IEEE 745浮点数标准
ieee754给出的float和double精度范围
ieee754给出的float和double精度范围IEEE 754标准是计算机科学中广泛使用的浮点数表示法。
在这个标准中，float和double是两种常见的浮点数类型。
本文将详细介绍这两种浮点数类型的精度范围，并解释它们的特点和用途。
一、IEEE 754浮点数标准简介IEEE 754浮点数标准是由国际电机电子工程师学会（IEEE）于1985年发布的一项标准，用于表示浮点数和运算。
该标准定义了浮点数的表示、舍入规则以及各种浮点数运算的行为。
它旨在提供一种统一的浮点数表示方法，以便在不同的计算机系统上实现可靠和一致的浮点数运算。
在IEEE 754标准中，浮点数被分为三个组成部分：符号位、指数位和尾数位。
float和double是其中最常见的两种浮点数类型，它们分别使用32位和64位来表示。
二、float类型的精度范围float类型使用32位来表示浮点数，其中1位用于符号位，8位用于指数位，23位用于尾数位。
根据IEEE 754标准的定义，float类型的指数范围为-126到127，尾数范围为1到2。
根据这些范围，float类型可以表示的最大范围是1.17549435e-38到3.40282347e+38。
具体来说，float类型可以表示的最小非零正数是1.40129846e-45，而最大正数是3.40282347e+38。
同时，float类型还可以表示负数和零。
在使用float类型进行运算时，可能会出现精度损失的情况。
这是由于float 类型的尾数位数有限，无法精确表示某些十进制数。
因此，在进行浮点数计算时，需要注意可能的舍入误差和精度损失问题。
三、double类型的精度范围double类型使用64位来表示浮点数，其中1位用于符号位，11位用于指数位，52位用于尾数位。
根据IEEE 754标准的定义，double类型的指数范围为-1022到1023，尾数范围为1到2。
根据这些范围，double 类型可以表示的最大范围是2.2250738585072014e-308到1.7976931348623157e+308。
IEEE754标准浮点数的表示
从二进制到浮点数的计算公式F=1.M(二进制)在单精度时：V=(-1)^s*2^(E-127)*F在双精度时：V=(-1)^s*2^(E-1023)*FVB中的浮点数二进制化函数API：Public Declare Sub CopyMemory Lib "kernel32" Alias "RtlMoveMemory" (Destination As Any, Source As Any, ByVal Length As Long)函数：Public Function GetDoubleBinary(dd As Double) As StringDim b(0 To 7) As ByteDim s As StringCopyMemory b(0), dd, 8For j = 7 To 0 Step -1For i = 7 To 0 Step -1s = s & IIf((b(j) And (2 ^ i)) > 0, "1", "0")'以下添加分割符Select Case j * 8 + iCase 63s = s & "|"Case 52s = s & "|"End SelectNextNextGetDoubleBinary = sEnd FunctionPublic Function GetSingleBinary(ss As Single) As StringDim b(0 To 3) As ByteDim s As StringCopyMemory b(0), ss, 4For j = 3 To 0 Step -1For i = 7 To 0 Step -1s = s & IIf((b(j) And (2 ^ i)) > 0, "1", "0")'以下添加分割符Select Case j * 8 + iCase 31s = s & "|"Case 23s = s & "|"End SelectNextNextGetSingleBinary = sEnd Function什么是IEEE 754标准目前支持二进制浮点数的硬件和软件文档中，几乎都声称其浮点数实现符合IEEE 754标准。
ieee754规格化浮点数范围
IEEE754规格化浮点数范围1.引言I E EE754是一种国际标准，用于定义浮点数的表示、舍入以及运算规则。
在这个标准中，规定了不同精度的浮点数的表示方法，包括规格化浮点数。
本文将详细介绍I EE E754规格化浮点数的范围。
2.什么是I EEE 754规格化浮点数I E EE754规格化浮点数是指使用科学计数法的一种表示方法，以固定基数和固定精度表示实数。
在规格化浮点数中，尾数部分必须为一个大于等于1且小于2的数，并且指数部分要使得表示出来的数值更加精确。
因此，规格化浮点数在计算和存储方面具有更高的精度。
3. IE EE 754规格化浮点数的表示方法在I EE E754标准中，规定了单精度（32位）和双精度（64位）两种规格化浮点数的表示方法。
单精度浮点数由1位符号位、8位指数位和23位尾数位组成；双精度浮点数由1位符号位、11位指数位和52位尾数位组成。
4.单精度和双精度的规格化浮点数范围4.1单精度规格化浮点数范围在单精度规格化浮点数中，指数位的范围是从0到255，尾数位的范围是从0到2^23-1。
根据I EE E754标准，可以计算出单精度规格化浮点数的取值范围。
-最大正规规格化浮点数为（1-2^-23）*2^127，约为3.4028235x10^38；-最小正规规格化浮点数为2^-126，约为1.1754944x10^-38；-最大负规格化浮点数为-（1-2^-23）*2^127，约为-3.4028235x10^38；-最小负规格化浮点数为-2^-126，约为-1.1754944x10^-38。
4.2双精度规格化浮点数范围在双精度规格化浮点数中，指数位的范围是从0到2047，尾数位的范围是从0到2^52-1。
同样，根据IE EE754标准，可以计算出双精度规格化浮点数的取值范围。
-最大正规规格化浮点数为（1-2^-52）*2^1023，约为1.7976931348623157x10^308；-最小正规规格化浮点数为2^-1022，约为2.2250738585072014x10^-308；-最大负规格化浮点数为-（1-2^-52）*2^1023，约为-1.7976931348623157x10^308；-最小负规格化浮点数为-2^-1022，约为-2.2250738585072014x10^-308。
ieee 754浮点数标准 float
IEEE 754（IEEE二进制浮点数算术标准）是20世纪80年代以来广泛使用的浮点数运算标准，被许多CPU和浮点运算器所采用。
该标准定义了表示浮点数的格式（包括负零-0）、特殊数值（无穷（Inf）和非数值（NaN）），以及这些数值的浮点数运算符。
IEEE 754标准规定了四种表示浮点数值的方式：单精确度（32位）、双精确度（64位）、扩展精确度（43位）和超级精确度（79位）。
在IEEE 754标准中，单精度浮点数（float）采用32位二进制表示，其数值范围为1.4×10^-45到3.4×10^38，共24位有效数字。
双精度浮点数（double）采用64位二进制表示，其数值范围为4.9×10^-324到1.7×10^308，共53位有效数字。
IEEE 754关于浮点数的规定解析
000C 405ED9999999999A Data4 DQ 123.4;定义双精度浮点数 0014 405ED9999999999A Data5 REAL8 123.4;定义双精度浮点数 001C 4005F6CCCCCCCCCCCCCD Data6 REAL10 123.4 ;定义扩展精度浮点数
255 255
任意
0 非0
规格化数
±无穷大 NaN
三、十进制数转换成浮点数的步骤 1、将十进制数转换成二进制数：整数部分用 2来除，小数部分用2来乘； 2、规格化二进制数：改变阶码，使小数点前 面仅有第一位有效数字； 3、计算阶码： 短型浮点数的阶码加上偏移量7FH 长型浮点数的阶码加上偏移量3FFH 扩展型浮点数的阶码加上偏移量3FFFH 4、以浮点数据格式存储。 把数值的符号位、阶码和尾数合在一起 就得到了该数的浮点存储形式。
例1 把十进制数100.25转换成协处理器中的 浮点数 解：1、进制转换： (100.25)10＝(1100100.01)2 2、规格化： (1100100.01)2＝1.10010001×26 ＝1.10010001×2110 3、计算阶码： 110+01111111＝10000101 4、数值的符号位为：0， 阶码为：10000101， 尾数为： 1001 0001 0000 0000 0000 000
对上溢用无穷大表示=无穷大 任何有限数÷无穷大=0 无穷大÷无穷大=NaN NaN(Not A Number)
。 这样IEEE754有5种类型浮点数据,如下表:
S
0/1 0/1
E
0 0
M
0 非0
意义
±0 非规格化数
0/1
0/1 0/1
1~254
IEEE_745浮点数标准
标题: 解读IEEE标准754：浮点数表示一、背景在IEEE标准754之前，业界并没有一个统一的浮点数标准，相反，很多计算机制造商都设计自己的浮点数规则，以及运算细节。
那时，实现的速度和简易性比数字的精确性更受重视。
直到1985年Intel打算为其的8086微处理器引进一种浮点数协处理器的时候，聪明地意识到，作为设计芯片者的电子工程师和固体物理学家们，也许并不能通过数值分析来选择最合理的浮点数二进制格式。
于是Intel在请加州大学伯克利分校的 William Kahan教授──最优秀的数值分析家之一来为8087 FPU设计浮点数格式; 而这个家伙又找来两个专家来协助他，于是就有了KCS组合（Kahn, Coonan, and Stone）。
他们共同完成了Intel的浮点数格式设计，而且完成地如此出色，以致于IEEE组织决定采用一个非常接近KCS的方案作为IEEE的标准浮点格式。
目前，几乎所有计算机都支持该标准，大大改善了科学应用程序的可移植性。
二、表示形式从表面上看，浮点数也是一串0和1构成的位序列(bit sequence)，并不是三头六臂的怪物，更不会咬人。
然而IEEE标准从逻辑上用三元组{S,E,M}表示一个数N,如下图所示：N的实际值n由下列式子表示：其中：★ n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。
★ S(sign)表示N的符号位。
对应值s满足：n>0时，s=0; n<0时，s=1。
★ E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的若干位。
对应值e值也可正可负。
★ M(mantissa)表示N的尾数位，恰好，它位于N末尾。
M也叫有效数字位（sinificand）、系数位（coefficient）, 甚至被称作“小数”。
三、浮点数格式IEEE标准754规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度。
前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型。
ieee754标准32位浮点数和普通浮点数
ieee754标准32位浮点数和普通浮点
数
IEEE 754标准是一种被广泛使用的浮点数表示方法，它规定了浮点数的表示
格式和计算规则。
在计算机中，浮点数被用来表示实数，包括小数和无限大。
IEEE 754标准定义了32位浮点数和64位浮点数两种格式，其中32位浮点数是最常用的。
在IEEE 754标准中，32位浮点数被分为三个部分：符号位、指数位和尾数位。
符号位用来表示浮点数的正负，占1位；指数位用来表示浮点数的指数，占8位；尾数位用来表示浮点数的小数部分，占23位。
在计算浮点数时，首先要根据指数位的值来确定浮点数的范围和精度，然后根据尾数位的值来确定浮点数的小数部分。
普通浮点数是指在计算机中用常规方式表示的实数。
它通常用定点数表示，也可以用浮点数表示。
在普通浮点数中，小数点的位置是固定的，而在IEEE 754标准中，小数点的位置是可以浮动的。
这种可变性使得IEEE 754标准能够更好地适应不同情况下的精度需求。
在IEEE 754标准中，32位浮点数的精度比普通浮点数更高。
由于它使用了更多的位数来表示小数部分，因此它可以更精确地表示小数。
此外，IEEE 754标准
还支持负指数和无穷大的表示，这使得它能够更好地处理特殊情况。
总之，IEEE 754标准是一种非常优秀的浮点数表示方法，它具有高精度、范
围大、易读易懂等优点。
相比之下，普通浮点数的表示方法则显得较为简单粗糙。
因此，在需要高精度计算或处理特殊情况时，我们应该优先考虑使用IEEE 754标准的32位浮点数。
ieee754中浮点数的表示范围
ieee754中浮点数的表示范围
IEEE 754浮点数标准定义了多种浮点数格式，每种格式的表示范围略有不同。
以下为IEEE 754标准中三种常见的浮点数格式的表示范围：
单精度浮点数（32位）的表示范围为：
- 最大正数：约3.4 x 10^38
- 最小正数：约1.4 x 10^-45
- 最大负数：约-3.4 x 10^38
- 最小负数：约-1.4 x 10^-45
双精度浮点数（64位）的表示范围为：
- 最大正数：约1.8 x 10^308
- 最小正数：约4.9 x 10^-324
- 最大负数：约-1.8 x 10^308
- 最小负数：约-4.9 x 10^-324
扩展精度浮点数（80位）的表示范围为：
- 最大正数：约1.2 x 10^4932
- 最小正数：约4.9 x 10^-4966
- 最大负数：约-1.2 x 10^4932
- 最小负数：约-4.9 x 10^-4966
需要注意的是，由于浮点数的表示采用了有限的位数，浮点数的范围总是有限的，而不是无限的。
在表示范围之外的数值将被截断或舍入为特殊的值，如正无穷大、负无穷大或NaN （非数值）。
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IEEE 745浮点数标准解读IEEE标准754：浮点数表示如须转载请注明作者为Lolita@，并请保持文章的完整和提供转载出处。
N的实际值n由下列式子表示：其中：★ n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。
★ S(sign)表示N的符号位。
对应值s满足：n>0时，s=0; n<0时，s=1。
★ E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的若干位。
对应值e值也可正可负。
★ M(mantissa)表示N的尾数位，恰好，它位于N末尾。
M也叫有效数字位（sinificand）、系数位（coefficient）, 甚至被称作“小数”。
三、浮点数格式IEEE标准754规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度。
前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型。
限于篇幅，本文仅介绍单精度、双精度浮点格式。
★ 单精度:N共32位，其中S占1位，E占8位，M占23位。
★ 双精度:N共64位，其中S占1位，E占11位，M占52位。
上图中，|E|表示E的二进制序列表示的整数值,例如E为"10000100",则|E|=132,e=132-127=5 。
k则表示E的位数，对单精度来说，k=8,则bias=127，对双精度来说，k=11,则bias=1023。
此时m的计算公式如下图所示：标准规定此时小数点左侧的隐含位为1,那么m=|1.M|。
如M="101"，则|1.M|=|1.101|=1.625,即 m=1.6252、非规格化：当E的二进制位全部为0时，N为非规格化形式。
此时e，m 的计算都非常简单。
注意，此时小数点左侧的隐含位为0。
为什么e会等于(1-bias)而不是(-bias)，这主要是为规格化数值、非规格化数值之间的平滑过渡设计的。
后文我们还会继续讨论。
有了非规格化形式，我们就可以表示0了。
把符号位S值1,其余所有位均置0后，我们得到了 -0.0; 同理，把所有位均置0,则得到 +0.0。
非规格化数还有其他用途，比如表示非常接近0的小数，而且这些小数均匀地接近0,称为“逐渐下溢(gradually underflow)”属性。
3、特殊数值：当E的二进制位全为1时为特殊数值。
此时，若M的二进制位全为0，则n表示无穷大，若S为1则为负无穷大，若S为0则为正无穷大; 若M的二进制位不全为0时，表示NaN(Not a Number)，表示这不是一个合法实数或无穷，或者该数未经初始化。
五、范例仔细研读第四点后，再回忆一下文章开头计算n的公式，你应该写出一个浮点编码的实际值n了吧？还不能吗？不急，我先给你示范一下。
我们假定N是一个8位浮点数，其中，S占1位，E占4位，M占3位。
下面这张表罗列了N可能的正数形式，也包含了e、m等值，请你对照着这张表，重温一下第四点，你会慢慢明白的。
说实在的，这张表花了我不少功夫呢,幸好TeX画表格还算省事！这张表里头有很多有趣的地方，我提醒一下：★ 看 N 列，从上到下，二进制位表示是均匀递增的，且增量都是一个最小二进制位。
这不是偶然，正是巧妙设计的结果。
观察最大的非规格数，发现恰好就是M全为1, E全为0的情况。
于是我们求出最大的非规格数为：上面的公式中，h为M的位数(如范例中为3)。
注意，公式等号右边的第一项同时又是最小规格数的值（如范例中为 8/512 ）;第二项则正是最小非规格数的值(如范例中为1/512)即该浮点数能表示的最小正数。
★ 看 m 列，规格化数都是 1+ x 的形式，这个1正是隐含位1; 而非规格化数隐含位为0, 所以没有 "1+" 。
★ 看 n 列，非规格化数从上到下的增量都是 1/512, 且过渡到规格化数时，增量是平滑的，依旧是1/512。
这正是非规格化数中e等于(1-bias)而不是(-bias)的缘故，也是巧妙设计的结果。
再继续往下看，发现增量值逐渐增大。
可见，浮点数的取值范围不是均匀的。
六、实战我们用一小段汇编来测试一下，浮点数在内存中是如何表示的。
测试环境：GentooLinux2006.0/GNU assembler version 2.16.1/GNU gdb 6.4/AMD XP1600+。
如下所示代码:~/coding/assemble $ gdb(gdb) list1 .section .data2 f1:3 .float 54 f2:5 .float 0.16 .section .text7 .global _start8 _start:9 nop10(gdb) x/f &f10x80490a4 <f1>: 5(gdb) x/xw &f10x80490a4 <f1>: 0x40a00000(gdb) x/f &f20x80490a8 <f2>: 0.100000001(gdb) x/xw &f20x80490a8 <f2>: 0x3dcccccd(gdb)从上面的gdb命令结果可以看出，浮点数5被表示为 0x40a00000，二进制形式为( 0100 0000 1010 0000 (0000)0000)。
红色数字为E，可以看出|E|=129>0, 则e=129-bias=129-127=2 ；蓝色数字为M, 且|E|>0，说明是规格化数，则m=|1.M|=|1.01000..000|=1.25 ; 由n的计算公式可以求得 n=(-1)^0 * 1.25 * 2^2 = 5，结果被验证了。
同样，你也可以验证一下十进制浮点数0.1的二进制形式是否正确，你会发现，0.1不能表示为有限个二进制位，因此在内存中的表示是舍入(rounding)以后的结果，即 0x3dcccccd, 十进制为0.100000001，误差0.000000001由此产生了。
七、未完成关于浮点数，还有很多东西（比如舍入误差、除零异常等等）值得我们深入探讨，但已经无法在此继续。
这篇文章的目的仅在初步解释IEEE标准754对浮点数的规定以及一些奇妙的地方。
写这篇文章花掉了我整天的时间，但也使我彻底记住了以前让我胆怯的东西──最重要的是，希望这篇文章对大家有点用处，也算我为计算机科学基础理论版以及做的一点贡献。
参考书目：①: Randall Hyde, The Art of Assembly Language, Vol.1, 4.2.1②: Randal E. Bryant, David R. O’Hallaron, Computer Systems A Programmer’s Perspective (Beta Draft), PartⅠ，Chapt.Ⅱ， 2.4③: Rechard Blum, Professional Assembly Language主题词：单片机数制转换器，单片机浮点数转换器人们研制电子计算机的初衷就是为了用于科学计算。
时至今日，尽管现在单片机应用领域宽广、色彩缤纷，但复杂计算仍不可或缺的内容。
针的对定点数不能胜任复杂计算的缺点，人们在实践中约定了不同格式、不同精度的浮点数，实现了浮点运算。
因为计算机只能识别二进制数，完成二进制数的运算，所以我们所说的浮点数一般都是指二进制浮点数。
与定点数相比，浮点数能较好地兼顾表达式数值范围，能简捷地表示出很大或很小的数值。
浮点由阶码和尾数两部分组成，阶码为带符号的整数，尾数为小于1带符号的小数（如尾数的绝对值还满足大于或等于1/2，则称该浮点数为规格化浮点数）。
计算过程中主要以足够长的尾数来保证数据的精度，以阶杩来调整数模（绝对值）的大小（即改变小数点的位置），并自动进行符号处理。
因此浮点数具有精度高、数的表达范围宽等特点，特别适用于计算过程复杂、精度要求高的场合。
目前单片机常用的浮点数格式，不外乎有四种格式：三字节格式、IEEE-754标准格式、IEEE-754标准变形1和IEEE-754标准变形2，共4种格式。
作为单片机程序员来说，在编写程序时经常要检验程序中的浮点数运算结果是否正确，但手中又没有合适的检验工具，非常麻烦。
对此我就深有体会。
为此我收集整理有关浮资料，并编写了一款非常实用的转换工具，它能辅助你编写有关浮点数运算方便的程序，尤其是有关浮点数表格的制作，更是事半功倍。
你只需将要转换的十进制定点数编制成一个文本文件，利用FON浮点数转换器“载入”，如图（2），点击一下转换按钮，顷刻间便可完成一个文件数据的转换。
也可将浮点数转换为十进制定点数，即逆转换。
FON浮点数转换器，我也在工作中使用了两年多，效果非常好，为节省了不少时间。
下面是浮点数转换器的部分截屏：单个数据转换（图1）多组数据转换（格式1）（图2）多组数据转换（格式2）（图3）主要用于制作浮点数表格多组数据逆转换（图4），此时的定点数会出现此尾数差异，并不影响精度单片机浮点数格式说明★ MCS-51三字节格式：浮点数格式如下：地址eb BY0 BY1内容 SEEE EEEE MMMM MMMM MMMM MMMM用三个字节表示，第一个字节的最高位为数符S，正数为0，负数为1，其余七位为阶码（二进制补码形式）；第二字节为尾数的高字节；第三字节为尾数的低字节，尾数用双字节ＢＣＤ码纯小数（原码）来表示。
例：已知 a=-123.4；b=0.7577；c=56.34；d=1.276；用ＢＣＤ码浮点数表示时，分别为a=831234H；b=007577H；c=025634H；d=011276H。
★ MCS-51三字节浮点数规格化：为了提高运算精度，正数的尾数最高位规定为1，负数的尾数的最高位规定为0，这种形式的浮点数为规格化数（又称浮点操作数）。
运算之前所有的浮点数都应转成规格化数。
*************************************************************★ IEEE-754标准的格式：一个浮点数用两个部分表示，尾数和2的幂，尾数代表浮点上的实际二进制数，2的幂代表指数，指数的保存形式是一个0到255的8位值，指数的实际值是保存值(0到255)减去127，一个范围在-127到+128之间的值，尾数是一个24位值（代表大约7个十进制数），最高位MSB通常是1，因此省略不保存，一个符号位表示浮点数是正或负。
地址eb BY0 BY1 BY2内容 SEEEEEEE E.MMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMMS （第31位）代表符号（数符）位1是负，0是正；E 偏移127的幂，二进制阶码=(EEEEEEEE)-127；. 小数点；M 24位的尾数保存在23位中，只存储23位，隐含最高位1。