三道主观题及pts评分标准

注：PTS 评分标准在最第三页（最后）
1、在平面直角坐标系xOy 中，平面区域W 中的点的坐标(,)x y 满足422≤+y x ，从区域W 中随机取点(,)M x y ．
（1）若x ∈Z ，y ∈Z ，令=ξ22y x +，求ξ的分布列与数学期望；
（2）已知直线:(0)l y x b b =-+>与圆422=+y x 相交所截得的弦长为22，
求y x b ≥-+的概率．
解：（Ⅰ）若x ∈Z ，y ∈Z ，则点M 的个数共有13个，得 E ξ=13
28 （Ⅱ）由已知可知区域W 的面积是4π．因为直线:l y x b =-+与圆422=+y x 的弦长为22，如图，可求得扇形的圆心角为2
π，则满足y x b ≥-+的点M 构成的区域的面积为S=2-π，所以y x b ≥-+的概率为π
π42-． 2、已知三次函数)(x f 的导函数ax x x f 33)(2-='，b f =)0(，a 、b 为实数。

（1）若曲线=y )(x f 在点（1+a ，)1(+a f ）处切线的斜率为12，求a 的值；
（2）若)(x f 在区间［1-，1］上的最小值、最大值分别为2-，1，且21<<a ，求函数)(x f 的解析式。

解：（1）由导数的几何意义)1(+'a f =12
∴ 12)1(3)1(32=+-+a a a ∴ 93=a ∴ 3=a
（2）∵ ax x x f 33)(2-='，b f =)0( ∴ b ax x x f +-=232
3)( 由 0)(3)(=-='a x x x f 得01=x ，a x =2 ∵ ∈x ［-1，1］，21<<a
∴ ∈x ［-1，0］时，0)(>'x f ，)(x f 递增；∈x （0，1）时，0)(<'x f ，)(x f 递减。

∴ )(x f 在区间［-1，1］上的最大值为)0(f ∵ b f =)0(，∴ b =1
∵ a a f 2321231)1(-=+-
=，a a f 231231)1(-=+--=- ∴ )1()1(f f <- ∴ )1(-f 是函数)(x f 的最小值，∴ 223-=-a ∴ 34=a ∴ )(x f =1223+-x x
3、如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，⊥平面DEFG ，AC AB ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ．且2====DG DE AD AB ,1==EF AC ．
（1）求证：BF ∥平面ACGD ；
（2）求二面角F CG D --的余弦值；
（3）求五面体ABCDEFG 的体积．
解法一 向量法：由已知，AD ．DE ．DG 两两垂直，建立如图的坐标系，
则A （0，0，2），B （2，0，2），C （0，1，2），E （2，0，0），
G （0，2，0），F （2，1，0）
（Ⅰ）(2,1,0)(2,0,2)(0,1,2)BF =-=- ，
(0,2,0)(0,1,2)(0,1,2)CG =-=-
∴BF CG = ，所以BF ∥CG ．又BF ⊄平面ACGD ，故 BF//平面ACGD
（Ⅱ）(0,2,0)(2,1,0)(2,1,0)FG =-=- ，设平面BCGF 的法向量为1(,,)n x y z = ，
则112020
n CG y z n FG x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令2y =，则1(1,2,1)n = ， 而平面ADGC 的法向量2(1,0,0)n i == ∴121212cos ,||||
n n n n n n ⋅<>=⋅
＝= 故二面角D-CG-F
（Ⅲ）设DG 的中点为M ，连接AM ．FM ，则V ＝ADM-BEF ABC-MFG V V 三棱柱三棱柱+ ＝ADM MFG DE S AD S ⨯+⨯△△＝1122122122
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯＝4． 解法二设DG 的中点为M ，连接AM ．FM ，则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形，所以MF//DE ，且MF ＝DE 又∵AB//DE ，且AB ＝DE
∴MF//AB ，且MF ＝AB ∴四边形ABMF 是平行四边形，即BF//AM ，又BF ⊄平面ACGD 故 BF//平面ACGD
（利用面面平行的性质定理证明，可参照给分）
（Ⅱ）由已知AD ⊥面DEFG ∴DE ⊥AD ，DE ⊥DG 即DE ⊥面ADGC ，∵MF//DE ，且MF ＝DE ， ∴MF ⊥面ADGC
在平面ADGC 中，过M 作MN ⊥GC ，垂足为N ，连接NF ，则显然∠MNF 是所求二面角的平面角．
∵在四边形ADGC 中，AD ⊥AC ，AD ⊥DG ，AC=DM ＝MG ＝1
∴CD CG == ∴MN
＝5
= 在直角三角形MNF 中，MF ＝2，
MN 5=
∴tan MNF ∠＝MF MN
cos MNF ∠
故二面角D-CG-F
的余弦值为6
（Ⅲ）ABC-DEFG V 多面体＝ADM-BEF ABC-MFG V V 三棱柱三棱柱+＝ADM MFG DE S AD S ⨯+⨯△△ ＝1122122122
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯＝4
下面针对第三题的第1题的解法（1）给出PTS 评分标准：
4分：能正确建立空间直角坐标系，能正确写出点坐标及向量坐标；
能正确理解向量相等的概念；能根据线面平行的判定方法，得到线面平行。

2分：能正确建立坐标系及点坐标，向量坐标；或者能够写出线面平行的判定方法。

0分；直接写出线面平行。