用信息论构造出称球问题的解

种天气会出现，今天是不确定的，今天只是知道明天各种天气的发生 概率，并且知道所有各种天气出现的概率总和为 1。我们来看看事件 集合中发生某事件的信息大小和该事件发生的概率之间的关系。 某事 件发生的概率越小，该事件发生后给我们的“震撼”越大。比如“明 天发生、不发生地震”这一事件集合中，明天不发生地震的概率远大 于发生地震的概率，所以真的明天发生了地震，那我们所获得的信息 量就比没有发生地震要大的多。此外，信息具有可加性，“今天地震 了又下雨” 给我们的信息应该是今天发生了地震和今天下雨两个事件 的信息的和， 而两个事件同时发生的概率又是这两个事件各自发生概 率的乘积，基于此，香农将某一“发生概率为 P”的事件的出现带来 的信息量定义为 1/P 的对数，即 log r 1/P。基数 r 的不同，使得信息 量可以有不同的单位，基数 r=2，单位就是比特。比如抛一枚硬币结 果是“国徽向上”的信息量是 log 21 (1 2) =1 比特。 好，我们仅用这一点信息理论，就可以解决上面提出来的那个称 球问题了。我们的想法是，如果确定 12 个球当中的坏球需要的信息 量是 A，而从每次天平的称量结果可以至少获得的信息量是 B，那不 小于 A/B 的整数就应该是所需的最小的称量次数了。在称以前，十二 只球的任何一个都可能是坏球，而且概率一样，都是 1/12，所以称 量最终确定了是哪一只后，我们得到了表征“坏球是 12 个球中的哪 一个”的 log 21 (1 12) = log 212 比特信息。另外，表明“好”球、“坏” 球是以球的轻重为标准的，所以，如我们从前面策略树上看到的，最 终的结果不仅是我们找到了坏球，而且知道了坏球比好球是轻了，还
是重了， 即不管我们是否需要， 我们还获得了表征坏球是 “轻” 是 “重” 的 log 22 =1 比特信息。这样，根据信息的可加性，最终找到那只坏球 以后，我们共计得到 1+ log 212 = log 224 比特的信息量。 我们再来看一次称量所能给出的信息量。由于是无法码天平，称 量能给我们的信息仅仅是天平的右重、左重、平衡三种状态。如果我 们设计的称法能够让三种结果等概率出现，都为 1/3，则我们就能够 保证一次称量不管出现什么结果，我们都可以获得 log 23 比特的信息 量。如果三个结果的概率不相等，由于三个结果的概率和为 1，无疑， 天平出现“发生概率”高的那种结果的话，我们就得不到 log 23 比特 的信息量。这样，对 12 个球，只要我们的称量办法能够让三种结果 等概率出现，并且，称量次数 M 能够使得 M log 23 ≥ log 224 ，即 M≥
log 27 比特信息。
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为了下面分析的需要，我们将题目变化得稍微复杂一些，并且将 球的总数设为 N：我们需要从 N 个球中找到一个坏球，我们不知道那 个坏球是轻还是重了，但我们知道，如果坏球出现在 N 个球的前面 X 个球中，那一定是重了，如果出现在剩下的(N-X)个球中，那一定是 轻了（把题目改成这样，纯粹是后面分析的需要），即我们只要知道 了坏球是哪个，那坏球是轻是重就知道了，所以，找到坏球所需的信 息量还是 log 2N 比特，用{ log 2N / log 23 }次称量一定可以称出来。
11，1)| | |
|--右--(10 重)
|--左--(9 ;10)|--平--(11 轻) |--左--(9 重)
|--左--(1,2,7; |--平--(5 ; 6)|--平--( 4 重) 3,8,9 )| | | |--右--( 2 重) |--左--( 6 轻)
|--左--(1 ; 2)|--平--( 8 轻) |--左--( 1 重)
下面开始， 叙述更加繁琐， 如果大家对推导、 证明过程没有兴趣， 可以只阅读每节最后归纳的结论。 为了叙述的方便，我们将表述“坏球出现在 N 个球的前面 X 个球 中，那一定是重了，如果出现在剩下的(N-X)个球中，那一定是轻了” 想象成一次称量（X；N-X）的结果（我们在球数少的一侧加上标准重 量的球），我们称这次想象的称量为第一次称量，即我们的第一次称 量得到了坏球是轻是重的“分布”，这样，我们要研究的就是后续的 第二次、第三次……的称量操作方法。 第二次称量的称法是这样的：我们尽可能将 X 个球均分成 3 组， 这样各组之间的球数差不会超过 1 个。如果这 3 组中包含了坏球，那 坏球一定是重了，故我们记为重组 1、重组 2、重组 3。同样，余下 的 N-X 个球，也这样分成 3 组，分别记为轻组 1、轻组 2、轻组 3， 如果这 3 组中包含了坏球，那坏球一定是轻了。我们分别取重组、轻 组各 1 组，合成新的三部分，由于原来轻重各自组的球数差不会超过 1 个，这样适当的取组安排可以使得三部分的球数差也不会超过 1。 我们的目的是将要进行称量的球最为均匀地分成三部分（如果 N 是 3 的正整数幂，那三部分的球数都相等）。比如，如果：重组 1 球数≥ 重组 2 球数≥重组 3 球数，轻组 1 球数≥轻组 2 球数≥轻组 3 球数， 我们组合的三部分就可以是（重组 1、轻组 3）、 （重组 2、轻组 2）、 （重组 3、轻组 1）。我们对这三部分的球进行三种操作：1、“留” （指这部分球留在前一次 “想象” 称量时所在天平的盘中） 。 2、“换” （指这部分球前一次“想象”称量在左盘的，现在要换到右盘；原来
|--右--(1,2,7; |--平--(5 ; 6)|--平--( 4 轻) | | | | | 3,8,9 )| | | |--右--( 3 轻) |--左--( 5 重)
|--左--(3 ; 9)|--平--( 7 重) |--左--( × )
| | | | | | (1-4;5-8)|--平--(9-10; | | | | | | | | | | | |--右--( × ) |--右--(3 ; 9)|--平--( 7 轻) | | | |--右--( 5 轻) |--左--( 3 重) |--右--(9 轻) |--右--(9 ;10)|--平--(11 重) | | | |--右--(12 重) |--平--(1 ;12)|--平--(13 轻, 13 重)* |--左--(12 轻) |--左--(10 轻)
这个结果是反复尝试得到的，虽然直觉上三次应该是最低了，但 我们终究不能百分之百的确定，我们还是会问，两次能搞定吗？或者 我们想，十三个球里面找一个坏球，三次可以吗？十四个呢？……， 或者问，十个球里面找一个坏球要几次呢？二十个、四十个呢？N 个 呢？……还有， 称三次最多可以从几个球里找到唯一的那个坏球？四 次呢？五次、六次呢？M 次呢？解这样的题目有规律可循吗？ 一般的，我们要解决以下问题：给定任一自然数 N， ⑴找出 N 个球称球问题所需的最小称量次数； ⑵给出最小次数称球的具体方法。 这道题的解决无非是要获得“十二个球中哪一个球是坏球的”的 信息，是要确定一个事件集合里最终哪一个事件发生的过程。下面， 我们用信息论的几个基本原理，试着分析一下。 （随便找一本介绍有 关香农信息论的书，都会有下面的内容，对信息论有所了解的，可以 跳过下面一段） 香农在他创立的信息论中，将信息定义为对“事物不确定性的消 除”，消除了多少不确定性，用信息量来衡量。一个事件集合中究竟 发生哪一件事情就是不确定的，每个事件的发生都有一定的概率，比 如明天天气可以由“晴、多云、阴、雨”几个事件组合而成，最终哪
用信息论构造出称球问题的解
赵明达
提要：本文用信息论推导出称球问题的解，并构造了的递推操作的称量办法，彻底解决 了任意个球的称球问题。 关键词：称量 信息量 概率 递推
经典的称球题目是这样的： “十二个外表相同的球中有一个坏球， 它的重量和其它十一个好球不同，现在有一台没有砝码的天平，问需 要称几次就能确保找出那个坏球”
（一）十二个球称几次
做过这道题目的人知道，答案是 3 次。不是太难，我们用图论中 的策略树将称法记录如下：
称 3 次，从 12 个球里找到坏球，并知道坏球的轻重：
|--右--( 1 轻) |--右--(1 ; 2)|--平--( 8 重) | | | |--右--( 6 重) |--左--( 2 轻)
已知 12 个球中有一个坏球比正常的球重（或轻，分析的过程一 样），用无法码天平要几次可以称出来。与前面的题目不一样的是我 们已经得到了表征坏球轻重的 log 22 =1 比特信息。这时，找到坏球就 只需要 log 212 的信息，当然，我们还是要 log 212 / log 23 =2.26 次，也 就是 3 次，但是 log 227 / log 23 =3，我们应该可以用 3 次称量从 27 只 球当中找出一个已知较轻还是较重的坏球了。我们的想法是对的。称 法很简单，假设坏球较重，将 27 个球编号 1-27，取 1-9,10-18 号球， 分别放天平的两侧，哪侧重则坏球便在哪侧的 9 个球中，比如天平平 衡，则坏球在 19-27 号的 9 个球中。不管第一次称量结果怎样，再将 包含坏球的那 9 个球等分成 3 个的三组，继续上面的称法，就得到包 含坏球的一组 3 个球，取其中的两个再称一次，结果就出来了。可以 看出由于每次都可以将包含坏球的那一组球等分成三部分， 我们每次 称量天平出现右重、左重、平衡三种状态的概率一样，那么每次天平 称量结果给出的信息都是 log 23 比特，所以三次就正好获得所需的
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a 的最小整数，则有 M={ log 22 N
log 3 = log 2 N }。如果 M 恰好等于
2 3
log 2 N ，则 N= 3
3
M
2 。由于 N 必须为整数，故 N 最大只能为 (3M 1) 2 。
所以，理论上，我们可以算出，用无砝码天平称 2 次、3 次、4 次、5 次……，M 次，最多可以从 4 个球、13 个球、40 个球， 121 个球……， (3M 1) / 2 个球当中， 找出一个不知是轻了还是重了的坏球。 （结论 1）
说明： 1、*号所在的一行对应十三个球的情形，留待后面分析 13 个球的时候使用，现在可 以不管。 2、 树的每一处分叉就是一次称量，它有三个分支，分别标注了“右”、“平”和 “左”，表示称量的结果为“右重”、“平衡”和“左重”。
3、 (1,2,3,4; 5,6,7,8) 或者(1-4; 5-8)表示“将 1-4 号放在左边，5-8 号放在右 边”这样的一次“称量”。无疑，天平两端球数不等时的称量没有意义。 4、(1 重)和(2 轻)表示 “1 号是坏球，且较重，其他球都正常”和“2 号是坏球， 且较轻，其他球都正常”的最终结果；可以看出，在到达最终结果前经过了几个分叉，便是 称量的次数。
log 3 ，如何去称的问题实际上是如何实现天平称量的三个结果等概
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率（或者尽可能相近的概率）出现，这样即便天平给出的是最不利的 结果（出现概率最大的称量结果），这次称量还能获得的足够多的信 息量。保证天平三种状态相近概率出现，实际上就是全部的球如何分 组称量的问题，即就是多少球放在天平的左盘，多少球放在右盘，多 少球放在下面待称。 现在， 我们仍然从信息量入手来分析， 作为准备， 我们需要从一个更为简单的问题开始。
（二）寻求称量方法的预备问题
我们注意到，这个结果不是构造性的，也就是说，上面的结果只 是给出了保证称出坏球的最低次数，但是它没有告诉我们如何去称。 我们要知道的不仅仅是“需要称三次”，还要知道“如何称这三次”。 总球数多了以后，反复尝试的办法就失效了。 从上面的分析可以看出，天平只有每种状态 （右重、 左重、平衡） 出现的概率都为 1/3 的情况下， 一次称量所给出的信息才能保证最低 也是 log 23 比特，而如果称量的三种结果的概率不一样，出现“发生 概率高”的那种天平称量结果的话，我们获得的信息量一定达不到
log 24 / log 3 =2.89，也就是 3 次，理论上，我们就能称出坏球。
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所以，3 次就可以从找到 12 球里面的找到 1 个坏球，并且，因 为(1+ log 213 )/ log 23 = log 226 / log 23 =2.97<3，我们可以试着从 13 个 球里面找一个坏球，看一看 3 次能不能称出来；而 (1+ log 214 )/ log 23 = log 228 / log 23 =3.03>3，我们可以肯定 3 次是不 可能确保从 14 个球当中找到一个坏球并知道其轻重的。如果是 N 个 球，需要这样称 M 次，而我们所设计的称量办法可以让每次Hale Waihona Puke Baidu平称量 的三种结果等概率出现，那只要 M log 23 ≥1+ log 2N ，即 M≥ 我们用{a}表示大于等于 log 2 N log 3 = log 2 N ,就一定能找到坏球。