x+y＝0}，那么
a 2
+b＞0
是使
ax+b＞0
恒成立的
（
）
A． 充要条件
B． 充分不必要条件
C． 必要不充分条件 D． 既不充分又不必要条件
同学们你做好了吗？
答案为
C. 因 为
a 2
+b＞0 推不出 ax+b＞0
恒成立，
而对于 x∈[0，1]
的 一 切 值 ax+b＞0 成 立 时 ，
取
x=
1 2，Βιβλιοθήκη 就应该有 a +b＞0． 因此， 特殊化思想解题实际上是在用问题的 2
GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG
特殊化与一般思想
■俞新龙
第一篇： 特殊化思想概述
一、 特殊化思想的含义
特殊化思想是一种重要的数学思想， 也是一种辩证的认
知规律．历史上一些重大的科学发现时常是由特殊引发的．著名
数学家华罗庚认为： 善于 “退”， 一直 “退” 到原始而不失重
要性的地方， 是学习数学的一个诀窍．波利亚说： 特殊化是以
从形式上看， 将一般性问题特殊化是不困难的， 但某个
一般性问题经过不同的特殊化处理会得到多个不同的特殊化
命题．因此， 特殊化思想的关键是能否找到一个最隹的特殊化
问题， 因为， 较为理想的特殊问题是极易解决的．
三、 特殊化思想解题易范错误
为了弄清这个问题先请同学们看下面的问题：
对于 x∈[0，1]的一切值，
考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子
集， 或仅一个对象．希尔伯特说： 在讨论数学问题时， 我相信
特殊化比一般化起着更为重要的作用．我们寻找一个答案而未
能成功的原因， 就在于这样的事实， 即有一些比手头的问题
更简单、 更容易的问题没有完全解决， 这一切都有赖于找出
这些比较容易的问题， 并且用尽可能完善的方法和能够推广
它是一种以 “退” 为 “进” 的解题策略．用问题最特殊情形的
解来得到一般问题的解， 因此在选择题和填空题等客观问题
中一定要特别注意特殊化思想的应用．一些定点、 定值类问题
常可用特殊化解题．总之， 就是从问题的简单化、 特殊化入手
解答．尤其是当我们解题束手无策时一定不能忘了特殊化思想
这个 “大救星” ．
如果从这四个特殊的例子就得出结论毫无疑问是错误的， 因
为 a5=25≠1．又如对于问题： 已知数列 {an} 满足 an=n·2n -1 （x∈ N*）， 是否存在等差数列{bn}使等式 an=b1C1n+b2C2n +…+bnCnn 对 一 切 正整数 n 成立？ 并证明你的结论．绝大多数同学都能这样做：