直线斜率公式的应用

浅议直线斜率公式的应用
贵州省岑巩县第一中学 蒋世军
摘要：直线是一种简单的几何图形，而斜率是直线的本质属性，它直观反映了一条直线的倾斜程度。

直线的斜率公式是平面解析几何中的重要公式，也是高中数学的一个重要知识点。

在新课标和考试说明中都有较高的要求，由于斜率公式与代数中的分式在结构上有密切的联系。

所以它除了直接用来求直线方程，求直线的斜率外，还可以用来解决其他一些问题。

如求分式函数的值域（最值），解决数列有关问题，以及不等式的有关问题等-----都可借助斜率的几何意义，巧妙的解决。

关键词：直线 斜率公式 应用
下面就问题举例说明：
一、求直线的倾斜角
例1：已知直线l 1经过两点A(－23，1)、B (6，－3)，直线l 2的斜率为直线l 1的斜率的一半，求直线l 2的倾斜角θ.
分析：先利用过两点的斜率公式求l 1的斜率，再求得l 2的斜率，从而求得θ. 解：设直线l 1、l 2的斜率斜率分别为k 1、k 2，则 由已知可求得)
3(16321----=k 3-2=，
∴k 2＝3- 即ta n θ＝－3，
∵θ∈[0，＋∞) ∴θ＝
3
2π 点评：经过两点的直线的斜率公式在解题中有广泛的应用，必须熟记并灵活应用.根据斜率求倾斜角时，在tan θ＝k 中，θ的取值与k 的正负有关，当k ≥0时，θ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,0π，当k ＜0时，θ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈ππ,2，另外要注意斜率不存在时，直线的倾斜角为2
π。

二、证三点共线
例2：求证：A(1，3) 、B （5，7）、C （10，12）三点在同一条直线上。

分析：要证A 、B 、C 三点共线，只需证直线AB,AC 的斜率相等。

证明：∵11537=--=AB K 11
10312=--=AC K
∴AC AB K K =
又∵直线AB,AC 有共同的端点A 。

∴A 、B 、C 三点在同一条直线上。

例3：过抛物线焦点的一条直线与抛物线交于P 、Q 两点，自Q 点向抛物线的准线作垂线，垂足为'Q ，求证：P 'Q 过抛物线的顶点。

证明：设抛物线方程为y=2px(p>0)，则焦点F 的坐标为（
0,2
p ），准线方程为x=-2P ,
可设过焦点F 的直线方程为x=my+2P
解方程组⎩⎨⎧222p my x px y +==0222=--⇒p pmx y
解得 p m m y )1(21+-=
p m m y )1(22++= 2-p
x =
将得代入抛物线方程px y y y 2,221=
p m m x 2)1(221+-= p m m x 2
)1(2
22++= 所以 P ))1(,2)1((222p m m p m m ++++ ))1(,2
(21p m m p Q +-- 因此)1(22'+--==m m k k oQ op
所以P 、O 、Q 三点共线。

即直线P 'Q 过抛物线的顶点O 点。

评注：两直线AB 、AC 的斜率相等⇒A 、B 、C 三点共线；反过来，A 、B 、C 三点共线⇒两直线AB 、AC 三、求函数的值域（最值） 例4：求函数2cos 1sin 5++=θθy 的值域。

解：若将y 看成是动点M （cos θ，θsin 5）和 定点A （-2，-1不妨设x=cos θ，y=θsin 5 消去θ得
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=+x y （如右图）当MA 与椭圆相切时，得出斜率的最大值与最小值。

令切线的斜率为k ，则切线的方程为：)2(1+=+x k y
将其方程与椭圆方程消去y 得：
0444)24()5(2222=--+-++k k x k k x k （*）
因此该方程的判别式∆=)444)(5(4)24(2222--k k k 08080602=++-=k k
解得 2,3221=-=k k 所以 函数2cos 1sin 5++=θθy 的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,32。

四、不等式证明和解不等式中的应用 例5：已知a 、b 、m 都是正数，并且b a <
求证：b
a m
b m a >++ （旧人教版第二册6.312P 例2） 分析：对问题我们可以把m
b m a ++看成是经过P （b ，a ），Q （-m ，-m ）两点的直线的斜率。

即m
b m a k PQ ++= ，把b a 看成是经过点P （b ，a ）、o （0,0）两点的直线的斜率。

即b
a b a k po =--=00 。

（如图） 证明：如图，b a <<0 ∴点P （b ，a ）在第一象限且必在直线y=x 的下方，又因为m 0，所以点Q （-m ，-m)在第三象限且必在直线y=x 上，连结OP 、
PM ，则直线OP 的斜率为b a ，直线PQ 的斜率为m
b m a ++；因为直线PQ 的倾斜角大于直线OP 的倾斜角。

所以b
a m
b m a >++ 例6：关于x 的不等式)2(12->-x a x 的解集为R ，求a 的取值范围。

分析：令121-=x y 为斜率k 1=2直线方程，)2(2-=x a y 是过点A （2,0）且斜率k 2=a 的直线方程。

由于不等式)2(12->-x a x 的解集为R 。

即x ∈R 时，y 1>2y
只能有k 1 = k 2 即a = 2 。

解:略。

五、比较大小
例7：若5
5ln ,33ln ,22ln ===c b a ，则（ ） A. B. C. D. （高考题） P
x
y Q O y=x
解：因为00ln ln --=x x x x ，表示函数x y ln =的图象 上的点（x ，y ）与坐标原点O 连线的斜率，如图 ， 则 OA k a = OB k b = OC k C =
由图象可知：OB OA OC k k k <<
即，选C 。

说明：也可以考察函数x x y ln =的单调性，即利用它的导数来严格求解，
但对于选择题、填空题，用数形结合的思想将问题转化为过曲线x y ln =上的点与原点的直线的斜率，问题便可直观、简捷地解出，但图形须相对准确。

六、构造直线斜率解决数列问题
数列是一种特殊函数，他的定义域是自然数集N 或N 的子集，任何一个数列都可以对应的“还原”为一个函数。

从图像上看，表示数列的点在对应函数的图像上，高中教材中比较典型的等差数列的通项公式：d a dn d n a a n -+=-+=11)1(，若令n x a y n ==,，则“还原”为一次函数b kx y +=。

其中斜率d k =，截距d a b -=1,那么表示数列的点),(n a n 必在直线b kx y +=上，这种“还原”就为我们用直线方式观察等差数列问题创造了条件。

例8：在等差数列{}n a 中，21,683==a a ，求d 1及a 。

解：从函数的观点来看，在等差数列中，通项n a 是自变量n 的一次函数，则
两点），（3a 3 和),8(8a ，即（3,6）和（8,21）都在一次函数所对应的直线上，直线斜率为
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8a k 38=--=a 由直线方程的点斜式可得：)3(36-=-n a n
整理得：)1(3-=n a n
所以 01=a 3=d
总之，对直线斜率公式的应用比较广泛，仅从以上例题可以看出，运用直线斜率公式解决某些数学问题方便简捷。